2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4学案：第2讲-4 渐开线与摆线 Word版含解析

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2019-2020学年人教A版高中数学选修4-4同步课件：第2讲参数方程三四

3．摆线及其参数方程 (1)当一个圆沿着一条定直线__无_滑__动_地____滚动时，圆周上的 _一__个_定__点_运__动_____ 的轨迹叫做 _平__摆_线____ ，简称 _摆__线___ ，又叫做 _旋__轮_线____． (2)设圆的半径为 r，圆滚动的角为 φ，那么摆线的参数方程是__xy_＝＝__rr_φ1_－－__cs_ion_s_φφ__，___(_φ_为__参__数__)__．
x＝ 3－t＝ 3－12·2t，解法二：由
y＝－ 2＋ 3t＝－ 2＋ 23·2t，
令 2t＝t′，则
x＝ 3－12t′，
y＝－
2＋
3 2 t′
(t′为参数)，这是直线 l 的标准参数方程．设其
cos
α＝－12，
倾斜角为 α，则sin α＝ 23，
0≤α＜π，
解得 α＝23π，故选 D．
(2)由题意知|PM0|＝ 2，∴t＝± 2，代入第一个参数方程
代入即可得圆的摆线的参数方程为yx＝＝1π1πφ1－－csions
2．圆的渐开线及其参数方程 (1) 把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头 _离_开__圆_周_____，保持线与圆相切，_线__头___的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的_定__圆___叫做渐开线的_基__圆___． (2)设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程是 _yx_＝＝__rr__sci_on_s_φφ_－＋__φφ_cs_oin_s_φφ__，___(_φ_为__参__数__)_．
∴直线
l
的
参数方
程的标准
形式为
x＝2＋35t， y＝45t
(t 为参

高中数学渐开线与摆线学案新人教A版选修4-4

高中数学人教版选修4-4：渐开线与摆线【自主学习】任务1：阅读教材P40—42，理解下列问题：1. 渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？我们先分析动点(笔尖)所满足的几何条件.如图，设开始时绳子外端(笔尖)位于点A ，当外端展开到点M 时，因为绳子对圆心角ϕ(单位是弧度)的一段弧AB ，展开后成为切线BM ，所以切线BM 的长就是AB 的长，这是动点(笔尖)满足的几何条件.我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.根据动点满足的几何条件: 我们以基圆圆心O 为原点，直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图).设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ,y ).显然，点M 由角ϕ惟一确定.:圆的渐开线的参数方程)()cos (sin )sin (cos 是参数ϕϕϕϕϕϕϕ⎩⎨⎧-=+=r y r x 任务2：完成下列问题：摆线如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？如图，假设B 为圆心，圆周上的定点为M ，开始时位于O 处.圆在直线上滚动时，点M 绕圆心作圆周运动，转过ϕ(弧度)角后，圆与直线相切于A ，线段OA 的长等于MA 的长，即OA =r ϕ.这就是圆周长上的定点M 在圆B 沿直线滚动过程中满足的几何条件.我们把点M 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线.ABBM =摆线的参数方程是因此,)()cos 1()sin (是参数ϕϕϕϕ⎩⎨⎧-=-=r y r x【合作探究】在摆线的参数方程中，参数ϕ的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？【目标检测】求摆线)20()cos 1(2)sin (2π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y t t x 与直线 y =2的交点的直角坐标.【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。

2019版数学人教A版选修4-4课件：2.4 渐开线与摆线

(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数方程是
=
=
1
2π
1
2π
(-sin),
(为参数),其中 k∈N*.
(1-cos)
-14-
第十四页，编辑于星期日：点四十七分。
答案:C
第四页，编辑于星期日：点四十七分。
-4-
四
渐开线与摆线
目标导航
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
3.圆的渐开线和摆线的参数方程
= (cos + sin),
(1)圆的渐开线的参数方程:
(为参数).
= (sin-cos)
D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,那么画出的
渐开线的形状就不同
解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线
和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个
圆不论在什么位置建立平面直角坐标系,画出图形的大小和形状都
是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
-3-
四
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HISHISHULI
【做一做1】关于渐开线和摆线的叙述,正确的是(
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
)
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到
了不同的图形
C.正方形也可以有渐开线

第二讲四渐开线与摆线

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解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， π 所以基圆半径 r＝3.然后把 φ＝ 2 y＝3sin φ－φcos φ，
代入方程，可得 y ＝ 3 sin
3π x＝ 2 ，即 y＝3.
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利用向量来建立摆线的参数方程．解析：如图所示，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时定点M在原点O处．取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单位) 为参数．当圆滚过φ角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝ .
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4．基圆半径为 1 的渐开线方程是____________．
x＝cos φ＋φsin 5．已知圆的渐开线的参数方程是 y＝sin φ－φcos
φ， φ
(φ
为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数 π φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________________． 4
，再代入求出x值．
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解析： (1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0)，它到直线 x－y－6 2 6 2 ＝0 的距离为 d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和 2 圆是相切的． (2) 由于圆的半径是 6 ，所以可得摆线方程是 x＝6φ－6sin φ， (φ 为参数)． y＝6－6cos φ (3) 令 y ＝ 0 ，得 6 － 6cos φ ＝ 0 ⇒ cos φ ＝ 1 ， ∴φ ＝ 2kπ(k∈Z)．代入 x＝6φ－6sin φ，得 x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和 x 轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．

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旋轮线
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ (1)圆的渐开线方程：y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数) ．
(2)摆线的参数方程：x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
.(φ 为参数)
．
[例1] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程． [思路点拨] 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数
和向量知识，得
uuur OA＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ， uuuur AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
uuur uuur uuuur 得OM ＝OA＋ AM .
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
3．摆线xy＝＝221t－－scionstt， (0≤t≤2π)与直线 y＝2 的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)
向量 MB＝(2sin α，2cos α)，
uuur BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
uuur uuur uuur 因此OM ＝OB＋BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． uuur

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A选修4_401085

四渐开线与摆线学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．知识点一渐开线思考把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．答案根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )．显然，点M 由角φ惟一确定．梳理圆的渐开线及其参数方程 (1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆． (2)参数方程设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ是参数)．知识点二摆线思考当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？答案摆线．梳理摆线及其参数方程 (1)定义当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线． (2)参数方程设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ是参数)．类型一圆的渐开线例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．解以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧0AM 的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝0AM ＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA →＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知，∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM →＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM →＝(x ，y )，因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).反思与感悟圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．跟踪训练1 已知圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin30°＋φsin φsin30°，y ＝sin φcos60°－φcos φcos60°(φ为参数)，则该基圆半径为________，当圆心角φ＝π时，曲线上点A 的直角坐标为________．答案 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin 30°＋φsin φsin 30°，y ＝sin φcos 60°－φcos φcos 60°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(cos φ＋φsin φ)，y ＝12(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．∴基圆半径r ＝12.当φ＝π时，x ＝－12，y ＝π2，∴A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2. 类型二平摆线例2 已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为________．答案10解析由圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ知，圆的方程为x 2＋y 2＝9，∴圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3， ∴圆上定点M 的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＝3π2－3，y ＝3×(1－0)＝3，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝(－3)2＋12＝10.反思与感悟 (1)摆线的参数方程摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，其中r ：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M 绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM .(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．跟踪训练2 已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________．答案 6 6π解析当φ＝π时，y ＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x ＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π答案 C2．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)答案 C3.如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π答案 C解析根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 4．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．3．由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示．一、选择题1．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π答案 B2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)答案 A3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①③④答案 C 4．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )，y ＝2(sin t －t cos t )(t 为参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案 A5．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ) (φ为参数)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0是此渐开线上的一点，则渐开线对应的基圆的周长是( ) A.32π B ．3π C ．4π D ．6π答案 B解析由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0在渐开线上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＝r (cos φ＋φsin φ)，0＝r (sin φ－φcos φ)，易知φ＝0，则r ＝32，故基圆的周长为3π.6．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( ) A ．(－2,2π) B ．(－2，π) C ．(4,2π) D ．(－4,2π)答案 A解析将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2×(－1＋π×0)，y ＝2×[0－π×(－1)]，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2π.二、填空题7．基圆直径为10，则其渐开线的参数方程为__________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(cos φ＋φsin φ)，y ＝5(sin φ－φcos φ)(φ为参数)8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm ，则齿廓所在的摆线的参数方程为__________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)解析因为基圆直径为22 mm ，所以基圆半径为11 mm ，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)．9．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos t ＋t sin t )，y ＝6(sin t －t cos t )(t 为参数)，则该渐开线的基圆的半径为________，参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是_______________________________________．答案 6 (－3＋23π，33＋2π)解析由参数方程，得基圆的半径r ＝6.把t ＝2π3代入参数方程，得⎩⎨⎧x ＝－3＋23π，y ＝33＋2π，即参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是(－3＋23π，33＋2π)．10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________．答案 (π，2)解析由题意知，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)．三、解答题11．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．12．已知圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，求此圆的摆线中，参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离．解由圆的参数方程，得圆的半径r ＝3，则其摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．把φ＝π2代入摆线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，故点A 与点B 之间的距离 |AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋3－3π22＋(2－3)2＝10.13．已知一个圆的平摆线方程是x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标．解由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π.当φ＝π时，y 有最大值4，平摆线具有周期性，周期为4π.∴平摆线上最高点的坐标为(2π＋4k π，4)(k ∈Z )．四、探究与拓展14.如图，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD ，弧DE ，弧EF …的圆心依次按A ，B ，C 循环，它们依次相连接，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π答案 C解析 ∵∠CAD ，∠DBE ，∠ECF 是等边三角形的外角， ∴∠CAD ＝∠DBE ＝∠ECF ＝120°. 又AC ＝1，∴BD ＝2，CE ＝3， ∴弧CD 的长＝13×2π×1，弧DE 的长＝13×2π×2，弧EF 的长＝13×2π×3，∴曲线CDEF 的长＝13×2π×1＋13×2π×2＋13×2π×3＝4π.15．渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标．解由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：2.4 渐开线和平摆线 Word版含解析

导疑1 渐开线方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？导思1 字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时，绳子t 的定点M 相对于圆心的张角．导疑2 摆线的参数方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？导思2 字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于一定点运动所张开的角度大小．导果 1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的□01渐开线，相应的定圆叫做□02基圆． 2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个□03定点的轨迹，圆的摆线又叫□04旋轮线． 3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：□05⎩⎨⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)． (2)摆线的参数方程：□06⎩⎨⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程．( )(2)圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题．( )(3)在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程．( )(4)圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．( ) 答案 (1)× 圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程． (2)√ (3)√(4)× 圆的渐开线和坐标轴交点要看坐标系的选取． 2．做一做(1)已知圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的面积是( )A ．1B ．πC ．2D ．2π 答案 B解析由参数方程知基圆的半径为1，所以其面积为π．(2)圆的渐开线方程为⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( )A ．(－2，2π)B ．(－2，π)C ．(4，2π)D ．(－4，2π) 答案 A解析将φ＝π代入⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)，可得⎩⎨⎧ x ＝2×(－1＋π×0)，y ＝2×[0－π×(－1)]，即⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2π.选A ．(3)半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π 答案 C解析圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，由题意得0＝3(1－cos φ)，cos φ＝1．sin φ＝0，φ＝2k π，k ∈Z ，则x ＝3·2k π＝6k π，k ∈Z ．当k ∈Z 时，横坐标可能为12π，故选C ．(4)我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．答案 ⎩⎨⎧x ＝r (1－cos φ)，y ＝r (φ－sin φ)(φ为参数)解析关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．探究1 圆的渐开线的参数方程例1 如图所示，有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径是340 mm ，以基圆圆心O 为原点建立直角坐标系，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程．解由圆的渐开线的参数方程可知，渐开线的参数方程与基圆的半径有关，若基圆的半径确定了，把半径r 的值代入，即得圆的渐开线的参数方程．由已知，得2r ＝340，即r ＝170，代入圆的渐开线的参数方程，得⎩⎨⎧x ＝170(cos φ＋φsin φ)，y ＝170(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )；(2)取定运动中产生的某一角度为参数；(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式；(4)用向量运算得到OM →的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．【跟踪训练1】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A ，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离．解根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1．那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16(13－63)π2－6π－363＋72．即A ，B 两点之间的距离为 16(13－63)π2－6π－363＋72．探究2 圆的摆线的参数方程例2 已知一个圆的摆线方程是⎩⎨⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以其面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．【跟踪训练2】圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O ．圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解 x M ＝r ·φ－r ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ).1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．1．已知圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一个点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．6πD ．9π 答案 D解析把已知点(3，0)代入参数方程得⎩⎨⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)，①0＝r (sin φ－φcos φ)，②由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r ·(cos0＋0)，所以r ＝3，所以基圆的面积为9π．2．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上与φ＝π4对应点的直角坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案 A解析将φ＝π4代入圆的渐开线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋π4sin π4，y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4－π4cos π4.所以x ＝1＋π4，y ＝1－π4．3．摆线⎩⎨⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2，2)，(3π＋2，2)B ．(π－3，2)，(3π＋3，2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2，2)，(2π＋2，2)答案 A解析由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0． ∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2．代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2)．4．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8 解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2．求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8．一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是 ( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同答案 C解析本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．2．圆⎩⎨⎧x ＝10cos φ，y ＝10sin φ(φ为参数)的渐开线方程是( )A ．⎩⎨⎧ x ＝5cos φ＋5φsin φ，y ＝5sin φ－5φcos φ(φ为参数)B ．⎩⎨⎧x ＝5cos φ－5φsin φ，y ＝5sin φ＋5φcos φ(φ为参数)C ．⎩⎨⎧ x ＝10cos φ＋10φsin φ，y ＝10sin φ－10φcos φ(φ为参数)D ．⎩⎨⎧x ＝10cos φ－10φsin φ，y ＝10sin φ＋10φcos φ(φ为参数)答案 C解析由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为⎩⎨⎧x ＝10cos φ＋10φsin φ，y ＝10sin φ－10φcos φ(φ为参数)，选C ． 3．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( ) A ．⎩⎨⎧ x ＝θ－sin θ，y ＝1－cos θ(θ为参数)B ．⎩⎨⎧x ＝1－sin θ，y ＝θ－cos θ(θ为参数)C ．⎩⎨⎧ x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)D ．⎩⎨⎧x ＝cos θ－θsin θ，y ＝sin θ＋θcos θ(θ为参数)答案 C解析由圆的渐开线的参数方程得⎩⎨⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)．4．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3(cos φ＋φsin φ)，y ＝3(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，点M 是此渐开线上一点，则点M 与原点的距离的最小值是( )A ．32 B ．3 C ．6 D ．9 答案 B解析由圆的渐开线的定义，知渐开线开始时的点(3，0)与原点的距离最小，故最小距离为3．5．已知摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4(φ－sin φ)，y ＝4(1－cos φ)(φ为参数)，当参数φ＝π时，对应于摆线上的点的坐标是( )A ．(2π，4)B ．(4π，4)C ．(4π，8)D ．(4，4) 答案 C解析把φ＝π代入参数方程，得⎩⎨⎧x ＝4(π－sinπ)＝4π，y ＝4(1－cosπ)＝8，故所求点的坐标为(4π，8)．6．已知圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，则它的一个拱的宽度和高度分别是( )A ．4π，2B ．2π，4C ．2π，2D ．4π，4 答案 D解析由圆的摆线的参数方程可知，基圆的半径为2，而摆线的拱宽为2πr ，拱高为2r ，故可知此摆线的一个拱的宽度和高度分别为4π和4．选D ．二、填空题7．渐开线⎩⎨⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________．答案 (63，0)和(－63，0)解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．8．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝6(cos t ＋t sin t )，y ＝6(sin t －t cos t )(t 为参数)，则该渐开线的基圆的半径为________，参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是________．答案 6 (－3＋23π，33＋2π)解析由参数方程，得基圆的半径r ＝6．把t ＝2π3代入参数方程，得⎩⎨⎧x ＝－3＋23π，y ＝33＋2π，即参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是(－3＋23π，33＋2π)． 9．当φ分别为π2和π时，渐开线⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上对应的点为A ，B ，则A ，B 间的距离为________．答案54π2－π＋2解析将φ＝π2代入⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1．将φ＝π代入⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得⎩⎨⎧x ＝cosπ＋πsinπ＝－1，y ＝sinπ－πcosπ＝π， ∴B (－1，π)．故A ，B 间的距离为|AB |＝(1－π)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＝54π2－π＋2．三、解答题10．半径为r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当M 转过53π和72π时，求点M 的坐标．解由摆线方程可知，φ＝5π3时，x M ＝10π＋336r ，y M＝12r ； φ＝7π2时，x M ＝12r (7π＋2)，y M ＝r ．∴点M 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋336r ，12r ，12r (7π＋2)，r ．11．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎨⎧x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标．解由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π．当φ＝π时，y 有最大值4，平摆线具有周期性，周期为2π． ∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2k π，4)(k ∈Z )．12．已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α(α为参数)，直线l 的普通方程是x －y －62＝0．(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和x 轴的交点．解 (1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是 ⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数)． (3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝6φ－6sin φ，得x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．。

人教版A版高中数学选修4-4渐开线与摆线

3.通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在实际中应用的实例(例如,最速降线是平摆线,椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共汽车门);了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
【解】 (1)C1 是圆,C2 是直线.C1 的普通方程为 x2＋y2＝1,
圆心 C1(0,0),半径 r＝1.
C2 的普通方程为 x－y＋ 2＝0.因为圆心 C1 到直线 x－y＋
2＝0 的距离为 1,所以 C2 与 C1 只有一个公共点.
x＝cos θ (2)压缩后的参数方程分别为 C1′:y＝12sin θ
(φ 为参数)
的右顶点,则常数 a 的值为________.
解析:直线
x＝t， l:y＝t－a
消去参数 t 后得 y＝x－a.
椭圆
x＝3cos φ， C:y＝2sin φ
消去参数 φ 后得x92＋y42＝1.
又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y＝x－a 得 a＝3. 答案:3
的极坐标方程为 ρ＝2 2sin(θ＋π4). (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.
解:(1)消去参数 t,得直线 l 的直角坐标方程为
y＝2x－3;
ρ＝2 2sin(θ＋π4),即 ρ＝2(sin θ＋cos θ),两边同乘以 ρ 得 ρ2
的距离 d＝ 2 ＝ 2, 2
【名师点评】消去参数可得普通方程,在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参.
变式训练
5.直线yx＝＝－1＋1－4t 3t (t 为参数)被曲线 ρ＝ 2cos(θ＋π4)所截的弦长为多少？

数学人教A版选修4-4达标训练第二讲四渐开线与摆线含

更上一层楼基础·巩固1关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( ) A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同思路解析：首先要明确不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案：C2给出下列说法①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有( )A.①③B.②④C.②③D.①③④ 思路解析：对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置. 答案：C3在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=4π对应点的坐标为_________. 思路解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),把点(π,0)代入可得⇒⎩⎨⎧-=-=)cos 1(0)sin (ϕϕϕπr r cosφ=1,则sinφ=0,φ=2kπ(k ∈Z ), 所以r=kk 212=ππ(k ∈Z ).又r ＞0,所以k ∈N *, 当k=1时,r 最大为21.再把φ=4π代入即可.答案：(422,822--π)4已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin ,sin cos y x (φ为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是____________,当参数φ=4π时对应的曲线上的点的坐标为______________. 思路解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当φ=4π时对应的坐标只需把φ=4π代入曲线的参数方程, x=8222π+,y=8222π-,由此可得对应的坐标为(8222π+,8222π-). 答案：2 (8222π+,8222π-) 5已知一个圆的摆线方程是⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 44,sin 44y x (φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的摆线的参数方程.思路分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4,易得圆的面积为16π, 再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程. 解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4,所以面积是16π.该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos 4sin 4,sin 4cos 4y x (φ为参数).6已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式,根据表达式求出r 的最大值,再确定对应的摆线和渐开线的方程.解：令y=0得r(1-cosφ)=0,即得cosφ=1,所以φ=2kπ(k ∈Z ). 代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2, 即得r=πk 1 (k ∈Z ).又由实际可知r>0, 所以r=πk 1 (k ∈N *).易知,当k=1时,r 最大值为π1代入即可得,圆的摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(1),sin (1ϕπϕϕπy x (φ为参数),圆的渐开线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 1),sin (cos 1ϕϕϕπϕϕϕπy x (φ为参数). 7已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+=ααsin 62,cos 61y x (α为参数)和直线l 对应的普通方程是x-y-26=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程. (3)求摆线和x 轴的交点.思路分析：首先根据条件可知,圆的半径是6,平移后圆心为O(0,0),根据圆心O 到直线的距离可以判断出直线和圆的位置关系.再由圆的半径写出圆的摆线方程.求摆线和x 轴的交点只需令y=0,求出对应的参数φ,再代入求出x 的值.解：(1)圆C 平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-26=0的距离为d=226=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 66,sin 66y x (φ为参数).(3)令y=0得6-6cosφ=0⇒cosφ=1,所以φ=2kπ(k ∈Z ). 代入x 得x=2kπ(k ∈Z ),即圆的摆线和x 轴的交点为(2kπ,0)(k ∈Z ). 综合·应用8如图2-4-5,ABCD 是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中弧AE 、EF 、FG 、GH 、…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环,它们依次相连结,则曲线AEFGH 的长是()图2-4-5A.3πB.4πC.5πD.6π 思路解析：如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的41圆周长,长度为2π,继续旋转可得是半径为2的41圆周长,长度为π；是半径为3的41圆周长,长度为23π;是半径为4的41圆周长,长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案：C9我们知道关于直线y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数)关于直线y=x 对称的曲线的参数方程为___________.思路解析：关于直线y=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以,要写出摆线方程关于直线y=x 的对称曲线方程,把其中的x 与y 互换,即是交换x 与y 对应的参数表达式. 答案：⎩⎨⎧-=-=)sin (),cos 1(ϕϕϕr y r x (φ为参数)10我们都使用过蚊香,蚊香是由一圈螺旋线组成的.为了兼顾美观和燃烧的效果,通常在设计时,有以下几种方案:方案一:等速螺线,如图2-4-6中图(1).图中画出了关于点O 对称的两支蚊香是沿这两支曲线剪开的平面部分(以下同).图2-4-6方案二:圆的渐开线,如图2-4-6(2).图中曲线是圆弧,曲线是圆的渐开线(以下同).受方案二的启示,可得.方案三:正方形的渐开线,如图2-4-6(3).请根据图(2)和图(3)写出图(2)和图(3)对应曲线的方程.思路分析：本探究目的在于探讨数学的美在实际问题中的体现.要写出相应曲线的方程,可以根据曲线满足的条件,可以使用参数方程,普通方程或者极坐标方程写出,关键在于对知识的灵活掌握和应用.首先要明白渐开线的含义,可以根据课本中圆的渐开线的定义和求解的方法进行类比.建立适当的坐标系,根据条件写出坐标满足的关系式. 解：在方案二中,建立如题图中图(2)所示的直角坐标系,圆弧的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ϕϕcos sin ,sin cos l y l x (取基圆的半径r=1,22π-≤φ＜1). 曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin ,sin cos y x (φ为参数,且φ≥1).在方案三中,曲线是由圆弧与圆弧内连结的,建立如题图中图(3)所示的直角坐标系,设OA=OC=1,则曲线的各段由下列方程构成(式中n ∈N ,以下同):(x-21)2+(y-21)2=21(0≤x<1,221-≤y<0); x 2+(y-1)2=2(4n-3)2,〔4n －3≤x ＜2(4n-3),-4n+4≤y ＜4n-2〕; (x+1)2+y 2=2(4n-2)2〔-4n+1≤x ＜4n-3,4n-2≤y ＜2(4n-2)〕; x 2+(y+1)2=2(4n-1)2〔-2(4n-1)≤x ＜-4n+1,-4n≤y ＜4n-2〕; (x-1)2+y 2=2(4n)2〔-4n+1≤x ＜4n+1,-42n≤y ＜-4n 〕. 11已知一个参数方程是⎩⎨⎧+=+=,sin 2,cos 2ααt y t x 如果把t 当成参数,它表示的图形是直线l(设斜率存在);如果把α当成参数(t>0)时表示半径为t 的圆.(1)请写出直线和圆的普通方程;(2)如果把圆平移到圆心在原点,求出圆对应的摆线的参数方程; (3)求该摆线和直线y=t 的交点(t>0). 思路分析：要求出直线和圆对应的普通方程只需把参数方程看作一个方程组联立消去其中的参数即可.把圆平移到圆心在原点只需变化圆心,把圆心平移到原点,把半径代入摆线的参数方程即得摆线方程.求摆线和直线y=t 的交点只需把y=t 代入参数方程,求出参数φ,代入参数方程,再求出x 即可.解：(1)如果把t 看成参数,可得直线的普通方程为y-2=tanα(x -2),即y=xtanα-2tanα+2. 如果把α看成参数且t>0时,它表示半径为t 的圆,其普通方程为(x-2)2+(y-2)2=t 2. (2)由于圆的半径为t,所以对应的摆线参数方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕt y t x (φ为参数). (3)令y=t 得t,(1-cosφ)=t,得cosφ=0,则φ=2kπ+2π,代入x 的参数方程得x=t(2kπ+2π-1)(k ∈Z ), 即摆线和直线y=t 的交点坐标为(t(2kπ+2π-1),t)(k ∈Z ). 12某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10 cm 和30 cm 的钢管,需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧.问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长?(打结部分不计,结果化简后可用π和根式表示)思路分析：本题综合应用圆与圆的有关知识.求公切线的长、弧长等知识.实际上,要想把钢管全部扎紧就是要求出钢管对应的圆的渐开线的长度.解：设大、小管的轮廓线分别为⊙O 1和⊙O 2,如图所示.依题意,两圆外切,设切点为P.两圆的外公切线与⊙O 1和⊙O 2分别切于A,B,E,F.连结O 1A,O 2B,作O 2C ⊥O 1A 于点C,则O 1C=O 1A-CA=O 1A-O 2B=20,O 1O 2=30+10=40. 在Rt △O 1O 2C 中,O 2C=32020402221221=-=-C O O O∴AB=320. 又214020211==O O C O , ∴∠AO 1O 2=60°,∠AO 1E=120°. ∴的长=18030240∙∙π=40π.的长=32018010120ππ=∙∙.∴钢丝的长=2AB+的长+的长=2×320＋40π+320π=340+3140π. ∴扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要340+3140π（cm ）.。

数学人教A版选修4-4自我小测：第二讲四渐开线与摆线

自我小测1．下列各点中，在圆的平摆线sin ,1cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)上的是( ) A ．(π，0) B ．(π，1)C ．(2π，2)D ．(2π，0)2．已知一个圆的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，那么圆的摆线的参数方程中与φ＝π2对应的点A 与点B 3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的距离为( ) A ．π2－1 B ． 2 C ．10 D ．3π2－1 3．如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中 AE ， EF， FG ， GH ，…的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线段AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π4．当φ＝π2时，圆的平摆线44sin ,44cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)上对应的点的坐标是__________． 5．若圆的渐开线方程是5(cos s i n ),5(s i n cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则该圆的面积是__________．6．已知渐开线6(cos sin ),6(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)的基圆的圆心在原点，若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则得到的曲线的焦点坐标为________．7．已知圆的渐开线的参数方程是cos sin ,sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________． 8．已知圆C 的参数方程是16cos ,26sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程．9．已知平摆线的基圆的直径为80 mm ，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．参考答案1．答案：D2．解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为3(sin ),3(1cos )x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得π31,23,x y ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩即3π3,32A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以AB ==答案：C3．解析：根据渐开线的定义可知， AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2； EF是半径为2的14圆周长，长度为π； FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2； GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线段AEFGH 的长是5π.答案：C4．答案：(2π－4,4)5．答案：25π6．解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为212x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．答案：(63，0)和(－63，0)7．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的点的坐标为,2828⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭.答案：2 -⎝⎭ 8．解：(1)圆C 平移后的圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得平移后圆的渐开线方程是6cos 6sin ,6sin 6cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)．9．解：因为平摆线的基圆的半径r ＝40 mm ，所以此平摆线的参数方程为40(sin ),40(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，它一拱的拱宽为2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r ＝2×40＝80(mm)．。

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四渐开线与摆线
1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在
圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们
的参数方程．(重点)
2．通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线
)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)

[基础·初探]
教材整理1 渐开线及其参数方程
阅读教材P40～P41“思考”及以上部分，完成下列问题．
1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，
线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
2．设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是错误!(φ为参数)．
教材整理2 摆线及其参数方程
阅读教材P41～P42，完成下列问题．
1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆
线，简称摆线，又叫旋轮线．
2．设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是错误!(φ是参数)．

错误!
(φ为参数)表示的是( )
A．半径为5的圆的渐开线的参数方程
B．半径为5的圆的摆线的参数方程
C．直径为5的圆的渐开线的参数方程
D．直径为5的圆的摆线的参数方程
【解析】根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确．
【答案】B
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：

圆的渐开线的参数方
程

已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别是
π
3

和π2，求A，B两点的距离.
【导学号：91060027】
【思路探究】先写出圆的渐开线的参数方程，再把A，B对应的参数代入参数方程可得
对应的A，B两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A，B之间的距离．
【自主解答】根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是




x＝cos φ＋φsin φ，
y＝sin φ－φcos φ
(φ为参数)，

分别把φ＝π3和φ＝π2代入，
可得A，B两点的坐标分别为
A3＋3π6，33－π6，Bπ2，1.
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为|AB|＝

3＋3π6－π22＋


33－π

6
－1

＝16错误!.
即A、B两点之间的距离为