线性代数正交规范化
线性代数-第二十四讲(课程最后一讲)
6 求规范正交基的方法
设α 1 ,α 2 , ,α r 是向量空间 V的一个基 , 要求 V 的一个规范正交基 , 就是要找一组两两正交 的单 位向量 e1 , e 2 , , e r , 使e1 , e 2 , , e r 与α 1 ,α 2 , ,α r 等 价, 这样一个问题 , 称为 把α1,α2 ,,αr 这个基规
设
即
v1 = x11a1 + x 21a2 + x 31a3 , v2 = x12 a1 + x 22 a2 + x 32 a3,
x12 x 22 , x 32
x11 ( v1 , v 2 ) = ( a1 , a2 , a3 ) x 21 x 31
第一种类型的矩阵方程 记作V = AX .←第一种类型的矩阵方程
令x3 = 0, 1 x 13 2 = . 一个特解: 特
x3 x4 0 2
x
8
x1 = x 3 x = x 3 对应的齐次方程组为 2 , x3 = x3 x4 = 0
1 1 基础解系: . 1 0
x 令 3 = 1,
p.109, 27— 求非齐次线性方程组特解及
3 正交向量组的性质
定理1 若n维向量 α 1, 2 , , r 是一组两两正交的 α α 非零向量, α α 线性无关. 非零向量,则α 1, 2 , , r 线性无关.
规范正交基概念及求法
5 规范正交基
定义3 设n维向量 e1 , e2 , , er是向量空间 V (V R n )的一个基 , 如果e1 , e2 , , er两两正交且都是单位 向量, 则称e1 , e2 , , er 是 V的一个规范正交基 .
(1)正交化,取 b1 = a1 , )正交化, [b1 , a2 ] b , b2 = a2 [b1 , b1 ] 1
线性代数笔记
线性代数序章线性代数基础知识1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n 阶方阵，记作I在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI 对应常数k 2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O3.矩阵的p 阶子式：设},min{n m L =，指以）（L p a a pp ≤-11的p 个元素为主对角线构成的，含2p 个元素的p 阶方阵的行列式第一篇线性空间第一章向量和向量组1.1 线性组合1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A 对应一个矩阵的列（或行）向量组A’2.线性表示：如果存在一组数{}i x 使向量∑==ni ii i ax b 1，那么称b 能被向量组A （或记{}i a ）线性表示；也就是线性方程组Ax=b 有解（这也是求坐标表示的方法）3.等价：如果向量组B’中的任何向量b 都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价； 也就是矩阵方程AX=B 和BX -1=A 都有解，即)()(B r A r = 行向量组等价与矩阵等价的关系：（1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念 （2）当两个同型矩阵A ，B 的列向量组等价，A 与B 等价此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B)（3）当矩阵A 与B 等价，经行/列变换得到B ，则A 与B 的行/列向量组等价1.2 线性相关性和秩1.线性相关：对于向量n a a a ,...,,21，如果存在不全为零的实数n k k k ,...,,21使得01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解线性无关：对于向量n a a a ,...,,21，如果当且仅当n k k k ,...,,21全为零时，才有01=∑=ni ii ak ，那么这些向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解2.判定方法：如果向量组A 对应的矩阵的秩<向量数，则组A 线性相关； 如果向量组A 对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A 线性无关；3.向量组的秩定义：向量组A 中线性无关向量的最大个数，记为r ，A 中任意r+1个向量都线性相关4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩1.3 基、维数和坐标1.基：如果向量空间V 中任一向量都可被V 中一线性无关向量组A 线性表示，称组A 为V 的一个基 基变换：设A,B 为V 的两组基，记B A P 1-=为过渡矩阵，则A P B T=2.维数：基中的向量数r （也是基的秩）称为向量空间V 的维数，称V 为r 维向量空间3.坐标：如果向量空间V 中一向量∑==ni ii i ax b 1，且{}i a 是V 的基，则称{}i x 为b 在基A 中的坐标证明向量组A 是空间V 的基，就是要写出V 中任一向量{}i b 在基A 中的坐标表达式坐标变换：设A,B 为V 的两组基，对应坐标为x,y ，记B A P 1-=为过渡矩阵，则x P y 1-=1.4 范数、投影和正交性1.向量的范数：x x xx T ni i==∑=12，n 为向量维数2.广义的向量夹角：ba ba b a T = ,cos ；b 在a 上的投影：a a a b a p T T =3.向量的正交性：两个向量x,y 的点积（或y x T）为零，则两向量正交；零向量没有长度，和所有向量都正交正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关4.规范正交基：两两正交的单位基向量组向量的坐标：设q 为规范正交基，若向量∑==n i i i q x b 1，则坐标b q x T i i =或写作b Q x T =5. 基向量的规范正交化：第二章向量空间2.1 向量空间和子空间1.向量空间：对加法和数乘封闭，包含所有n 维实向量的非空集合，记作nR 公理化定义：设V 是一非空集合，R 为实数域； Part1：运算的封闭性若对于任意两个元素V ∈βα,，总有唯一的元素V ∈γ 与之对应，称γ 为βα ,的和；若对于实数λ与任一元素V ∈α，总有唯一的元素V ∈δ与之对应，称δ 为λα,的积；Part2：运算的法则 八条运算律分别为：（1）加法交换律（2）加法结合律（3）加法元为0 （4）元素的负元素唯一 （5）乘法元为1 （6）乘法交换律（7）数乘结合律（8）乘法结合律若和与积运算具备封闭性且满足八条运算律，即称V 为实向量空间，V 中元素称为向量。
线性代数中的正交矩阵与正交变换
线性代数中的正交矩阵与正交变换线性代数是现代数学的基础理论之一，它在各个领域中起到了重要的作用。
其中，正交矩阵和正交变换是线性代数中的重要概念之一。
本文将深入探讨正交矩阵和正交变换的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、正交矩阵的定义与性质首先，我们来了解正交矩阵的定义。
在线性代数中，一个方阵A称为正交矩阵，当且仅当满足以下条件：1. A的转置矩阵A^T等于它的逆矩阵A^(-1)。
2. A的所有列向量互为正交向量。
3. A的所有列向量的模长都等于1。
基于上述定义，我们可以推导出正交矩阵的一些重要性质。
1. 正交矩阵的行向量以及列向量都是单位向量，即长度为1的向量。
2. 正交矩阵的行向量两两正交，列向量两两正交。
3. 正交矩阵的转置矩阵就是它的逆矩阵。
二、正交变换的概念与性质正交变换是指保持向量的长度和夹角不变的线性变换。
在线性代数中，我们可以通过正交矩阵进行正交变换。
具体而言，设A是一个正交矩阵，x是一个向量，那么正交变换可以表示为Ax。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换可以将一个向量映射为另一个向量，同时保持向量的长度和夹角不变。
2. 正交变换的矩阵一定是正交矩阵，即正交矩阵其实就是表示正交变换的矩阵。
3. 正交变换是线性变换的一种特殊情况，其满足线性变换的加法和数乘运算。
三、正交矩阵与正交变换在实际问题中的应用正交矩阵与正交变换在实际问题中有广泛的应用。
以下举例说明：1. 三维图形的旋转在三维计算机图形学中，我们经常需要对三维图形进行旋转操作。
而正交矩阵正好可以用来表示三维空间中的旋转。
通过构造一个特定的正交矩阵，我们可以实现对三维图形的旋转变换。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的方法。
正交矩阵在傅里叶变换中起到了重要作用，通过将输入信号与正交矩阵相乘，可以实现频域上的变换，提取信号的频谱信息。
3. 数据压缩与图像处理正交矩阵和正交变换也被广泛应用于数据压缩和图像处理领域。
线性代数 第3节 化二次型为规范形
定理(惯性定理) 对任意二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) X AX , 无论用何种可逆线性替换把它化为标准形,其中正的系 数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数) 唯一确定. T 设二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX 通过可逆线性替换 X CY 化为下列标准形
1 dr
0 , 1 1
4
二次型化为
f z ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ z z
2 1 2 p
2 p1
z ,
2 r
称之为二次型的规范形. 定理 任一二次型都可以通过可逆线性替换化为规 范形,且规范形是唯一的. 化二次型时，所作的线性替换不一定是正交替换.
2 1 1 2 p
2 p1
dr y ,
2 r
继续作可逆线性替换
矩阵形式为 Y C1 Z ,
1 y1 d z1 1 y 1 z r r dr y z r 1 r 1 y z n n
1 d1 C1 0
6
推论
两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是
它们的秩和正惯性指数分别相等.
7
练习：
P244 习题六
8
T
f d y d p y d p1 y
2 1 1 2 p
2 p1
dr y ,
2 r
p为正惯性指数, q r p 为负惯性指数,
正负惯性指数的差 p q 2 p r 称为二次型的符号差. 证略.
3
X CY ,
f d y d p y d p1 y
5
定理
任一实对称矩阵 A 与对角阵
线性代数中的正交变换与正交矩阵
线性代数中的正交变换与正交矩阵线性代数是一门研究向量空间及其运算规律的数学学科，正交变换和正交矩阵是其中重要的概念之一。
本文将介绍正交变换和正交矩阵的定义、性质以及其在线性代数中的应用。
一、正交变换的定义与性质正交变换是指一种保持向量内积不变的线性变换。
设V是一个n维向量空间，线性变换A:V→V是一个正交变换，当且仅当满足以下条件：1. 对于V中任意两个向量u、v，有(Au)·(Av) = u·v，其中·表示两个向量的内积；2. A是一个满秩的矩阵，即A的行与列都线性无关。
正交变换具有以下重要性质：1. 正交变换保持向量的长度不变，即对于任意向量v，有||Av|| = ||v||，其中||v||表示向量的长度；2. 正交变换保持向量之间的夹角不变，即对于任意向量u、v，有夹角(Au, Av) = 夹角(u, v)，其中夹角(u, v)表示向量u和v之间的夹角；3. 正交变换的逆变换也是正交变换，即如果A是一个正交变换，则存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵；4. 正交变换的矩阵表示是一个正交矩阵。
二、正交矩阵的定义与性质正交矩阵是指行列式的值为1或-1的实矩阵。
设A是一个n×n的矩阵，如果A满足以下条件，则称A是一个正交矩阵：1. A的转置矩阵A^T与A的乘积等于单位矩阵，即A^T × A = I；2. A的行（或列）向量构成一组标准正交基。
正交矩阵具有以下重要性质：1. 正交矩阵乘积依然是一个正交矩阵，即如果A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；2. 正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即如果A是一个正交矩阵，则A^T是其逆矩阵；3. 正交矩阵的行（或列）向量是一组标准正交基，即正交矩阵的行（或列）向量互相正交且长度为1；4. 正交矩阵的行列式的值为1或-1，即|A| = 1或|A| = -1。
三、正交变换与正交矩阵的应用正交变换和正交矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
线性代数中的正交性与正交矩阵的构造
求解线性方程组 求解矩阵特征值和特征向量 计算矩阵的逆和行列式 数值积分和微分
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正交矩阵的行向量和列向量是正交的 正交矩阵的行列式值为1或-1 正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵
几何向量：在二维或三维空间中，正交向量用于表示方向和长度，是解决几何问题的关键。
矩阵计算：在矩阵计算中，正交矩阵用于保证变换前后的向量正交，保证计算的正确性。
特征值与特征向量：在求解特征值与特征向量的过程中，正交化过程用于消除向量之间的相关 性，得到独立的特征向量。
行列式法：利用行列式的性质，通过计算矩阵的行列式来构造正交矩阵。
正交矩阵的应用
正交矩阵可以用于 表示向量空间中的 正交变换
正交矩阵可以用于 计算向量空间的基 底和维数
正交矩阵可以用于 验证向量空间中的 子空间性质
Байду номын сангаас
正交矩阵可以用于 求解向量空间中的 线性方程组
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矩阵分解是将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，正交矩阵是其中一种常 用的分解方式。
线性代数中的正交性 与正交矩阵的构造
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线性代数中的正交 性
正交矩阵的构造
正交矩阵的应用
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线性代数中的正交 性
正交性是指两个向量垂直，它们的点积为0。 在线性代数中，正交性可以扩展到向量组和矩阵，用于描述向量之间的关系。 正交性是线性代数中的一个重要概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。 正交性可以通过多种方式进行检验，如正交矩阵的乘积为0等。
正交矩阵的判定：如果一个矩阵的转置矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，则这个矩阵是 正交矩阵。
线性代数第五章128
b1 b2 br e1 , e2 , , e r , || b1 || || b2 || || br ||
则e1, e2, · · · , en是向量空间V的一组规范正交基. 由线性无关向量组a1, a2, · · · , ar 构造出正交向量组 b1, b2, · · · , br 的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.
1 0 0 0 0 1 0 0 设 1 0 , 2 0 , 3 1 , 4 0 . 0 0 0 1
又设
1 2 1 2 0 0 0 0 1 2 1 2 , e4 . e1 , e2 , e3 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 ij ( i , j 1, 2, 3, 4). 由于 [e i , e j ] ij 1 i j
2 2 2 [x, x] = x = x1 + x2 + + xn
当|| x ||=1时, 称x为单位向量
3.当|| x || 0, || y || 0 时, n维向量 x 与 y 的夹角： [ x, y] arccos 规定0 . || x || || y || 4.向量 x 与 y 正交定义为： π 当[x, y]=0，也即 θ = .
向量的长度及性质
(1) 非负性: || x || 0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0;
(2) 齐次性: || x|| = | | || x ||;
(3) 三角不等式: || x+y || || x || + || y ||.
线性代数正交性与对称性
线性代数正交性与对称性线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性映射和线性方程组的理论。
在线性代数中，正交性和对称性是两个重要的概念。
本文将重点讨论线性代数中的正交性与对称性，并探讨它们之间的关系。
1. 正交性的概念及性质正交性是线性代数中一个基本而重要的概念。
在向量空间中，两个非零向量被称为正交，如果它们的内积为零。
内积是向量空间中的一种运算，它描述了向量之间的夹角关系和长度关系。
对于两个向量u和v，它们的内积可以表示为u·v或者<u,v>。
当u与v正交时，有u·v=0。
如果一个向量空间中的所有向量两两正交，那么这个向量空间被称为正交向量空间。
正交性具有以下几个性质：- 零向量与任意向量都正交。
- 向量与其自身正交。
- 正交关系具有传递性，即u与v正交，v与w正交，则u与w也正交。
2. 正交向量组与正交矩阵在线性代数中，正交向量组是指向量组中的所有向量两两正交。
如果一个向量组中的向量都是单位向量且两两正交，那么这个向量组被称为标准正交向量组。
对于标准正交向量组，其具有一些重要的性质：- 标准正交向量组线性无关。
- 标准正交向量组的长度均为1，即单位向量。
- 任意非零向量都可以由标准正交向量组线性组合而成。
正交矩阵是指满足矩阵的转置矩阵等于逆矩阵的方阵。
正交矩阵的列向量构成了一个正交向量组，因此正交矩阵具有很多重要的性质：- 正交矩阵的列向量是一个标准正交向量组。
- 正交矩阵的行向量也构成一个标准正交向量组。
- 正交矩阵的行列式的绝对值为1。
3. 对称性的概念及性质在线性代数中，对称性是指矩阵的转置等于其本身。
对称矩阵是一个非常重要的研究对象，具有以下性质：- 对称矩阵的对角线上的元素都是实数。
- 对称矩阵的特征值都是实数。
- 对称矩阵可以通过正交变换化为对角矩阵。
对称性在矩阵的特征值与特征向量的研究中起到了重要的作用。
对称矩阵的特征值是实数，而且对应不同特征值的特征向量是正交的。
线性代数-正交矩阵
的一个规范正交基. e1 , e2 ,, en是Rn的规范正交基
e
T i
e
j
0, 1,
i j; i j.
1 1 0 0
2
2
0
0
e1
1 2
,e2
1
2
, e3
1 2
,e4
Y Y TY X T AT AX X T X X
正交变换保持向量的长度不变.
本节小结 内积与正交变换 α,β αTβ
1. 正交向量组 [αi ,α j ] (αTi ,α j ) 0
线性无关(Th5.3)
2. 规范正交化 正交基
必可逆
3. 正交矩阵 三条性质
正交规范基 i eTi a [ei ,a] AT A E AT A1
(1,1,1)
(
1 2
, 1,
1) 2
则 β1,β2,β3为正交向量组. 然后再单位化得
e1
1
1
1 (
1 ,0, 2
1 ), e2 2
1 2
2 (
1, 3
1, 3
1
), 3
e3
1 3
3 (
1 , 6
2, 6
1 ). 6
那末，e1,e2,e3 就是所求的正交单位向量组.
附加定义设n维向量e1,e2, ,er是向量空间V(V Rn)的一个基，
内积的基本性质 [, ] a1b1 a2b2 anbn (1) [, ] [, ]
(2) [k, ] kk[a1,b1 ]k[a2,bk2] kanbn (3) [1 2, ] [1 , ] [ 2 , ]
线性代数 标准正交基1
T s s −1 T s −1 s −1
α sT β 2
例 求与 α1 = (1, 1, 0, 0), α2 = (1, 0, 1, 0), α 3 = ( −1, 0, 0, 1) α 4 = (1, − 1, − 1, 1)等价的 单位正交的向量组. 单位正交的向量组. 解 令 β 1 = α 1= ( 1, 1, 0,0 ) 1 β = (1, 0, 1, 0 ) − 1 (1, 1, 0, 0 ) = 1 , − 1 , 1, 0 β 2 = α 2− 1 2 2 2 2 1 −2 −1 1 1 β 3 = α 3 − β 1 − 3 β 2 = α 3 + β 1 + β 2 3 2 2
=0,则称 则称α α , β ∈ R n 如果 αTβ=0,则称α与β正交 定义2.20 定义2.20 设 α与β正交
α β =0
T
β =(b ,b2,b3) 1
θ
α =(a1,a2,a3)
在R3中，设 α =(a1,a2,a3)≠ o β = (b ,b2,b3)≠ o 1 的内积为 则α和β的内积为 α T β = a1b1 + a2b2 + a3b3= α β cosθ π α β αT β = 0 θ=
(2)
α j = 1,
j = 1, 2,..., n
则称 α1 ,α 2 ,...,α n 为Rn 的一个标准正交基. 的一个标准正交基. 如 ε 1 = ( 1, 0, ..., 0 ), ε 1 , ε 2 ,..., ε n 为Rn 的标准正交基. 的标准正交基. ε 2 = ( 0, 1, ..., 0 ),
2
o
定义2.21 如果R 中的非零 定义2.21 如果Rn中的非零向量组α1 ,α 2 ,...,α s ( s ≥ 2) 非零向量组 α iT α j = 0 ( i ≠ j; i , j = 1, 2,..., s ) 两两正交, 两两正交, 即 正交向量组. 则称向量组 α1 ,α 2 ,...,α s 为正交向量组. 注意： 正交向量组中， 每个向量 都不是零向量。 都不是零向量。 注意： 正交向量组中， 如果一个正交向量组中， 向量都是单位向量, 如果一个正交向量组中， 向量都是单位向量, 正交向量组中 每个向量都是单位向量 每个 正交单位向量组 单位向量组. 则该向量组称为 正交单位向量组.