2向量的正交规范化
1
0
得
x1 x2
0
x3
取 x3 1 得方程组的一个解，将其取为3 即可
1
3
0 1
18
1
例3
已知向量1
1 1
,
求R3的一个标准正交基.
解 设非零向量2 ,3都于 正1 交， 即满足方程1T x 0,
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
14
1）正交化
令 1 1
2
2
1 1
,2 , 1
1
LLL
r
r
1 , r 1, 1
1
2 2
,r ,2
2
L
r1,r r1, r1
r1
则 1, 2 ,L , r 两两正交，且与 1,2 ,L ,r等价.
15
2）标准化
令
e1
1
1
1,
e2
1
2
2, L
,
er
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组.
（1）对称性： , ,
（2）线性性： , , , k, k,
（3）正定性： , 0, 当且仅当 0时 , 0.
4
二、向量的长度与夹角 １、长度的概念
令 , a12 a22 L an2 为ｎ维向量α
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.
如果 1,2 ,L ,r是Ｖ的一组基，则 e1,e2 ,L ,er 就是 Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
例
1
1
4
1 2 ,2 3 ,1 1
1
1
0
使用施密特正交 化方法，使向量 组正交化
四、应用举例
16
1 1
例2
已知三维向量空间中，1
133页例5
23
2、正交矩阵的充要条件
① Ａ的列向量是标准正交组. ② Ａ的行向量是标准正交组.
注 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间Rn
的一个标准正交基.
24
3、正交变换
若Ｐ为正交矩阵，则ｙ=Ｐｘ线性变换称为正交变换. 设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有
y y, y yT y xT PT Px xT x x, x x .
ai12
ai
2 2
L
ain2
1
1 ai 2a j2 L aina jn
(i 0
1,2,L ,n) (i, j 1,2,L
,n)
.
22
正交矩阵的性质 ①正交矩阵的行列式等于1或-1. ②若A是正交矩阵，则 A1 AT 且 A1 也是正交矩阵. ③A、B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求, .
9
三、正交向量组 1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
注 ① 若 0，则α与任何向量都正交. ② 0.
③ 对于非零向量α与β， , .
2
10
2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则
,
3
ห้องสมุดไป่ตู้1 26
21 .
21
五、正交矩阵和正交变换
1、定义 如果ｎ阶矩阵满足： AT A I 即A1 AT ,
则称Ａ为正交矩阵.
若Ａ按列分块表示为Ａ＝ (1,2 ,L ,n ), 则 AT A I
可表示为
1T
T 2
M
1
2
L
1
n
I
1 O
,
T n
1
其中
ai1a
j
1 1
,
2
12
正交，
试求3 , 使1,2 ,3是三维向量空间的一个正交基.
解 设3 x1 x2 x3 T 0 则
1,3 1T3 0,2 ,3 2T3 0.
设
A
1T
T 2
1 1
1 2
1
1
则 3 满足 Ax 0 ，解方程组
17
A
1 1
1 2
1 1
1 0
0 1
1
1
0
令
1
11
,
2
1
0 1
,
3
2
11
.
1）正交化
1
1
令
1
1
1 1
,
2
2
1 1
,2 , 1
1
2
01 ,
3
3
1 1
,3 , 1
1
2 ,3 2 , 2
2
1
3
2 2
, ,
3 2
2
1 2
2 1
,
20
2）标准化
1
1
1
令 i
1
i
i, 1
1 3
1 1
,
2
1 2
0 1
6、标准正交基
若标准正交组 1, 2 ,L , r为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1, 2 ,L , r为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
或规范正交基.
13
7、施密特（Schmidt）正交化法
设 1,2 ,L ,r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单
位向量1, 2 ,L , r ，使1, 2 ,L , r与 1,2 ,L ,r等价， 此问题称为把 1,2 ,L ,r 这组基规范正交化.
②由非零向量α得到单位向量 0 1 的过程
称为把α单位化或标准化.
7
３、夹角 设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹
角的余弦为 cos , , 因此α与β的夹角为
arccos , ,0 .
8
例 1 2 2 3, 3 1 5 1, 求, .
解 cos , 18 1
1
2
一、内积的定义与性质
1、定义
设ｎ维实向量
a1 a2
,
b1
b2
,
称实数
M M
an
bn
a1b1 a2b2 L anbn 为向量α与β的内积，记作 , .
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有
, a1 a2 L
b1
an
b2
M
T
.
bn
3
２、性质
这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 3、标准正交组
由单位向量组成的正交组称为标准正交组 或规范正交组.
11
4、性质 定理 正交向量组必为线性无关组.
定理 若向量β与 1,2 ,L ,s 中每个向量都正交，则 β与 1,2 ,L ,s 的任一线性组合也正交.
12
5、正交基
若正交向量组1,2 ,L ,r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1,2 ,L ,r 为向量空间Ｖ上的一个正交基.
注 经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变.
25
判断下列矩阵是否为正交矩阵.
1
1 2
1
3
0
1
1 2
1
1 2
1
1
2
1 2
1
6
1 2
0
2 6
,
1
1 1
2
2 6
26
1
9
8 9
4 9
8 9
1 9
4 9
4 9
4 9
7 9
1
3
1 2
1
6
1 3
0
2
6
1 1 1
3
2 6
5
２、性质 （1）正定性： （2）齐次性：
0;且 0 0； k k ;
（3）三角不等式： ;
（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:
, 2 2 2 , 即, 2 , ,
当且仅当α与β线性相关时，等号成立.
6
注
①当 0 时， 0
1
是α的单位向量.
二次型标准型和规范型
二次型标准型和规范型二次型是代数学中的一个重要概念，它在线性代数和矩阵理论中有着广泛应用。
二次型标准型和规范型是将一个任意的二次型通过线性变换化为一个简化的形式，使得我们可以更方便地研究和分析二次型的性质。
一个二次型可以表示为如下形式：$$Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是变量，$a_{ij}$ 是常数。
二次型的标准型是指将二次型中的二次项化为平方和的形式。
对于一个二次型 $Q(x)$，假设其矩阵为 $A$，则存在一个非奇异矩阵 $P$，使得：$$P^TAP = D$$其中 $D$ 是对角阵，对角线上的元素称为二次型的标准型系数。
标准型的特点是二次型的二次项仅包含平方和，没有交叉项和混合项。
这样的形式更简单，更容易研究和分析。
为了得到二次型的标准型，需要进行正交变换。
正交变换可以通过选取一组特殊的基进行，其中基向量之间两两正交且模长为1。
设有一组基向量 $p_1, p_2, \dots, p_n$，构成正交矩阵$P = [p_1, p_2, \dots, p_n]$，则有 $P^TP = I$。
通过变换 $y = Px$，可以得到新的变量 $y$ 对应的二次型 $Q(y)$。
从而有：$$Q(y) = Q(Px) = x^TP^TAPx = x^TDx$$其中 $D = P^TAP$，$D$ 是一个对角阵，对角线上的元素就是二次型的标准型系数。
在二次型的标准型基础上，可以进一步进行规范化处理。
规范化处理是将标准型系数中的非零元素变为1或-1，以及调整它们的顺序。
具体步骤如下：1. 如果标准型系数中存在非零元素 $d_{ii}$，则可以将其除以本身的绝对值，将其变为1或-1。
2. 如果标准型系数中存在连续的非零元素 $d_{ii}$ 和 $d_{i+1, i+1}$，且它们同号，则可以将 $d_{i+1, i+1}$ 变为与$d_{ii}$ 同号，并将它直接相加；如果符号相反，则将它们的绝对值取为1。
-向量的内积与施密特正交化过程
2
，
， ……
r
r
(r , 1) (1, 1)
1
(r , 2 ) (2, 2)
2
( (r
r , r1) 1, r1)
r
1
(2). 单位化（规范化）：取
1
1 1
,2
2 2
,
,r
r r
,
1,2, ,r 是正交规范向量组，且
显然 1,2, ,r 仍与 1,2 , ,r
等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
对于两非零向量
,
当
2
时，称两向量正交。这里显然等价于
(, ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。
定义3 若 (, ) 0 称 , 正交，记 , 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
又零向量与任何向量看作是正交的，且
。
因此可利用内积定义两向量正交。
定义4 设向量组 1,2 , ,r
例3令
1
2
0
1 2
0
1
A
2
0
1 2
0
0
1
0
2
1
2
0
1
0
2
1 2
验证A为正交矩阵
解：因列向量组为两两正交
的单位向量，故为正交矩阵 。
定义6 设 X ,Y Rn则称线性变换
Y AX 是正交变换。
例4 证明线性变换
x cos x sin y
y
sin
x
cos
y
是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间
高等代数第六章1
第四章 向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量n 维列向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α与n 维行向量[]n Tb b b 21=β即为n n ⨯⨯11及矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。
注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。
4.1.2 向量的内积设[]T n a a a 21=α，[]Tn b b b 21=β(1) 定义称∑==+++=ni ii n n b a b a b a b a 12211, βα为向量βα,的内积。
(2) 性质αββααββαT T ===,,γβγαγβα,,,+=+βαβα,,k k =0,≥αα 等号当且仅当0=α时成立(3) 有关概念 向量的范数：αααααT ==,单位向量：若1=α，则称α为单位向量。
向量的标准化（规范化）；0≠α称αα1为α的标准化向量。
两向量的正交：若0,=βα，则称βα与正交。
4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义设m ααα,,,21 是一组n 维向量(1) 线性组合：设β是一个n 维向量，若存在一组数m t t t ,,,21 ，使m m t t t αααβ+++= 2211则称β为向量组m ααα,,,21 的一个线性组合，或称β可由向量组m ααα,,,21 线性表出。
注 设两组向量（I ）m ααα,,,21 ，（II ）m βββ,,,21 ，若每一个()m i i ,,2,1 =α都可由m βββ,,,21 线性表出，则称向量组（I ）可由向量组（II ）线性表出；当向量组（I ）与（II ）可互相表出时，称向量组（I ）与（II ）等价。
(2) 线性相关：若存在一组不全为零的数m t t t ,,,21 ，02211=+++m m t t t ααα ，则称向量组m ααα,,,21 线性相关。
(3) 线性无关：若当且仅当021====m t t t 时，02211=+++m m t t t ααα 才成 立，则称m ααα,,,21 线性无关。
线性代数第五章 正交性
b = (-1, -1, 2, 2),
中每一个正交.
c = (3, 2, 5, 4),
20
练 习：
设 q1=
1 2
(1,1,1,1)T, q2=
1 2
(1,1,1,
1)T,
用两种方法将它们扩充成 4的一组规范正交基.
作业：
5.1节练习: 1. 2.
5.4节练习: 1. 2.
5.6节练习: 8.
课后练习:
在欧氏空间 4里找出两个单位向量，使它们同时与向量
a = (2, 1, -4, 0),
v2 ||v2||
正 交
基
vn=
xn
xn, v1,
v1 v1
v1
xn, v2,
v2 v2
v2
…
xn, vn1 vn1, vn1
vn1
un
=
vn ||vn||
Span(x1, x2, . . . , xn ) = Span(v1, v2, . . . , vn )
例5
设V = span(x1, x2, x3, x4),求 V的一组规范正交基. 其中x1= (1,−1, 1,−1)T, x2 = (1, 1, 3,−1) T , x3= (2,0, 4,−2)T , x4 = (3, 7, 1, 3)T .
||x|| ||y||
定 理 1 | xTy | ||x|| ||y|| 柯西-施瓦兹不等式 定 理 2 x y xT y = 0 称 x 和 y 正交 .
推广至更一般 向量空间 V
3
内积(P213 5.4 内积空间)
定 义 在向量空间V上定义一种运算，在这种运算下，V 中任意 一对向量 x 和 y，都对应一个实数，记作 x, y，若还满足: 对任意的 x, y, z ∈ V 及 s, t ∈ R，成立 (1) x, x 0 , 取等号当且仅当 x = 0 .
线性代数性质公式整理
线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里 是1，2，·n的一个排列。
当 是偶排列时，该项的前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即(1.1)这里表示对所有n阶排列求和。
式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。
一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。
用 表示排列 的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。
4.2阶与3阶行列式的展开—— ，5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去 所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式称为 的余子式，记为 ；称为 的代数余子式，记为 ，即 。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作 。
二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。
特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|按i行展开的展开式|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则4.范德蒙行列式5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵)若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值：；； |AB|=|A||B|；；；；若 ，则，且特征值相同。
4.2 二次型的标准型与规范型
4.2 二次型的标准型与规范型二次型是一个重要的数学概念，常常出现在线性代数和数学分析中。
在研究二次型的性质时，我们可以通过对其进行特征值分解来得到其标准型和规范型。
本文将对二次型的标准型与规范型进行详细阐述。
1. 二次型二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次齐次多项式，其中 $x$ 是 $n$ 维实向量，$A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。
其中 $n$ 称为二次型的阶数。
二次型具有以下性质：（1）对称性：$f(x)=x^TAx=x^T(A^T)x=f(x)$；（2）齐次性：$f(kx)=k^2f(x)$，其中 $k$ 是常数；（3）线性性：$f(x+y)=f(x)+f(y)$；（4）正定性：如果对于任意非零 $x$，有 $f(x)>0$，则称这个二次型是正定的；（8）无定性：如果既不是正定的，也不是负定的，则称这个二次型是无定性的。
2. 标准型标准型是指经过矩阵相似变换得到的对角矩阵。
标准型对于研究二次型的性质非常方便，因为对角矩阵的特殊性质使得二次型的性质易于判断。
我们可以通过以下步骤获得一个二次型的标准型：（1）求出二次型的矩阵 $A$ 的特征值和特征向量；（2）将特征向量按对应的特征值大小排列，组成矩阵 $P=[p_1, p_2, \cdots, p_n]$；（3）令 $D=\begin{bmatrix}\lambda_1 & & \\& \ddots & \\& & \lambda_n\end{bmatrix}$，其中 $\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值；（4）则可得到一个相似变换矩阵 $T=P^{-1}$，使得 $T^{-1}AT=D$。
此时，$D$ 即为该二次型的标准型。
标准型的优点在于可以直接通过特征值的正负性判断二次型是否正定、负定或者无定。
例如，如果所有的特征值都为正，则该二次型是正定的；如果所有的特征值都为负，则该二次型是负定的；如果特征值有正有负，则该二次型是无定性的。
1-1-向量内积正交
这些基础知识在后面具体方法中都会用到，因此首先介绍这些内容。
本章介绍：向量的内积、正交等概念矩阵相似变换、正交变换概念标准特征问题基本性质向量正交化方法（G-S 方法）矩阵三角分解、QR 分解*（* 通过H 变换和Givens 变换实现QR 分解）第一章基础知识引言§1-1 向量的内积和正交一、线性空间子空间1、实数域：n 维实向量{x }的全体（集合）称为n 维线性空间，记为R n则复数域：n 维复向量{x }的全体，记为C n ，则{}nR x ∈{}nCx ∈均为线性空间第一节向量的内积和正交称为实空间。
另外：n m R⨯nm C⨯是m ×n 阶实矩阵集合。
[]A []A 是m ×n 阶复矩阵集合。
均为线性空间。
称为复空间。
nm R⨯nm C⨯和2、子空间的概念设有{}{}{}nm Rx x x ∈ 21个向量：nR 由这m 个向量的任何线性组合所构成的集合：称为的由{}{}{}m x x x 21所生成的子空间，记为{}{}()m x x span 1{}{}m x x 1()n m ≤称为子空间生成向量。
第一节向量的内积和正交{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=∑=R x x m i mi i αααα,,,211 生成/张成特别当{}{}m x x 1子空间的维数= mnR {}{}{}()m x x x span ,,21即是的一个m 维子空间。
二、向量的内积和正交1、向量内积的定义设有{}{}nRy x ∈,在实数域线性空间中定义内积：则{}{}(){}{}ii Ty x x y y x ∑==,nR 在中定义了内积的向量集合—称为n 维欧几里德空间（或称为内积空间）第一节向量的内积和正交线性无关时，①在复数域上两向量内积定义：则如设{}{}nCy x ∈,{}{}(){}{}ii Hy x x y y x ∑==,（复数域上n 维线性空间nC 内积定义）第一节向量的内积和正交时，就是常说的几何空间。
第三节：向量的内积与施密特正交化过程
⇔ A =A
T
。
−1
令
α 1T T α 2 A = M T α n
= ( β , β ,L , β ) 1 2 n
由上式不难得到： 为正交矩阵 由上式不难得到：A为正交矩阵
1, i = j 1, ⇔(α ,α ) = ⇔ (βi , β j ) = 0. i ≠ j 0.
T T
都正交的向量集。 都正交的向量集。 解：设与 α1,α2 都正交的向量为
T x = ( x1, x2 , x3 , x4 ) 由 α1T x = 0 α2 x = 0
T
得齐次线性方程组
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 4 = 0
x = k1(−1,0,1,0)T + k2 (−1,0,0,1)T 解得
α1 = (1,0,1)T ,α2 = (1,1,0)T ,α3 = (0,1,1)T 例2 设
正交化过程将其化为标准正交组。 用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 正交化过程将其化为标准正交组 解：取 β1 = α1 = (1, 0,1)T
(α2 , β1 ) 1 1 1T 1 T T β2 = α2 − β1 = (1,1,0) − (1,0,1) = ( ,1, − ) = (1,2, −1)T (β1, β1 ) 2 2 2 2
θ =
π
2
时，称两向量正交。这里显然等价于 称两向量正交。 因此可利用内积定义两向量正交。 (α, β) = 0 因此可利用内积定义两向量正交。 正交， 定义3 定义 若 (α, β ) = 0 称 α , β 正交，记 α ⊥ β 中只要有一个为零向量， α , β 中只要有一个为零向量，必有 (α , β ) = 0 又零向量与任何向量看作是正交的， 又零向量与任何向量看作是正交的，且
5.1向量组规范正交化
x2
x2
x4 x4
a4
令x2
c1
2 (0,0,1,1)
2
,
1 0
x4
c2
c1
1 0 0
c2
0 11
则a1, a2 , a3, a4即为所求
解(1)法二a1, a2线性无关，可取3 (1,0,0,0)，4 (0,0,1,0)
使a1,
a2
,
3
,
线性无关。
4
将a1
,
a3
[a3, b1] [b1, b1]
b1
[a3 [b2
, ,
b2 b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化， 得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
2
2 2 2 2
e2
b2 b2
(ii) 齐次性 x x ; R
(iii) 三角不等式 x y x y .
证 (i) 与(ii) 是显然的,下面证明 (iii) , (iii) 三角不等式 x y x y .
x y 2 [ x y , x y ] [ x, x ] 2 [x, y] [ y, y ] ,
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1), a2 (1,1,0,4), a3 (3,5,1,1)
正交规范化.
解 先正交化， 取 b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
a2 , b1 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
1
1 1
GS方法
x(i) j
rij
yi
以上过程，y1,y2,ym 向量的产生过程示意如下：
第 3 节
正 交 化 方 法
Gram—Schmidt
x1(1) , x2(1) , x3(1) , x4(1) ,, xm(1)
i=1
y1 , x2(2) , x3(2) , x4(2) ,, xm(2) 与 y1 正交！
yi
xi(i) rii
若 i = m 则过程结束,否则继续下列计算：
② 对 j = i+1 , i+2,…，m 计算内积
rij
(
x(i) j
, yi )
即消去后续向量与
yi
平行的分量
消去
x(i) j
中平行于 yi 的分量，使
x(i) j
与 yi 正交，即
x(i1) j
第 一 章基
础 知 识
Gram—Schmidt
2、三维向量组正交化
设 x1,x2,x3 是3个线性无关向量
①
y1
x1 x1 2
② ~y2 x2 (x2,y1)y1
y2
~y2 ~y2 2
③ ~y3 x3 (x3,y1)y1 (x3,y2)y2
y3
~y3 y3 2
④ 可验证：
(~y3,y1) 0 (~y3,y2) 0
Gram—Schmidt
正 交
⑥ 可验证： (~y2,y1) 0
化 方
(y2,y1) 0
法
证： y2 ,y1 x2,y1 x2,y1y1,y1
第
x2,y1 x2,y1 0 ？思考
一
章基
证毕
础 知 识
y1,y2