标准正交基

标准正交基
一、标准正交基的定义及相关概念
1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,);
（3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,);
（4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0;
这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。

2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

二、标准正交基的相关性质
1、正交向量组的性质：
（1）正交向量组是线性无关的。

证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα
用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα
由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。

（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。

（3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。

（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。

）
2、标准正交基的性质：
（1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：⎩
⎨⎧≠==.,0;
,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εε
j i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。

（2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。

例如：⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212100,212100,002121,0021214321e e e e
由于⎪⎩⎪⎨⎧====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e j
i j i
所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。

（3）n 维欧氏空间中，一组基为标准正交基的充要条件是这组基的度量矩阵为单位矩阵。

因为度量矩阵是正定的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵等同于单位矩阵，这说明在n 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵，由此可以断言，在n 维欧氏空间中，标准正交基是存在的。

（4）若n εεε,...,,21是一组标准正交基，向量α在该基下的坐标为),...,,(21n x x x ，即：n n x x x εεεα+++=...2211 则：),(αεi i x = ),...,2,1(n i =
证明：)...,(),(2211n n i i x x x εεεεαε+++=
),(...),(),(),(...),(111111n n i i i i i i i i i i i x x x x x εεεεεεεεεε++++++=++-- ),(...),(),(),(...),(111111n i n i i i i i i i i i i x x x x x εεεεεεεεεε++++++=++--
i i i i x x ==),(εε
（5）若n εεε,...,,21是一组标准正交基，且： ,...2211n n x x x εεεα+++= ,...2211n n y y y εεεβ+++= 则：Y X y x y x y x T n n =+++=...),(2211βα
这个表达式是几何中向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式的推广。

三、标准正交基的求法
定理1：n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。

证明：设m ααα,...,,21是欧氏空间中的一正交向量组， 对m n -作数学归纳法，
当0=-m n 时，m ααα,...,,21就是一组正交基了。

假设k m n =-时定理成立，也就是说，可以找到向量k βββ,...,,21，使得k m βββααα,...,,;,...,,2121成为一组正交基。

现在来看1+=-k m n 的情形。

因为n m <，所以一定有向量β不能被m ααα,...,,21线性表出，作向量....22111m m m k k k αααβα----=+ 这里m k k k ,...,,21是待定的系数，用i α与1+m α作内积，得：
),(),(),(1i i i i m i k αααβαα-=+ ),...,2,1(m i = 取 )
,()
,(i i i i k αααβ=
),...,2,1(m
i = 有0),(1=+m i αα ),...,2,1(m i = 由β的选择可知，.01≠+m α因此121,,...,,+m m αααα是一正交向量组，根据归纳法假定，121,,...,,+m m αααα可以扩充成一正交基，得证。

定理2：对于n 维欧氏空间中任意一组基n εεε,...,,21，都可以找到一组标
准正交基n ηηη,...,,21，使),,...,,(),...,,(2121i i L L ηηηεεε= .,...,2,1n i =
证明：设n εεε,...,,21是一组基，逐个求出向量n ηηη,...,,21 首先，取.1
11
1εεη=
一般的，假定已经求出m ηηη,...,,21，它们单位正
交，具有性质),,...,,(),...,,(2121i i L L ηηηεεε= .,...,2,1m i = 下一步求1+m η
因为),...,,(),...,,(2121m m L L ηηηεεε=，所以1+m ε不能被m ηηη,...,,21线性表出按定理1证明中的方法，作向量∑=+++-=m
i i i m m m 1.111),(ηηεεξ
显然，01≠+m ξ，且.,...,2,1,0),(1m i i m ==+ηξ 令1
1
1+++=
m m m ξξη，121,,...,,+m m ηηηη就是一单位正交向量组， 同时，),...,,(),...,,(121121++=m m L L ηηηεεε 由归纳法原理，得证。

定理中的要求，),,...,,(),...,,(2121i i L L ηηηεεε= .,...,2,1n i =就相当于由基
n εεε,...,,21到基n ηηη,...,,21的过渡矩阵是上三角形的。

定理 2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量的方法称为施密特（Schimidt ）正交化过程。

例：把)0,0,1,1(1=α， )0,1,0,1(2=α， )1,0,0,1(3-=α， )1,1,1,1(4--=α 变成单位正交的向量组。

解：先把它们正交化，得：)0,0,1,1(11==αβ，
,0,1,21,21),(),(1111222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
=ββββααβ ,1,31,31,31),(),(),(),(222231111333⎪⎭
⎫
⎝⎛-=--=ββββαββββααβ ()1,1,1,1)
,(),(),()
,(),(),(33334222241111444--=---=ββββαββββαββββααβ，
再单位化，得：⎪⎭⎫
⎝⎛=0,0,21,211η， ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=0,62,61,612η， ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=123,121,121,1213η， .21,21,21,214⎪⎭⎫
⎝⎛--=η
四、正交矩阵
1、定义：n 级实数矩阵A 称为正交矩阵，如果E A A T =；
因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基。

最后，根据逆矩阵的性质，由E A A T =，得E AA T =，
写出来就是：⎩
⎨⎧≠==+++)(;0)
(;1...2211j i j i a a a a a a jn in j i j i
上式是矩阵行与行之间的关系，而⎩⎨⎧≠==+++)
(;0)
(;1...2211j i j i a a a a a a nj ni j i j i 是矩阵
列与列之间的关系，两者是等价的。

2、正交矩阵的性质：
（1）若A 为正交矩阵，则T A A =-1；
（2）若A 为正交矩阵，则E A A AA T T ==； （3）若A 为正交矩阵，则1-A 也是正交矩阵； （4）若A 为正交矩阵，则1±=A ；
（5）两个正交矩阵的乘机还是正交矩阵； （6）若A 为正交矩阵，则*A 也是正交矩阵；
3、)(ij a A =为正交矩阵的充要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组。

参考文献：
[1]线性代数(第四版)，同济大学应用数学系。

高等教育出版社，2003。

[2]高等代数(第三版)。

北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)。

高等教育出版社，2003。