标准正交基
§9-2标准正交基
§9-2 标准正交基复习欧氏空间的概念、两向量正交的定义、度量矩阵的定义及性质。
一、概念定义5: 欧氏空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，则称为一个正交向量组。
例1: 向量(),0101=α()1012=α，()1013-=α构成3R 的一个正交组。
事实上，很容易验证 ()0=j iαα3,2,1,=j i例2: 在()π20C 上，函数组 1，cosx, sinx, … cos nx, sin nx … 构成()π20C 上的一个正交组。
事实上，我们有ππ2120=⎰dx ；⎩⎨⎧≠==⎰nm nm nxdx mx ,0,cos cos 20ππ； ⎩⎨⎧≠==⎰nm nm n x d x mx 0,sin sin 20ππ； 0sin cos sin cos 202020===⎰⎰⎰πππnxdx nxdx nxdx mx所以 ()()0sin 1cos 1==nx nx ；()()()0sin ,sin ,cos sin ,cos ===nx mx coxnx mx nx mx ， 当n m ≠时一般情况下，正交向量组是对两个或两个以上的向量而言，对于特殊情况我们规定：单个非零向量所成的向量组是正交向量组。
由正交向量组的定义很容易得出以下结论： 1、正交向量组一定是线性无关的。
证明：设m ααα ,,21正交，欲证其无关设有关系式 02211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边做内积，由于()0=j iαα当j i ≠时所以可得 ()0i=i i k αα 而()i i αα﹥0 所以()m i k i 2,1,0==注①：此定理的逆不成立，即无关的向量组不一定是正交的。
如()3,2,11=α，()0,1,22=α无关（不成比例），但()0421≠=αα注②：相关的向量组一定是不正交的。
于是可得2、在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
事实上，在n 维空间中，任何n+1个向量都是相关的。
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
标准正交基
标准正交基一、标准正交基的定义及相关概念1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,);（3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,);（4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0;这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。
2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
二、标准正交基的相关性质1、正交向量组的性质：（1）正交向量组是线性无关的。
证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。
（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。
（3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。
）2、标准正交基的性质：（1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εεj i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。
（2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。
例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212100,212100,002121,0021214321e e e e由于⎪⎩⎪⎨⎧====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e ji j i所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。
内积空间的标准正交基
线性无关性的证明可以通过构造一个行列式来证明，该行列式的值等于所有线性组合系数的乘积，如 果该行列式的值为零，则说明存在一组不全为零的实数，使得线性组合等于零向量，从而证明了线性 无关性。
03 标准正交基的构造方法
正交化过程
01
选取一组线性无关的向量作为初始基底。
02
通过正交化过程，将这组线性无关的向量转化为正交向量组。
内积空间的标准正交基
目录
• 引言 • 标准正交基的性质 • 标准正交基的构造方法 • 标准正交基的应用 • 标准正交基的例子
01 引言
什么是内积空间
交换律
01
x·y=y·x
分配律
02
z·(x+y)=z·x+z·y
非负性
03
x·y≥0
内积空间的标准正交基的定义
• 标准正交基是指由单位向量组成的向量组，这些单位向量两两正交，即它们的点积为0。对于一个内积空间，如果存在一组 线性无关的向量，它们两两正交并且模长为1，那么这组向量就构成了该内积空间的标准正交基。
VS
描述
这n个基向量是正交的，即它们的内积都为 0。同时，它们的模都为1，即对于每一个 基向量，其各分量平方和都等于1。
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正交性
两两正交
标准正交基中的向量两两正交，即对于任意两个不同的向量$e_i$和$e_j$，如果$i neq j$，则$e_i cdot e_j = 0$。
正交化过程
在构造标准正交基时，需要先选择一组线性无关的向量，然后通过正交化过程将 它们转化为正交基。
基的唯一性
唯一性定理
对于同一个内积空间，如果存在两个不同的标准正交基，则 这两个基之间可以通过一个可逆线性变换相互转化。
9.2__标准正交基
2. 正交向量组的性质
定理1 正交向量组是线性无关的.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
则 xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
= (i , x11) + … + (i , xii ) + … + (i , xnn ) = x1(i , 1) + … + xi(i , i ) + … + xn(i , n )
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
注意
1）应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准 正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明. 2）特别地，在欧氏空间的任一标准正交基下，有
| | x12 L xn2
第九章 欧几氏空间
§1 定义与基本性质 §5 子空间
§2 标准正交基
§6 对称矩阵的标准形
§3 同构 §4 正交变换
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 正交矩阵
一、定义
4-2标准正交基
α1，α2，…，αm两两正交，则称α1，α2，…，αm是V的 ， 两两正交， ， 的 ， 又都是单位向量， 一个正交基；如果α1，α2，…，αm又都是单位向量， 一个正交基； 正交基 的一个标准正交基 则称α1，α2，…，αm是V的一个标准正交基. ， 的一个标准正交基.
定义4.7 定义4.7 设α1，α2，…，αm是欧氏空间 的一个基.如果 ， 是欧氏空间V的一个基.
1 1 1 1 1 1 α 3 = ,− ,0, ,0 为R4的一个基 ,α 4 = − , , 的一个基. 2 2 2 2 2 2
T T
说明 1）自然基 1，e2，…，en是Rn标准正交基. 标准正交基. ）自然基e ，
T
T
4
3）向量空间V的任意向量α ，在V中的一个标准正交基 ）向量空间 的任意向量 中的一个标准正交基 α1，α2，…，αm下的坐标为： = k α + k α + L + k α ， 下的坐标为： α
由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 标准正交向量组
2
正交向量组是线性无关的. 定理4.2 正交向量组是线性无关的. 定理 ， 是正交向量组， 证 设α1，α2，…，αm是正交向量组，并有一组数使 k1α1 + k2α2 + … + kmαm= 0. ， ， ， ）对上式的两边做内积， 用αi（i=1，2，…，m）对上式的两边做内积，得 <k1α1 + k2α2 + … + kmαm ,αi >= <0 ,αi> 0 k1<α1, αi> + k2<α2, αi> + … + km<αm, αi>= 0 因α1, α2, …, αm两两正交, 所以<αi, αj>= 0( i ≠ j, )， 两两正交 所以 ， 故 ki<αi，αi>=0，（i=1，2，…，m） ， ， ， ， ） 所以< 因αi ≠ 0，所以 αi，αi>≠0，故ki =0（i=1，2，…，m）. ， （ ， ， ， ） 于是向量组α1，α2，…，αm线性无关 ， 线性无关.
最新四.规范正交基(标准正交基)
0 0 1 2 1 2
0 0 1 e4 2 1 2
由于
e
i
,e j
1 0
i j i j
(i,j=1,2,3,4)
所以jjjkke1 ,e2 ,e3 ,e4 是 R 4 的一个规范正交基。
2
2.向量的坐标
设 e1 ,e2 , , en 是V的一个规范正交基,那么V中任何一 向量 x1 , x2 , , xn 应能由 e ,e , , e 线性表示,
1
2
n
表示法为
x1e1 x2e2 xnen
为求表示法中的系数 xi,可用 e i与α作内积 ( i=1,2, …, n ) ,
jjjkk 4
例2 设
1 1 4 1 2 , 2 3 , 3 1 , 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 解 取
b1 1;
jjjkk
1 b1 1 e1 2 b1 6 1
b2 e2 b2
jjjkk
1 1 1 3 1
6
b3 3
3 , b1 3 , b2 b b
b1
2 1
b2
2
2
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1
令
b1 1 ,
b2 2 2 , e1 e1 ,
b1 e1 b1
b3 3 3 , e1 e1 3 , e2 e2 ,
线性代数课件7-2标准正交基
正交矩阵有哪些特殊性质和应用？如何判断一个矩阵 是否为正交矩阵？
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标准正交基的性质
01
标准正交基中的向量两两正交 ，且模长都为1。
02
标准正交基具有唯一性，即对 于给定的向量空间，其标准正 交基是唯一的。
03
标准正交基具有良好的计算性 质，可以简化向量在基下的坐 标计算以及向量间的内积、外 积等运算。
03
标准正交基的构造方法
施密特正交化过程
01
选取一组线性无关的向量组；
正交变换与标准正交基的关系
正交变换的定义
若线性变换T保持向量的内积不变，即对任意向量x,y，有$(Tx,Ty)=(x,y)$，则称T为正交变换；
正交变换的性质
正交变换保持向量的长度和夹角不变；
正交变换与标准正交基的关系
标准正交基是正交变换的基础，通过正交变换可以得到新的标准正交基。同时，标准正交基也是 正交变换的简化形式，可以方便地表示和计算正交变换。
正交矩阵及其性质
施密特正交化过程 标准正交基的定义与性质
01
03 02
学习目标
01
02
03
掌握标准正交基的概念 和性质，理解其在向量
空间中的重要性
学会利用施密特正交化 过程将一组线性无关的 向量正交化，进而得到
标准正交基
了解正交矩阵的定义和 性质，掌握正交矩阵的 判定方法及其在线性变
换中的应用
02
线性代数课件7-2 标准正交基
目录
• 引言 • 标准正交基的定义与性质 • 标准正交基的构造方法 • 标准正交基在线性空间中的应用 • 标准正交基在解决实际问题中的
应用举例 • 总结与拓展
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A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
练习：
1.设1 (0,1,1,0,0),2 (1,1,0,1,0),3 (4,5,0,0,1). 求L(1, 2 ,3 )的一个标准正交基.
答案：
标准正交基为：
1
1 2
(0,1,1,0,0), 2
1 10
因为 m n,
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量 m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
证明续： 从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
证明 设有一组数 k1, k2 , , kr使得
k11 k22 krr 0 等号两边的向量分别和1作内积
k11 k22 krr , 1 0, 1 展开得 k1 1,1 k2 2,1 kr r ,1 0
L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 ,
首先，可取
1
1
| 1
|1
.
,n .
证明续：
一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
于是取
ki
( ,i ) , (i ,i )
i 1,2, ,m,
可得 (i ,m1) 0 , i 1, 2, , m.
即 1,2 , ,m ,m1 为正交向量组．
由归纳法假设知，对这 m 1 个向量构成的正交组
可扩充得正交基. 于是定理得证．
(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基 1, 2 , , n 都可找到一组标准正交基 1,2 , ,n , 使
1 x2dx 2,
1
3
(3, 3 )
1 ( x2 1 )2 dx 8 ( 4 )2,
1
3
45 3 10
(4, 4 )
1 ( x3 3 x)2 dx 8 ( 4 )2,
1
5
175 5 14
| 1 | 2,
|
3
|
3
4 10
,
| 2 |
2, 6
|
4
|
5
4 14
.
于是得 R[ x]4的标准正交基
1
|
1
1
|
1
2 ,
2
2
|
1
2
| 2
6 x
2
3
|
1
3
| 3
10 (3x2 1) 2
4
|
1
4
| 4
14 (5x3 3x) 4
正交矩阵
若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵.
(1,2 ) 1 0.
④ n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
标准正交基的定义
n 维欧氏空间中，由 n个向量构成的正交向量组 称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
标准正交基举例
1. 几何空间 R3中的情况
在直角坐标系下 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)
1 0
i i
j j
，
i, j 1,2, ,n
（6）
由公式（3），有
(i , j ) a1i1 j a2i 2 j
aninj
1 0
i i
j j
，（7）
把A按列分块为 A A1, A2, , An
由（7）有
A1
AA
A2
有 ( ,1 )1 ( , 2 ) 2 ( , n ) n (2)
任一向量在标准正交基下的“第i个坐标”
xi
=（，
）.
i
n维欧氏空间V中标准正交基的作用
3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
(定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能 扩充成一组正交基.
两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是 A (ai j )nn ,
即 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A
或 i a1i1 a2i 2 ani n , i 1, 2, , n
由于 1,2 , ,n 是标准正交基，所以
(i , j )
49
0
0 49
E
所以A是正交矩阵.
正交矩阵的定义
设 A (aij ) Rnn , 若Ａ满足 AT A E , 则称A为正交矩阵.
6 2 3
例
验证矩阵
A
1 7
3 2
6 3
2
是正交矩阵。
6
证令
（第一列）
（第二列）
（第三列） （两两正交）
§9.2 标准正交基
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
正交向量组的定义
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1,2, ,m V ,
如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注意：
① 若 0, 则 是正交向量组.
② 正交组
无关组.
若向量组 1,2 , ,r 是正交向量组,且不含零向量,则 1,2 , ,r 线性无关.
1
(3, 2 )
1 x3dx 0,
1
3
3
2 3
2
1
02
x2
1 3
4
4
(4 , 1) (1 , 1 )
1
(4 , 2 ) (2,2)
2
(4 , 3 ) (3,3)
3
(4, 1)
1 x3dx 0,
1
(4, 2 )
再设
m1
|
1
m1
| m1 .
可知 1,2 , ,m ,m1 是单位正交向量组．
从(4)和(5)知 1,2 , ,m ,m1 与 1, 2 , , m , m1
因此，有 是等价向量组，
L(1, 2 , , m1 ) L(1,2 , ,m1 )
3
3
(3 (1
, ,
1 1
) )
1
( (
3 2
, ,
2 2
) )
2
(
1 , 1 , 1 ,1) 333
4
4
(4 , 1) (1 , 1 )
1
(4 , 2 ) (2,2)
2
(4 , 3 ) (3,3)
3
(1,1,1,1)
再单位化
1
|
1
1
|
1
(
1, 2
1 ,0,0) 2
2
|
1
2
|
2
(
1 , 6
1, 6
2 ,0) 6
3
|
1
3
|
3
(
1, 12
1, 12
1, 12
3) 12
4
1
| 4
| 4
(1, 1, 1,1) 2 2 22
1,2 ,3 ,4 即为所求的标准正交组．
(2,1,1,2,0), 3
1 (7,6,6,13,5). 315
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
3 (1,0,0,1) 4 (1, 1, 1,1)
变成单位正交的向量组.
正交化
解：令 1 1 (1,1,0,0)
2
2
( 2 (1
, ,
1 1
) )
1
( 1 , 1 ,1,0) 22
（单位向量）
可见A的列向量构成标准正交组，因此A是正交矩阵。
练习：判断下列矩阵是否为正交矩阵
1
1 2
1
3
A
1 2
1
1 2
1 3
1 2
1
1 8 4
B
1 9
8 4
1 4
4
7
非单位向量
（第一列和第二列不正交）
由归纳原理，定理2得证.
注：
① 由 L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n 知，若 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n )T ,
则过渡矩阵 T (tij ) 是上三角形（即 tij 0, i j ） 且 tii 0, i 1, 2, , n
1,2, r是正交向量组，所以j 1时，1, j =0
k1 1,1 =0 k1 1 2 0 k1 0
同理可得k2 k3 = =kr =0
1,2 , r线性无关！
③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．