§2 标准正交基§5 子空间
§5 子空间
一、 欧氏空间中的正交子空间 1．定义：
1) 1V 与2V 是欧氏空间V 中的两个子空间，如果对1V α∀∈，V β∈，恒有
(),0αβ=，
则称子空间1V 与2V 为正交的，记作12V V ⊥. 2) 对给定向量V α∈,如果对∀1V β∈,恒有
(),0αβ=，
则称向量α 与子空间1V 正交，记作1V α⊥. 注：
① 12V V ⊥当且仅当1V 中每个向量都与2V 正交． ② {}12120V V V V ⊥⇒⋂=.
( ()12,00V V αααα∀∈⋂⇒=⇒=.) ③ 当1V α⊥且V α∈时，必有0α=. 2．两两正交的子空间的和必是直和． 证明：设子空间12,,,s V V V 两两正交， 要证明12s V V V ⊕⊕⊕,只须证： 12s V V V +++中零向量分解式唯一． 设 12s ααα+++=0, i i V α∈, 1,2,,i s = 12V V ⊥, i j ≠
∴ ()()()12,0,,0i i s i i ααααααα=+++==
由内积的正定性，可知 0,i α= 1,2,,i s = 二、子空间的正交补 1．定义：
如果欧氏空间V 的子空间12,V V 满足12V V ⊥,并且12V V V +=, 则称 2V 为1V 的正交补.
2．n 维欧氏空间V 的每个子空间1V 都有唯一正交补. 证明：当{}10V =时，V 就是1V 的唯一正交补． 当{}10V ≠时，1V 也是有限维欧氏空间. 取1V 的一组正交基12,,,,m εεε 由定理1，它可扩充成V 的一组正交基 121,,,,,,,m m n εεεεε+ 记子空间()12,,.m n L V εε+= 显然, 12V V V +=.
又对 11221m m x x x V αεεε∀=+++∈,
112m m n n x x V βεε++=++∈,
()()1111
,,,0m n m n
i i j j i j i j i j m i j m x x x x αβεεεε==+==+⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑
∴ 12V V ⊥. 即2V 为1V 的正交补. 再证唯一性. 设23,V V 是1V 的正交补，则
1213V V V V V =⊕=⊕
对2,V α∀∈由上式知 13V V α∈⊕ 即有 13,ααα=+ 1133,V V αα∈∈ 又 1213,V V V V ⊥⊥ ∴ 131,,αααα⊥⊥
从而有 ()()()()()1131113111,,,,,0ααααααααααα=+=+== 由此可得 10α=,即有 3V α∈ ∴ 23V V ⊆. 同理可证 32V V ⊆, ∴ 23.V V = 唯一性得证. 注：
① 子空间W 的正交补记为W ⊥.即
{}|W V W αα⊥=∈⊥
② n 维欧氏空间V 的子空间W 满足: i) ()
W
W ⊥
⊥=
ii) dim dim dim W W V n ⊥+== iii) W W V ⊥⊕=
ⅳ) W 的正交补W ⊥必是W 的余子空间. 但一般地，子空间W 的余子空间未必是其正交补. 3．内射影
设W 是欧氏空间V 的子空间，由,V W W ⊥=⊕对,V α∀∈有唯一的
12,W W αα⊥∈∈,使
12ααα=+
称1α为α在子空间W 上的内射影. 小结：两空间正交、直和、正交补。
§5子空间的交与和直和
首页 上页 下页 返回 结束
12
L ( 1 , 2 , … , r ) W . 2) 设 V 是一个有限维线性空间, W 是 V 的一个 子空间, 则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r是 W 的一组基，就有 W = L ( 1 , 2 , … , r ) .
首页 上页 下页 返回 结束
6
例5 在线性空间P n中，齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a s1 x1 a s 2 x2
次线性方程组的解空间.
a1n xn 0 , a2 n xn 0 , a sn xn 0
( A B) A B A B
所以A B W1 . 又设k P , 于是
( kA) kA kA
所以kA W1 . 故W1是P nn的子空间.
设A, B W2 , 则A A, B B, 于是
首页 上页 下页 返回 结束
8
( A B) A B A B ( A B)
首页
上页
下页
返回
结束
16
定理 4 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一 个 m 维子空间, 1 , 2 , … , m 是 W 的一组基 ,那么 这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是说在V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n , 使得 1 , 2 , … , n 是 V 的一组基 . 证 对维数差 n - m 作归纳法, 当 n - m = 0时, 定理显然成立，因为 1 , 2 , … , m 已经是 V的基. 现在假设 n - m = k 时定理成立, 我们考虑n - m = k + 1的情形. 既然 1 , 2 , … , m 还不是 V 的基，它又是线
第八章欧氏空间
第九章欧氏空间［教学目标］1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。
2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。
3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。
4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。
5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。
6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。
［教学重难点］欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。
［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。
［教学时间］18学时。
［教学内容］欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。
[教学过程]§1 定义、性质定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质：（1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。
这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。
练习：394P 1（1）。
定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k =单位向量：长度为1的向量。
α单位化：αα-Cauchy Буняковский不等式：βα,∀，有βαβα≤),(等号成立当且仅当βα,线性相关。
在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子：例1中，22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ例2中，2121)()()()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰ba ba badx x g dx x f dx x g x f 394P 1、（2）中，∑∑∑∑∑∑======≤n j ni j i ijn j ni ji ijnj ni j i ij y y ax x ay x a 111111定义3：非零向量βα,的夹角βα,为βαβαβα),(arccos,=， πβα≤≤,0。
§2 标准正交基§5 子空间
§5 子空间一、 欧氏空间中的正交子空间 1．定义：1) 1V 与2V 是欧氏空间V 中的两个子空间，如果对1V α∀∈，V β∈，恒有(),0αβ=，则称子空间1V 与2V 为正交的，记作12V V ⊥. 2) 对给定向量V α∈,如果对∀1V β∈,恒有(),0αβ=，则称向量α 与子空间1V 正交，记作1V α⊥. 注：① 12V V ⊥当且仅当1V 中每个向量都与2V 正交． ② {}12120V V V V ⊥⇒⋂=.( ()12,00V V αααα∀∈⋂⇒=⇒=.) ③ 当1V α⊥且V α∈时，必有0α=. 2．两两正交的子空间的和必是直和． 证明：设子空间12,,,s V V V 两两正交， 要证明12s V V V ⊕⊕⊕,只须证： 12s V V V +++中零向量分解式唯一． 设 12s ααα+++=0, i i V α∈, 1,2,,i s = 12V V ⊥, i j ≠∴ ()()()12,0,,0i i s i i ααααααα=+++==由内积的正定性，可知 0,i α= 1,2,,i s = 二、子空间的正交补 1．定义：如果欧氏空间V 的子空间12,V V 满足12V V ⊥,并且12V V V +=, 则称 2V 为1V 的正交补.2．n 维欧氏空间V 的每个子空间1V 都有唯一正交补. 证明：当{}10V =时，V 就是1V 的唯一正交补． 当{}10V ≠时，1V 也是有限维欧氏空间. 取1V 的一组正交基12,,,,m εεε 由定理1，它可扩充成V 的一组正交基 121,,,,,,,m m n εεεεε+ 记子空间()12,,.m n L V εε+= 显然, 12V V V +=.又对 11221m m x x x V αεεε∀=+++∈,112m m n n x x V βεε++=++∈,()()1111,,,0m n m ni i j j i j i j i j m i j m x x x x αβεεεε==+==+⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∴ 12V V ⊥. 即2V 为1V 的正交补. 再证唯一性. 设23,V V 是1V 的正交补，则1213V V V V V =⊕=⊕对2,V α∀∈由上式知 13V V α∈⊕ 即有 13,ααα=+ 1133,V V αα∈∈ 又 1213,V V V V ⊥⊥ ∴ 131,,αααα⊥⊥从而有 ()()()()()1131113111,,,,,0ααααααααααα=+=+== 由此可得 10α=,即有 3V α∈ ∴ 23V V ⊆. 同理可证 32V V ⊆, ∴ 23.V V = 唯一性得证. 注：① 子空间W 的正交补记为W ⊥.即{}|W V W αα⊥=∈⊥② n 维欧氏空间V 的子空间W 满足: i) ()WW ⊥⊥=ii) dim dim dim W W V n ⊥+== iii) W W V ⊥⊕=ⅳ) W 的正交补W ⊥必是W 的余子空间. 但一般地，子空间W 的余子空间未必是其正交补. 3．内射影设W 是欧氏空间V 的子空间，由,V W W ⊥=⊕对,V α∀∈有唯一的12,W W αα⊥∈∈,使12ααα=+称1α为α在子空间W 上的内射影. 小结：两空间正交、直和、正交补。
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
正交变换
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间 §6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的 距离─ 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
(
)
{
i= j i≠ j
（2）若线性变换 σ 使V的标准正交基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 变 ） 的标准正交基
成标准正交基 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ，则 σ 为V的正 的正 交变换． 交变换． 证：任取 α , β ∈ V ,设
α = x1ε 1 + x2ε 2 + L xnε n β = y1ε 1 + y2ε 2 + L ynε n ,
∴ σ 是正交变换． 是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明（ ） 再证明（2）与（3）等价． ）等价．
( 2) ⇒ ( 3)
Q σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ),
∴ d ( σ (α ),σ ( β ) ) = σ (α ) − σ ( β ) = σ (α − β ) = α − β = d (α , β )
即，(σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A 由于当A是正交矩阵时， 也是V的 由于当 是正交矩阵时，σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n 也是 的 是正交矩阵时 标准正交基， 标准正交基， 为正交变换． 再由 1 即得 σ 为正交变换．
§9.4 正交变换
9.2__标准正交基
2. 正交向量组的性质
定理1 正交向量组是线性无关的.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
则 xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
= (i , x11) + … + (i , xii ) + … + (i , xnn ) = x1(i , 1) + … + xi(i , i ) + … + xn(i , n )
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
注意
1）应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准 正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明. 2）特别地，在欧氏空间的任一标准正交基下，有
| | x12 L xn2
第九章 欧几氏空间
§1 定义与基本性质 §5 子空间
§2 标准正交基
§6 对称矩阵的标准形
§3 同构 §4 正交变换
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 正交矩阵
一、定义
标准正交基
注：① 子空间W的正交补记为 W . 即
W V W
② n 维欧氏空间V的子空间W满足: i) (W ) W ii) dimW dimW dimV n iii) W W V ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间.
但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.
§9.5 子空间
§9.5 子空间
一、正交子空间 二、子空间的正交补
§9.5 子空间
一、欧氏空间中的正交子空间
1．定义：
1) V1 与V2 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对
V1, V2 , 恒有 ( , ) 0,
则称子空间 V1 与 V2为正交的，记作 V1 V2 .
2) 对给定向量 V , 如果对 V1, 恒有 ( , ) 0,
m
n
mn
( , ) ( xii , x j j )
xi x j ( i , j ) 0
i 1
jm1
i1 jm1
V1 V2 .
§9.5 子空间设 V2 ,V3 是V1 的正交补，则
V V1 V2 V1 V3
对 V2 , 由上式知 V1 V3
3．内射影
设W是欧氏空间V的子空间，由 V W W ,
对 V , 有唯一的 1 W , 2 W , 使 1 2
称 1 为 在子空间W上的内射影.
§9.5 子空间
即有 1 3 , 1 V1, 3 V3
又 V1 V2 , V1 V3 1 3 , 1,
从而有 ( ,1 ) (1 3 ,1 ) (1,1 ) (3 ,1)
(1,1 ) 0 由此可得 1 0, 即有 V3
同理可证 V3 V2 , V2 V3 .
§9.5 子空间
V2 V3 . 唯一性得证.
矩阵分析引论--第二章 内积空间-内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
目录 上页 下页 返回 结束
第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
V的一个基： 1,2 ,,n
1 1,
2 2 k11
(2 , 1 ) (2 k11, 1 ) (2 , 1 ) k1(1, 1 ) 0
目录 上页 下页 返回 结束
第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
第二节 正交基及子空间的正交关系
正交组：内积空间中两两正交的非零向量组. （必线性无关！）
定义2-3：在 n 维欧氏空间中,由正交组构成的基 称为正交基.
若1,,n是正交基，且i 1(i 1,,n) 则称1 ,, n是 标准正交基(或单位正交基).
k1
(2 , (1,
1) 1)
,
2
2
( 2 (1
, ,
1 1
) )
1;
3 3 k21 k32,
(3,1) 0 (3,2) 0
k2
(3 , 1 ) (1, 1 )
,
k3
(3 , (2,
2) 2)
目录 上页 下页 返回 结束
第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
当( , ) 0时称 , 是正交 的，记为 . 由(0, ) 0，规定零向量0与任意向量正交. 例3: 若 , 则 | |2 | |2 | |2 . 一般，若1 ,2 ,,k是k个两两正交的向量，则：
| 1 2 k |2 | 1 |2 | 2 |2 k .2
推论：对内积空间V的任两向量 , 都有 （1） | || | | | （2） | || | | |
线性代数标准正交基
y
(x, y)
1 1 x , y
x2 y2
x2 y2 x2 y2
x
是与 同方向的单位向量.
o
用非零向量旳长度清除向量, 得到一种与同
方向旳单位向量, 称为把向量单位化。如
( 4,0, 1, 2 )T 21
1
4
21
,
0 , 1 ,
21 21
2 T
21
四、正交向量组 定义2.20 设 , Rn 假如 T=0,则称与正交
则称 1,2 ,...,n 为Rn 旳一种原则正交基. 如 1 (1, 0, ..., 0 )T , 1, 2 ,..., n 为Rn 旳原则正交基.
2 ( 0, 1, ..., 0 )T ,
n ( 0, 0, ..., 1 )T
又如 1 (1, 2, 3 )T
2 ( 0, 1, 2 )T 3 ( 0, 0, 1 )T
QTQ E
1, 2 ,..., n 是单位正交向量组.
1, 2 ,..., n 两两正交,且 1 2 ... n 1
与正交
T 0
一般地, 在 n 维空间Rn 中 1 (1 0 0 ... 0 )T
2 ( 0 1 0 ... 0)T
3 ( 0 0 1 ... 0 )T
i j时,
T i
j
0
i
j
n ( 0 0 0 ... 1 )T
Rn 中旳单位向量组 1,2,…,n 两两正交.
1, 2 ,..., n 称为Rn 中旳 正交单位向量组.
)
k2(
iT
2
)
...
ki
(
iT
i
)
...
ks
(
9.5 子空间(1)
m
例1 证明： 证明：
(V1 + V2 )⊥ = V1⊥ I V2 ⊥ ,(V1 I V2 )⊥ = V1⊥ + V2 ⊥ .
例2 设A是V的正交变换，证明：A的不变子 的正交变换，证明：
空间的正交补还是A的不变子空间. 空间的正交补还是A的不变子空间.
例3 求： x1 − 2 x2 + 3 x3 − 4 x4 = 0,
关于正交的子空间，我们有： 关于正交的子空间，我们有：
定理 1 如果 V1 , V2 , … , Vs 两两正交，那么 两两正交，
V1 + V2 + … + Vs 是直和. 是直和.
证明 设 αi ∈ Vi ，i = 1, 2, … , s , 且
α1+α2+…+αs=0.
与等式两边作内积， 下面来证明 α i = 0 . 用 α i 与等式两边作内积，利 用正交性， 用正交性，得 (α i , α i) = 0 .
空间，如果对于任意的 α ∈ V1 ，β ∈ V2 ，恒有 空间， (α , β ) = 0 . 则称 V1 , V2 为正交的，记为 V1 ⊥ V2 . 一个向量
α ，如果对于任意的 β ∈ V1 ，恒有 (α , β ) = 0 .
则称 α 与子空间 V1 正交，记为 α ⊥ V1 .
2. 正交子空间的性质
α = α1 + α2 ，
其中 α1 ∈ V1 ， α2 ∈ V1 ⊥ . 称 α1 为向量 α 在子空 间 V1 上的内射影.
性质 设V1 是V的子空间，ε1 , ε2 , …, εm 是V1的 的子空间， 的子空间
标准正交基， 标准正交基，则 V 中任一向量 α在V1上的内射影 为