标准正交基
欧式空间标准正交基
欧式空间标准正交基欧式空间是数学中的一个重要概念，它是指一个具有内积的实数或复数向量空间。
在欧式空间中，我们经常会遇到正交基的概念，它是指一组两两正交的向量组成的基。
本文将介绍欧式空间标准正交基的相关概念和性质。
首先，我们来看一下什么是标准正交基。
在欧式空间中，如果一个基中的向量两两正交，并且每个向量的模长为1，则这个基就是标准正交基。
换句话说，标准正交基是一组单位向量，并且两两正交。
标准正交基的性质非常重要。
首先，标准正交基是线性无关的，这意味着任何一个向量都可以由标准正交基线性表示。
其次，标准正交基可以简化内积的计算。
由于标准正交基中的向量两两正交，因此它们的内积为0，这使得内积的计算变得非常简单。
另外，标准正交基还具有方便的几何意义，它们可以用来描述空间中的方向和距离关系。
在实际问题中，我们经常需要将给定的基转化为标准正交基。
这可以通过施密特正交化方法来实现。
施密特正交化是一种将任意线性无关的向量组转化为标准正交基的方法，它可以保持向量空间的维数不变，并且不改变向量的生成性质。
除了施密特正交化方法外，我们还可以通过特征值分解来获得标准正交基。
对于对称矩阵，我们可以通过特征值分解得到一组标准正交基，这对于矩阵的对角化和特征值的计算非常有用。
最后，我们需要注意的是，欧式空间标准正交基在实际问题中具有广泛的应用。
比如在信号处理、图像处理、机器学习等领域，我们经常需要用到标准正交基来描述信号的特征和进行数据分析。
因此，对于标准正交基的理解和运用具有重要的意义。
总之，欧式空间标准正交基是数学中一个重要且有趣的概念，它具有丰富的性质和广泛的应用。
通过本文的介绍，希望读者能够对标准正交基有一个更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
求酉空间的标准正交基
求酉空间的标准正交基一、基向量定义在数学中，一个向量空间的一组向量称为基向量，如果这组向量线性无关，并且可以生成整个空间。
换句话说，空间中的任何一个向量都可以由这组基向量线性表示。
二、正交基的性质正交基是一组两两正交的基向量，即基向量之间的点积为0。
正交基具有以下性质：1. 正交基中的向量是正交的，即任意两个不同基向量的点积为0。
2. 正交基可以生成整个空间，即空间中的任何一个向量都可以由正交基线性表示。
3. 正交基的个数是空间维数，即一个n维空间的正交基的个数是n。
三、标准正交基的定义标准正交基是一种特殊的正交基，其每个基向量的模长都为1，即向量的长度或大小为1。
标准正交基的模长可以通过向量的分量计算得出。
四、构造标准正交基的方法构造标准正交基的方法有多种，以下是一种常用的方法：1. 选取一组线性无关的向量，可以随机选取或者通过其他方法得到。
2. 将这组向量单位化，即将每个向量的模长调整为1。
这可以通过将每个向量的分量除以其模长的平方根得到。
3. 如果这组向量已经两两正交，那么它们就是一组标准正交基。
否则，需要进行正交化过程，即将其中一个向量旋转使得它与另一个向量正交。
这个过程可以通过Gram-Schmidt 过程实现。
五、不同维数酉空间的标准正交基对于不同维数的酉空间，其标准正交基的个数也不同。
例如，一个2维酉空间的标准正交基有两个，而一个3维酉空间的标准正交基有三个。
对于更高维数的酉空间，标准正交基的个数与空间维数相同。
六、特殊酉空间的标准正交基特殊酉空间是指特殊的矩阵空间，如Hermitian矩阵空间和skew-Hermitian矩阵空间等。
在这些特殊矩阵空间中，标准正交基也有其特定的定义和性质。
例如，在Hermitian矩阵空间中，标准正交基是指一组两两正交且都属于Hermitian矩阵的基向量。
这些标准正交基可以通过相应的矩阵变换和特征值分解等方法得到。
七、标准正交基的应用标准正交基在很多领域都有应用，如量子力学、信号处理、图像处理等。
平面向量的正交和标准正交基
平面向量的正交和标准正交基平面向量是平面上具有大小和方向的向量。
在平面向量的研究中，正交和标准正交基是非常重要的概念。
本文将详细介绍平面向量的正交性和标准正交基，并探讨它们在几何和代数中的应用。
一、正交向量在平面向量的研究中，正交向量是一个重要的概念。
两个向量如果夹角为90度，则它们被称为正交向量。
而两个向量的点积（内积）为0时，也可以称它们为正交向量。
假设有两个平面向量A和B，它们的坐标表示分别为A=(x1, y1)和B=(x2, y2)。
如果A·B=0，则向量A和向量B为正交向量。
正交向量的性质之一是它们的内积为零，这可以利用点积的几何意义进行解释。
点积等于向量A在向量B方向上的投影的长度与向量B 的长度的乘积。
因此，若两个向量正交，则其中一个向量在另一个向量的方向上的投影为零，即点积为零。
正交向量在几何上有很多应用，例如在计算两条直线的关系时，可以利用正交向量来判断是否垂直。
此外，在物理学、工程学和计算机图形学等领域中，正交向量也有着广泛的应用。
二、标准正交基在平面向量中，标准正交基是由线性无关的向量组成的集合，并且每个向量都与其他向量正交。
标准正交基的一个重要性质是每个向量的长度都为1，即它们是单位向量。
假设有两个平面向量A和B，它们满足以下条件：1. A和B是线性无关的向量；2. A·B=0；3. A的长度为1，即|A|=1；4. B的长度为1，即|B|=1。
则向量A和向量B为标准正交基。
标准正交基在几何和代数中都有着重要的应用。
在几何中，标准正交基可以用来描述平面上的坐标系，例如笛卡尔坐标系中的单位向量i 和j就是一个标准正交基。
在代数中，标准正交基可以用来表示向量空间的基，通过标准正交基可以简化向量的表示和计算。
另外，标准正交基还可以用于求解线性方程组和矩阵的特征向量等问题。
通过将向量表示为标准正交基的线性组合，可以将复杂的运算问题简化为基本的代数运算。
总结：平面向量的正交和标准正交基是平面向量研究中的重要概念。
标准正交基下的矩阵
标准正交基下的矩阵是正交矩阵，也称为标准正交矩阵。
标准正交矩阵是指行向量或列向量构成标准正交基的方阵。
标准正交基是单位坐标向量组，其中每个向量的模长为1，并且任意两个向量都垂直。
标准正交基下的矩阵的行向量或列向量也是单位坐标向量，因此，它们是单位向量。
同时，任意两行或两列之间都满足正交条件，即它们的点积为0。
标准正交基下的矩阵具有一些重要的性质，例如它的行列式值为1或-1，它的转置
矩阵等于它的逆矩阵等。
这些性质使得标准正交基下的矩阵在许多数学领域和工程领域中都具有重要的应用价值。
在实际应用中，我们可以通过计算向量之间的点积来检查一个矩阵是否是标准正交矩阵。
如果一个矩阵的行向量或列向量是标准正交基，那么它就是标准正交矩阵。
此外，我们也可以通过计算矩阵的行列式值、转置矩阵和逆矩阵等来验证一个矩阵是否是标准正交矩阵。
2第二节 标准正交基
事实上，设
α=x1ε1 +x2ε2+…+xnεn.
用εi与等式两边作内积，即得 xi=(εi, α), (i=1,2, …, n).
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在标准正交基下，内积有特别简单的表达式. 设
α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn.
β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn. 那么
(α, β)=x1y1+x2y2+…+xnyn=XTY.
ATA=E
即得
AAT=E
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写出来就是
1 ,当 i j ;
ai1a j1 ai2a j2
aina jn
0
,当
i
j.
(7)
(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与
行之间的关系. 这两组关系是等价的.
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例2 考虑定义在闭区间[0, 2π]上一切连续函数所作 成的欧氏空间C[0, 2π]. 函数组
k1α1+k2α2+…+kmαm=0 . 用αi (i=1,2, …, m)与等式两边作内积，即得
ki(αi , αi)=0 .
由αi ≠0 ，有(αi , αi)>0 ，从而ki=0 (i=1,2, …, m). 这 就证明了a1, a2,…,am是线性无关的. 证毕.
这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交 的非零向量不能超过n个.
3
(1,
1,
1,
1).
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第二步再单位化，便得到单位正交的向量组为
§9-2标准正交基
§9-2 标准正交基复习欧氏空间的概念、两向量正交的定义、度量矩阵的定义及性质。
一、概念定义5: 欧氏空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，则称为一个正交向量组。
例1: 向量(),0101=α()1012=α，()1013-=α构成3R 的一个正交组。
事实上，很容易验证 ()0=j iαα3,2,1,=j i例2: 在()π20C 上，函数组 1，cosx, sinx, … cos nx, sin nx … 构成()π20C 上的一个正交组。
事实上，我们有ππ2120=⎰dx ；⎩⎨⎧≠==⎰nm nm nxdx mx ,0,cos cos 20ππ； ⎩⎨⎧≠==⎰nm nm n x d x mx 0,sin sin 20ππ； 0sin cos sin cos 202020===⎰⎰⎰πππnxdx nxdx nxdx mx所以 ()()0sin 1cos 1==nx nx ；()()()0sin ,sin ,cos sin ,cos ===nx mx coxnx mx nx mx ， 当n m ≠时一般情况下，正交向量组是对两个或两个以上的向量而言，对于特殊情况我们规定：单个非零向量所成的向量组是正交向量组。
由正交向量组的定义很容易得出以下结论： 1、正交向量组一定是线性无关的。
证明：设m ααα ,,21正交，欲证其无关设有关系式 02211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边做内积，由于()0=j iαα当j i ≠时所以可得 ()0i=i i k αα 而()i i αα﹥0 所以()m i k i 2,1,0==注①：此定理的逆不成立，即无关的向量组不一定是正交的。
如()3,2,11=α，()0,1,22=α无关（不成比例），但()0421≠=αα注②：相关的向量组一定是不正交的。
于是可得2、在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
事实上，在n 维空间中，任何n+1个向量都是相关的。
四规范正交基(标准正交基)
例2 设
1 1 4 1 2 , 2 3 , 3 1 , 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 解 取
b1 1;
1 b1 1 e1 2 b1 6 1
b2 e2 b2
1 1 1 3 1
b3 3
3 , b1 b 3 , b2 b
b1
2 1
b2
2
2
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1
e3
0 0 1 2 1 2
0 0 1 e4 2 1 2
由于 所以
e
i
,e j
1 0
i j i j
(i,j=1,2,3,4)
e1 ,e2 ,e3 ,e4
1 b2 1 则e2 2 b2 2 1
1 2 取b2 2 2 , e1 e1 1 1 2
3 再把 α31
1 0 它的基础解系为 1 0 , 2 1 1 1
令 1 1 , 2 2 ,
则 α3 与α1,α2 正交,显然α1与α2 线性无关,
施密特标准正交化.
因此可用
1 b1 1 取b1 = α1 , 则e1 0 , b1 2 1
b2 2 2 , e1 e1
b1 b1 2 2 , b1 b1
2
标准正交基
标准正交基一、标准正交基的定义及相关概念1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,);（3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,);（4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0;这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。
2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
二、标准正交基的相关性质1、正交向量组的性质：（1）正交向量组是线性无关的。
证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。
（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。
（3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。
）2、标准正交基的性质：（1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εεj i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。
（2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。
例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212100,212100,002121,0021214321e e e e由于⎪⎩⎪⎨⎧====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e ji j i所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。
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ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
3 (1,0,0,1) 4 (1, 1, 1,1)
变成单位正交的向量组. 解：令
tii 0, i 1,2,, n
§2 标准正交基
② Schmidt正交化过程:
1 先把线性无关的向量组 1 ,, m
化成正交向量组 1 , 2 ,, m . ( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 , ( 1 , 1 ) j 1 ( j , i ) j j i , j 2,3,, m; i 1 ( i , i )
( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 ) (1, 1, 1,1)
§2 标准正交基
再单位化
1 1 1 1 ( , ,0,0) | 1 | 2 2
故 1 , 2 ,, m 线性无关.
§2 标准正交基
③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如： R 3 中 1 (1,1,0), 2 (1,0,1) 线性无关． 但 1 , 2 不是正交向量组.
(1 , 2 ) 1 0.
④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
m 1
1 | m 1 |
m 1 .
可知 1 ,2 , ,m ,m 1 是单位正交向量组． 从(4)和(5)知 1 ,2 ,,m ,m 1 与 1 , 2 ,, m , m 1 是等价向量组， 因此，有
L( 1 , 2 ,, m 1 ) L(1 ,2 ,,m 1 )
由归纳原理，定理2得证.
§2 标准正交基
注：
① 由 L( 1 , 2 ,, i ) L(1 ,2 ,,i ), i 1,2, , n 知，若
(1 ,2 ,,n ) ( 1 , 2 ,, n )T ,
则过渡矩阵 T ( t ij ) 是上三角形（即 t ij 0, i j ） 且
② ( , ) x1 x2 y1 y2 z1 z2
③ | |
x1 y1 z1
2 2
2
④ , arccos
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
R 3中的与内积有关的度量性质有 即在基 i , j , k 下，
(4)
m 1 m 1 k11 k22 kmm ,
即
m 1 m 1 ( m 1 ,i )i
i 1
m
( m 1 ,i ) ki (i ,i )
(5)
§2 标准正交基
则 m 1 0 且 ( m 1 ,i ) 0, i 1,2,, m 再设
1 1 (1,1,0,0)
正交化
( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0) ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
L( 1 , 2 ,, i ) L(1 ,2 ,,i ), i 1,2,, n
基本方法─逐个构成出满足要求的 1 ,2 ,,n . 证：
首先，可取
§2 标准正交基
1
1 | 1 |
1 .
一般地，假定已求出 1 ,2 , ,m 是单位正交的 ，且
1 正交化
1 1 1
§2 标准正交基
( 2 , 1 ) 2 2 1 ( 1 , 1 )
( 2 , 1 ) xdx 0,
1
1
2 2 x
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
i 1
n
这里
x1 1 x2 2 xn n，
y1 1 y2 2 yn n .
(iii) | |
§2 标准正交基
x12 xn 2
3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
1）
(定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能
1 , 2 ,, m , 1 , 2 , , k
成为一组正交基. 现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n ,
所以必有向量 不能被 1 , 2 ,, m 线性表出，
作向量
m1 k11 k2 2 km m ( 0)
简单的表达形式.
§2 标准正交基
2. 标准正交基的定义
n 维欧氏空间中，由 n个向量构成的正交向量组
称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基.
§2 标准正交基
② n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基
L( 1 , 2 ,, i ) L(1 ,2 ,,i ), i 1,2, , m
当 m n 时，因为有 m 1 L( 1 , 2 ,, m ), 由(4)知 m 1不能被 1 ,2 , ,m线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量
3 2 8 4 2 ( 4 , 4 ) ( x x ) dx ( ) , 1 5 175 5 14
1
4 4 0 1 2 0 3 x 3 3 x 5
§2 标准正交基
2 5 2 3
2 单位化
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2 ( 2 , 2 ) x dx , 1 3
1 2
1 2 8 4 2 ( 3 , 3 ) ( x ) dx ( ) , 1 3 45 3 10
1
1 1 2 2 2 ( , , ,0) | 2 | 6 6 6
1
3
3 ( 1 , 1 , 1 , 3 ) | 3 | 12 12 12 12
1
1
1 1 1 1 4 4 ( , , , ) | 4 | 2 2 2 2
1 ,2 ,3 ,4 即为所求．
i 1,2,, m .
即 1 , 2 ,, m , m1 为正交向量组． 由归纳法假设知，对这 m 1 个向量构成的正交组 可扩充得正交基.
§2 标准正交基
于是定理得证．
2） (定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基 1 , 2 , , n 都可找到一组标准正交基 1 ,2 ,,n , 使
( 4 , 1 ) x 3dx 0,
1
1 2 2 2 4 ( 4 , 2 ) x dx , ( 2 , 2 ) 1 x dx , 1 3 5 1 1 3 2 ( 4 , 3 ) x ( x )dx 0, 1 3 1
2 ( 3 , 1 ) x dx , 1 3
1 2
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1
( 3 , 2 ) x 3dx 0,
1
1
1 3 3 1 0 2 x 2 3
2
2 3
§2 标准正交基
( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 )
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 , 2 ,, m V , 如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组.
§2 标准正交基
证：设非零向量 1 , 2 ,, m V 两两正交. 令 则
k11 k2 2 km m 0, ki R,