内积与标准正交基
已知标准正交基求内积
已知标准正交基求内积内积是线性空间的一种运算，表示向量之间的乘法运算。
在标准正交基的情况下，内积的计算可以简化为向量的坐标之间的乘积和的形式。
本文将介绍什么是标准正交基，并给出求解内积的公式和示例。
首先，我们需要了解标准正交基的概念。
在n维线性空间中，如果一个向量组S={v1, v2, ..., vn}满足以下条件：1. 向量组中的各向量长度都为1，即||vi||=1，其中i=1,2,...,n；2. 向量组中的任意两个不同的向量互相正交，即vi⋅vj=0，其中i≠j；那么，这个向量组S就是标准正交基。
对于标准正交基中的向量vi和vj，我们可以用它们的坐标表示为Vi=[xi1, xi2, ..., xin]和Vj=[xj1, xj2, ..., xjn]。
此时，向量vi⋅vj的计算可以简化为它们坐标之间的乘积和：vi⋅vj = xi1 * xj1 + xi2 * xj2 + ... + xin * xjn下面，我们来看一个求解内积的例子。
假设有一个三维线性空间，其标准正交基为{v1, v2, v3}，其中：v1 = [1, 0, 0]v2 = [0, 1, 0]v3 = [0, 0, 1]现在，我们要计算向量a = [2, 3, 4]和向量b = [5, 6, 7]的内积。
首先，我们需要将向量a和向量b分别表示为标准正交基中的坐标形式：a = 2 * v1 + 3 * v2 + 4 * v3 = 2 * [1, 0, 0] + 3 * [0, 1, 0] + 4 * [0, 0,1] = [2, 3, 4]b = 5 * v1 + 6 * v2 + 7 * v3 = 5 * [1, 0, 0] + 6 * [0, 1, 0] + 7 * [0, 0, 1] = [5, 6, 7]然后，我们将两个向量的坐标逐一相乘并求和，即可得到内积的结果：a⋅b = 2 * 5 + 3 * 6 + 4 * 7 = 10 + 18 + 28 = 56因此，向量a和向量b的内积为56。
四规范正交基(标准正交基)
例2 设
1 1 4 1 2 , 2 3 , 3 1 , 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 解 取
b1 1;
1 b1 1 e1 2 b1 6 1
b2 e2 b2
1 1 1 3 1
b3 3
3 , b1 b 3 , b2 b
b1
2 1
b2
2
2
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1
e3
0 0 1 2 1 2
0 0 1 e4 2 1 2
由于 所以
e
i
,e j
1 0
i j i j
(i,j=1,2,3,4)
e1 ,e2 ,e3 ,e4
1 b2 1 则e2 2 b2 2 1
1 2 取b2 2 2 , e1 e1 1 1 2
3 再把 α31
1 0 它的基础解系为 1 0 , 2 1 1 1
令 1 1 , 2 2 ,
则 α3 与α1,α2 正交,显然α1与α2 线性无关,
施密特标准正交化.
因此可用
1 b1 1 取b1 = α1 , 则e1 0 , b1 2 1
b2 2 2 , e1 e1
b1 b1 2 2 , b1 b1
2
内积空间的标准正交基与施密特正交化
内积空间的标准正交基与施密特正交化在线性代数中，内积空间是一种具有内积运算的向量空间。
内积空间的一个重要性质是存在标准正交基，也可以通过施密特正交化方法得到正交基。
本文将介绍内积空间的标准正交基及施密特正交化方法，并分析它们在向量计算和应用中的重要性。
一、内积空间的标准正交基在内积空间中，向量的内积运算满足线性性、正定性和对称性等性质。
一个向量空间的标准正交基是指基向量两两正交且长度为1的基向量组。
对于内积空间中的任意两个不同的标准正交基，它们之间的过渡矩阵是正交矩阵。
为了构造内积空间的标准正交基，可以使用Gram-Schmidt正交化过程。
设V是一个内积空间，有n个线性无关的向量v1, v2, ..., vn，我们可以通过以下递推公式构造一个标准正交基：u1 = v1 / ||v1||u2 = (v2 - proj(v2, u1)) / ||(v2 - proj(v2, u1))||...un = (vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1)) / ||(vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1))||其中，proj(v, u)表示向量v在向量u上的投影。
通过Gram-Schmidt正交化过程，我们可以将任意线性无关的向量组转化为一个标准正交基。
标准正交基在计算和解决向量空间相关问题时非常有用，可以简化计算过程并提高计算效率。
二、施密特正交化方法施密特正交化是一种将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法，并不要求正交向量组是标准正交基。
施密特正交化方法在实践中非常常用，特别是在信号处理、图像处理等领域。
给定一个向量空间V和线性无关向量组v1, v2, ..., vn，施密特正交化过程可以通过以下递推公式实现：u1 = v1u2 = v2 - proj(v2, u1)...un = vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1)在施密特正交化过程中，我们首先将第一个向量保持不变。
矩阵论练习16（内积与标准正交基）
a. \(\beta_1=\alpha_1=1\) b. \(\\alpha_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1 = x\) c. \(\beta_3=\alpha_3 - \frac{<\alpha_3,\beta_2>}{<\beta_2,\beta_2>}\beta_2 - \frac{<\alpha_3,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1 = x^2 - \frac{1}{3}\)
由以上步骤可以看出，内积的定义决定了什么样的基是正交基，同时内积的定义方式也影响向量的长度。
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矩阵论练习 16（内积与标准正交基）
题目
在 \(V=R_3[x]\) 中定义内积：\(<f(x),g(x)>=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx\)，求 \(V\) 的一组标准正交基。
解答
思路：先找出一组基，再 Schmidt 正交化，然后再标准化即可。
上面省略中间计算步骤，比如要求 \(<\alpha_2,\beta_1>\)， \(<\alpha_2,\beta_1>=\int_{-1}^1 (x\cdot 1) dx=0\).
3. 标准化 a. \(\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\| \beta_1 \|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) b. \(\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\| \beta_2 \|}=\sqrt{\frac{3}{2}}x\) c. \(\gamma_3 = \frac{\beta_3}{\| \beta_3 \|}=\sqrt{\frac{45}{8}}(x^2-\frac{1}{3})\) 其实就积分，要算 \(\| \beta_1 \|\), \(\| \beta_1 \|=\sqrt{<\beta_1,\beta_1>}=\sqrt{\int_{-1}^1 (1\cdot 1)dx}=\sqrt{2}\) 其余计算这里就不计算了。
标准正交基
标准正交基一、标准正交基的定义及相关概念1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,);（3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,);（4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0;这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。
2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
二、标准正交基的相关性质1、正交向量组的性质：（1）正交向量组是线性无关的。
证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。
（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。
（3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。
）2、标准正交基的性质：（1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εεj i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。
（2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。
例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212100,212100,002121,0021214321e e e e由于⎪⎩⎪⎨⎧====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e ji j i所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。
内积空间的标准正交基
线性无关性的证明可以通过构造一个行列式来证明，该行列式的值等于所有线性组合系数的乘积，如 果该行列式的值为零，则说明存在一组不全为零的实数，使得线性组合等于零向量，从而证明了线性 无关性。
03 标准正交基的构造方法
正交化过程
01
选取一组线性无关的向量作为初始基底。
02
通过正交化过程，将这组线性无关的向量转化为正交向量组。
内积空间的标准正交基
目录
• 引言 • 标准正交基的性质 • 标准正交基的构造方法 • 标准正交基的应用 • 标准正交基的例子
01 引言
什么是内积空间
交换律
01
x·y=y·x
分配律
02
z·(x+y)=z·x+z·y
非负性
03
x·y≥0
内积空间的标准正交基的定义
• 标准正交基是指由单位向量组成的向量组，这些单位向量两两正交，即它们的点积为0。对于一个内积空间，如果存在一组 线性无关的向量，它们两两正交并且模长为1，那么这组向量就构成了该内积空间的标准正交基。
VS
描述
这n个基向量是正交的，即它们的内积都为 0。同时，它们的模都为1，即对于每一个 基向量，其各分量平方和都等于1。
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正交性
两两正交
标准正交基中的向量两两正交，即对于任意两个不同的向量$e_i$和$e_j$，如果$i neq j$，则$e_i cdot e_j = 0$。
正交化过程
在构造标准正交基时，需要先选择一组线性无关的向量，然后通过正交化过程将 它们转化为正交基。
基的唯一性
唯一性定理
对于同一个内积空间，如果存在两个不同的标准正交基，则 这两个基之间可以通过一个可逆线性变换相互转化。
线性代数-N维向量空间-第5节-标准正交基
n
[, ] = i=1aibi = T.
第四章 n维列向量空间
2. 内积的基本性质
(1) 对称性: [, ] = [, ];
§ 4.5 内积与正交矩阵
(2) 线性性: [k11+k22,] = k1[1, ]+k2[2,];
(3) [, ] 0; 且[, ] = 0 = 0 .
(3) 三角不等式(Triangle Inequality):
| +| |||| + ||||.
第四章 n维列向量空间
§ 4.5 内积与正交矩阵
5. 长度为1的向量称为单位向量(unit vector).
对于非零向量, ||||1是一个单位向量.
——单位化/标准化(normalize).
(i,j1,2,
i j
,n),
故Ae1，Ae2，…，Aen也是一个标准正交组.
第四章 n维列向量空间
§4.5 内积与正交矩阵
§4.5 内积与正交矩阵
一. Rn中向量的内积, 长度和夹角
1. 设 =(a1, a2, …, an)T, =(b1, b2, …, bn)T,
则称实数
n
i=1aibi
为向量
与
的内积
(inner/dot/scalar product).
记为[, ], 即
(4) (Cauchy-Schwartz Inequality) |[, ]| [, ] [, ].
考察y = [, ]x2 + 2[, ]x + [, ].
n
=
i=1
(xai
+
bi)2
0
5.3 n维向量空间的正交化
返回
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 则称 为正交矩阵 . 2. 性质
(1) A = A , (2) A = A = I =1.
T T 2
正交矩阵的乘积也是正 交矩阵. T T T T 设 A A = AA = I B B = BB = I , 则
β1 = (β1 , β1 )
4 4 1 = (α1 , α1 ) + (α2 , α2 ) + (α3 , α3 ) = 1 , 9 9 9 同样 ，β2 = β3 = 1 .
α2 = X1 = (1, 0, − 1) , ( X2 , α2 ) 1 α3 = X2 − α2 = (0, 1, − 1) − (1, 0, − 1) (α2 , α2 ) 2
1 = (− 1, 2, − 1) . 2
返回
将 X1 , X2 正交化：
例4 将 α1 = (1, 1, 1) , α2 = (1, 2, 1) ,α3 = (0, − 1, 1) 标准正交化. 解 设 β1 = α1 = (1, 1, 1), 4 (α2 , β1 ) β2 = α2 − β1 = (1, 2, 1) − (1, 1, 1) 3 (β1 , β1 )
是 Rn 的标准正交基 .
1 1 1 1 0 0， ，3 = (0， 0) 1 α1 = ，， ，2 = − ， α α ， 2 2 2 2 3 是 R 的标准正交基 .
返回
α1 , α2 ,L,αs 满足： (1) (αi , α j ) = 0 , (i ≠ j, αi ≠ 0, α j ≠ 0) (2) αi = 1, (i = 1, 2,L, s) ( α Lα 则称α1， 2， ， s 为标准 规范)正交向量组.
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定义12 设有n 定义12 设有 维向量 x1 x2 x = , ⋮ x n
y1 y2 y = , ⋮ y n
令 ( x, y ) = x1 y1 + x2 y2 + ⋯ + xn yn 称 ( x, y )为向量 x 与 y 的 内积。
[e i , e j ] = 0, i ≠ j且i , j = 1,2,3,4. 由于 [e i , e j ] = 1, i = j且i , j = 1,2,3,4.
所以 e1 , e 2 , e 3 , e 4为 R 4的一个规范正交基 .
同理可知
1 0 0 0 0, ε = 1, ε = 0, ε = 0. ε1 = 2 3 4 0 0 1 0 0 0 0 1
二、向量的长度及性质
定义2 定义2 令
x =
[x, x] =
2 2 2 x1 + x2 + ⋯ + xn ,
称 x 为 n 维向量 x 的 长度 (或 范数 ).
向量的长度具有下述性质： 向量的长度具有下述性质： 1. 非负性当 x ≠ 0时, x > 0;当 x = 0时, x = 0; 2. 齐次性 λx = λ x ;
解 设 α 3 = ( x1 , x 2 , x 3 )T ≠ 0, 且分别与 α 1 , α 2正交 .
则有 (α 1 , α 3 ) = ( α 2 , α 3 ) = 0
即
(α1 , α 3 ) = x1 + x2 + x3 = 0 (α 2 , α 3 ) =x1 − 2 x2 + x3 = 0
解
− 1 2 1 3 1 (1) − 1 2 1 1 2 13 1 2 − 1
考察矩阵的第一列和第二列， 考察矩阵的第一列和第二列， 由于
1 1 1 1 1 × − + − × 1 + × ≠ 0, 3 2 2 2
所以它不是正交矩阵． 所以它不是正交矩阵．
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 = a 3 − b1 − b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] 8 − 14 (0,−2,−1,3) = (1,1,−2,0) = (3,5,1,−1) − (1,1,1,1) − 4 14 单位化， 再单位化， 得规范正交向量组如下 b1 1 1 1 1 1 e1 = = (1,1,1,1) = , , , b1 2 2 2 2 2 b2 1 −2 −1 3 (0 , − 2 , − 1 , 3 ) = 0 , e2 = , , = b2 14 14 14 14 b3 1 1 1 −2 (1,1, − 2 ,0 ) = , , ,0 e3 = = b3 6 6 6 6
用施密特正交化方法， 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 a1 = (1,1,1,1), a 2 = (1,−1,0,4), a 3 = ( 3,5,1,−1) 正交规范化. 正交规范化 正交化， 解 先正交化，取 b1 = a1 = (1,1,1,1) [b1 , a2 ] b b2 = a2 − [b1 , b1 ] 1 1−1+ 4 (1,1,1,1) = (0,−2,−1,3 ) = (1,−1,0,4 ) − 1+1+1+1
⋯⋯⋯⋯
[b1 , a r ] [b2 , a r ] [br −1 , a r ] br = a r − b1 − b2 − ⋯ − br −1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br −1 , br −1 ]
那么b1 ,⋯, br 两两正交 , 且b1 ,⋯, br 与a1 ,⋯a r 等价.
3. 三角不等式 x + y ≤ x + y .
n 单位向量及 维向量间的夹角
1 (1) 当 x = 1时, 称 x 为 单位向量。若x ≠ 0, 可知 x为单位向量。 || x || (2) 当 x ≠ 0, y ≠ 0时,θ = arccos ( x, y ) x y 称为向量x与y的夹角。
例 求向量 α = (1,2,2,3 )与β = (3,1,5,1)的夹角.
1 9 8 −9 4 − 9
8 9 1 9 4 − 9 −
4 1 9 4 = 0 − 9 0 7 9 −
T
0 1 0
0 0 1
所以它是正交矩阵． 所以它是正交矩阵．
例６ 验证矩阵
解
1 1 1 1 − − 2 2 2 2 1 −1 −1 1 2 2 2 是正交矩阵 . P= 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 P的每个列向量都是单位 向量, 且两两正交 ,
α1 α 2 T T ⇔ (α 1 ,α 2 ,⋯,α T ) = E n ⋮ α n T α1 α1 α1 αT ⋯ α1 αT 2 n T T T α 2 α1 α 2 α 2 ⋯ α 2 α n ⇔ =E ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ α T α T ⋯ α T n α1 nα2 nαn
３ 正交向量组的性质
α ⋯α 定理1 若n维向量 α 1, 2 , , r 是一组两两正交的
非零向量, α ⋯ α 线性无关. 非零向量,则α 1, 2 , , r 线性无关.
证明 设有 λ1 , λ2 ,⋯, λr 使 λ1α 1 + λ2α 2 + ⋯ + λα r = 0
T λ1α 1 α 1 = 0 以 a 左乘上式两端 , 得
内积的运算性质
(其中 x , y , z 为n维向量 , λ为实数 ) :
(1) ( x, y ) = ( y, x); (2)(kx, y ) = k ( x, y ); (3)( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z ) (4)( x, x) ≥ 0, 且( x, x) = 0 ⇔ x = 0.
x1 = − x3 , x2 = 0. x1 − 1 α 3 = x2 = 0 若令 x3 = 1, 则有 x 1 3
解之得
构成三维空间的一个正交基. 由上可知α 1 ,α 2 ,α 3 构成三维空间的一个正交基
５ 规范正交基
则有 y =
y y=
T
x P Px =
T T
x x= x.
T
判别下列矩阵是否为正交阵． 判别下列矩阵是否为正交阵．
1 9 − 8 (2 ) 9 4 − 9 8 − 9 1 9 4 − 9 4 − 9 4 . − 9 7 9
− 1 2 1 3 1 (1) − 1 2 1 1 2 , 13 1 2 − 1
定义3 设n维向量 e1 , e2 ,⋯ , er是向量空间 V (V ⊂ R n )的一个基 , 如果e1 , e2 ,⋯ , er两两正交且都是单位 向量, 则称e1 , e2 ,⋯ , er 是 V的一个规范正交基 . 例如
1 2 1 2 0 0 1 2 − 1 2 0 , e 0 . e1 = , e2 = , e3 = 4 = 1 2 1 2 0 0 1 2 − 1 2 0 0
范正交化. 若a1 , a 2 ,⋯, a r 为向量空间 V的一个基 , （1）正交化，取 b1 = a1 ， ）正交化， [b1 , a2 ] b , b2 = a2 − [b1 , b1 ] 1
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 = a 3 − b1 − b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
也为R 也为 4的一个规范正交基 .
四、正交矩阵与正交变换
定义4 定义4 若n阶方阵 A满足 AT A = E (即A− 1 = AT ), 则 称A为 正交矩阵 . 定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都 是单位向量且两两正交． 是单位向量且两两正交． 证明 A AT = E a11 a12 ⋯ a1n a11 a21 ⋯ an1 a21 a22 ⋯ a2n a12 a22 ⋯ an2 = E ⇔ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a a an2 ⋯ ann 1n a2n ⋯ ann n1
α ⋅ β = 18 = 2 解 ∵ cosθ = 3 2⋅6 2 α β π ∴θ = .
4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当( x, y ) = 0时, 称向量x与y 正交 .
由定义知 , 若 x = 0, 则 x 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交， 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 量组为正交向量组．
由于
1 9 8 (2 ) − 9 4 − 9
8 9 1 9 4 − 9 −
8 − 9 1 9 4 − 9
4 9 4 − 9 7 9 −
4 − 9 4 − 9 7 9
1 9 − 8 9 4 − 9
1, 当 i = j; ⇔ α i α = δ ij = 0, 当 i ≠ j
T j
(i , j = 1,2,⋯, n )
定义5 为正交阵， 定义5 若 P 为正交阵，则线性变换y = Px 称为正 交变换． 交变换． 性质 证明 例５ 正交变换保持向量的长度不变． 正交变换保持向量的长度不变． 设y = Px为正交变换 ,
所以P是正交矩阵 .
６ 求规范正交基的方法