2019-2020学年高考数学一轮复习讲义 第24课时 基本不等式 理.doc
(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习第二章不等式2.4基本不等式及其应用讲义(含解析)
§2.4 基本不等式及其应用最新考纲考情考向分析掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ＞0)及其应用.理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识．常在解答题中考查，难度为中档.1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．[P100A 组T1]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．[P100A 组T2]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m,0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2. 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.5．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，等号成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.6．(2018·温州市适应性考试)已知2a＋4b＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为________． 答案 0解析 因为2＝2a＋4b≥22a ＋2b，当且仅当a ＝b ＝0时等号成立，所以a ＋2b ≤0，即a ＋2b的最大值为0.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)(2019·台州质检)当x >0时，x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，则实数a 的值为________．答案 4解析 因为当x >0，a >0时，x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1≥2a －1，当且仅当x ＋1＝ax ＋1时，等号成立，又x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，所以2a －1＝3，解得a ＝4.命题点2 常数代换法例2(2018·浙江部分重点中学调研)已知a >0，b >0，且满足a ＋2b ＝2.若不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，则实数t 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94解析 因为对于任意的a >0，b >0，a ＋2b ＝2，不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，即1a ＋2b ＋1≥t 恒成立．因为1a ＋2b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b ＋12＝54＋b ＋12a ＋a 2(b ＋1)≥54＋1＝94，当且仅当b ＋12a ＝a 2(b ＋1)，即a ＝b ＋1＝43，b ＝13时，取到最小值，所以t ≤94. 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．跟踪训练1(1)(2018·杭州高级中学高考仿真测试)若正数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A.22B.2C.32D. 3 答案 D解析 由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝12x －x 2，所以2x ＋y ＝2x ＋12x －x 2＝32x ＋12x ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≥3x ·1x ＝3，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立，此时y ＝33，符合题意，所以2x ＋y 的最小值为3，故选D.(2)(2018·浙江绍兴一中模拟)已知x ，y >0，且x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，则3x －716y 的最小值是________． 答案 －14解析 因为x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，所以3x －716y ＝3x －716y ＋x ＋y ＋1x ＋12y －194＝x ＋4x ＋y ＋116y －194≥92－194＝－14，当且仅当x ＝4x ，y ＝116y ，即x ＝2，y ＝14时，取等号．题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3B ．4C.83D.103答案 A解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23n AN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n＝53＋43＝3， 当且仅当m ＝n ＝1时等号成立． 命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·杭州七校联考)设x ，y 是正实数，若不等式x 4x ＋y ＋y x ＋4y ≤a ≤x x ＋4y ＋y4x ＋y 恒成立，则实数a 的值是________． 答案 25解析 令t ＝y x>0，则x 4x ＋y ＋y x ＋4y ＝14＋y x ＋yx1＋4y x＝14＋t ＋t 1＋4t ＝14＋t －14＋16t ＋14＝4＋16t －4－t (4＋t )(4＋16t )＋14＝15t 16＋68t ＋16t 2＋14＝1516t ＋16t＋68＋14≤15100＋14＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≥25.又x x ＋4y ＋y 4x ＋y ＝11＋4y x ＋yx4＋y x＝11＋4t ＋t 4＋t ＝11＋4t －44＋t＋1＝4＋t －4－16t (1＋4t )(4＋t )＋1＝1－15t4＋17t ＋4t2＝1－154t ＋4t＋17≥1－1525＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≤25.综上，a ＝25.跟踪训练2(2018·金华名校统练)已知正实数x ，y 满足x －y >0，x ＋y －2≤0，若m ≤2x ＋3y＋1x －y恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3＋224解析2x ＋3y ＋1x －y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ×44≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y 4＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·x ＋3y －y ＋x 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2(x －y )x ＋3y ＋x ＋3y x －y ≥14⎝⎛⎭⎪⎫3＋2 2(x －y )x ＋3y ·x ＋3y x －y ＝3＋224， 当且仅当x ＋y ＝2，2(x －y )x ＋3y ＝x ＋3yx －y 时取等号，此时x ＝22－1，y ＝3－22，符合题意， 所以2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为3＋224，即m ≤3＋224.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1， 每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1， 即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 3．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( )A.53B ．3C ．5D ．9 答案 D解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.5．(2018·杭州模拟)若实数x ，y ，z 满足2x＋2y＝2x ＋y,2x＋2y ＋2z ＝2x ＋y ＋z，则z 的最大值为( ) A ．2－log 23 B ．2＋log 23 C.43 D ．log 23答案 A 解析 因为2x ＋y＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以2x ＋y≥4.又2x＋2y＋2z＝2x ＋y ＋z，所以2x ＋y＋2z ＝2x ＋y·2z，所以2z＝2x ＋y2x ＋y －1＝1＋12x ＋y －1，由2x ＋y ≥4得2z的最大值为43，从而z 的最大值为2－log 23.6．(2018·嘉兴市教学测试)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．53B ．9C ．4＋26D ．10 答案 B解析 由题意可知(x ＋y )2＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋8＝5＋8(x ＋y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ，由基本不等式可知y x＋4x y≥2y x ·4x y＝4(当且仅当y ＝2x 时取等号)，令t ＝x ＋y (t >0)，则t 2≥5＋8t ＋4，即t 2－8t －9＝(t －9)·(t ＋1)≥0，得t ≥9，从而当x ＝3，y ＝6时，x ＋y 取得最小值，最小值为9，故选B.7.(2019·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32B ．2C.52D.92 答案 D解析 设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1， ∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →， 则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立．故1x ＋4y 的最小值为92，故选D. 8．(2018·湖州五校模拟)已知x 2－3xy ＋2y 2＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.10－6 B.10＋6 C ．210＋6 D ．210－6答案 D解析 方法一 ∵x 2－3xy ＋2y 2＝(x －y )(x －2y )＝1，∴可设x －y ＝t ，x －2y ＝1t(t ≠0)，∴x＝2t －1t ，y ＝t －1t，代入所求式子得x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝5t 2＋2t2－6≥210－6，当且仅当5t 2＝2t2时等号成立，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.方法二 设x 2＋y 2＝t 2，x ＝t cos θ，y ＝t sin θ，代入已知等式得，t 2cos 2θ－3t 2sin θcos θ＋2t 2sin 2θ＝1，∴1t 2＝cos 2θ－3sin θcos θ＋2sin 2θ＝1－32sin2θ＋1－cos2θ2＝32－12(3sin2θ＋cos2θ)＝32－12×10·sin(2θ＋φ)≤3＋102，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010. ∴t 2≥23＋10＝210－6，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.9．(2018·绍兴市适应性考试)已知正数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则当x ＝________时，1x－y 取得最小值为________． 答案2222－2 解析 因为x ，y 为正数，则2x ＋y ＝2⇒y ＝2－2x >0⇒0<x <1，所以1x －(2－2x )＝1x＋2x －2≥22－2，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时等号成立．10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ， 代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab＝8，当且仅当ab ＝1时取等号． 所以1a ＋1b≥22，即1a ＋1b的最小值为2 2.11．(2019·嘉兴市基础测试)若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________． 答案 18解析 ∵2m ＋n ≥22mn ，∴mn ＝2m ＋n ＋6≥22mn ＋6，即mn ≥22mn ＋6，令t ＝2mn >0，则12t 2≥2t ＋6，解得t ≤－2或t ≥6，又t >0，∴t ≥6，即2mn ≥6，∴mn ≥18，当且仅当2m ＝n ＝6时，等号成立，故mn 的最小值为18.12．(2018·绍兴市上虞区质检)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则z 的最小值是________． 答案 －19解析 因为1－9z 2＝(x ＋2y )2－2·x ·2y ≥(x ＋2y )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，又x ＋2y ＝1－3z ，则1－9z 2≥12(1－3z )2，解得－19≤z ≤13，即z 的最小值为－19.13．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数x ，y 满足x ＋2y ＋3＝xy ，且对任意的实数x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，21510B ．(－∞，25]C ．[25，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫21510，＋∞ 答案 A解析 因为x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，所以x ＋y －3>0，所以不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0可转化为(x ＋y －3)＋1x ＋y －3≥a .令t ＝x ＋y －3，t >0，则f (t )＝t ＋1t≥a ，且函数f (t )在区间[1，＋∞)上单调递增．方法一 等式x ＋2y ＋3＝xy 可化为(x －2)(y －1)＝5，令m ＝x －2，n ＝y －1，则m >0，n >0，且mn ＝5，则t ＝m ＋n ≥2mn ＝25，当且仅当m ＝n ，即x ＝y ＋1，即x ＝2＋5，y ＝1＋5时等号成立，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.方法二 x ＋2y ＋3＝xy 可化为y ＝1＋5x －2(x >2)，故直线x ＋y －3－t ＝0与函数y ＝1＋5x －2(x >2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时y ′＝－5(x －2)2＝－1，得x ＝2＋5，y ＝1＋5，此时，t ＝25，数形(图略)结合可知当t ≥25时，符合题意，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.14．对任意实数x >1，y >12，不等式x 2a 2(2y －1)＋4y2a 2(x －1)≥1恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4C.142D ．2 2 答案 D解析 依题意得a 2≤x 22y －1＋4y2x －1.令x －1＝m >0,2y －1＝n >0，则x 22y －1＋4y 2x －1＝(m ＋1)2n ＋(n ＋1)2m ≥(2m )2n ＋(2n )2m ＝4m n ＋4n m≥24m n ×4nm＝8，即x 22y －1＋4y 2x －1≥8， 当且仅当m ＝n ＝1时取等号，因此x 22y －1＋4y 2x －1的最小值是8，从而a 2≤8，－22≤a ≤22，且a ≠0， 故实数a 的最大值是2 2.15．(2018·宁波模拟)已知x ，y 均为非负实数，且x ＋y ≤1，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4 B ．[1,4] C ．[2,4] D ．[2,9]答案 A解析 因为x ≥0，y ≥0，所以(x ＋y )22≤x 2＋y 2≤(x ＋y )2，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x ＋y )]2≤4(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≤5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≤4，当且仅当xy ＝0且x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1时，等号成立；另一方面4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x＋y )]2≥2(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≥3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≥23，当且仅当x ＝y 且x ＋y ＝13，即x ＝y ＝16时，等号成立．综上所述，4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4，故选A.16．(2018·杭州学军中学模拟)若x ，y ∈R 满足2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xyx －y ＋1，则xy 的最小值为________．答案 (π－2)216解析 2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1＝x 2＋2x ＋1＋y 2－2y ＋1－2xyx －y ＋1＝(x －y ＋1)2＋1x －y ＋1＝x －y ＋1＋1x －y ＋1，又因为2sin 2(x ＋y －1)∈[0,2]，x －y ＋1＋1x －y ＋1≥2或x －y ＋1＋1x －y ＋1≤－2，所以x －y ＋1＋1x －y ＋1＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝1，sin 2(x ＋y －1)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，sin (2x －1)＝±1，则2x －1＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π4＋12＋k π2，k ∈Z ，则xy ＝x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22，k ∈Z ，所以当k ＝－1时，xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22取得最小值(π－2)216.。
2020版高考数学一轮复习(讲义·理) 第6章 不等式 第3讲 基本不等式
第3讲 基本不等式1．基本不等式设a >0，b >0，则a 、b 的算术平均数为□05a ＋b 2，几何平均数为□06ab ，基本不等式可叙述为□07两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有□01最小值是2p (简记：□02积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有□03最大值是p 24(简记：□04和定积最大)．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )， 2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b24≥ab (a ，b ∈R )． (6)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．1．概念辨析(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．小题热身(1)已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4答案 C解析 因为x <0，所以－x >0， 所以－x ＋1－x≥2－x1－x ＝2，当且仅当－x ＝1－x即x ＝－1时等号成立．所以x ＋1x ≤－2.所以f (x )＝x ＋1x－2≤－4.即f (x )有最大值－4.(2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 由基本不等式18＝x ＋y ≥2xy ⇔9≥xy ⇔xy ≤81，当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值81，故选C.(3)已知lg a ＋lg b ＝2，则lg (a ＋b )的最小值为( ) A ．1＋lg 2 B ．2 2 C ．1－lg 2 D ．2 答案 A解析 由lg a ＋lg b ＝2，可知a >0，b >0， 则lg (ab )＝2，即ab ＝100. 所以a ＋b ≥2ab ＝2100＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时取等号， 所以lg (a ＋b )≥lg 20＝1＋lg 2. 故lg (a ＋b )的最小值为1＋lg 2.(4)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．答案 15152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．题型 一 利用基本不等式求最值角度1 直接应用1．(2019·沈阳模拟)已知a ＞b ＞0，求a 2＋1ba －b的最小值． 解 ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0. ∴a 2＋1ba －b ≥a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 2＋4a 2 ≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b ，a 2＝2，a ＞b ＞0，即a ＝2，b ＝22时取等号．∴a 2＋1ba －b的最小值是4. 角度2 拼凑法求最值2．求f (x )＝4x －2＋14x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x <54的最大值．解 因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.角度3 构造不等式求最值(多维探究)3．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112答案 B解析 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＋2xy ＝8， 所以x ＋2y ＝8－2xy ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22.整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8.又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4.故x ＋2y 的最小值为4. 条件探究 把举例说明3的条件“x ＋2y ＋2xy ＝8”改为“4xy －x －2y ＝4”，其他条件不变，求xy 的最小值．解 因为x >0，y >0且4xy －x －2y ＝4，所以4xy －4＝x ＋2y ≥22xy . 整理可得2xy －2xy －2≥0.解得2xy ≥2即xy ≥2，所以xy 的最小值为2. 角度4 常数代换法求最值(多维探究)4．若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 解法一：因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，所以a ＋b 的最小值为4.解法二：因为直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，a －1>0，所以a ＋b ＝a ＋aa －1＝a ＋a －1＋1a －1＝a －1＋1a －1＋2 ≥2a －1a －1＋2＝4. 当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4. 条件探究 将举例说明4条件变为“x ＞0，y ＞0且1x ＋9y＝1”，求x ＋y 的最小值．解 ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9且x ＝yy －9.∴x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y ＞9，∴y －9＞0. ∴y －9＋9y －9＋10≥2y －9y －9＋10＝16. 当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号． 又1x ＋9y＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.1．拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件． 2．通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．如举例说明4解法二．3．常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．如举例说明4解法一．(4)利用基本不等式求解最值．1．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B. 2．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 因为a －3b ＋6＝0，所以a －3b ＝－6,2a ＋18b ＝2a ＋123b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b＝22a －3b＝22－6＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a ＝18b ＝18，即a ＝－3，b ＝1时取等号，所以2a ＋18b的最小值为14. 题型 二 基本不等式的综合应用角度1 基本不等式中的恒成立问题1．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，2sin 2x －a sin2x ＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin2x >0，原不等式可化为a sin2x ≤2sin 2x ＋1， a ≤2sin 2x ＋1sin2x.设f (x )＝2sin 2x ＋1sin2x，则f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x ＝32tan x ＋12tan x.因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0. 所以f (x )＝32tan x ＋12tan x≥232tan x ·12tan x＝3， 当且仅当32tan x ＝12tan x ，即tan x ＝33时等号成立，所以f (x )min ＝3，所以a ≤ 3.角度2 基本不等式与其他知识的综合问题2．(2018·西安模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是( )A.6－24B.6＋24 C.6－22D.6＋22答案 A解析 由正弦定理，得a ＋2b ＝2c .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24.当且仅当3a 2＝2b 2，即3a ＝2b 时，等号成立． 所以cos C 的最小值为6－24.基本不等式的综合运用常见题型及求解策略(1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较．(2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举例说明1. (3)与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如举例说明2.1．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)答案 B解析 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12答案 A解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n n ＋2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92.故选A. 题型 三 基本不等式在实际问题中的应用某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1. 由题意可知每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2017年的利润y ＝1.5x ·8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元．利用基本不等式求解实际问题的求解策略(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立．(2018·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．。
2019-2020年高考数学大一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明课件理
分析法证明不等式
[例 3] (2017·沈阳模拟)设 a，b，c>0，且 ab＋bc＋ca＝1. 求证：
(1)a＋b＋c≥ 3； (2) bac＋ abc＋ acb≥ 3( a＋ b＋ c)．
[证明] (1)要证 a＋b＋c≥ 3， 由于 a，b，c＞0， 因此只需证明(a＋b＋c)2≥3. 即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而 ab＋bc＋ca＝1， 故只需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而这可以由 ab＋bc＋ca≤a2＋2 b2＋b2＋2 c2＋c2＋2 a2＝a2＋b2＋ c2(当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)证得． 所以原不等式成立．
因为a≥0，b≥0，
1
所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 2 －
1
3
3
b 2 与a 2 －b 2 同号，
1
13
3
所以(a 2 －b 2 )(a 2 －b 2 )≥0，
所以a2＋b2≥ ab(a＋b)．
[方法技巧] 作差比较法证明不等式的步骤
(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结 论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积 的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差 的正负．
所以a3＋b3的最小值为4 2.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2 6 ab≥4 3.
由于4 3>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝
1.证明： (1) ab＋bc＋ac≤13；
(2) ab2＋bc2＋ca2≥1.
2024年高考数学一轮总复习讲义 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第一章集合、常用逻辑用语、不等式考情探究本章内容分为两部分．第一部分为集合与简易逻辑、第二部分为不等式．第一部分内容是高考必考内容，难度小，分值为5分，重点考查集合的基本运算，充分、必要条件的判断和含有一个量词命题的否定，集合的基本运算常与不等式结合，考查集合的交、并、补集运算，充分、必要条件的判断常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考查基本概念、定理等，复习时以基础知识为主．第二部分不等式内容在高考题中多作为载体考查其他知识，例如，结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域的求解、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值问题或恒成立问题．此部分考题以中低档题为主，主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握．第一讲集合知识梳理·双基自测知识梳理知识点一集合的基本概念一组对象的总体构成一个集合．1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性．2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．知识点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中的任意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A A B 注意：(1)空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n－2.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．知识点三集合的基本运算1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A.3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.5．∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{1，－1,0}．(×)(3){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(×)(4)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．(×)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)(6)设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁U A＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．(×)[解析](4)当m＝－1时，m＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故(4)错．(6)中A＝{x|0<x<10}，∁U A＝{x|x≤0或x≥10}，故(6)错．题组二走进教材2．(多选题)(必修1P9T1改编)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(ACD)A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}[解析]易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．3．(必修1P35T9改编)已知集合U＝{x|－4<x<3}，A＝{x|－2≤x<1}，则∁U A ＝(A)A．(－4，－2)∪[1,3)B．[－2,1)C．(－4，－2]∪(1,3)D．(－2,1][解析]根据集合补集的运算解答即可．由题知，集合U＝{x|－4<x<3}，A ＝{x|－2≤x<1}，所以∁U A＝{x|－4<x<－2，或1≤x<3}，即∁U A＝(－4，－2)∪[1,3)，故选A.4．(必修1P13T1改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝{x|x≥－1}，∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.题组三走向高考5．(2023·全国甲文，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁U M＝(A)A．{2,3,5}B．{1,3,4}C．{1,2,4,5}D．{2,3,4,5}[解析]因为U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,4}，所以∁U M＝{2,3,5}，所以N∪∁U M＝{2,3,5}．故选A.6．(2023·新课标Ⅰ，1,5分)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(C)A．{－2，－1,0,1}B．{0,1,2}C．{－2}D．{2}[解析]由x2－x－6≥0得x≥3或x≤－2，∴N＝{x|x≥3或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}，故选C.7．(2023·新课标Ⅱ，2,5分)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(B)A．2B．1D．－1C.23[解析]若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A ⊆B；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足A⊆B.故选B.考点突破·互动探究集合的基本概念——自主练透1.已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，则B等于(C)A．{0,1}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{1,2,3,4}[解析]因为A＝{x|x2≤4}＝[－2,2]，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，所以B＝{1,2,3}．2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*}，B＝{(x，y)|y>x＋1}，则A∩B 中元素的个数为(B)A.2B．3C．4D．5[解析]求得集合A的元素，由此求得A∩B的元素，从而确定正确选项．依题意A＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)}，其中满足y>x＋1的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，所以A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)}，有3个元素．故选B.3．设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是(C) A．2<m<5B．2≤m<5C．2<m≤5D．2≤m≤5[解析]∵1∈A，∴m>2，又∵2∉A，∴m≤5，因此2<m≤5.故选C.4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}0，ba，b a2025＋b2024＝0.[解析]由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1，故a2025＋b2024＝－1＋1＝0.名师点拨：1．用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.集合之间的基本关系——师生共研[解析]方法一(列举法)：A …，－12，12，32，52，72，…B …，－12，0，12，1，32，2，52，3，72，…显然AB .方法二(描述法)：集合A x |x ＝k ＋12，k ∈Zx|x ＝2k ＋12，k ∈Z B x|x ＝k2，k ∈Z 2k ＋1可以表示任意奇数，k 可以表示任意整数，故A B .2．(多选题)已知集合A ＝{－3,2}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，且B ⊆A ，则实数a 的可能取值为(BD )A ．－13B ．0C ．12D ．13[解析]由题知B ⊆A ，B ＝{x |ax ＋1＝0}，所以B ＝{－3}，{2}，∅.当B ＝{－3}时，－3a ＋1＝0，解得a ＝13；当B ＝{2}时，2a ＋1＝0，解得a ＝－12；当B ＝∅时，a ＝0.综上可得实数a 的可能取值为13，0，－12，故选BD.名师点拨：判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．描述法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.【变式训练】1．设集合M |x ＝k 2＋14，k ∈ZN |x ＝k4＋12，k ∈(A )A ．M NB ．M ＝NC ．N MD ．M ∩N ＝∅[解析]分别将集合M ，N 中的x 通分，分母相同，只需比较分子即可．对于集合M ：x ＝k 2＋14＝2k ＋14，k ∈Z ，当k ∈Z 时，2k ＋1为奇数，对于集合N ：x＝k 4＋12＝k ＋24，k ∈Z ，当k ∈Z 时，k ＋2为整数，故M N ，故选A.2．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围是(A )A ．(－∞，2]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．[0,2][解析]当B ≠∅时，要满足B⊆A ，－m ≥－1，＋m ≤3，－m ≤1＋m ，解得0≤m ≤2；当B ＝∅时，1－m >1＋m ，此时m <0.综上，m 的取值范围为m ≤2.集合的基本运算——多维探究角度1集合的运算1.(2024·江苏盐城模拟)已知集合U ＝{x |1<x <6，x ∈N }，A ＝{2,3}，B ＝{2,4,5}，则(∁U A )∩B 等于(A )A ．{4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2}D ．{2,4,5}[解析]由题意得，U ＝{2,3,4,5}，又A ＝{2,3}，则∁U A ＝{4,5}，因为B ＝{2,4,5}，所以(∁U A)∩B＝{4,5}．故选A.[解析]集合M中的元素是被3除余1的数，集合N中的元素是被3除余2的数，所以集合∁U(M∪N)中的元素是被3整除的数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A.3．(多选题)(2022·潍坊质检)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(BD)A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪∁R B＝{x|x≤－1或x>2}D．A∩∁R B＝{x|2<x≤3}[解析]∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正确；∵∁R B＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪∁R B＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；A∩∁R B＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2或x>2}＝{x|2<x≤3}，D正确．角度2利用集合的运算求参数1.已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(B)A．(0,3)B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)[解析]因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3.又a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}≠∅，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为_[2,3]__.[解析]由A ∩B ＝B 知，B ⊆A.又B ≠∅m －1≥m ＋1，＋1≥－2，m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．[引申1]本例2中若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}情况又如何？[解析]应对B ＝∅和B ≠∅进行分类．①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，由例得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例2中是否存在实数m ，使A ∪B ＝B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析]由A ∪B ＝B ，即A ⊆B＋1≤－2，m －1≥5，≤－3，≥3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ∪B ＝B .[引申3]本例2中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A B ，则m 的取值范围为(－∞，－3].[解析]＋1≤－2，－2m ≥5，解得m ≤－3.名师点拨：集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．【变式训练】1．(角度1)(2023·全国乙文，2,5分)设全集U＝{0,1,2,4,6,8}，集合M＝{0,4,6}，N＝{0,1,6}，则M∪∁U N＝(A)A．{0,2,4,6,8}B．{0,1,4,6,8}C．{1,2,4,6,8}D．U[解析]易得∁U N＝{2,4,8}，又M＝{0,4,6}，∴M∪∁U N＝{0,2,4,6,8}．故选A.2．(角度1)(2024·上海控江中学月考)设集合A＝{x∈Z|x2<4}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩(∁R B)＝(C)A．{x|－2<x<1}B．{x|－2<x≤1}C．{－1,0}D．{－1}[解析]A＝{x∈Z|x2<4}＝{－1,0,1}，B＝{x|y＝x－1}＝[1，＋∞)，则∁R B ＝(－∞，1)，所以A∩(∁R B)＝{－1,0}，故选C.3．(多选题)(角度2)若集合A＝{x|x<a}，B＝{x|lg x≥0}，且满足A∪B＝R，则实数a的值可以为(AC)A．2B．－1C．1D．－2[解析]集合A＝{x|x<a}，B＝{x|lg x≥0}，由题意得B＝{x|x≥1}，因为A∪B＝R，所以a≥1.所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．故选AC.4．(角度2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是[－1，＋∞).[解析]∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，②当B ≠∅m －1≤m ＋1，m －1≥－3，＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．名师讲坛·素养提升集合中的新定义问题非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}|y ＝2x ，x ∈[1，4]其中是“互倒集”的序号是②③.[解析]①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意；②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}，即{x |3－22≤x ≤3＋22}，显然0∉A ，又13＋22≤1x ≤13－22，即3－22≤1x ≤3＋22，故1x也在集合中，符合题意；|y ＝2x ，x ∈[1，，|12≤y≤，0∉A ，又12≤1y ≤2，故1y也在集合A 中，符合题意．名师点拨：集合新定义问题的“3定\”1．定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．2．定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．3．定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．【变式训练】(多选题)(2024·重庆市长寿中学月考)若一个集合是另一个集合的子集，则这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合为“蚕食”，对于集合A＝{－1,0,2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的值可以为(ACD)A．0B．1C．12D．－1[解析]若B⊆A，则B＝∅，解得a≤0，故选AD；若两个集合有公共元素，则－1∈B，解得a＝2，若2∈B，解得a＝12，经检验符合题意，故选C.因此选ACD.提能训练练案[1]A组基础巩固一、单选题1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{m|m2－1∈A，m－1∉A}，则集合B中所有元素之和为(C)A.0B．1C．－1D．2[解析]根据题意列式求得m的值，即可得出答案．根据条件分别令m2－1＝－1,0,1，解得m＝0，±1，±2，又m－1∉A，所以m＝－1，±2，B＝{－1，2，－2}，所以集合B中所有元素之和是－1，故选C.2．(2023·山西河津中学模拟)下列四个选项中正确的是(D)A．{1}∈{0,1}B．1⊆{0,1}C．∅∈{0,1}D．1∈{0,1}[解析]对于A：{1}⊆{0,1}，故A错误；对于B：1∈{0,1}，故B错误；对于C：∅⊆{0,1}，故C错误；对于D：1∈{0,1}，故D正确．故选D.3．下列各组集合中表示同一集合的是(B)A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}[解析]由集合元素的无序性，易知{2,3}＝{3,2}．故选B.4．(2023·天津，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3}，B＝{1,2,4}，则A∪(∁U B)＝(A)A．{1,3,5}B．{1,3}C．{1,2,4}D．{1,2,4,5}[解析]由题意知∁U B＝{3,5}，∴A∪(∁U B)＝{1,3,5}，故选A.5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B ＝(B)A．{－1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{－1,4}[解析]B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1,2}．故选B.6．设集合A，3，a2－3a，a＋2a＋B＝{|a－2|,0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为(D)A．{－1，－2}B．{－1,2}C．{－2,4}D．{4}[解析]由题意可得，①当a2－3a＝4且|a－2|≠4时，解得a＝－1或4.当a ＝－1时，集合A＝{2,3,4,4}，不满足集合中元素的互异性，故a≠－1；当a＝4时，集合A，3，4B＝{2,0}，符合题意．②当a＋2a＋7＝4且|a－2|≠4时，解得a＝－1，由①可得不符合题意．综上，实数a的取值集合为{4}．故选D.7．设集合M |x＝k3＋16，k∈ZN|x＝k6＋13，k∈结论正确的是(B)A．M＝N B．M NC．N M D．M∩N＝∅[解析]解法一：由题意知M，－12，－16，16，12，56，76，N，－16，0，16，13，12，23，56，M N .故选B.解法二：M|x ＝2k ＋16，k ∈Z N|x ＝k ＋26，k ∈2k ＋1表示所有奇数，而k ＋2表示所有整数(k ∈Z )，∴M N .故选B.8．(2023·全国乙理，2,5分)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |－1<x <2}，则{x |x ≥2}＝(A )A ．∁U (M ∪N )B ．N ∪∁U MC ．∁U (M ∩N )D ．M ∪∁U N[解析]集合M ，N在数轴上的表示如图．由图可知∁U (M ∪N )＝{x |x ≥2}．二、多选题9．(2022·全国模拟预测)设集合A ＝{2，a 2－a ＋2,1－a }，若4∈A ，则a 的值为(BC )A ．－1,2B ．－3C ．2D ．3[解析]由集合中元素的确定性知a 2－a ＋2＝4或1－a ＝4.当a 2－a ＋2＝4时，a ＝－1或a ＝2；当1－a ＝4时，a ＝－3.当a ＝－1时，A ＝{2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去；当a ＝2时，A ＝{2,4，－1}满足集合中元素的互异性，故a ＝2满足要求；当a ＝－3时，A ＝{2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a ＝－3满足要求．综上，a ＝2或a ＝－3.故选BC.10．已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，下列说法正确的是(AD )A ．不存在实数a 使得A ＝BB ．当a ＝4时，A ⊆BC ．当0≤a ≤4时，B ⊆AD ．存在实数a 使得A ⊆(∁R B )[解析]由集合相等列方程组验算；选项B 由a ＝4得B ＝∅，故不满足A⊆B；选项C通过假设B⊆A求出实数a的取值范围可判定，通过举例判断D.若集合A＝B，a－3＝1，－2＝2，因为此方程组无解，所以不存在实数a使得集合A＝B，故选项A正确；当a＝4时，B＝{x|5<x<2}＝∅，不满足A⊆B，故选项B 错误，若B⊆A，则①当B＝∅时，有2a－3≥a－2，a≥1；②当B≠∅时，有<1，a－3≥1，－2≤2，此方程组无实数解；所以若B⊆A，则有a≥1，故选项C错误；当a＝1时，B＝∅，∁R B＝R，A⊆∁R B，故D正确，故选AD.11．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(CD)A．A∩B＝∅B．A∩B＝BC．A∪B＝U D．(∁U B)∪A＝A[解析]令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知∁U A⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故C，D均正确．12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断正确的是(CD)A．A∪B＝BB．(∁R B)∪A＝RC．A∩B＝{x|1<x≤2}D．(∁R B)∪(∁R A)＝{x|x≤1或x>2}[解析]因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}；因为2<2x≤8，所以1<x≤3，所以B＝{x|1<x≤3}．所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1<x≤2}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．三、填空题136a －1∈N |a ∈_{1,2,3,6}__.[解析]根据已知条件，先求出a 的值，即可求解．∵6a －1∈N 且a ∈N ，∴a －1＝1或a －1＝2或a －1＝3或a －1＝6，解得a ＝2或a ＝3或a ＝4或a ＝7，∴6a －1对应的值为6,3,2,16a －1∈N |a ∈{1,2,3,6}．14．(2024·九省联考试题)已知集合A ＝{－2,0,2,4}，B ＝{x ||x －3|≤m }，若A ∩B ＝A ，则m 的最小值为_5__.[解析]∵A ∩B ＝A ，∴m >0，∴B ＝[3－m,3＋m ]，－m ≤－2，＋m ≥4，∴m ≥5，故填5.15．(2022·天津模拟)已知集合A ＝{x |x 2＝x }，集合B ＝{x |1<2x <4}，则集合A 的子集个数为_4__；A ∩B ＝_{1}__.[解析]A ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，B ＝{x |1<2x <4}＝{x |0<x <2}，故集合A 的子集个数为N ＝22＝4，A ∩B ＝{1}．16．已知集合A ＝{x |(x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝_(2,3)__，A ∪B ＝_(1,4)__，(∁R A )∪B ＝_(－∞，1]∪(2，＋∞)__.[解析]由已知得A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2<x <4}，所以A ∩B ＝{x |2<x <3}，A ∪B ＝{x |1<x <4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．17．(2024·衡水模拟)已知集合A ＝{x |0<x <1}，集合B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |x ＋m >0}，若(A ∪B )⊆C ，则实数m 的取值范围是_[1，＋∞)__.[解析]∵集合A ＝{x |0<x <1}，集合B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |x ＋m >0}＝{x |x >－m }，又(A ∪B )⊆C ，∴－m ≤－1，解得m ≥1.∴实数m 的取值范围是[1，＋∞)．B 组能力提升1．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤0}，B ＝{x |x 2≤4}，C ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }，则集合C ＝(B )A．∅B．(0,2]C．[－3,2]D．[－3,4][解析]先根据一元二次不等式的性质求出集合B＝{x|－2≤x≤2}，然后再根据集合C中元素的特征即可求解．由题意可知：B＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，因为集合A＝{x|－3≤x≤0}，集合C＝{x|x∈B，且x∉A}，所以C＝(0,2]，故选B.2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为(C)A．1B．2C．4D．8[解析]B＝{－1,1,3,5}，A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B的子集个数为22＝4.3．(多选题)(2023·重庆北碚区模拟)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(BD)A．{2,3,4}B．{3,4,5}C．{4,5,6}D．{3,5,6}[解析]由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确；若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确．4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝(D)A．(2,3]B．∅C ．[－1,0)∪(2,3]D ．[－1,0]∪(2,3][解析]集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2x ≤1}＝{x |0<x ≤2}，所以∁U B ＝{x |x ≤0或x >2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤0或2<x ≤3}＝[－1,0]∪(2,3]，故选D.5．(2023·湖北孝感模拟)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，则∁A ∪B (A ∩B )＝(C )A ．(－∞，0)B －12，1C ．(－∞，0)∪12，1D －12，0[解析]根据题意可知A ∞B ＝[0,1]，所以A ∪B ＝(－∞，1]，A ∩B＝0∁A ∪B (A ∩B )＝(－∞，0)∪12，1，故选C.6．(多选题)设集合A ＝{x |x ＝m ＋3n ，m ，n ∈N *)，若对于任意x 1∈A ，x 2∈A ，均有x 1⊕x 2∈A ，则运算⊕可能是(AC )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法[解析]由题意可设x 1＝m 1＋3n 1，x 2＝m 2＋3n 2，其中m 1，m 2，n 1，n 2∈N *，则x 1＋x 2＝(m 1＋m 2)＋3(n 1＋n 2)，x 1＋x 2∈A ，所以加法满足条件，A 正确；x 1－x 2＝(m 1－m 2)＋3(n 1－n 2)，当n 1＝n 2时，x 1－x 2∉A ，所以减法不满足条件，B 错误；x 1x 2＝m 1m 2＋3n 1n 2＋3(m 1n 2＋m 2n 1)，x 1x 2∈A ，所以乘法满足条件，C正确；x 1x 2＝m 1＋3n 1m 2＋3n 2，当m 1m 2＝n 1n 2＝λ(λ>0)时，x 1x 2∉A ，所以除法不满足条件，D 错误．7．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝_－1__，n ＝_1__.[解析]A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.8．已知集合A x|y ＝log x －12B ＝{x |x <2m －1}，且A ⊆∁R B ，则m 的最大值是34.[解析]依题意，A x |y ＝log x －12x |x >12∁R B ＝{x |x ≥2m －1}，又A ⊆∁R B ，所以2m －1≤12，解得m ≤34.故m 的最大值为34.。
2019-2020学年高中数学一轮复习《15基本不等式》教学案.doc
2019-2020学年高中数学一轮复习《15基本不等式》教学案【考点及要求】：1.掌握两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数的定理，了解其证明过程；2.会用基本不等式证明不等式及解决简单的最大（小）值问题.【基础知识】：1.设,,+∈R b a 则b a ,的算术平均数为 ,b a ,的几何平均数为 .2.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号.3.几个重要的不等式：(1)≥+22b a ),(R b a ∈ ⑵≥+ba ab )0(>ab (3)ab 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ),(R b a ∈ 4.运用基本不等式求最值问题：积定和有最 值, 和定积有最 值.【基本训练】：1.设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a b q ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则p 是q 成立 的 条件.2.若b a ,为实数,且2=+b a ,则b a 33+的最小值为 .3.设+∈R y x ,且14=+y x ,则xy 的最大值是 .4.函数)0( 15≥++=x x x y 图象上最低点的坐标为 .【典型例题讲练】例1.已知正数y x ,满足12=+y x ,求yx 11+的最小值.练习.在算式“3014=O ⨯+∆⨯”中的O ∆,中,分别填入两个正整数,使它们的倒数和 最小,则这两个数构成的数对()O ∆,应为 .例2.设,c b a >>且c a n c b b a -≥-+-11，求n 的最大值.练习.若不等式012≥++ax x 对于一切)2,0(∈x 成立，则a 的一个可能值是 .【课堂小结】【课堂检测】1.已知),2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>则R Q P ,,的大小关 系是 .2.设+∈R y x ,且42=+y x ,则y x lg lg +的最大值是 .3.设.0,0>>b a 若3是a 3与b 3的等比中项,则b a 11+的最小值为 . 4.已知131,0,0=+>>b a b a ，求b a 2+的最小值．【课后作业】。
2020版高考数学一轮复习第二章不等式2.4基本不等式及其应用学案解析版
§2.4 基本不等式及其应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值． 题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编2．[P100A 组T1]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max＝81.3．[P100A 组T2]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m,0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2. 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.5．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，等号成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.6．(2018·温州市适应性考试)已知2a＋4b＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为________． 答案 0解析 因为2＝2a＋4b≥22a ＋2b，当且仅当a ＝b ＝0时等号成立，所以a ＋2b ≤0，即a ＋2b的最大值为0.题型一 利用基本不等式求最值 命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)(2019·台州质检)当x >0时，x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，则实数a 的值为________．答案 4解析 因为当x >0，a >0时，x ＋a x ＋1＝x ＋1＋a x ＋1－1≥2a －1，当且仅当x ＋1＝ax ＋1时，等号成立，又x ＋ax ＋1(a >0)的最小值为3，所以2a －1＝3，解得a ＝4.命题点2 常数代换法例2(2018·浙江部分重点中学调研)已知a >0，b >0，且满足a ＋2b ＝2.若不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，则实数t 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94解析 因为对于任意的a >0，b >0，a ＋2b ＝2，不等式abt ＋(t －2)a －b ≤1恒成立，即1a ＋2b ＋1≥t 恒成立．因为1a ＋2b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b ＋12＝54＋b ＋12a ＋a 2(b ＋1)≥54＋1＝94，当且仅当b ＋12a ＝a 2(b ＋1)，即a ＝b ＋1＝43，b ＝13时，取到最小值，所以t ≤94. 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( )A ．有最大值145B ．有最小值145C ．有最小值3D ．有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4. 又∵a ，b >0，∴aa ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－aa ＋b≥－aa 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．跟踪训练1(1)(2018·杭州高级中学高考仿真测试)若正数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A.22B.2C.32D. 3 答案 D解析 由x 2＋2xy －1＝0，得y ＝12x －x 2，所以2x ＋y ＝2x ＋12x －x 2＝32x ＋12x ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≥3x ·1x ＝3，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立，此时y ＝33，符合题意，所以2x ＋y 的最小值为3，故选D.(2)(2018·浙江绍兴一中模拟)已知x ，y >0，且x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，则3x －716y 的最小值是________． 答案 －14解析 因为x ＋y ＋1x ＋12y ＝194，所以3x －716y ＝3x －716y ＋x ＋y ＋1x ＋12y －194＝x ＋4x ＋y ＋116y －194≥92－194＝－14，当且仅当x ＝4x ，y ＝116y ，即x ＝2，y ＝14时，取等号． 题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3B ．4C.83D.103答案 A解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23n AN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n＝53＋43＝3， 当且仅当m ＝n ＝1时等号成立． 命题点2 求参数值或取值范围例5(2018·杭州七校联考)设x ，y 是正实数，若不等式x 4x ＋y ＋y x ＋4y ≤a ≤x x ＋4y ＋y4x ＋y 恒成立，则实数a 的值是________． 答案 25解析 令t ＝y x>0，则x 4x ＋y ＋y x ＋4y ＝14＋y x ＋yx1＋4y x＝14＋t ＋t 1＋4t ＝14＋t －14＋16t ＋14＝4＋16t －4－t (4＋t )(4＋16t )＋14＝15t 16＋68t ＋16t 2＋14＝1516t ＋16t＋68＋14≤15100＋14＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≥25.又x x ＋4y ＋y 4x ＋y ＝11＋4y x ＋yx4＋y x＝11＋4t ＋t 4＋t ＝11＋4t －44＋t＋1＝4＋t －4－16t (1＋4t )(4＋t )＋1＝1－15t4＋17t ＋4t2＝1－154t ＋4t＋17≥1－1525＝25，当且仅当t ＝1，即x ＝y 时，取等号，所以a ≤25.综上，a ＝25.跟踪训练2(2018·金华名校统练)已知正实数x ，y 满足x －y >0，x ＋y －2≤0，若m ≤2x ＋3y＋1x －y恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3＋224解析2x ＋3y ＋1x －y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ×44≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2y 4＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＋1x －y ·x ＋3y －y ＋x 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2(x －y )x ＋3y ＋x ＋3y x －y≥14⎝⎛⎭⎪⎫3＋2 2(x －y )x ＋3y ·x ＋3y x －y ＝3＋224， 当且仅当x ＋y ＝2，2(x －y )x ＋3y ＝x ＋3yx －y 时取等号，此时x ＝22－1，y ＝3－22，符合题意， 所以2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为3＋224，即m ≤3＋224. 利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1， 每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1， 即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2．若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A ．x ＝y B ．x ＝2y C ．x ＝2且y ＝1 D ．x ＝y 或y ＝1答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号．故“x ＝2且y ＝1”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件．故选C. 3．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为( )A.53B ．3C ．5D ．9 答案 D解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.5．(2018·杭州模拟)若实数x ，y ，z 满足2x＋2y＝2x ＋y,2x＋2y ＋2z ＝2x ＋y ＋z，则z 的最大值为( ) A ．2－log 23 B ．2＋log 23 C.43 D ．log 23答案 A 解析 因为2x ＋y＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以2x ＋y≥4.又2x＋2y＋2z＝2x ＋y ＋z，所以2x ＋y＋2z ＝2x ＋y·2z，所以2z＝2x ＋y2x ＋y －1＝1＋12x ＋y －1，由2x ＋y ≥4得2z的最大值为43，从而z 的最大值为2－log 23.6．(2018·嘉兴市教学测试)已知x ＋y ＝1x ＋4y＋8(x >0，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．53B ．9C ．4＋26D ．10 答案 B解析 由题意可知(x ＋y )2＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋8＝5＋8(x ＋y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ，由基本不等式可知y x ＋4xy≥2y x ·4x y＝4(当且仅当y ＝2x 时取等号)，令t ＝x ＋y (t >0)，则t 2≥5＋8t ＋4，即t 2－8t －9＝(t －9)·(t ＋1)≥0，得t ≥9，从而当x ＝3，y ＝6时，x ＋y 取得最小值，最小值为9，故选B.7.(2019·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y的最小值为( )A.32B ．2C.52D.92 答案 D解析 设AD →＝mAB →＋nAC →，AE →＝λAB →＋μAC →， ∵B ，D ，E ，C 共线，∴m ＋n ＝1，λ＋μ＝1， ∵AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →＝()m ＋λAB →＋()n ＋μAC →， 则x ＋y ＝m ＋n ＋λ＋μ＝2，∴1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ()x ＋y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝92，当且仅当x ＝23，y ＝43时，等号成立．故1x ＋4y 的最小值为92，故选D. 8．(2018·湖州五校模拟)已知x 2－3xy ＋2y 2＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.10－6 B.10＋6 C ．210＋6 D ．210－6答案 D解析 方法一 ∵x 2－3xy ＋2y 2＝(x －y )(x －2y )＝1，∴可设x －y ＝t ，x －2y ＝1t(t ≠0)，∴x＝2t －1t ，y ＝t －1t，代入所求式子得x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝5t 2＋2t2－6≥210－6，当且仅当5t 2＝2t2时等号成立，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.方法二 设x 2＋y 2＝t 2，x ＝t cos θ，y ＝t sin θ，代入已知等式得，t 2cos 2θ－3t 2sin θcos θ＋2t 2sin 2θ＝1，∴1t 2＝cos 2θ－3sin θcos θ＋2sin 2θ＝1－32sin2θ＋1－cos2θ2＝32－12(3sin2θ＋cos2θ)＝32－12×10·sin(2θ＋φ)≤3＋102，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010. ∴t 2≥23＋10＝210－6，∴x 2＋y 2的最小值为210－6.9．(2018·绍兴市适应性考试)已知正数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则当x ＝________时，1x－y 取得最小值为________． 答案2222－2 解析 因为x ，y 为正数，则2x ＋y ＝2⇒y ＝2－2x >0⇒0<x <1，所以1x －(2－2x )＝1x＋2x －2≥22－2，当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时等号成立．10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ， 代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab≥4·2ab ·1ab＝8，当且仅当ab ＝1时取等号． 所以1a ＋1b≥22，即1a ＋1b的最小值为2 2.11．(2019·嘉兴市基础测试)若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________． 答案 18解析 ∵2m ＋n ≥22mn ，∴mn ＝2m ＋n ＋6≥22mn ＋6，即mn ≥22mn ＋6，令t ＝2mn >0，则12t 2≥2t ＋6，解得t ≤－2或t ≥6，又t >0，∴t ≥6，即2mn ≥6，∴mn ≥18，当且仅当2m ＝n ＝6时，等号成立，故mn 的最小值为18.12．(2018·绍兴市上虞区质检)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，x 2＋4y 2＋9z 2＝1，则z 的最小值是________． 答案 －19解析 因为1－9z 2＝(x ＋2y )2－2·x ·2y ≥(x ＋2y )2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，又x ＋2y ＝1－3z ，则1－9z 2≥12(1－3z )2，解得－19≤z ≤13，即z 的最小值为－19.13．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)已知实数x ，y 满足x ＋2y ＋3＝xy ，且对任意的实数x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，21510B ．(－∞，25]C ．[25，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫21510，＋∞ 答案 A解析 因为x ∈(2，＋∞)，y ∈(1，＋∞)，所以x ＋y －3>0，所以不等式(x ＋y －3)2－a (x ＋y －3)＋1≥0可转化为(x ＋y －3)＋1x ＋y －3≥a .令t ＝x ＋y －3，t >0，则f (t )＝t ＋1t≥a ，且函数f (t )在区间[1，＋∞)上单调递增．方法一 等式x ＋2y ＋3＝xy 可化为(x －2)(y －1)＝5，令m ＝x －2，n ＝y －1，则m >0，n >0，且mn ＝5，则t ＝m ＋n ≥2mn ＝25，当且仅当m ＝n ，即x ＝y ＋1，即x ＝2＋5，y ＝1＋5时等号成立，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.方法二 x ＋2y ＋3＝xy 可化为y ＝1＋5x －2(x >2)，故直线x ＋y －3－t ＝0与函数y ＝1＋5x －2(x >2)的图象有公共点，当两者相切时是临界位置，此时y ′＝－5(x －2)2＝－1，得x ＝2＋5，y ＝1＋5，此时，t ＝25，数形(图略)结合可知当t ≥25时，符合题意，故f (t )≥f (25)＝25＋125＝21510，所以a ≤21510.14．对任意实数x >1，y >12，不等式x 2a 2(2y －1)＋4y2a 2(x －1)≥1恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4C.142D ．2 2 答案 D解析 依题意得a 2≤x 22y －1＋4y2x －1.令x －1＝m >0,2y －1＝n >0，则x 22y －1＋4y 2x －1＝(m ＋1)2n ＋(n ＋1)2m ≥(2m )2n ＋(2n )2m ＝4m n ＋4n m ≥24m n ×4nm＝8，即x 22y －1＋4y 2x －1≥8， 当且仅当m ＝n ＝1时取等号，因此x 22y －1＋4y 2x －1的最小值是8，从而a 2≤8，－22≤a ≤22，且a ≠0， 故实数a 的最大值是2 2.15．(2018·宁波模拟)已知x ，y 均为非负实数，且x ＋y ≤1，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4 B ．[1,4] C ．[2,4] D ．[2,9]答案 A解析 因为x ≥0，y ≥0，所以(x ＋y )22≤x 2＋y 2≤(x ＋y )2，则4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x ＋y )]2≤4(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≤5(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≤4，当且仅当xy ＝0且x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1时，等号成立；另一方面4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2＝4(x 2＋y 2)＋[1－(x＋y )]2≥2(x ＋y )2＋[1－(x ＋y )]2＝3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1，又因为0≤x ＋y ≤1，所以4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2≥3(x ＋y )2－2(x ＋y )＋1≥23，当且仅当x ＝y 且x ＋y ＝13，即x ＝y ＝16时，等号成立．综上所述，4x 2＋4y 2＋(1－x －y )2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，4，故选A.16．(2018·杭州学军中学模拟)若x ，y ∈R 满足2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xyx －y ＋1，则xy 的最小值为________．答案 (π－2)216解析 2sin 2(x ＋y －1)＝(x ＋1)2＋(y －1)2－2xy x －y ＋1＝x 2＋2x ＋1＋y 2－2y ＋1－2xyx －y ＋1＝(x －y ＋1)2＋1x －y ＋1＝x －y ＋1＋1x －y ＋1，又因为2sin 2(x ＋y －1)∈[0,2]，x －y ＋1＋1x －y ＋1≥2或x －y ＋1＋1x －y ＋1≤－2，所以x －y ＋1＋1x －y ＋1＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝1，sin 2(x ＋y －1)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，sin (2x －1)＝±1，则2x －1＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π4＋12＋k π2，k ∈Z ，则xy ＝x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22，k ∈Z ，所以当k ＝－1时，xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋12＋k π22取得最小值(π－2)216.。
高考数学一轮复习规划1.5基本不等式课件
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
【常用结论】
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
4. 常用推论
(1)(a＋b)2≤2(a2＋b2).
(2)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
(3)|2ab|≤a2＋b2⇔－(a2＋b2)≤2ab≤a2＋b2.
(4)a1＋2 b1≤ ab≤a＋2 b≤
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.5 基本不等式
1.5 基本不等式
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
掌握基本不等式 ab≤a＋2 b(a，b≥0). 结合具体实例，能用基本不等式解决 简单的最大值或最小值问题.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
【教材梳理】
1. 基本不等式 如果 a>0，b>0，那么 ab≤a＋2 b，当且仅当 a＝b 时，等号成立. 该式叫基本 不等式，其中，a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b 的几何平 均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
解：易知1a＋a2＋ab＝2aa＋b＋a2＋ab＝1＋a＋a b＋a2＋ab≥1＋2 2，当且仅当 a＋b＝ 2
a 且 2a＋b＝1，即 a＝ 2－1，b＝3－2 2时等号成立. 故选 B.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
命题角度 4 换元法求最值
(2020 届辽宁黑山中学高三模拟)已知实数 x，y 满足 x2－xy＋y2＝1，则 x＋y
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
基本不等式课件——2025届高三数学一轮复习
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
1．(1)(多选)(2024·河北沧州模拟)下列函数中，函数的最小值为4的是(
A．y＝x(4－x)
1
C．y＝ +
B．y＝
1
(0＜x＜1)
1−
)
2 +9
2 +5
D．y＝ +
4
(2)(2024·重庆巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小
是(
)
2 +2
B．ab≤
2
2 + 2
+ 2
C．
≥
2
2
A．
+ ≥2
BC
[当 <0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．]
D．
2
≤
+
4．(人教A版必修第一册P46例3(2)改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长18
15
15
m，当这个矩形的长为________m，宽为________m时，菜园面积
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
2
1
2
1
于是得
+
＝1＋ ＋2＋ ＝3＋
−1
−1
−1
−1
−1
＝3＋2
1
2
2，当且仅当 ＝ ，
−1 −1
2
2
即x＝1＋ ，y＝1＋ 2时取“＝”，
2
+
的最小值为3＋2
−1
−1
2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第6章 不等式 6.3 基本不等式
6.3 基本不等式[知识梳理]1．基本不等式设a >0，b >0，则a 、b 的算术平均数为，几何平均数为，a ＋b2ab 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2(简记：积定和最小)．p (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)．p 24注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)＋≥2(a ，b 同号)．ba ab (3)ab ≤2(a ，b ∈R )．(a ＋b2)(4)2≤(a ，b ∈R )，(a ＋b 2)a 2＋b 222(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R )．(5)≥≥ab (a ，b ∈R )．a 2＋b 22(a ＋b )24(6)≥≥≥(a >0，b >0)．a 2＋b 22a ＋b2ab 21a＋1b [诊断自测]1．概念思辨(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与≥成立的条件是相同a ＋b2ab 的．( )(2)函数y ＝x ＋的最小值是2.( )1x (3)函数f (x )＝sin x ＋的最小值为2.( )4sin x (4)x ＞0且y ＞0是＋≥2的充要条件．( )x y y x 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(必修A5P 99例1(2))设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82答案 C解析 由基本不等式18＝x ＋y ≥2⇔9≥⇔xy ≤81，当且xy xy 仅当x ＝y 时，xy 有最大值81，故选C.(2)(必修A5P 100A 组T 2)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．答案 15 152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝x ·(2y )≤2＝，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝1212(x ＋2y2)2252时取等号．1523．小题热身(1)下列不等式一定成立的是( )A ．lg>lg x (x >0)(x 2＋14)B ．sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )1sin x C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.>1(x ∈R )1x 2＋1答案 C解析 取x ＝，则lg＝lg x ，故排除A ；取x ＝π，则12(x 2＋14)32sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则＝1，故排除D.应选C.1x 2＋1(2)已知x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，则xy 的最大值为________．答案 18解析 ∵2xy ≤2＝，(2x ＋y 2)14∴xy ≤.∴xy 的最18(当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时取“＝”号)大值为.18题型1 利用基本不等式求最值角度1 直接应用 (2018·沈阳模拟)已知a ＞b ＞0，求a 2＋的最小典例1b (a －b )值．直接应用基本不等式．解 ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0.∴a 2＋≥a 2＋＝a 2＋≥2＝4，当且仅1b (a －b )1(b ＋a －b 2)24a 2a 2·4a 2当b ＝a －b ，a 2＝2，a ＞b ＞0，即a ＝，b ＝时取等号．222∴a 2＋的最小值是4.1b (a －b )角度2 变号应用 求f (x )＝lg x ＋的值域．典例1lgx 注意分类讨论．解 f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．当0＜x ＜1时，lg x ＜0，∴－f (x )＝－lg x ＋≥2，即f (x )1－lg x (当且仅当x ＝110时等号成立)≤－2.当x ＞1时，lg x ＞0，f (x )＝lg x ＋≥2(当且仅当x ＝10时等号成立)．1lg x 综上f (x )的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．角度3 寻求定值应用 求f (x )＝4x －2＋的最大值．典例14x －5(x <54)配凑成积定的式子．解 因为x ＜，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋＝－5414x －5＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝，即x ＝1(5－4x ＋15－4x )15－4x 时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋的最大值为1.14x －5角度4 常量代换法求最值(多维探究) (2015·福建高考)若直线＋＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，典例x a yb 则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5注意巧用1的代换．答案 C解析 因为直线＋＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，x a yb 所以＋＝1.1a 1b 所以a ＋b ＝(a ＋b )·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当(1a ＋1b )a b ba ab ·b a a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.[条件探究] 将典例条件变为“x ＞0，y ＞0且＋＝1”，求1x 9y x ＋y 的最小值．解 ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9且x ＝.yy －9∴x ＋y ＝＋y ＝y ＋y y －9y －9＋9y －9＝y ＋＋1＝(y －9)＋＋10.9y －99y －9∵y ＞9，∴y －9＞0.∴y －9＋＋10≥2＋10＝16.9y －9(y －9)·9y －9当且仅当y －9＝，即y ＝12时取等号．9y －9又＋＝1，则x ＝4.1x 9y ∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法技巧利用基本不等式求最值的方法1．知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．2．知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．3．构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．见角度4典例．冲关针对训练1．已知a ＞0＞b ＞－1，且a ＋b ＝1，则＋的最小值a 2＋2ab 2b ＋1为( )A. B. 31243112C.D.3＋223＋222答案 D 解析 ＋＝a ＋＋＝a ＋＋b ＋1－2＋a 2＋2ab 2b ＋12a (b ＋1)2－2(b ＋1)＋1b ＋12a 1b ＋1，又a ＋b ＝1，a ＞0，b ＋1＞0，所以a ＋＋b ＋1－2＋＝＋2a 1b ＋12a ＝·＝＋＋≥＋21b ＋1(2a ＋1b ＋1)(a2＋b ＋12)32b ＋1a a2(b ＋1)32b ＋1a·a 2(b ＋1)＝，当且仅当＝，即a ＝4－2，b ＝2－3时3＋222b ＋1a a2(b ＋1)22取等号，所以＋的最小值为，故选D.a 2＋2ab 2b ＋13＋2222．(2018·广西三市调研)已知m ，n 为正实数，向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，若a ∥b ，则＋的最小值为________．1m 2n 答案 3＋22解析 ∵a ∥b ，∴m －(1－n )＝0，即m ＋n ＝1，又m ，n 为正实数，∴＋＝(m ＋n )＝＋＋3≥2＋3＝3＋2，当1m 2n (1m ＋2n )n m 2mn n m ·2m n 2且仅当Error!即Error!时，取等号.题型2 基本不等式的综合应用角度1 利用基本不等式比较大小 已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－x ，若典例0＜a ＜b ，P ＝f，Q ＝f ()，R ＝f ，则( )(a ＋b2)ab(a 2＋b 22)A ．P ＜Q ＜RB ．P ＜R ＜QC ．R ＜Q ＜PD ．R ＜P ＜Q 用导数法．答案 D解析 f ′(x )＝－1＝(x ＞－1)，由f ′(x )>0解得1x ＋1－xx ＋1－1<x <0，由f ′(x )<0解得x >0，所以f (x )在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．当0＜a ＜b 时，0＜＜＜，∴Q ＝f ()＞P ＝fab a ＋b2a 2＋b 22ab ＞R ＝f .故选D.(a ＋b2)(a 2＋b 22)角度2 利用基本不等式证明不等式 已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：典例>8.(1x －1)(1y －1)(1z －1)左边因式分别使用基本不等式．证明 因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以－1＝＝>，①1x 1－x x y ＋z x 2yz x －1＝＝>，②1y 1－y y x ＋z y 2xz y －1＝＝>，③1z 1－zz x ＋y z 2xyz 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得·>8.(1x －1)(1y －1)(1z －1)角度3 基本不等式中的恒成立问题 (2018·太原模拟)正数a ，b 满足＋＝1，若不等式典例1a 9b a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)用转化法．答案 D解析 a ＋b ＝(a ＋b )＝10＋＋≥16Error!，故只需(1a ＋9b )b a 9ab －x 2＋4x ＋18－m ≤16，得x 2－4x ＋m －2≥0恒成立，即Δ＝16－4(m －2)≤0，解得m ≥6.故选D.角度4 基本不等式与其他知识的综合问题 已知直线l ：x ＝my ＋2(m ∈R )与x 轴的交点是椭圆C ：典例＋y 2＝1(a >0)的一个焦点．x 2a 2(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 的左焦点为F 1，是否存在m 使得△ABF 1的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．根据题意得出三角形面积表达式，求最值时，用基本不等式法．解 (1)易知直线l ：x ＝my ＋2与x 轴的交点坐标为(2,0)，∴椭圆C ：＋y 2＝1(a >0)的一个焦点坐标为(2,0)，x 2a 2∴c ＝2，∴a 2＝c 2＋1＝4＋1＝5.故椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 25(2)存在．将x ＝my ＋2代入＋y 2＝1并整理得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0，x 25Δ＝(4m )2－4(m 2＋5)×(－1)＝20m 2＋20>0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝，－4mm 2＋5y 1y 2＝，－1m 2＋5∴|AB |＝·＝·，1＋m 2(－4mm 2＋5)2－－4m 2＋51＋m 220m 2＋20(m 2＋5)2∵椭圆C 的左焦点为F 1(－2,0)，∴F 1到直线l 的距离d ＝＝，|－2－2|1＋m 241＋m 2∴S △ABF 1＝···＝4·＝4121＋m 220m 2＋20(m 2＋5)241＋m 25m 2＋1(m 2＋5)2·＝4·5m 2＋1(m 2＋1)2＋8(m 2＋1)＋1651m 2＋1＋16m 2＋1＋8≤4·＝.512(m 2＋1)·16m 2＋1＋85当且仅当m 2＋1＝，即m ＝±时，S △ABF 1取得最大16m 2＋13值．∴存在m ＝±使得△ABF 1的面积最大．3方法技巧基本不等式的综合运用常见题型及求解策略1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，如角度1典例，结合函数的单调性进行大小的比较．2．证明不等式的成立性，如角度2典例．3．利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如角度3典例．4．与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如角度4典例中利用基本不等式求三角形面积的最大值时参数的取值．冲关针对训练(2017·广西模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.1a 1b 1ab (1＋1a )(1＋1b )证明 (1)＋＋＝＋＋＝2.1a 1b 1ab 1a 1b a ＋b ab (1a ＋1b )∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，1a 1b a ＋b a a ＋b b ab ba ∴＋＋≥8.1a 1b 1ab (当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)(2)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋＝1＋＝2＋，1a a ＋b a b a 同理，1＋＝2＋，1b ab ∴＝(1＋1a )(1＋1b )(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2≥5＋4＝9.(b a ＋a b )∴≥9.(1＋1a )(1＋1b )(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)题型3 基本不等式在实际问题中的应用 某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产典例品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销km ＋1售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？由题意得出函数解析式，求最值时用基本不等式法．解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－.2m ＋1由题意可知每件产品的销售价格为1.5×(元)，8＋16xx∴2017年的利润y ＝1.5x ·－8－16x －m ＝－8＋16x x＋29(m ≥0)．[16m ＋1＋(m ＋1)](2)∵当m ≥0时，＋(m ＋1)≥2＝8，16m ＋116∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．16m ＋1故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元．方法技巧利用基本不等式求解实际问题的求解策略1．根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．3．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．4．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立．冲关针对训练某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．解 (1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，则其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x (x ＋1)．设每天所支付的总费用为y 1元，则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]＋6×18001x ＝＋9x ＋10809≥2＋10809＝10989，900x 900x ·9x当且仅当9x ＝，即x ＝10时取等号．900x 所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂接受此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝[9x (x ＋1)＋900]1x ＋6×1800×0.90＝＋9x ＋9729(x ≥35)．900x由对勾函数的性质易知f (x )＝x ＋在[10，＋∞)上单调递增，100x 故当x ＝35时，y 2取得最小值，约为10069.7，此时y 1＞y 2，所以该厂可以考虑接受此优惠条件．1.(2017·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足＋＝1，则1a 1b ＋的最小值为( )1a －19b －1A ．16 B ．9 C ．6 D ．1答案 C解析 ∵正数a ，b 满足＋＝1，1a 1b ∴a ＋b ＝ab ，＝1－＞0，＝1－＞0，1a 1b 1b 1a ∴b ＞1，a ＞1，则＋≥2＝2＝61a －19b －19(a －1)(b －1)9ab －(a ＋b )＋1，(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)∴＋的最小值为6.故选C.1a －19b －12．(2017·河北衡水中学调研)若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg (a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋b )得lg (ab )＝lg (a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有＋＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )＝2＋＋≥2＋21a 1b (1a ＋1b )b a ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.b a ·ab 故选C.3．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×＝(万元)．600x 3600x 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为万元．(3600x＋4x)因为＋4x ≥2＝240，当且仅当＝4x ，即x ＝303600x 3600x ·4x3600x 时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．4．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则的最小a 4＋4b 4＋1ab值为________．答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab ＞0，∴≥＝4ab ＋≥2＝4，a 4＋4b 4＋1ab4a 2b2＋1ab1ab 4ab ·1ab 当且仅当Error!即Error!时取得等号．故的最小值为4.a 4＋4b 4＋1ab[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．若x ＞0，则x ＋的最小值是( )2x A ．2 B ．4 C. D ．222答案 D解析 由基本不等式可得x ＋≥2＝2，当且仅当x ＝即2x x ·2x 22x x ＝时取等号，故最小值是2.故选D.222．若函数f (x )＝x ＋(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )1x －2A ．1＋ B ．1＋ 23C ．3 D ．4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋＋2≥21x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝(x ＞2)，即x ＝3时取(x －2)×1x －21x －2等号，即当f (x )取得最小值时，即a ＝3.故选C.3．(2018·河南平顶山一模)若对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1则a 的取值范围是( )A ．a ≥B ．a ＞1515C ．a ＜ D ．a ≤1515答案 A解析 因为对任意x >0，≤a 恒成立，xx 2＋3x ＋1所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥max ，(x x 2＋3x ＋1)而对x ∈(0，＋∞)，＝≤＝，xx 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x ＋315当且仅当x ＝1时等号成立，∴a ≥.故选A.154．在方程|x |＋|y |＝1表示的曲线所围成的区域内(包括边界)任取一点P (x，y )，则z ＝xy 的最大值为 ( )A. B. 1213C. D.1418答案 C解析 根据题意如图所示，要保证z 最大，则P 应落在第一或第三象限内，不妨设P 点落在线段AB 上，故z ＝xy ＝x (1－x )≤2＝，当且仅当x ＝时，等号成立，故z 的最大值为.故(x ＋1－x 2)141214选C.5．(2018·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋＋2的值域为ax (－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A. B. 1232C ．1 D ．2答案 C解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋＋2≥2＋2，当且仅当x ＝时取等号；②当x <0时，f (x )ax a a ＝x ＋＋2≤－2＋2，当且仅当x ＝－时取等号．所以Error!解a x a a 得a ＝1.故选C.6．(2017·浙江考试院抽测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A. B. 23223C. D.33233答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝，13(1x －x )∴x ＋y ＝＋≥2＝(当且仅当x ＝时等号成立)．故选2x313x 2922322B.7．已知实数a >0，b >0，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·>m ，(a x ＋by )对任意的正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)答案 D解析 因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )·＝a ＋b ＋(a x ＋by )＋≥a ＋b ＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ，＝，即ayx bxy ab ayx bxy a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．故选D.8．(2017·忻州一中联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则的最小值是( )Sn ＋8an A.B.9272C ．2＋D ．2－212212答案 A解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝，n (1＋n )2∴＝＝Sn ＋8an n (n ＋1)2＋8n 12(n ＋16n ＋1)≥＝，12(2n ·16n＋1)92当且仅当n ＝4时取等号．∴的最小值是.故选A.Sn ＋8an 929．(2018·东北育才学校模拟)设＝(1，－2)，＝(a ，－1)，OA → OB→ ＝(－b,0)(a >0，b >0，O 为坐标原点)，若A ，B ，C 三点共线，则OC→＋的最小值是( )2a 1b A ．4 B. 92C ．8 D ．9答案 D解析 ∵＝－＝(a －1,1)，＝－＝(－b －1,2)，AB → OB → OA → AC→ OC → OA → 若A ，B ，C 三点共线，则有∥，AB→ AC → ∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴＋＝·(2a ＋b )2a 1b (2a ＋1b )＝5＋＋≥5＋2＝9，2ba 2ab 2b a ·2ab 当且仅当Error!即a ＝b ＝时等号成立．故选D.1310．(2018·河南洛阳统考)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则的最大b 2a 2＋2c 2值为( )A.＋2B.－2 66C ．2＋2 D ．2－222答案 B解析 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则≤＝，b 2a 2＋2c 24ac －4a 2a 2＋2c 24(ca －1)2(c a )2＋1且4ac －4a 2≥0，∴4·－4≥0，∴－1≥0，令t ＝－1，则ca ca ca t ≥0.当t ＞0时，≤＝≤＝－2b 2a 2＋2c 24t2t 2＋4t ＋342t ＋3t ＋4426＋46，当t ＝0时，＝0，故的(当且仅当t ＝62时等号成立)b 2a 2＋2c 2b 2a 2＋2c 2－2.故选B.6二、填空题11．(2014·福建高考)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析 设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2＝80＋20×4＝160.(当且仅当x ＝y 时取等号)xy 故该容器的最低总造价是160元．12．(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则＋的最小值为________．1a ＋11b ＋3答案 12解析 ∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8，∴＋1a ＋11b ＋3＝[(a ＋1)＋(b ＋3)]18(1a ＋1＋1b ＋3)＝18(2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3)≥(2＋2)＝，1812当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，∴＋的最小值为.1a ＋11b ＋31213．(2018·泰安模拟)正实数a 、b 满足＋＝6，则2a ＋2b 12a ＋b 4a ＋5b 的最小值是________．答案 32解析 正实数a 、b 满足＋＝6，2a ＋2b 12a ＋b 令a ＋2b ＝m,2a ＋b ＝n ，则正数m ，n 满足＋＝6，2m 1n 则4a ＋5b ＝2m ＋n ＝(2m ＋n )·16(2m ＋1n)＝≥＝，16(5＋2n m ＋2mn )16(5＋22n m ·2m n )32当且仅当＝即m ＝n ＝时取等号，2n m 2m n 12此时a ＝b ＝，故4a ＋5b 的最小值为.163214．已知x ，y 满足约束条件Error!且目标函数z ＝ax ＋by (a ，b ＞0)的最大值为4，则＋的最小值为________．4a 2b 答案 3＋22解析 画区域如图，易知目标函数在点A 处取得最大值，由Error!解得Error!所以2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2，所以＋＝＋＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋24a 2b 2(a ＋b )aa ＋b b 2ba ab 2ba ab ＝3＋2，2b a ·a b 2当且仅当＝，即Error!时，取等号．2b a ab 故＋的最小值为3＋2.4a 2b 2三、解答题15．(2017·太原期末)如图，围建一个面积为100 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其余三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，已知旧墙的维修费用为56元/米，新墙的造价为200元/米，设利用的旧墙长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求当x 为何值时，y 取得最小值，并求出此最小值．解 (1)由题意得矩形场地的另一边长为米，100x ∴y ＝56x ＋×200＝256x ＋－400(x ＞0)．(x ＋2·100x －2)40000x (2)由(1)得y ＝256x ＋－40040000x≥2－400＝6000，256x ·40000x当且仅当256x ＝时，等号成立，40000x即当x ＝米时，y 取得最小值6000元．25216．(2018·南昌模拟)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋(1＋p )x ＋p ＋2＝0的两个实根，c ＝4.(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 面积的取值范围．解 (1)由题意得tan A ＋tan B ＝－1－p ，tan A ·tan B ＝p ＋2，所以tan(A ＋B )＝＝＝1，tan A ＋tan B1－tan A tan B －1－p1－(p ＋2)故△ABC 中，A ＋B ＝，所以C ＝.π43π4(2)由C ＝，c ＝4及c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，3π4可得42＝a 2＋b 2－2ab ×，(－22)整理得16＝a 2＋b 2＋ab ，即16－ab ＝a 2＋b 2，22又a >0，b >0，所以16－ab ＝a 2＋b 2≥2ab ，2得ab ≤，当且仅当a ＝b 时取等号，162＋2所以△ABC 的面积S ＝ab sin C ＝×ab ×≤××＝12122212162＋222＝4－4，422＋22所以△ABC 面积的取值范围为(0,4－4]．2。
2025届高中数学一轮复习课件《基本不等式》ppt
当且仅当 a＋b＝ 3时等号成立，a－b＋a－2 b≥2 2，当且仅当 a－b＝ 2时等号成立，联
立aa－＋bb＝＝
3， 2，
a＝ 解得
b＝
3＋ 2
3－ 2
2， 2，
a＝ ∴当
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维度 3 常数代换法求最值
典例 3(1)(2024·湖南长沙一中模拟)已知 p，q 为正实数且 p＋q＝3，则p＋1 2＋q＋1 1的最
小值为( )
A．23
B．53
C．74
D．95
(2)(多选)(2024·山东菏泽模拟)已知 a＞0，b＞0，且1a＋1b＝1，则下列说法正确的是( )
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(3)当 x≥2 时，易知 y＝4x－2＋4x－1 5单调递增， x≥2 时，函数的单调性怎么确定呢？转化为复合函数. 即：y＝t＋1t ＋3，t＝4x－5，这 里 t≥3. 由复合函数易知其单调递增． ∴ymin＝4×2－2＋4×12－5＝139.
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理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
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一 基本不等式a＋2 b≥ ab 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立．
3．其中a＋2 b叫做正数 a，b 的 算术平均数 ， ab叫做正数 a，b 的 几何平均数 ．
高考一轮总复习•数学
当且仅当1a＝1b，即 a＝b＝2 时，等号成立，故 A 错误；因为 a＞0，b＞0，所以 a＋b＝ (a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当ba＝ab，即 a＝b＝2 时，
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2019-2020学年高考数学一轮复习讲义 第24课时 基本不等式 理
考纲要求：①了解基本不等式的证明过程.
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
教材复习
1.两个数的均值不等式：若,abR，则2ab≥ab（等号仅当ab
时成立）；
三个数的均值不等式：若,,abcR，则abc≥33abc（等号仅当abc时成立）
2.
几个重要的不等式：
① ab≤22ab≤222ab ②abc≤33abc；
③如果,abR，则222ab≥2ab≥ab≥211ab
3.
最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和
有最小值。
基本知识方法
1.
常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代
换等.
2.
当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.
典例分析．
问题1．求下列函数的最值：
113yxx3x；2121yxx1x；3241yxx
0x
；
323yxx0x；4 21yxx01x；5 21yxx
01x
621yxx
7
已知,,,abxyR（,ab为常数），1abxy，求xy的最小值
问题2．已知0x，0y，且1xy，求 2121xy的最大值.
问题3．求最小值1231()1xxfxx1x；2 223sinsinyxx
问题4．1设0x，0y，且()1xyxy，则
.A222xy.B222xy .C 221xy.D
2
21xy
2
已知x≥0，y≥0，且2212yx，求证：21xy≤324
3
若0ab, 求216()abab的最小值
课后作业：
1.已知1a那么11aa的最小值是 .A12aa .B 15 .C 3 .D2
2.已知：0ab
，求证：13aabb
3.
若103x，则213xx的最大值是 此时，x
4.已知30x，则29yxx的最小值为 .A92 .B92.C32.D
1
2
5.
已知实数yx,满足2x,12y则xyxy11的最小值和最大值分别为
.A 21，1 .B 43，1 .C 21，43 .D
1
，无最大值
6.
求2212sincosy0,2的最小值
7.当2n
时，求证：log(1)log(1)1nnnn．
8.已知正数a、b满足13baab,则ab
的最大值是
9.
下列函数中，y的最小值为4的是
.A4yxx.B222(3)2xyx .C4xxyee .D
4
sin(0)sinyxxx
10.若0,0ab，且21ab
，则2224sabab的最大值是
.A212 .B12 .C212 .D
12
11.（08
内江二中）已知2lg8lg2lg,0,0yxyx，则yx311的最小值是
.A2 .B22 .C4 .D
32
12.
若a是正实数，222310ab，则22ab的最大值是
13.要使不等式xykxy对所有正数,xy都成立，试问k
的最小值是
14.（07
届高三西安市第一次质检）02，由不等式1tantan≥2，
222tantan22tantan222tan≥3，3
3
3
tantan
3
3
tantantan3
333tan
≥4，…，启发我们得到推广结论：
tantanna
≥1n*nN，则a
15.
已知：x、yR，280xyxy，求xy的最小值
走向高考：
16.(04
湖南)设,0,0ba则以下不等式中不恒成立．．．．的是
.A4)11)((baba .B
233
2abba
.Cbaba22222 .D
baba||
17.（05
重庆）若,xy是正数，则22)21()21(xyyx的最小值是
.A3 .B27.C4.D
2
9
18.(05
福建文)下列结论正确的是
.A当0x且1x时，则1lg2lgxx .B当0x
时，12xx
.C当x≥2时，1xx的最小值为2 .D当02x
时，1xx无最大值
19.（06陕西）已知不等式1axyxy≥9
对任意正实数,xy恒成立,则正实数a的
最小值为 .A2 .B4 .C6 .D8
20.（06重庆文）若,,0abc且222412aabacbc，则abc
的最小值是
.A23 .B3 .C2 .D
3
21.（06重庆）若,,0abc且423aabcbc,则2abc
的最小值为
.A31 .B31 .C232 .D
232
22.（07山东）函数log(3)1ayx（0a，1a
）的图象恒过定点A，若点A在
直线10mxny上，其中0mn，则12mn的最小值为
23.（07
上海）若xyR+，，且14yx，则xy的最大值是
24.（06上海）若关于x的不等式xk)1(2≤4k4的解集是M，则对任意实常数k
，
总有 .A2M，0M .B2M，0M.C2M，0M .D2M，0M
25.（2013陕西）已知,,,abmn均为正数, 且1ab, 2mn
，则
ambnbman
的最小值为
26.（09重庆）已知0,0ab，则112abab的最小值是.A2.B22.C4.D5
27.（2011重庆）已知0a，0b，2ab
，则14yab的最小值是
.A72 .B4 .C92 .D5
28.（2013
山东）设正实数,,xyz满足22340xxyyz，则当xyz取得最大值时，
212
xyz
的最大值为 .A0 .B1 .C94 .D3
29.（2011
湖南）设,xyR,则222211()(4)xyyx的最小值为
30.（06
上海）已知函数y＝axx有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在
0,a
上是减函数，在,a上是增函数．
1如果函数y＝2bxx（0x）的值域为
6,
，求b的值；
2
研究函数y＝22cxx（常数0c）在定义域内的单调性，并说明理由；
3
对函数y＝axx和y＝22axx（常数0a）作出推广，使它们都是你所推广的函
数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(xF＝
nxx)1(2＋n
xx)1(2
（n是正整数）在区间1,22上的最大值和最小值（可利用你的
研究结论）．