一种不完备信息系统的约简方法

第27卷第1期 辽 宁 工 学 院 学 报 V ol.27,No.12007年 2 月 Journal of Liaoning Institute of Technology Feb.2007收稿日期：2006-09-14作者简介：周玉新(1977-)，男，山东聊城人，硕士生。

周 军(1966-)，女，吉林郑家屯人，教授，博士生。

一种不完备信息系统的约简方法周玉新，周 军，梅红岩（辽宁工学院 计算机科学与工程学院，辽宁 锦州 121001）摘 要：提出了一种基于覆盖粗糙集理论、利用最大一致块技术进行不完备信息系统约简的方法。

在证明利用最大一致块技术生成的相容类构成论域的最简覆盖基础上，利用覆盖粗糙集理论对已利用最大一致块技术进行属性约简的信息系统进行属性值约简，并提出一种新的约简算法。

关键词：不完备信息系统；约简；覆盖粗糙集；最大一致块；粗集中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1005-1090(2007)01-0014-04Reduct Method of Incomplete Information SystemZHOU Yu-xin, ZHOU Jun, MEI Hong-yan（Computer Science & Engineering College, Liaoning Institute of Technology, Jinzhou 121001, China ）Key words: incomplete information system; reduct; covering rough set; maximal consistent block;rough setAbstract: The paperproposed a reduct method of an incomplete information system based on covering rough set theory and maximal consistent block technique. On the base of minimal covering constructed by the tolerance classes from the maximal consistent block technique, the attribute value reduct was carried through by the covering rough set theory on the system that has been reduced in attributes by the maximal consistent block technique. In addition to that effect, a new reduct algorithm was proposed.粗集理论是由波兰数学家Z. Pawlak [1]提出的一种新的用确定性方法处理不确定性和模糊性知识的理论方法，在基于知识的各种信息系统中发挥着独特的优势，现在已广泛应用于知识发现、机器学习、决策支持、模式识别等领域。

它的核心内容之一是约简，包括属性约简和属性值约简。

国内外很多研究者对之进行了研究[2~8]，已经证明，求粗集的最小约简是NP 完全问题。

尽管粗集理论的理论研究已取得很大的进展，但大都集中在信息系统的属性约简方面，到目前为止，属性值约简方面的方法相对较少。

Yee Leung 和Deyu Li [2]扩充了经典粗集理论，提出了最大一致块的概念，并用于不完备信息系统的属性约简。

Zakowski 将经典粗集理论和覆盖理论相结合，提出了覆盖粗糙集模型[6]，并讨论了相关的性质。

William Zhu 和Fei-Yue Wang [7]在此基础上给出了约简的概念和方法，并证明了一个覆盖通过约简得到的最简覆盖是惟一的，而且最简覆盖相同的两个覆盖产生相同的覆盖上、下近似。

本文将最大一致块技术和覆盖粗集理论相结合，提出了一种新的不完备信息系统约简算法。

首先利用最大一致块技术对原始的不完备信息系统进行属性约简，在此基础上利用覆盖粗糙集理论对已进行属性约简的信息系统进行属性值的约简，以尽可能最大程度地去除信息系统中的冗余信息，仅保留有用的信息，大大简化后继的规则提取工作。

第1期 周玉新等：一种不完备信息系统的约简方法 151 基本理论和概念这里给出本文用到的一些主要概念和结论。

定义1[2] 设S =(U ,AT )是一个不完备信息系统，A ⊆AT ，X ⊆U . 则说X 在A 下是一致的，如果对任意x , y ∈X 有(x , y )∈SIM (A )。

如果不存在子集Y ⊆U 并且Y 在A 下是一致的，那么X 称为A 下的最大一致块。

用M (A )表示由A ⊆AT 所确定的最大一致块的集合，M x (A )表示由A ⊆AT 所确定的包含对象x ∈U 的最大一致块的集合。

在此基础上，定义U /SIM (AT )={M x (AT )| x ∈U }，则U /SIM (AT )中的相容类构成U 的覆盖，并且满足U /SIM (AT )=U .上、下近似定义为：定义2[2] }|)({X Y A M Y X A ⊆∈=∪，}|)({φ≠∈=X Y A M Y X A ∩∪定义3[7] 设<U ,C >是一个近似空间，x ∈U ，称集类Md(x )={K ∈C ∧C S ∈∀(∧S x ∈∧)}S K K S =⇒⊆为x 的最小描述。

对于集合X ⊆U ，称集类C *(X )={ K ∈C |K ⊆X }为X 的覆盖下近似类。

称X *=∪C *(X )为X 的覆盖下近似；称X **=X -X *为X 的覆盖边界；称集类Bn(X )={Md(x )|x ∈X **}为X 的覆盖边界近似集类，集类C *(X )=C *(X ) ∪Bn(X )为X 的覆盖上近似集类；称X *=∪C *(X )为X 的覆盖上近似。

如果C *(X )=C *(X )，就说X 是精确的，否则，就说X 是不确定的。

最简覆盖：定义4[7] 设C 是论域U 的一个覆盖，K ∈C ，如果K 是C －{K }中的一些元素的并集，就说K 是C 的一个可约简的元素，否则，就称K 是C 的一个不可约简的元素。

定义5[7] 设C 是论域U 的一个覆盖，如果C 的每个元素都是不可约简的，则称C 是不可约简的；否则，称C 是可约简的。

命题1[7] 设C 是论域U 的一个覆盖，如果K 是C 的一个可约简的元素，则C －{K }也是U 的一个覆盖。

命题2[7] 设C 是论域U 的一个覆盖，K ∈C ，K 是C 的一个可约简的元素，K 1∈C －{K }，则K 1是C 的一个可约简的元素当且仅当它是C －{K }的一个可约简元素。

由上面两个命题可知，删除一个覆盖的可约简元素后所得的仍然是一个覆盖，并且删除一个覆盖的可约简元素后不会产生任何新的可约简元素，也不会使原来的可约简元素变成新覆盖下的不可约简元素。

因此，可以通过同时删除一个覆盖的所有可约简元素或者一步删除一个可约简元素的方法来得到一个不可约简元素的覆盖。

删除覆盖的可约简元素的过程，称为覆盖约简。

定义6[7] 设C 是论域U 的一个覆盖，则通过覆盖约简而得到的新的不含可约简元素的覆盖为C 的最简覆盖，记为Reduct (C )。

2 基于覆盖粗糙集的约简在通常的信息系统中，由于论域中的元素对每个属性可能是缺省的、不精确的、多属性值的情况，所以按某个或某些属性对论域进行分类所得的结果一般并不是论域的一个划分，而是论域的一个覆盖。

也就是说，在通常的信息系统中并不存在等价关系。

根据覆盖粗糙集的性质和Yee Leung 、Deyu Li 提出的最大一致块的概念，可以得到：命题3 设S =(U ,AT )是一个不完备信息系统，则由U /SIM (AT )={M x (AT )| x ∈U }所确定的相容类U /SIM (AT )构成U 的一个覆盖，并且是最简覆盖。

证明 已知U /SIM (AT )构成U 的一个覆盖，如果U /SIM (AT )不是U 的最简覆盖，则根据最简覆盖的定义，肯定存在一个元素K ∈U /SIM (AT )是U /SIM (AT )中几个元素的并集。

不妨假设K =K 1∪K 2且K 1≠K 2.则根据最大一致块的定义，存在x ∈K 1\K 2.又因为对任意x , y ∈K ，有(x , y )∈SIM (AT )，所以对任意z ∈K 2，有(x , z )∈SIM (AT )，所以x ∈K 2，矛盾，命题得证。

如此，通过利用最大一致块技术对原始不完备信息系统进行处理便得到了论域的最简覆盖。

文献[8]描述了信息系统约简的一般方法： (1)删除重复的实例； (2)删除多余的属性；(3)对每个实例删除多余的属性值； (4)求出最小约简；如果所面临的最终任务是机器学习或从数据库中发现规则，那么还需以下步骤：(5)根据最小约简，求出逻辑规则。

Yee Leung 和Deyu Li 在提出最大一致块概念的同时，利用区分函数对不完备信息系统进行了属性约简。

在这里，同样借鉴这种方法首先对原始的不完备信息系统进行属性约简，并同时得到了不完备信息系统的最简覆盖。

在此基础上，利用覆盖粗糙集理论对属性约简后的系统进行属性值约简，以尽可能地去掉不完备信息系统中的冗余信息。

16 辽宁工学院学报 第27卷定义7设〈U，C〉是一个覆盖近似空间，AT 是论域U上的非空属性集，a∈AT，V a是a的值域。

如果将某个实例的属性值a(x)去掉后，不会将不属于同一个相容类的两个实例划入同一个相容类，则称a(x)是不必要的，或者可约简的，否则称为必要的，或不可约简的。

信息表的属性值约简，就是利用某种算法，去掉信息表中所有的不必要属性值的过程。

算法的处理过程如图1所示。

图1 信息系统处理流程图具体算法描述如下：算法(不完备信息系统约简方法）：利用最大一致块技术和覆盖粗糙集理论对信息系统进行约简。

输入：原始信息系统S1=(U, AT, f)，信息系统中的记录数N1，属性数N2.输出：已进行属性约简和属性值约简的信息系统S2=(U’, AT’, f)。

步骤：(1)for(i=1;i<= N1;i++)for(j=i+1;j<= N1;j++){ if 记录j==记录i then delete记录j；N1= N1-1;}(2)for(i=1;i<= N1;i++){S AT(i)={i};for(j=i+1;j<= N1;j++){对AT中的任意属性aif f a(i)==NULL或f a(j)==NULL或f a(i)==f a(j)then S AT(i)=S AT(i){∪j};} }(3)for(i=1;i<= N1;i++)for(j=i+1;j<= N1;j++)if i∈S AT(j) then M i(AT)=S AT(i)∩S AT(j);(4)for(i=1;i<= N1;i++)for(j=i+1;j<= N1;j++){α(i, j)=Φ;对AT中的任一属性aif f a(i)!=NULL且f a(j)!=NULL且f a(i)!=f a(j)then α(i, j)=α(i, j)∪a;}(5)∏×∈=Δ)()(),(),(ATMATMYXATYXα其中∏∑×∈=YXyxATyxYX),(),(),(αα由上(1)~(5)，利用最大一致块技术得到对原信息系统进行属性约简后的信息系统。