圆的方程

圆的方程 【知识要点】 一、圆的标准方程 1、圆的定义 圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 由此我们可知：以点(,)Cab为圆心，以

r为半径的圆的标准方程为222()()xaybr.

2、圆的标准方程的推导 设圆心为(,)Cab，半径为r，点M满足的条件为PMMCr. 由两点距离

公式可知，点(,)Mxy满足的条件为22()()xaybr. 把上式两边平方，得：222()()xaybr 即圆的彼岸准方程为222()()xaybr.

3、圆的标准方程的特点 圆的标准方程显示了圆心的位置和半径的大小. 确定圆的要素有两个：圆心和半径，其中圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小. 在确定圆的过程中，如果由已知条件容易求出圆心坐标和半径或需要利用圆心、半径的有关条件列方程时，一般利用圆的标准方程求解.

4、圆的几个特殊位置的标准方程 （1）圆心在原点(0,0)O，半径为r的圆的标准方程为222xyr； （2）半径为r且与x轴相切于点(,0)a的圆的标准方程为222()()xayrr； （3）半径为r且与y轴相切于点(0,)b的圆的标准方程为222()()xrybr； （4）半径为r且与x轴、y轴都相切的圆的标准方程为222()()xryrr. 二、圆的一般方程 1、方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件 二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件为： ①0AC； ②0B； ③2240DEAF. 其中，条件①与条件②皆为二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的必要条件. 因为若二元二次方程220AxBxyCyDxEyF仅满足条件①与条件②，那么二元二次方程220AxBxyCyDxEyF可以转化为220DEFxyxyAAA.

对上式配方可得：222224()()224DEDEAFxyAAA （i）当2240DEAF时，原方程表示一个点(,)22DEAA； （ii）当2240DEAF时，原方程不表示任何图形； （iii）当2240DEAF时，原方程表示一个圆，其圆心为(,)22DECAA，

半径为2242DEAFrA.

2、圆的一般方程 二元二次方程220xyDxEyF表示圆的充要条件为：2240DEF. 对二元二次方程220xyDxEyF，配方可得：22224()()224DEDEFxy

 （i）当2240DEF时，原方程表示一个点(,)22DE； （ii）当2240DEF时，原方程不表示任何图形； （iii）当2240DEF时，原方程表示一个圆，其圆心为(,)22DEC，半径

为2242DEFr. 因而，当2240DEF时，我们把方程220xyDxEyF叫作圆的一般方程.

3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化 （1）圆的一般方程化为圆的标准方程： 把圆的一般方程：220xyDxEyF（注意隐含条件：2240DEF）

配方可得圆的标准方程：22224()()224DEDEFxy； （2）圆的标准方程化为圆的一般方程： 把圆的标准方程：222()()xaybr展开可得圆的一般方程：22222220xyaxbyabr.

三、点与圆的位置关系 1、平面内一点与圆的位置关系的判定 已知圆的方程为222()()xaybr，显然圆心为(,)Cab，半径为r，那么平面内一点00(,)Pxy与圆222()()xaybr的位置关系有： （1）点P在圆上22200()()xaybrPCr； （2）点P在圆内22200()()xaybrPCr； （3）点P在圆外22200()()xaybrPCr. 2、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离 平面内一点P到圆上的点的最大距离为PCr；点P到圆上的点的最小距离为PCr（其中，C为圆的圆心，r为圆的半径）.

四、确定圆的方程的方法 确定圆的方程的重要方法是待定系数法. 1、如果已知条件中圆心的位置易于确定，则可以选择圆的标准方程列方程组、求系数，即列出关于a、b、r的方程组，求出a、b、r的值，或直接求出圆心(,)ab及半径r. 一般步骤如下： Step 1：根据题意，设所求圆的标准方程为222()()xaybr； Step 2：根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； Step 3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程. 【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定其圆心(,)ab及半径r，这样的话，将会大大减少计算量. 一般可以利用圆心的三个几何性质： ①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ②圆心在某一条弦的垂直平分线上； ③圆心在圆的任意一条直径上，且为直径的中点.

2、如果已知条件中圆心的位置不确定或难以确定，则可以选择圆的一般方程列方程组、求系数. 在圆的一般方程220xyDxEyF中，含有三个相互独 立的参数D、E、F，因此，必须具备三个独立的条件才能通过列出关于D、E、F的方程组，求出D、E、F的值，最终确定出圆的一般方程. 一般步骤如下： Step 1：根据题意，设所求圆的一般方程为220xyDxEyF； Step 2：根据已知条件，建立关于D、E、F的方程组； Step 3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.

五、圆的直径式方程的求法 设11(,)Axy、22(,)Bxy是圆的某条直径的两个端点，(,)Pxy为圆上任意异于点A、

B的一点，则90APB，即PAPB，于是有1PAPBkk，而11PAyykxx，

22PB

yykxx

，12121yyyyxxxx，故有1222()()()()0xxxxyyyy，此

即圆的直径式方程.

六、常见的圆系方程 1、过定直线与定圆的交点的圆系方程 过定直线l：0AxByC和定圆220xyDxEyF的交点的圆系方程为22()0xyDxEyFaAxByC.

2、过两圆的交点的圆系方程 过两圆221110xyDxEyF和222220xyDxEyF的交点的圆系方程为2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF，特别地，当1时，该方程表示两圆公共弦所在直线的方程. 【例题解析】 题型1 圆的定义 1、若方程222(2)20axayaxa表示圆，则a_______. 解：方程222(2)20axayaxa表示圆 2122aaaa或 （ⅰ）若1a，则原方程即为01222xyx，亦即2)122yx（，表示圆；

（ⅱ）若2a，则原方程即为0244422xyx，亦即02122xyx)( 这里，21,0,1FED. 由于01201422FED 因此，方程)(不表示任何图形。 故1a

题型2 圆心到直线的距离 2、圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a_______.

解：圆34-2228130xyxy的标准方程为3)4()1(22yx，圆心为（1，4） 圆心（1，4）到直线10axy的距离为1

34111412a

a

a

题型3 圆的标准方程和一般方程 3、经过坐标原点和点)1,1(P，且圆心在直线0132yx上的圆的方程为 _______. 解：10101opk，OP中点为)21,21( OP的中垂线方程为21)21(121xxy，即01yx

所求圆的圆心在直线0132yx上，而弦OP的中垂线也过圆心

联立010132yxyx可得34yx，此即所求圆的圆心为（4，-3）

又圆的半径5)03()04(22r 故圆的方程为25)3()4(22yx

4、经过点)2,3(A，(5,2)B且圆心在直线230xy上的圆的方程为_______.

解：2)3(522ABk，AB中点为)0,4( AB的中垂线方程为)4(210xy，即042yx

所求圆的圆心在直线230xy上，而弦AB的中垂线也过圆心

联立042032yxyx可得12yx，此即所求圆的圆心为（-2，-1）

又圆的半径10)21()3(222r 故圆的方程为10)1()2(22yx

5、若圆心在x轴上、半径为5的O位于y轴左侧，且与直线20xy相切。则O的方程为_______. 解：设圆心为)0,(a，由题意知，0a