新课标2017春高中数学第1章解三角形综合素质检测新人教B版必修5
2017春人教B版高中数学必修五检测：本册综合素质检测2 含解析 精品
本册综合素质检测(二)(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2 017是等差数列4,7,10,13，…的第几项导学号 27542994( D ) A ．669 B ．670 C ．671D ．672[解析] 等差数列的第n 项a n ＝3n ＋1，令3n ＋1＝2 017，∴n ＝672.2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为导学号 27542995( C )[解析] 由f (x )>0的解集为{x |－2<x <1}知，f (x )开口向下，对称轴在y 轴左侧，又y ＝f (－x )与y ＝f (x )图象关于y 轴对称．∴f (－x )图象开口向下，对称轴在y 轴右侧，故选C ．3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是导学号 27542996( C )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝60°B ．a ＝6，c ＝5，b ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝7，b ＝5，A ＝60°[解析] 选项C 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa ＝16×2214＝427<1，∵b >a ，∴B >A ，∴角B 有两个解，故选C ．4．已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为导学号 27542997( B )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，24)∪(7，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)[解析] 由题意得[3×(－3)－2×(－1)－a ][3×3－2×(－6)－a ]<0，即(－7－a )(24－a )<0，∴(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24.5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q 的大小关系是导学号 27542998( A )A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．无法确定[解析] 由等比知识得，Q ＝a 5·a 7＝a 3·a 9 而P ＝a 3＋a 92且a 3＞0，a 9＞0，a 3≠a 9∴a 3＋a 92＞a 3·a 9，即P ＞Q . 6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6(x ≥0)x ＋6(x <0)，则不等式f (x )>f (1)的解集是导学号 27542999( A )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)[解析] ∵f (1)＝32－4×3＋6＝3，∴当x ≥0时，原不等式化为x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，原不等式化为x ＋6>3，∴－3<x <0，故原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．7．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是导学号 27543000( B )A ．[1,3]B ．[3,5]C ．[5,7]D ．[7,9][解析] 由题意列不等式24 000×(20－52t )×t %≥9 000，即24100(20－52t )t ≥9 ，所以t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5，故当耕地占用税的税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9 000万元．8．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4等于导学号 27543001( A )A ．－53B ．－35C ．35D ．53[解析] 在等比数列{a n }中，a 2a 3＝－98，∴a 1a 4＝a 2a 3＝－98，∴a 1a 2a 3a 4＝8164.∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4 ＝a 2a 3a 4＋a 1a 3a 4＋a 1a 2a 4＋a 1a 2a 3a 1a 2a 3a 4＝－98a 4－98a 3－98a 2－98a 1a 1a 2a 3a 4＝－98(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)a 1a 2a 3a 4＝－98×158×6481＝－53.9．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2x ≥0y ≥0所表示的平面区域与圆面x 2＋(y －2)2≤2相交的公共区域的面积为导学号 27543002( B )A ．π8B ．π4C ．π2D ．π[解析] 画出可行域如图△OAB ，它与圆面相交的公共区域为扇形BEF ， ∵∠OBA ＝π4，圆半径为2，∴扇形面积为S ＝12×π4×(2)2＝π4.10．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝导学号 27543003( A )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理得，c ＝23b ， 把它代入a 2－b 2＝3bc 得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b＝6b 243b2＝32， 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.11．设a 、b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是导学号 27543004( C ) A ．－2 2 B ．－533C ．－3D ．－72[解析] 设a ＋b ＝t ，则a ＝t －b ， 代入a 2＋2b 2＝6中得，(t －b )2＋2b 2＝6， 整理得3b 2－2tb ＋t 2－6＝0， ∵b ∈R ，∴△＝4t 2－12(t 2－6)≥0， ∴－3≤t ≤3，即(a ＋b )min ＝－3.12．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为导学号 27543005( D )A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件 [解析] 设该商贩购买甲、乙两种商品的件数为x 件和y 件，此时该商贩赚的钱为z 元，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50x ，y ∈N *，z ＝x ＋1.8y . 如图所示，经分析可知，要使z 最大，则只需通过点(2,6)，∴当x ＝2，y ＝6时，z max＝2＋1.8×6＝12.8.故选择D ．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为－1≤a ≤0. 导学号 27543006[解析] 2x 2＋2ax －a －1≥0⇔x 2＋2ax －a ≥0，∴Δ≤0， ∴－1≤a ≤0.14．等差数列{a n }的前3项和为20，最后3项和为130，所有项的和为200，则项数n 为8. 导学号 27543007[解析] 由已知，得a 1＋a 2＋a 3＝20， a n ＋a n －1＋a n －2＝130， ∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， ∴3(a 1＋a n )＝150，∴a 1＋a n ＝50. ∴n (a 1＋a n )2＝25n ＝200，∴n ＝8. 15．已知定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为[－2，－23)∪(0，23).导学号 27543008[解析] 画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象，如图所示，交点坐标为(23，23)和(－23，－23)，(0,0)，由图知，解集为[－2，－23)∪(0，23)．16．已知数列{a n }中，a n ＝3n ，把数列{a n }中的数按上小下大，左小右大的原则排列成如下图所示三角形表：3 6 9 12 15 18 21 24 27 30……设a (i ，j )(i 、j ∈N ＋)是位于从上到下第i 行且从左到右第j 个数，则a (37,6)＝2_016. 导学号 27543009[解析] 三角形数表中，每一行的第1个数构成数列{b n }，b 1＝3，b 2＝6，b 3＝12，b 4＝21，…，∴b 2－b 1＝3，b 3－b 2＝6，b 4－b 3＝9，…，b n －b n －1＝3(n －1)，将上述n －1个式子相加得b n －b 1＝3＋6＋9＋…＋3(n －1) ＝[3＋3(n －1)](n －1)2＝3n (n －1)2，∴b n ＝b 1＋3n (n －1)2＝3＋3n (n －1)2∴b 37＝3＋3×37×362＝2 001.∴第37行的第1个数为2 001，∴第37的第6个数为a (37,6)＝2001＋3×5＝2 016.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数.导学号 27543010[解析] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq ＋a ＋aq ＝114①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝aq ＋(4－1)·d .则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7. 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋c .导学号 27543011 (1)当c ＝19时，解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)，求实数a 、c 的值． [解析] (1)由已知有：f (1)＝－3＋a (6－a )＋19>0， 即a 2－6a －16<0，解得：－2<a <8. 所以不等式的解集为：(－2,8)．(2)由关于x 的不等式f (x )>0的解集是(－1,3)可知：－1,3是关于x 的方程3x 2－a (6－a )x －c ＝0的两个根，则有⎩⎨⎧Δ>0－1＋3＝a (6－a )3－1×3＝－c3，解得：a ＝3±3，c ＝9.19．(本题满分12分)已知递增等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36.导学号 27543012(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ＋12，求数列{a 2n ·b n }的前n 项和S n . [解析] (1)由题意，得a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25， ∴a 23－2a 3a 5＋a 25＝(a 3－a 5)2＝36，∵a 3<a 5，∴a 5－a 3＝6，又∵a 1＝1.∴q 4－q 2－6＝0，∴q 2＝3. ∵q >0，∴q ＝ 3. ∴a n ＝a 1q n －1＝(3)n －1.(2)a 2n ＝3n －1， b n ＝log 3a n ＋12＝log 33n －12＋12＝n －12＋12＝n 2.∴a 2n ·b n＝n 2·3n －1. ∴S n ＝12＋22·31＋32·32＋…＋n 2·3n －1∴3S n ＝12·31＋22·32＋…＋n －12·3n －1＋n 2·3n ，两式相减，得－2S n ＝12＋32＋322＋…＋3n －12－n ·3n2＝12(1＋3＋32＋…＋3n －1)－n ·3n 2＝12×1－3n1－3－n ·3n 2＝14(3n －1)－n ·3n 2 ＝3n (1－2n )－14.∴S n ＝(2n －1)·3n ＋18.20．(本题满分12分)台湾是祖国不可分割的一部分，祖国的统一是两岸人民共同的愿望，在台湾海峡各自的海域内，当大陆船只与台湾船只相距最近时，两船均相互鸣笛问好，一天，海面上离台湾船只A 的正北方向100 n mile 处有一大陆船只B 正以每小时20 n mile 的速度沿北偏西60°的方向行驶，而台湾船只A 以每小时15 n mile 的速度向正北方向行驶，若两船同时出发，问几小时后，两船鸣笛问好？导学号 27543013[解析] 设x h 后，B 船至D 处，A 船至C 处，BD ＝20x ，BC ＝100－15x ，∵x >0,100－15x >0，∴0<x <203，由余弦定理，得DC 2＝(20x )2＋(100－15x )2－2·20x ·(100－15x )·cos120 ° ＝325x 2－1 000x ＋10 000＝325⎝⎛⎭⎫x －20132＋10 000－10 00013⎝⎛⎭⎫0<x <203. ∴x ＝2013h 后，两船最近，可鸣笛问好．21．(本题满分12分)设△ABC 的内角为A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝a －12c .导学号 27543014(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．[解析] 解法一：(1)∵b cos c ＝a －12c ，∴由余弦定理，得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a －12c ，∴a 2＋b 2－c 2＝2a 2－ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴2ac cos B ＝ac ， ∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋c ＋1，由(1)知a 2＋c 2－1＝ac ， ∴(a ＋c )2－1＝3ac ，∴(a ＋c )2＝1＋3ac ≤1＋34(a ＋c )2，∴(a ＋c )2≤4，∴a ＋c ≤2. 又∵a ＋c >1，∴l ∈(2,3]．解法二：(1)∵b cos C ＝a －12c ，∴由正弦定理，得sin B cos C ＝sin A －12sin C ，∴sin B cos C ＝sin(B ＋C )－12sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C －12sin C ，∴cos B sin C ＝12sin C ，∵sin C ≠0，∴ocs B ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3.由正弦定理，得b sin B ＝a sin A ，∴a ＝b sin A sin B ＝233sin A ，同理可得c ＝233sin C ，∴a ＋c ＝233(sin A ＋sin C )＝233[sin A ＋sin(2π3－A )]＝233(sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π6)．∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6，∴12<sin(A ＋π6)≤1， ∴1<2sin(A ＋π6)≤2，∴△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]， 故△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．22．(本题满分14分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).导学号 27543015(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求最小总费用． [解析] (1)设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x－360(x >0)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．。
高中数学人教B版必修5第1章《解三角形》(1.2 第1课时)同步课件
∴AE＝2csoisn1350°°＝
2×12 6＋
＝ 2
6－
2.
4
在△ABC 中，已知 A＝45°，cosB＝45. (1)求 cosC 的值； (2)若 BC＝10，D 为 AB 的中点，求 CD 的长．
[解析]
(1)∵A＝45°，∴cosA＝
22，sinA＝
2 2.
又∵cosB＝45，∴sinB＝35.
第一章 解三角形
第一章 1.2 应用举例 第1课时 距离问题
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上
作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距
“蓝天号”20n mile的B处．现在“白云号”以10n
mile/h的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时
小岛A周围38 n mile内有暗
礁，一船正向南航行，在B处
测得小岛A在船的南偏东30°，
航行30 n mile后，在C处测
得小岛在船的南偏东45°，
如果此船不改变航向，继续
向南航行，有无触礁的危险？
• [分析] 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决
于A到直线BC的距离与38 n mile的大小，于是我们 只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，
∴x＝503 6 n mile.
• 4．在相距2 km的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB ＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为
______ km.
[答案] 6
[解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°， 由正弦定理，得siAn6C0°＝sinA4B5°，∴AC＝ 22·23＝ 6. 2
高中数学人教B版必修5第1章《解三角形》章末归纳提升课件
图 1－1
【解】 在△ABC 中，由正弦定理，得 sin A＝BCAsiBn C＝
85×sin 340
80°≈0.246
2.
∵BC<AB，∴∠A 为锐角，得∠A≈14°15′.
∴∠B ＝180°－( ∠A ＋∠C)≈180°－(14°15′＋80°) ＝
85°45′.
由正弦定理，得
AC
＝
ABsin B sin C
≈
340×sin 85°45′ 0.984 8
≈344.3(mm)．
∴ AA0 ＝ A0C － AC ＝ (AB ＋BC) － AC≈(340 ＋ 85) － 344.3 ＝80.7≈81(mm)，
即活塞移动的距离约为 81 mm.
转化与化归思想
转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或 寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也 就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决 问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．
CA ＝2.
(2)由ssiinn CA＝2，得 c＝2a. 由余弦定理及 cos B＝14，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2. 所以 b＝2a. 又 a＋b＋c＝5，从而 a＝1，因此 b＝2.
正弦定理和余弦定理的实际应用
正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应 用．常见的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题 等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知 量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最 后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解 题时还要注意近似计算的要求．
【规范解答】 由aa3＋＋bb3－－cc3＝c2，得 a3＋b3－c3＝c2(a＋ b)－c3，
人教新课标版数学高二-数学必修5第一章《解三角形》知识整合
数学·必修5(人教A版)一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标：1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题．3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”．“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．二、学数学的最终目的是应用数学．能把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解．一般地，解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．把a＝k sin A，b＝k sin B代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系．5．余弦定理是三角形边角之间的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．6．余弦定理的应用范围是：①已知三边，求三角；②已知两边及一个内角，求第三边．7．已知两边及其中一边所对的角用余弦定理时可能有两个解，注意用三边特点取舍．解决实际测量问题一般要充分理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解．8．解斜三角形应用题的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．9．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：(1)A、B两点都在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是可到达一侧再找一点进行测量．(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量．10．利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．11．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算．12．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．13．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．14．许多试题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．15．本章问题的高考要求不高，学习时要立足基本问题，熟练掌握测量的一般技巧，正确使用定理列方程求解，无须过多延伸与拓广．题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a .解析：如图，设CD ＝DB ＝x ，在△ACD 中，cos C ＝72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ，在△ACB 中，cos C ＝72＋(2x )2－422×7×2x， 所以72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ＝72＋(2x )2－422×7×2x. 解得x ＝92. 所以a ＝2x ＝2×92＝9.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：由余弦定理得BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝2 3.∵BC ＝CD ＝2，C ＝120°，∴∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×4×23sin 90°＋12×2×2×sin 120°＝5 3. 答案：5 3题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．解析：解法一：由正弦定理可得2sin B ＝sin A ＋sin C ，∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，A ＝120°－C ，将其代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ，展开整理，得32sin C ＋12cos C ＝1，∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°.∴C ＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 是正三角形．解法二：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°. ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形．题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a ，b ，A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin B ＝b sin A a .若sin B ＞1，则无解；若sin B ＝1，则有一解；若sin B ＜1，则可能有两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a ，b ，A ，由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B得： ①当b sin A ＜a ＜b 时，有两解，此时23＜b ＜43；②当a ≥b 时或B 为90°(b 为斜边)时，有一解，此时b ≤23或b ＝43；③当a ＜b sin A 时无解，此时b ＞4 3.题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解析：如下图，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，高中数学-打印版精校版DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130， EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理得：cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF ＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.。
(完整word版)1高中数学必修5第一章_解三角形全章教案(整理)
课题: §1．1．1正弦定理如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcA B C ==思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =， C 同理可得sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B=sin c C= A c B从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin abA B =sin cC =[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；（2）sin sin ab A B =sinc C=等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
例1．在∆ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。
例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 1.2 应用举例》_30
第一课时 1.2 应用举例（一）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝＋1)，c ＝，则∠A 为 .2.在△ABC 中，sin A ＝sin sin cos cos B C B C++，判断三角形的形状. 解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1. 教学距离测量问题：① 出示例1：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ).分析：实际问题中已知的边与角？ 选用什么定理比较合适？→ 师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？ ③ 出示例2：如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD =a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA =α，∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→ 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC =sin()sin[180()]a γδβγδ+︒-++ =sin()sin()a γδβγδ+++， BC =sin sin[180()]a γαβγ︒-++=sin sin()a γαβγ++. 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =④ 练习：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60︒，∠ACD =30︒，∠CDB =45︒，∠BDA =60︒. （答案：AB .2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1. 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°. A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离. ()2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B在观察站C 南偏东60︒，则A 、B a km ）3. 作业：教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例（二）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m )③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？ 分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C, BC =sin sin AB A C =5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？ 答案：(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？ 如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1. 教学角度的测量问题：① 出示例1：甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时10(3＋1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.分析：根据题意，如何画图？ →解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→ 学生讲述解答过程 （答案：630） → 小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？② 练习：已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°，甲船自A 以50海里／小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的 →解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？ ③ 出示例2：某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？ → 寻找三角形中的已知条件和问题？ →如何解三角形.→ 师生共同解答. （答案：北偏东8331'︒方向；1.4小时）④ 练习：某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2. 小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1. 我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2. 某时刻A 点西400千米的B 处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？3. 作业：教材P22 习题1.2 A 组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明. 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1. 教学面积公式：①讨论：∆ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha 、hb、h c，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=12absin C，S=1bcsin A,S=12acsinB③练习：已知在∆ABC中，∠B=30︒,b=6,c求a及∆ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答. →小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2. 教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a = b cos C + c cos B；b = a cos C + c cos A；c = a cos B + b cos A.分析：如何证明第一个式子？证一：右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二：右边= 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2：在∆ABC中，求证：（1）222222sin sin;sina b A Bc C++=（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1. 在△ABC中，若22tantanA aB b=，判断△ABC的形状. （两种方法）2. 某人在M汽车站的北偏西20︒的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40︒. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3. 作业：教材P24 14、15题.。
山东省潍坊市第一中学高中数学 第一章《解三角形》单元综合测试题 新人教版必修5
2014-2015学年山东省潍坊市第一中学《解三角形》单元测试题班级 姓名 学号 评分 一、选择题1. 在422π===∆A b a ABC ，，中， ，则角B 等于（ ）。
A.6π B. 4π C. 3π D. 2π2. 在ABC ∆中，ac b B ==260，且ο，则ABC ∆一定是（ ）。
A. 直角三角形B. 钝角三角形C.等腰三角形D. 等边三角形 3. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75ο视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里A. 65B. 35C. 25D. 5 4. 在ABC ∆中，若，且，3231)(C 810=+==B A os b a 则ABC ∆的面积是（ ）。
A. 5 B. 41 C.4715 D. 47135. 在ABC ∆中，，，，537===c b a 则最大的角是（ ）。
A. ο150 B. ο120 C. ο135 D.ο906. 在ABC ∆中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则C Cos 2 等于（ ）。
A.251 B. 253 C. 256 D. 2577．在△ABC 中，若3a =2b sin A ,则B 为（ ） A ．3π B ．6π C ．3π或32π D ．6π或65π8．在△ABC 中，︒=∠︒=︒=70,50sin 2,10sin 4C b a ，则S △ABC =（ ）A ．81 B ．41 C ．21 D ．1 9.在△ABC ,A 为锐角，lg b +lg(c1)=lgsin A =-lg 2,则△ABC （ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形10．在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅=u u u r u u u r( )A ．23-B ．32- C ．32 D ．2311. 在ABC ∆中，已知SinC SinB C Sin B Sin A Sin ·222++=则ABC ∆是（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定12. 已知ABC ∆的面积4222c b a S -+=，则角C 的大小是（ ）。
(人教新课标)高二数学必修5第一章 解三角形《正、余弦定理》精品课件
正弦定理的应用举例 一、已知两个角和一边
变式训练一
二、已知两个边和其中一边的一个对角
变式训练二
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a＝7，b＝8，∠A＝105°； (2)a＝10，b＝20，∠A＝80°； (3)b＝10，c＝5，∠C＝60°； (4)a＝2，b＝6，∠A＝30°.
余弦定理的由来 /edu/ppt/ppt_playVideo.action?medi aVo.resId=55c96ff1af508f0099b1c5b6
高铁隧道招标，利用三角形确定隧道长度 /edu/ppt/ppt_playVideo.action? mediaVo.resId=55c97049af508f0099b1c5bc
A 5620
a 2 c 2 b 2 134.6 2 161.7 2 87.82 cosB 0.8398 , 2ac 2 134.6 161.7
B 3253
C 180 A B 180 5620 3253 9047
解三角形:
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形素的过程叫做解三角形. 说明： 根据初中学习的三角形全等，我们知道确定一个三角需要
三个条件，所以在利用正弦定理时要求已知两边和其中一 边的对角或者两角和一边，才可以进一步确定三角形其它 的边和角.
回忆一下直角三角形的边角关系? b a sin B sin A c c
两等式间有联系吗？
B
A c a b
a b c sin A sin B
sin C 1
C
a b c sin A sin B sin C
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(2)课件新人教a必修5
梳理
一个了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把 边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.
思考2
什么时候适合用正弦定理进行边角互化？ 答案
尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系， 但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使 用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.
由正弦定理，得sin2
A＝sin
660°，∴sin
A＝
2 2.
∵BC＝2< 6＝AC，∴A 为锐角，
∴A＝45°，∴C＝75°.
123
2.在△ABC中，若
a cos
A＝cobs
B＝cocs
C， 则△ABC是
答案
解析
A.直角三角形
B.等边三√角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
由正弦定理，知csoins AA＝csoins BB＝csoins CC， ∴tan A＝tan B＝tan C， 又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形.
知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
思考1
在△ABC中，已知acos B＝bcos A.你能把其中的边a，b化为 用角表示吗(打算怎么用上述条件)? 答案
可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A， 移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.
1.sin A∶sin B∶sin C＝ a∶；b∶c
a 2.sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝
2R
(完整版)新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题
解三角形一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝23AC ＝( ) A ．3 B ．22 C 332.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60ο的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75ο视角，则B 、C 两岛的距离是（ ）海里 A. 65 B. 35 C. 25 D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为2m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. 3mC. 2mD. 200m 7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3 B ．5 3 C ．6 3D ．7 3 9.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为3A ＝60°，则BC 的长等于( )A ．5 B.6 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,2C c a ∠=︒=，则（ ） A ．a b > B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是 。
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精选中小学试题、试卷、教案资料
2017春高中数学 第1章 解三角形综合素质检测 新人教B版必修5
(时间：120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的)
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于导学号 27542185
( D )
A．6B．2
C．3D．2
[解析] 在△ABC中，由正弦定理，得
sinC＝csinBb＝2×326＝12，又∵B＝120°，∴C为锐角，
∴C＝30°，∴A＝30°，∴a＝c＝2.
2．在△ABC中，若AB＝3－1，BC＝3＋1，AC＝6，则B等于导学号 27542186( C )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[解析] cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝12，∴B＝60°.
3．在△ABC中，A＝45°，AC＝4，AB＝2，那么cosB＝导学号 27542187( D )
A．31010 B．－31010
C．55 D．－55
[解析]BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA
＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC＝10，
cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝－55.
4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若C＝120°，c＝2a，则导学号 27542188( A )
A．a>b B．aC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定
[解析] 在△ABC中，c2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab.∵c＝2a，∴2a2＝a2＋b2＋ab，∴a2－
b2＝ab>0，∴a2>b2，∴a>b
.
5．已知△ABC的一个内角为120°，且三边a、b、c满足a＝b＋4，c＝b－4，则△ABC中最小角的余
弦值为导学号 27542189( C )
精选中小学试题、试卷、教案资料
A．514 B．914
C．1314 D．1114
[解析] 由a＝b＋4，c＝b－4，知A＝120°，于是cos120°＝b2＋－－＋－＝－
1
2
⇒b＝
10，c＝6，a＝14，故△ABC中最小角C的余弦值为cos C＝142＋102－622×14×10＝1314.
6．△ABC的三边分别为2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3(m>0)，则最大内角度数为导学号 27542190( B )
A．150° B．120°
C．90° D．135°
[解析] 解法一：∵m>0，∴m2＋3m＋3>2m＋3，
m2＋3m＋3>m2＋2m
.
故边m2＋3m＋3对的角为最大角，由余弦定理，得
cosθ＝＋＋＋－＋3m＋＋＋＝－12，
∴θ＝120°.
解法二：特值法．取m＝1，则三边长为5,3,7
∴cosθ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴θ＝120°.
7．在△ABC中，已知BC＝53，外接圆半径为5.若AB→·AC→＝112，则△ABC的周长为导学号 27542191
( A )
A．113 B．93
C．73 D．53
[解析] 由正弦定理，得53sin A＝2×5，∴sin A＝32，∴∠A＝60°或120°.∵AB→·AC→＝112，∴∠A＝
60°，bccos 60°＝112，∴bc＝11.∵a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝75，∴(b＋c)
2
＝108，∴a＋b＋c＝53＋63＝113.
8．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有两个不等的实数根，则A为
导学号 27542192( A )
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．不存在
[解析] 把已知方程整理得(sinA－sinC)x2＋2sinB·x＋(sinA＋sinC)＝0，
Δ＝4sin2B－4(sinA－sinC)(sinA＋sinC)＞0，
即sin2B＋sin2C－sin2A＞0.