2016-2017学年北师大版高中数学选修2-2检测：第一章 推理与证明 2 含答案 精品
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（ ）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥2．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．2743．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立4．某电影院共有(3000)n n ≤个座位.某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人， 1010人，2019人(同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场，但每人只能看一-场).已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、 下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有( ) A ．12个B ．11个C ．10个D ．前三个答案都不对5．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．06．下列四个类比中，正确的个数为（1）若一个偶函数在R 上可导，则该函数的导函数为奇函数。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(有答案解析)(2)
一、选择题1．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．24532．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -3．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．某个命题与正整数n 有关，如果当()*,n k k N =∈ 时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=7时该命题不成立 B ．当n=7时该命题成立 C ．当n=9时该命题不成立 D ．当n=9时该命题成立5．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ）A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于1 6．下面结论正确的是（ ）①“所有2的倍数都是4的倍数，某数m 是2的倍数，则m 一定是4的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.②在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. ④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式必为()n a n n =∈*N .A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④7．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球B ．一定没有3号球C ．可能有5号球D ．可能有6号球8．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项9．“有些指数函数是减函数，2x y =是指数函数，所以2x y =是减函数”上述推理（ ） A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都不是10．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．用数学归纳法证明“11112321n++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +12．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．学校建议孩子们周末去幸福广场看银杏叶，舒缓高三学习压力，返校后甲、乙、丙、丁四位同学被问及情况.甲说：“我没去”；乙说：“丁去了”；丙说：“乙去了”；丁说：“我没去”.班主任了解到这四位同学中只有一位同学去了幸福广场，但只有一位说了假话，则去了幸福广场的这位同学是_______.14．已知[x]表示不大于x 的最大整数，设函数f （x ）=[log 2x 219+],得到下列结论：结论1：当2<x<3时，f （x ）max=-1. 结论2：当4<x<5时，f （x ）max=1. 结论3：当6<x<7时，f （x ）max=3. ……照此规律，结论6为_____15．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式__________．16．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________. 17．点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为d =，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(0,1,3)到平面2330x y z +++=的距离为__________． 18．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为()()()()()22222222133223232232312213391++++⋅+⋅++⋅+⋅=++++=，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为__________． 19．观察下列不等式： （1）221sin cos 1αα≤≤+ （2）441sin cos 12αα≤≤+ （3）661sin cos 14αα≤≤+ …… …… …… …… …… ……由此规律推测，第n 个不等式为：__________．20．已知,,a b c 为三条不同的直线，给出如下两个命题：①若,a b b c ⊥⊥，则//a c ；②若//,a b b c ⊥，则a c ⊥.试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设,,αβγ为三个不同的平面，__________.三、解答题21．用数学归纳法证明：111111111234212122n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+-++． 22．已知数列{}n a 满足11a =,1(5)5n n n a a a ++=. （1）计算234,,a a a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 23．已知数列{}n x 满足1111,,21n nx x x +==+其中n *∈N . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论. 24．（1）求证：当2a >时，222a a a ++-<； （2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项. 25．设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1 12311(Ⅱ) 数表如表2所示，若经过任意一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值； 表2(Ⅲ)对由个整数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由. 26．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.2．C解析：C 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项． 【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除n 时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A、B、D都不满足题意，从而法，当1选出答案．故选C.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．3．B解析：B【分析】分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果.【详解】若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意；若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意；若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意；若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意，综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B.【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.4．A解析：A【解析】分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P（n）对n=8不成立，P（n）对n=7也不成立，否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立．与当n=7时该命题不成立矛盾故选：A．点睛：当P（n）对n=k成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n＞k的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P（n）对n=k不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n＜k的任意正整数均不成立．5．D解析：D【解析】分析:对每一个选项逐一判断得解.详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则112a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则21ab=>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b cb c a <<<，则3,3a b c a b c b c a b c a ++<++≥=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<6．A解析：A 【解析】①“所有2的倍数都是4的倍数，某数m 是2的倍数，则m 一定是4的倍数”这是三段论推理，但其结论是错误的，原因是大前提“所有2的倍数都是4的倍数”错误，故①正确；②在类比时，平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，故②错误；③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理，且是类比推理，正确；④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是()n a n n N*=∈错误，如数列1,2,3,5，故④错误，∴正确的命题是①③，故选A.7．D解析：D 【解析】甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7包含（2，5），（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2 ，6） 根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球 故选D点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不大，认真审题是关键.8．D解析：D 【分析】分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】当n k =时，不等式左边为1111232k ++++，当1n k =+时，不等式左边为1111111232212k k k +++++++++，则增加了112(21)1222k k k k k++-++=-=项，故选D. 【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.9．C解析：C 【解析】∵大前提的形式：“有些指数函数是减函数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C.10．C解析：C 【解析】 设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【解析】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121n-； 由n=k ，末项为121k -到n=k+1，末项为11121212k k k+=--+，∴应增加的项数为2k ． 故选C ．12．B解析：B 【解析】 【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论 【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．二、填空题13．乙【解析】假设甲去过则甲说了假话乙说了假话丙说了假话丁说了真话与只有一位说了假话矛盾假设乙去过则甲说了真话乙说了假话丙说了真话丁说了真话与只有一位说了假话一致故填乙解析：乙【解析】假设甲去过，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，与只有一位说了假话矛盾.假设乙去过，则甲说了真话，乙说了假话，丙说了真话，丁说了真话，与只有一位说了假话一致.故填乙.14．当时【解析】由题意得当时其中根据上述的运算规律可以归纳得出结论当时点睛：本题考查归纳推理的应用解答中根据给定式子的计算得到计算的规律是解答的关键归纳推理属于合情推理对于合情推理主要包括归纳推理和类比解析：当1213x <<时，()122392max f x =⨯-= 【解析】由题意得，当1213x <<时，其中()max f x 根据上述的运算规律， 可以归纳得出结论当1213x <<时，()max 122392f x =⨯-=． 点睛：本题考查归纳推理的应用，解答中根据给定式子的计算，得到计算的规律是解答的关键，归纳推理属于合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．（而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．15．且【解析】此类比仅是数量的变化即在空间中四点共面的充要条件是：对于平面内任一点有且只有一对实数满足向量关系式且解析：OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++= 【解析】此类比仅是数量的变化，即在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=16．3【解析】由①②可知甲取出的小球编号为2乙取出的小球编号可能是3或4又|1－4|＝3>2|1－3|＝2所以由③可知乙取出的小球编号是4丙取出的小球编号是1故丁取出的小球编号是3解析：3 【解析】由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3>2，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3.17．【解析】类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离为故答案为【解析】类比点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中，点()0,1,3到平面2330x y z +++=的距离为d ==.18．【解析】试题分析：类比的所有正约数之和的方法有：的所有正约数之和可按如下方法得到：因为所以的所有正约数之和为所以的所有正约数之和为故应填考点：1合情推理解析：465． 【解析】试题分析：类比36的所有正约数之和的方法有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为3220025=⨯，所以200的所有正约数之和为232(1222)(155)465+++++=，所以200的所有正约数之和为465，故应填465．考点：1、合情推理．19．【解析】观察已知的三个不等式：第1个不等式：；第2个不等式；第3个不等式：由此规律推测第个不等式为故答案为点睛：本题考查了合情推理的归纳推理；关键是发现已知等式与序号之间的关系总结归纳规律；归纳推理 解析：2211sin cos 12n n n αα-≤+≤ 【解析】观察已知的三个不等式：第1个不等式：1121211sin cos 12αα-⨯⨯⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭；第2个不等式2122221sincos12αα-⨯⨯⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭；第3个不等式：3132321sin cos 12αα-⨯⨯⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，由此规律推测，第n 个不等式为2211sin cos 12n nn αα-≤+≤，故答案为2211sin cos 12n nn αα-≤+≤. 点睛：本题考查了合情推理的归纳推理；关键是发现已知等式与序号之间的关系，总结归纳规律；归纳推理一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想.20．若则【解析】对于①若则位置关系不确定故①错对于②正确类比②可得若则故答案为若则解析：若//,αββγ⊥，则αγ⊥ 【解析】对于①，若,a b b c ⊥⊥，则,a c 位置关系不确定，故①错.对于②，//,a b b c ⊥正确，类比②可得，若//,αββγ⊥，则αγ⊥，故答案为若//,αββγ⊥，则αγ⊥.三、解答题21．证明见解析 【分析】根据数学归纳法证明的过程，先证明当1n =时等式成立，再假设当n k =时成立，代入化简得1n k =+时成立即可证明. 【详解】证明：①当1n =时，左边11122=-=，右边12=，等式成立；②假设当n k=()*k N ∈时等式成立，即111111111234212122k k k k k-+-+⋯+-=++⋯+-++ 当1n k =+时，111111112342122(1)12(1)k k k k -+-+⋯+-+--+-+ 111111222122k k k k k =++⋯++-++++ 111112221122k k k k k =+⋯+++-++++ 1111232122k k k k =++⋯++++++()()()()1111111221121k k k k =++⋯+++++++-+，根据①和②，可知111111111234212122n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+-++成立， 原等式得证. 【点睛】本题考查了数学归纳法在证明数列等式中的应用，应用“当n k =时等式成立”这个假设条件，确定1n k =+时的等式形式，是数学归纳法第②步证明中的要点，属于中档题． 22．（1）234555,,678a a a ===;猜想54n a n=+（2）证明见解析 【分析】（1）因为11a =,1(5)5n n n a a a ++=,可得155nn n a a a +=+,即可求得答案; （2）用数学归纳法证明:对任何的*5,4n n N a n∈=+,即可求得答案. 【详解】 （1）11a =,1(5)5n n n a a a ++= 155nn n a a a +∴=+ 得234555,,678a a a === 由1234,,,a a a a 猜想54n a n=+ （2）以下用数学归纳法证明:对任何的*5,4n n N a n∈=+ ①当1n =时,由已知151,4n a a n==+, 可得1551441a n ===++ ∴1n =时等式成立.②假设当()*n k k N=∈时,54kak=+成立, 则1n k =+时,()155554554154k k k a k a a k k+⨯+===+++++, ∴当1n k =+时,等式也成立.根据①和②,可知对于任何*5,4n n N a n∈=+成立.【点睛】本题主要考查了根据递推关系求数列中的项和用数学归纳证明,解题关键是掌握数学归纳证明的步骤,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 23．（Ⅰ）112x =，223x =，335x =，458x =，5813x =，61321x =（Ⅱ）猜想：数列2{}n x 是递减数列，证明见解析【分析】（I ）根据递推公式，依次求得23456,,,,x x x x x 的值.（II ）由（I ）猜想数列2{}n x 是递减数列.用数学归纳法证得结论成立. 【详解】解：（Ⅰ）由121112,213x x x ===+得； 由232213,315x x x ===+得； 由343315,518x x x ===+得； 由454518,8113x x x ===+得； 由5658113,13121x x x ===+得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知246,x x x >>猜想：数列2{}n x 是递减数列. 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，已证命题成立；②假设当n k =时命题成立，即222k k x x +>. 易知20k x >，当1n k =+时，2224k k x x ++- 21231111k k x x ++=-++23212123(1)(1)k k k k x x x x ++++-=++22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++-=>++++即2(1)2(1)2k k x x +++>.也就是说，当1n k =+时命题也成立. 根据①②可知，猜想对任何正整数n 都成立. 【点睛】本小题主要考查根据递推公式求数列各项的值，考查数学归纳法证明数列的单调性，属于中档题.24．（1）证明过程详见试题解析； （2）证明过程详见试题解析. 【分析】（1）利用综合法证明即可；（2）利用反证法证明，假设235，，是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ，推出23m n a a d m n m n--==--为无理数，又253m p a a d m p m p m p ---===---为有理数，矛盾，即可证明不可能是等差数列中的三项． 【详解】解：（1）∵（22a a ++-）2＝2a +22a +•2a -，2a +＞0，2a -＞0且a +2≠a ﹣2，∴()()2222224a a a a a a a +++-+++-=＜， ∴22a a ++-＜2a（2）假设235，，是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ，则23m n a a d m n m n--==--为无理数，又253m p a a d m p m p m p ---===---为有理数，矛盾． 所以，假设不成立，即235，，不可能是同一个等差数列中的三项． 【点睛】反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．应用反证法证明的具体步骤是：①反设：作出与求证结论相反的假设； ②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设成立，从而肯定原命题成立．25．(I) 详见解析； (II)0a =或1a =-；(Ⅲ) 能，理由详见解析． 【解析】试题分析：（I ）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）；（II ） 每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a ，列出不等关系解得a ，b ；②如果操作第一行，很快即可有条件解得a 值；（III ） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加． 试题 （I ） 法1：法2：法3：（写出一种即可） 3分 (II) 每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;①如果操作第三列，则则第一行之和为，第二行之和为，,解得. 6分② 如果操作第一行则每一列之和分别为，，，，以上四数均为非负数解得9分 综上10分(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 13分 考点：推理与证明． 26．（Ⅰ）111,,357；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）分别将1,23n ，=代入递推公式，即可求得2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）猜想121n a n =-，检验1n =时等式成立，假设当()*n k k N =∈时等式成立，证明当1n k =+时等式也成立.详解：解：（Ⅰ）由题意，1211121213a a a ===++，232113221513a a a ===++， 343115221715a a a ===++ （Ⅱ）由1234,,,a a a a 猜想1.21n a n =- 以下用数学归纳法证明：对任何的*n N ∈,1.21n a n =- 证明：①当1n =时，由已知，得左边11a =，右边11.211=⨯-所以1n =时成等式. ②假设当()*n k k N=∈时，121kak =-成立， 则1n k =+时，()111121121212112121k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-，所以，当1n k =+时，等式也成立.根据①和②，可知对于任何*n N ∈，1.21n a n =-成立. 点睛：本题考查数列的递推公式，合情推理，运用数学归纳法证明问题的一般方法和步骤. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k *∈N ，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立；。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测卷(答案解析)
一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩D ．甲、丁可以知道自己的成绩2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为( )A ．4072B ．2026C ．4096D ．20483．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（ ）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥4．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．2745．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当7n =时该命题不成立B ．当7n =时该命题成立C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立6．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．5058．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ） A ．乙亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年9．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则()222a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3413x x +- (0<x <13)的最小值为( ) A ．5 B ．15 C ．25D ．210．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙B ．甲C ．丁D ．丙12．已知 222233+=，333388+=,44441515+=，m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(),22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___. 14．观察下面数表： 1， 3，5， 7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，………..设1027是该表第m 行的第n 个数，则m n +等于________.15．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y ＝x 2，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即1222(1)a aa x dx a +<<+⎰.运用类比推理，若对∀n ∈N *，111111122121A n n n n n n +++<<++++++-恒成立，则实数A ＝________.16．已知函数()xf x xe =，()1'f x 是函数()f x 的导数，若()1n f x +表示()'n f x 的导数，则()2017f x =__________．17．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．18．甲、乙、丙、丁四人分别去买体育彩票各一张，恰有一人中奖．他们的对话如下，甲说：“我没中奖”；乙说：“我也没中奖，丙中奖了”；丙说：“我和丁都没中奖”；丁说：“乙说的是事实”．已知四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，由此可判断中奖的是__________．19．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.20．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是__________．三、解答题21．已知函数()()211xx f x a a x -=+>+. （1）判断()f x 在()1,-+∞上的单调性并证明； （2）用适当的方法证明方程()0f x =没有负根.22．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =.（1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n b 满足()121nb nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立.23．已知数列{}n a 中，11a =，()122nn na a n N a ++=∈+ (1)求2a ，3a ，4a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式； (2)运用(1)中的猜想，写出用三段论证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列时的大前提、小前提和结论．24．已知f （x）=f （0）+f （1），f （﹣1）+f （2），f （﹣2）+f （3），然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论． 25．设数列{}n a 满足关系式：12a p ，212nn p a p a （p 是常数）．(1)求234,,a a a ；(2)猜想{}n a 的通项公式，并证明． 26．设a ，b 均为正数，且a b ．证明：（1）664224a b a b a b +>+ （2>【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了. 【详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D. 【点睛】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.2．A解析：A 【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n1212n-==-2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n()12n n+ =，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．3．B解析：B【分析】由线面垂直与线面平行的判定，结合反证法，即可得出结果.【详解】当正四面体过点D的高与平面α垂直时，平面ABC平面α，所以BC平面α；若BC⊥平面α，因为正四面体中BC AD⊥，所以AD⊂平面α，或AD平面α，此时AD与平面α所成角为0，与条件矛盾，所以BC不可能垂直平面α；故选B【点睛】本题主要考查直线与平面平行与垂直的判定，在验证BC与平面α是否垂直时，可借助反证的思想来解决，属于中档试题.4．A解析：A【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；…根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数．【详解】由图可知，()11f=，()212667f=+⨯-=，()()312362619f =++⨯-⨯=， ()()212362619f =++⨯-⨯=，()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-5．A解析：A 【解析】分析：利用互为逆否的两个命题同真同假的原来，当()P n 对n k =不成立时，则对1n k =-也不成立，即可得到答案．详解：由题意可知，原命题成立的逆否命题成立， 命题()P n 对8n =不成立时，则()P n 对7n =也不成立， 否则当7n =时命题成立，由已知必推得8n =也成立， 与当8n =时命题不成立矛盾，故选A ．点睛：本题主要考查了数学归纳法以及归纳法的性质，互为逆否的两个命题同真同假的性质应用，其中正确四种命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．6．B解析：B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
北师大版高中数学选修2-2习题课(一) 推理与证明
习题课（一） 推理与证明1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．a n ＝3n －2B ．a n ＝n 2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝4n －3解析：选B 求得a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c ＝1B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：选A 类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( )A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B ．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C ．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D ．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英解析：选A 分析题目和选项，由①知，丁不会说日语，排除B 选项；由②知，没有人既会日语又会法语，排除D 选项；由③知乙、丙、丁不会同一种语言，排除C 选项，故选A.6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 7．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：分别观察正方体的个数为：1,1＋5,1＋5＋9，…归纳可知，第n 个叠放图形中共有n 层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列， 所以S n ＝n ＋[n (n －1)×4]÷2＝2n 2－n ，所以S 7＝2×72－7＝91.答案：918．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n (3n ＋1)2(n ∈N ＋)的第二步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)＋(k ＋3)＋…＋(2k ＋2)；当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋2k ，其差为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.答案：3k ＋29．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和310．已知|x |≤1，|y |≤1，用分析法证明：|x ＋y |≤|1＋xy |.证明：要证|x ＋y |≤|1＋xy |，即证(x ＋y )2≤(1＋xy )2，即证x 2＋y 2≤1＋x 2y 2，即证(x 2－1)(1－y 2)≤0，因为|x |≤1，|y |≤1，所以x 2－1≤0,1－y 2≥0，所以(x 2－1)(1－y 2)≤0，不等式得证．11．设函数f (x )＝e x ln x ＋2e x －1x ，证明：f (x )>1.证明：由题意知f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e. 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1 e.综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.12．各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：1a1＋1a2＋…＋1a n≤2n－1对一切n∈N＋恒成立．解：(1)∵a2n＋1－a2n＝2，∴数列{a2n}为首项为1，公差为2的等差数列，∴a2n＝1＋(n－1)·2＝2n－1，又a n>0，则a n＝2n－1.(2)证明：由(1)知，即证1＋13＋…＋12n－1≤2n－1.①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立．当n＝2时，左边<右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1＋13＋…＋12k－1≤2k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋13＋…＋12k－1＋12k＋1≤2k－1＋12k＋1<2k－1＋22k＋1＋2k－1＝2k－1＋2(2k＋1－2k－1)2＝2k＋1＝2(k＋1)－1.所以当n＝k＋1时不等式成立．由①②知对一切n∈N＋不等式恒成立．由Ruize收集整理。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．9102．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( ) A ．50B ．42C ．-50D ．-423．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．44．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b bD ．3m n p r b b b b =5．（河南省南阳市第一中学2018届高三第十四次考试）某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；丁说：“A 、C 至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是 A ．作品A 与作品BB ．作品B 与作品CC ．作品C 与作品D D ．作品A 与作品D6．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（ ） A ．玩游戏 B ．写信 C ．听音乐 D ．看书7．高二年级有甲、乙、丙三个班参加社会实践活动,高二年级老师要分到各个班级带队,其中男女老师各一半,每次任选两个老师,将其中一个老师分到甲班,如果这个老师是男老师,就将另一个老师分到乙班,否则就分到丙班,重复上述过程,直到所有老师都分到班级,则 A ．乙班女老师不多于丙班女老师 B ．乙班男老师不多于丙班男老师 C ．乙班男老师与丙班女老师一样多D ．乙班女老师与丙班男老师一样多8．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则()222a b a b x y x y ++≥+，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3413x x +- (0<x <13)的最小值为( ) A ．5 B ．15 C ．25D ．29．“有些指数函数是减函数，2x y =是指数函数，所以2x y =是减函数”上述推理（ ） A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都不是10．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A ．丁B ．乙C ．丙D ．甲12．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -二、填空题13．观察下列等式：请你归纳出一般性结论______. 14．观察下列关系式:11x x +=+;()2112x x +≥+; ()3113x x +≥+;由此规律,得到的第n 个关系式为__________15．求“方程34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解”有如下解题思路：设函数()3455x xf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 在R 上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程()3622323x x x x +=+++的解集为____________．16．把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是 . 17．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．18．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则1212r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R =__________． 19．观察下列等式： （1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．20．已知()0,x ∈+∞，观察下列各式：12x x +≥，2244322x x x x x+=++≥，3327274333x x x x x x+=+++≥，…，类比得()*1n a x n n N x +≥+∈，则a =________． 三、解答题21．已知正数列{}n a 满足233312n a n =+++．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 22．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 23．已知数列{}n a 中，11a =，136nn na a a +=-.（1）写出234,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的结论. 24．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12N n n na S n S =+-∈．(Ⅰ)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；(Ⅱ)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 25．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.26．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解．【详解】由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+，a 2001011=， 故选B ． 【点睛】本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．2．C解析：C 【解析】分析：由题意结合所给数据的特征确定第九个数即可. 详解：观察所给的数列可知，数列的特征为：121,3a a ==，()213n n n a a a n --=-≥，则978193150a a a =-=--=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数列的递推关系，学生的推理能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C解析：C 【详解】分析：根据题意，利用类比推理的概念逐一判定，即可得到结论．详解：由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数12,z z ，则1212z z z z +≤+”是正确的；对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的；对于③中，由球的体积公式为343V R π=，其表面积公式为24S R π=，所以V S '=，所以是正确的；对于④中，如在极坐标系中，点(1,0),(1,)2C D π，此时CD 的中点坐标为)4π，不满足“极坐标系中两点1122(,),(,)C D ρθρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”，所以不正确，综上，正确命题的个数为三个，故选C ．点睛：本题主要考查了命题的真假判定，以及类比推理的应用，其中熟记类比推理的概念和应用，以及命题的真假判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题，以及推理与论证能力．4．D解析：D【详解】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，则由“如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=”，则必有“3m n p r b b b b =”成立，故选D.点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.5．D解析：D 【解析】根据题意，,,,A B C D 作品中进行评奖，由两件获奖， 且有且只有二位同学的预测是正确的，若作品A 与作品B 获奖，则甲、乙，丁是正确的，丙是错误的，不符合题意； 若作品B 与作品C 获奖，则乙、并、丁是正确的，甲是错误的，不符合题意； 若作品C 与作品D 获奖，则甲、乙，丙是正确的，丁是错误的，不符合题意； 只有作品A 与作品D 获奖，则乙，丁是正确的，甲、丙是错误的，符合题意， 综上所述，获奖作品为作品A 与作品D ，故选D.6．D解析：D【解析】由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选D.7．C解析：C 【解析】任选两个老师共有4种情况：①男+男，则乙班中男老师数加1个；②女+女，则丙班中女老师数加1个；③男+女（男老师放入甲班中），则乙班中女老师数加1个；④女+男（女老师放入甲班中），则丙班中男老师数加1个，设一共有老师2a 个，则a 个男老师，a 个女老师，甲班中老师的总个数为a ，其中男老师x 个，女老师y 个，x y a +=，则乙班中有x 个老师，其中k 个男老师，j 个女老师，k j x +=；丙班中有y 个老师，其中l 个男老师，i 个女老师，i l y +=；女老师总数a y i j =++，又x y a +=，故x i j =+，由于x k j =+，所以可得i k =，即乙班中的男老师等于丙班中的女老师，故选C ．8．C解析：C 【解析】由题意可得f(x)＝3413x x+-＝2232313x x+-≥()232313xx++-＝25，当且仅当33x＝213x-，即x＝15时取等号，故最小值为25.故选：C9．C解析：C【解析】∵大前提的形式：“有些指数函数是减函数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C.10．C解析：C【解析】设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即π720sin0.25=故选：C11．D解析：D【分析】利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案.【详解】假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故乙说的是谎话；假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为甲【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时正确使用反证法是解决问题的关键.12．B解析：B 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．二、填空题13．【解析】分析：根据题意观察各式可得其规律用将规律表示出来即可（且为正整数）详解：根据题意观察各式可得：第①式中；②式中第③式中；…规律可表示为：即答案为点睛：本题要求学生通过观察分析归纳并发现其中的 解析：222222(7)(74)(75)(71)(72)(76)k k k k k k ++++=+++++k z ∈【解析】分析：根据题意，观察各式可得其规律，用k 将规律表示出来即可．（2k ≥，且k 为正整数）详解：根据题意，观察各式可得： 第①式中，1k =-； ②式中，0k = 第③式中，1k =；…规律可表示为：()()()()()()22222277475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈ 即答案为()()()()()()22222277475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈. 点睛：本题要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．14．【解析】左边为等比数列右边为等差数列所以第个关系式为 解析：()11nx nx +≥+【解析】左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n 个关系式为()11nx nx +≥+.15．【解析】类比上述解题思路设f(x)=x3+x 由于f′(x)=3+1⩾0则f(x)在R 上单调递增由即()3+=(2x+3)3+2x+3∴=2x+3解之得x=−1或x=3所以方程的解集为{−13}故答案为 解析：{1,3}-【解析】类比上述解题思路,设f (x )=x 3+x ,由于f ′(x )=32x +1⩾0,则f (x )在R 上单调递增， 由()3622323x x x x +=+++即(2x )3+2x =(2x +3)3+2x +3，∴2x =2x +3， 解之得，x =−1或x =3.所以方程()3622323x x x x +=+++的解集为{−1,3}.故答案为{}1,3-.16．【解析】把二进制数化为十进制数是应填答案 解析：89【解析】把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是6543012021212001289⨯+⨯+⨯+⨯+++⨯=，应填答案89。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(答案解析)(3)
一、选择题1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．2．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12B ．11C ．10D ．93．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A ，BB ，CC ，DD ，EA ，E疏散乘客时间（s ）186125160175145则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．AB ．BC ．CD ．D5．设ABC ∆的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则()12S r a b c =++.类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ,4S ，体积为V ，内切球半径为R ，则V =（ ）A ．()1234R S S S S +++B ．()123412R S S S S +++ C ．()123413R S S S S +++ D ．()123414R S S S S +++ 6．下列类比推理正确的是( )A ．把()a b c +与x y a +类比，则有x y x y a a a +=+B ．把()a a b +与()a a b ⋅+类比，则有()2a ab a a b ⋅+=+⋅C ．把()nabc 与)n x y z （++类比，则有)n n n n x y z x y z ++=++（ D ．把()ab c 与()a b c ⋅⋅类比，则有()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅7．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08．（河南省南阳市第一中学2018届高三第十四次考试）某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；丁说：“A 、C 至少一件获奖”.如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是 A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品D D ．作品A 与作品D9．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---10．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师.若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B ．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C ．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D ．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师 11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+=（ ）19211⨯+= 1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+=1234596111111⨯+=…A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．111111312．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1nax n x +≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -二、填空题13．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 14．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=，333388=，44441515=，55552424=……则按照以上规律，若100100100100n n=，具有“穿墙术”，则n =_____． 15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．已知,,a b c 为三条不同的直线，给出如下两个命题：①若,a b b c ⊥⊥，则//a c ；②若//,a b b c ⊥，则a c ⊥.试类比以上某个命题，写出一个正确的命题：设,,αβγ为三个不同的平面，__________.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.20．用数学归纳法证明某命题时，左式为（n 为正偶数），从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________.三、解答题21．已知数列{}n x 满足10x =，21n n n x x x c +=-++()n N *∈，104c <≤，求证：数列{}n x 是递增数列.22．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n 个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为a n .（1）试写出a 1，a 2，a 3，a 4值，并猜想出a n ；（无需给出证明）（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称b n ＝n 2这样的数为正方形数.当n ≥2时，试比较a n 与b n 的大小，并用数学归纳法加以证明. 23．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.24．已知数列{}n a 满足：()1(2)1n n na n a +=+-，且16(11)(211)a ==+⨯+. （Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.25．（本小题满分14分）若n 为正整数，试比较132n -⋅与23n +的大小，分别取1,2,3,4,5n =加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．26．（1）求证：当2a >时，222a a a ++-<； （2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】结合题意可知,代入数据,即可.【详解】A选项,13不满足某个数的平方,故错误;B选项,,故错误;C选项,故正确;D选项,,故错误.故选C.【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.2．B解析：B【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案.【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3．D解析：D【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．4．C解析：C 【解析】分析：根据疏散1000名乘客所需的时间，两两对比，即可求出结果. 详解：同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客，所需时间对比：开方AB 、出口时间为186s ，开方BC 、出口时间为125s ，得C 比A 快； 开方CD 、出口时间为160s ，开方DE 、出口时间为175s ，得C 比E 快；开方AB 、出口时间为186s ，开方A E 、出口时间为145s ，得E 比B 快； 开方BC 、出口时间为125s ，开方CD 、出口时间为160s ，得B 比D 快； 综上，疏散乘客最快的安全出口的编号是C. 故选C.点睛：本题考查简单的合情推理，考查学生推理论证能力.5．C解析：C 【解析】分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．详解：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为1234123411111()33333A BCD V S R S R S R S R S S S S R -=+++=+++ 故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查类比推理和几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.（2）类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．6．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给命题的真假即可. 详解：逐一考查所给命题的真假：A . 由指数的运算法则可得x y x y a a a +=，原命题错误；B . 由向量的运算法则可知：()2a ab a a b ⋅+=+⋅，原命题正确； C . 由多项式的运算法则可知)n n n n x y z x y z ++≠++（，原命题错误； D . 由平面向量数量积的性质可知()()a b c c a b ⋅⋅≠⋅⋅，原命题错误； 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查类比推理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的； 对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的； 综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.8．D解析：D【解析】根据题意，,,,A B C D作品中进行评奖，由两件获奖，且有且只有二位同学的预测是正确的，若作品A与作品B获奖，则甲、乙，丁是正确的，丙是错误的，不符合题意；若作品B与作品C获奖，则乙、并、丁是正确的，甲是错误的，不符合题意；若作品C与作品D获奖，则甲、乙，丙是正确的，丁是错误的，不符合题意；只有作品A与作品D获奖，则乙，丁是正确的，甲、丙是错误的，符合题意，综上所述，获奖作品为作品A与作品D，故选D.9．A解析：A【解析】在四个选项中代n=2,选项B,D是正数，不符，A选项值为75-，符合,C选项值为73-，不符．所以选A.【点睛】对于选择题的选项是关于n的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项．10．C解析：C【解析】丙的年龄比语文老师大，则丙是数学老师或英语老师，不是语文老师；甲的年龄和英语老师不同，则甲是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项B错误；英语老师的年龄比乙小，则乙是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项D错误；选项A中，英语老师的年龄比乙大，选项A错误；据此可得：甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师.本题选择C选项.11．B解析：B【解析】由1×9+2=11；12×9+3=111；123×9+4=1111；1234×9+5=11111；…归纳可得：等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同， ∴123456×9+7=1111111， 本题选择B 选项.12．B解析：B 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．二、填空题13．【解析】分析：圆的内接矩形中以正方形的面积最大当边长等于时类比球中内接长方体中以正方体的体积最大棱长为详解：圆的内接矩形中以正方形的面积最大当边长时解得时类比球中内接长方体中以正方体的体积最大当棱长3R 【解析】时，类比球中内接长方体详解：圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，当边长222a a (2)r +=时，解得a =时，类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，当棱长2222a a a (2)R ++=, 解得aR =3点睛：类比推理，理会题意抓住题目内在结构相似的推导过程，不要仅模仿形式上的推导过程。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(包含答案解析)(3)
一、选择题1．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -2．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()2f x '=，12()2f x '=，*1())2n n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --3．命题“若,x y >则()()()()332222x y x y x yx xy y -+=--+”的证明过程：“要证明()()()()332222x y x y x y x xy y -+=--+， 即证()()()()()3322.x y x y x y x y x xy y -+=-+-+因为,x y >即证()()3322x y x y x xy y +=+-+，即证33322223,x y x x y xy x y xy y +=-++-+ 即证3333,x y x y +=+因为上式成立，故原等式成立应用了（ ） A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．325．我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（ ） A ．4B ．2C ．3D ．16．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（ ） A ．玩游戏 B ．写信 C ．听音乐 D ．看书7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（ ）A ．1020B ．1010C ．510D ．5058．下列推理属于演绎推理的是（ ） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电9．利用反证法证明“若220x y +=，则0x =且0y =”时，下列假设正确的是（ ） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x =且0y ≠ C ．0x ≠或0y ≠D ．0x =或0y =10．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+= 1293111⨯+=123941111⨯+=12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111311．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变12．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A ．丁B ．乙C ．丙D ．甲二、填空题13．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式__________．14．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数．现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是__________．15．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．16．给出下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则()f x 一定不是R 上的减函数；②用反证法证明命题“若实数,a b ，满足220a b +=，则,a b 都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设,a b 都不为0”； ③把函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为sin2y x =；④“0a =”是“函数()()32f x x axx R =+∈为奇函数”的充分不必要条件.其中所有正确命题的序号为__________．17．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则1212r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R =__________． 18．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行： 设实系数一元二次方程22100a x a x a ++=……①在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=， 展开得()222122120a x a x x x a x x -++=.……②比较①②可以得到：11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩类比上述方法，设实系数一元n 次方程11100nn n n a x a xa x a --++++=（2n ≥且*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1ni i x ==∏ __________．19．甲、乙、丙、丁四人分别去买体育彩票各一张，恰有一人中奖．他们的对话如下，甲说：“我没中奖”；乙说：“我也没中奖，丙中奖了”；丙说：“我和丁都没中奖”；丁说：“乙说的是事实”．已知四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，由此可判断中奖的是__________．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n S = ， n *∈N . 算出数列的前4项的值后，猜想该数列的通项公式是__________.三、解答题21．在数列{}n a 中，1131,23n n n a a a a +==+ （1）求出23,a a 并猜想n a 的通项公式； （2）用数学归纳方证明你的猜想.22．已知{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,11331542,,a b a b a a b ===+=．设,n n n n c a b S =是数列{}n c 的前n 项和．(1)求,n n a b ；(2)试用数学归纳法证明：18(34)2n n S n +=+-⋅．23．已知数列{}n a 满足关系式()10a a a =>，()1122,1n n n a a n n N a --=≥∈+. （1）用a 表示2a ，3a ，4a ；（2）根据上面的结果猜想用a 和n 表示n a 的表达式，并用数学归纳法证之. 24．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 25．设数列{}n a 满足关系式：12a p ，212nn p a p a （p 是常数）．(1)求234,,a a a ；(2)猜想{}n a 的通项公式，并证明． 26．不等式证明： （1+≥（其中,x y 皆为正数）（2）已知0a >，0b >，2a b +>，求证：11,b aa b++至少有一个小于2.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项． 【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案． 故选C. 【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．2．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．A解析：A 【解析】分析：由题意结合分析法的定义可知题中的证明方法应用了分析法. 详解：题中的证明方法为执果索因，这是典型的分析法， 即原等式成立应用了分析法. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查分析法的特征及其应用，意在考查学生的转化能力和知识应用能力.4．B解析：B分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n的所有可能的取值.详解：如果正整数n按照上述规则施行变换后第八项为1，则变换中的第7项一定为2，变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8，变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.5．B解析：B【解析】分析：根据题意，结合题中所给的新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.详解：两个长方体的长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的，只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.点睛：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一判断，最后求得结果.6．D解析：D【解析】由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选D.7．D解析：D【解析】n阶幻方共有2n个数，其和为()222112...,2n nn n++++=阶幻方共有n行，∴每行的和为()()2221122n nn nn++=，即()()2210110101,50522nn nN N+⨯+=∴==，故选D.8．D【解析】选项A, 由圆的性质类比推出球的有关性质,这是类比推理;选项B, 由等边三角形、直角三角形的内角和是0180，归纳出所有三角形的内角和都是0180,是归纳推理;选项C, 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分,是归纳推理; 选项D, 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电,这是三段论推理,属于演绎推理; 故选D.9．C解析：C 【解析】“且”的否定为“或”，故选C ： 0x ≠或0y ≠10．A解析：A 【解析】 【分析】根据数塔，归纳可知，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，从而可得结果. 【详解】 由19211⨯+=；1293111⨯+=；123941111⨯+=； 12349511111⨯+=，...，归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，123456*********∴⨯+=，故选A.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） .11．B解析：B 【解析】 【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论 【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短． 故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．12．D解析：D 【分析】利用反证法，可推导出丁说的是真话，甲乙丙三人说的均为假话，进而得到答案. 【详解】假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故甲说的是谎话；假定乙说的是真话，则丁说：“反正我没有责任”也为真话， 这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾， 故假设不成立，故乙说的是谎话；假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话相矛盾，故假设不成立，故丙说的是谎话；综上可得：丁说是真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，故甲负主要责任，故答案为甲 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，以实际问题为背景考查了逻辑推理，属于中档题.解题时正确使用反证法是解决问题的关键.二、填空题13．且【解析】此类比仅是数量的变化即在空间中四点共面的充要条件是：对于平面内任一点有且只有一对实数满足向量关系式且解析：OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++= 【解析】此类比仅是数量的变化，即在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=14．【详解】这几个数是这样规律比较明显了即所以故填： 解析：132【详解】 这几个数是12345,,,,......2481632---，这样规律比较明显了，即()12nn n n a =-⋅，所以88125632a ==，故填：132. 15．1522【解析】由题意得每一行数字格式分别为它们成等差数列则前行总共有个数所以第40行最左的数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数解析：1522 【解析】由题意得，每一行数字格式分别为1231,3,5,21n a a a a n ====-，它们成等差数列，则前39行总共有13939()39(12391)152122a a ++⨯-==个数， 所以第40行最左的数字为1522.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a a d n S 知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题..16．①③【解析】对于①定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)则f(x)在R 上不一定是增函数但f(x)一定不是R 上的减函数；故正确对于②由于ab 全为0(ab ∈R)的否定为：ab 至少有一个不为0故不解析：①③. 【解析】对于①定义在R 上的函数f (x )满足f (2)>f (1),则f (x )在R 上不一定是增函数,但f (x )一定不是R 上的减函数；故正确对于②由于“a 、b 全为0(a 、b ∈R )”的否定为：“a 、b 至少有一个不为0”，故不正确；对于③把函数2236y sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为y =sin2x ，故正确，对于④函数()()32f x x axx R =+∈为奇函数⇔f (−x )+f (x )=0⇔2a 2x =0,∀x ∈R ,2a 2x =0⇔a =0.因此“a =0”是“函数()()32f x x ax x R =+∈为奇函数”的充要条件，故不正确，故答案为①③．17．【解析】从平面图形类比空间图形从二维类比三维可得出如下结论：正四面体的外接球和内切球半径之经是3：1所以填解析：13【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得出如下结论：正四面体的外接球和内切球半径之经是3：1.所以填13。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(包含答案解析)(4)
一、选择题1．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．2．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩 甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 3．设k 1111S k 1k 2k 32k=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1S 2k 1++B ．()k 11S 2k 12k 1++++ C ．()k 11S 2k 12k 1+-++ D ．()k 11S 2k 12k 1+-++4．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁5．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( ) A ．50B ．42C ．-50D ．-426．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 7．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ） A ．乙亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年8．用反证法证明命题：“若x ，那么(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( ) A ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有两个小于12 B ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有一个小于12C ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都不小于12D ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于129．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．2310．如果把一个多边形的所有便中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( ) A ．65B ．96C ．104D ．11211．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+=1234596111111⨯+= …A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现二、填空题13．如图是一个三角形数阵，满足第n 行首尾两数均为n ，(),A i j 表示第()2i i ≥行第j 个数，则()100,2A 的值为__________．14．数表的第1行只有两个数字3，7，从第2行开始，先按序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和，如下图所示，那么第10行的各个数之和等于__________．15．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．16．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．17．现有这么一列数，2，32，54，78，（ ），1332，1764，…，按照规律，（ ）中的数应为__________.18．把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是 . 19．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )mpn q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．20．观察下列不等式： （1）221sin cos 1αα≤≤+ （2）441sin cos 12αα≤≤+ （3）661sin cos 14αα≤≤+ …… …… …… …… …… ……由此规律推测，第n 个不等式为：__________．三、解答题21．已知正数列{}n a 满足233312n a n =+++．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 22．已知函数3()sin (,,1)1xf x a b a b R a x =+-∈>+的图象过点()0,1-. 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； （2）函数()f x 没有负零点.23．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 24．观察下列等式：11=；2349++=；3456725++++=；4567891049++++++=； ……（1）照此规律，归纳猜想第()*n n N ∈个等式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.25．证明：223333(1)1234n n n ++++⋯+=，其中*n N ∈.26．依次计算数列114⎛⎫-⎪⎝⎭，111149⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1111114916⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111111491625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，的前4项的值，由此猜想21111111111491625(1)n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（n *∈N ）的结果，并用数学归纳法加以证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 结合题意可知,代入数据,即可.【详解】A 选项,13不满足某个数的平方,故错误;B 选项,,故错误;C 选项,故正确;D 选项,,故错误.故选C. 【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.2．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．3．C解析：C 【解析】分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可.详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：()()()()1111111121321k S k k k k +=+++++++++++()111123421k k k k =++++++++()11111123422121k k k k k k =+++++++++++ ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()1111111123422121k k k k k k k =++++++-++++++ ()112121k S k k =+-++. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A【解析】分析：因为四位歌手中只有一个人说的是真话，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，说明假设成立. 详解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说的真话，不符合题意； 若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说的真话，不符合题意； 若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说的真话，不符合题意；若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说的假话，丁说的真话，符合题意； 故选A.点睛：本题考查合情推理，属基础题.5．C解析：C 【解析】分析：由题意结合所给数据的特征确定第九个数即可. 详解：观察所给的数列可知，数列的特征为：121,3a a ==，()213n n n a a a n --=-≥，则978193150a a a =-=--=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数列的递推关系，学生的推理能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B 【详解】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.7．C解析：C 【解析】2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年，2018是戊戌年，2019年是己亥年，以此类推记得到2020年是庚子年． 故答案为C ．8．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，由于反证法证明命题:“若2()f x x px q =++，那么(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12”时，即将结论变为否定就是对命题的反设，因此可知至少有一个的否定是一个也没有，或者说假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于12，故选D.考点：反证法. 9．C解析：C【解析】可以用归纳思想，1条弦，分圆成2个部分。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测卷(有答案解析)(2)
一、选择题1．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．A B ．B C ．C D ．D 4．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( )A ．50B ．42C ．-50D ．-425．命题“若,x y >则()()()()332222x y x y x yx xy y -+=--+”的证明过程：“要证明()()()()332222x y x y x y x xy y -+=--+， 即证()()()()()3322.x y x y x y x y x xy y -+=-+-+因为,x y >即证()()3322x y x y x xy y +=+-+，即证33322223,x y x x y xy x y xy y +=-++-+ 即证3333,x y x y +=+因为上式成立，故原等式成立应用了（ ） A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法6．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．07．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 8．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0B ．13C ．12D ．19．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ） A ．乙亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年10．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．用数学归纳法证明“11112321n++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +12．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理二、填空题13．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，则1212C C =.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球表面积为1S ，外接球表面积为2S ，则12S S =__________． 14．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数．现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是__________．15．已知数列{}1214218421:,,,,,,,,,1121241248n a 其中第一项是0022，接下来的两项是100122,22，再接下来的三项是210012222,,222，依此类推，则9899a a ⨯=__________． 16．观察下列各式：(1) 2()2x x '=，(2) 43()4x x '=，(3) (cos )sin x x '=-，……，根据以上事实，由归纳推理可得：若定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()g x ，则(0)g =____. 17．现有这么一列数，2，32，54，78，（ ），1332，1764，…，按照规律，（ ）中的数应为__________.18．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_____． 19．给出下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足()()21f f >，则()f x 一定不是R 上的减函数；②用反证法证明命题“若实数,a b ，满足220a b +=，则,a b 都为0”时，“假设命题的结论不成立”的叙述是“假设,a b 都不为0”； ③把函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象的函数解析式为sin2y x =；④“0a =”是“函数()()32f x x axx R =+∈为奇函数”的充分不必要条件.其中所有正确命题的序号为__________．20．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.三、解答题21．设，其中为正整数． （1）求，，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．22．已知正项数列{}n a 中，121a =且1111,.n n n na a n N a a *++-=+∈ （1）分别计算出234,,a a a 的值，然后猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-（2,*n n N ≥∈），（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值； （2）设2233,2n n n n a b T b b b -==+++，试用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()113n n n n T +-=。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．9103．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271B ．272C ．273D ．2744．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确5．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()2f x '=，12()2f x '=，*1())2n n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --6．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确7．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 8．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？ A ．正三角形的顶点B ．正三角形的中心C ．正三角形各边的中点D ．无法确定9．下列四个类比中，正确的个数为（1）若一个偶函数在R 上可导，则该函数的导函数为奇函数。
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第一章 §2
一、选择题
1．设f(x)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于( )
A．0 B．1
C.52 D．5
解析： 由f(x)为奇函数与f(1)＝12知，
f(－1)＝－f(1)＝－12，
令x＝－1，得f(－1)＋f(2)＝f(1)，
所以f(2)＝f(1)－f(－1)＝1，
从而f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋f(2)＋f(2)＝52.故选C.
答案： C
2．若实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( )
A.12 B．a2＋b2
C．2ab D．a
解析： ∵a＋b＝1，a＋b＞2ab，
∴2ab＜12，
由a2＋b2＞a＋b22＝12，
又∵0＜a＜b，且a＋b＝1，
∴a＜12，∴a2＋b2最大，故选B.
答案： B
3．欲证2－3＜6－7，只需证( )
A．(2－3)2＜(6－7)2 B．(2－6)2＜(3－7)2
C．(2＋7)2＜(3＋6)2 D．(2－3－6)2＜(－7)2
解析： 分析法，欲证2－3＜6－7，
只需证2＋7＜3＋6，
∵2＋7＞0，3＋6＞0，
∴只需证C.
答案： C
4．用分析法证明命题“已知a－b＝1.求证：a2－b2＋2a－4b－3＝0.”最后要具备的等式
为( )
A．a＝b B．a＋b＝1
C．a＋b＝－3 D．a－b＝1
解析： 要证a2－b2＋2a－4b－3＝0，
即证a2＋2a＋1＝b2＋4b＋4，即(a＋1)2＝(b＋2)2，
即证|a＋1|＝|b＋2|，
即证a＋1＝b＋2或a＋1＝－b－2，
故a－b＝1或a＋b＝－3，
而a－b＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．
答案： D
二、填空题
5．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，且λm＋n与2n＋m互相垂直，则实数λ的值等于________．
解析： 要使(λm＋n)⊥(2n＋m)，
只需(λm＋n)·(2n＋m)＝0，即7(5λ＋1)＋7(3λ＋2)＝0，解得λ＝－38.
答案： －38
6．若直线2ax＋by－4＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－2x－4y－8＝0的面积，则2a＋
1
b
的最小值为_______________．
解析： 由题意，直线2ax＋by－4＝0过圆x2＋y2－2x－4y－8＝0的圆心(1,2)．
于是2a＋2b－4＝0，即a＋b＝2.
∴2a＋1b＝12·22a＋1b
＝12(a＋b)2a＋1b
＝122ba＋ab＋3≥1222ba·ab＋3＝2＋32.
当且仅当2ba＝ab，且a＋b＝2，
即a＝4－22，b＝22－2时，等号成立．
答案： 32＋2
三、解答题
7．已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证(a＋2)2＋(b＋2)2≥252.
证明： 证法一：∵a＋b＝1，∴b＝1－a
∴(a＋2)2＋(b＋2)2
＝(a＋2)2＋(3－a)2
＝a2＋4a＋4＋a2－6a＋9
＝2a2－2a＋13
＝2a－122＋252≥252.
证法二：∵a＋b＝1，∴a2＋b2＋2ab＝1，
∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥1.
∴a2＋b2≥12.
∵(a＋2)2＋(b＋2)2
＝a2＋b2＋4(a＋b)＋4＋4
＝a2＋b2＋12≥12＋12＝252.
8．已知△ABC的三边a、b、c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明：∠B
为锐角．
证明： 分析法：要证明∠B为锐角，
只需证cos B＞0，
又因为cos B＝a2＋c2－b22ac，
所以只需证明a2＋c2－b2＞0，
即a2＋c2＞b2，因为a2＋c2≥2ac，
所以只需证明2ac＞b2，
由已知2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c)．
所以只需证明b(a＋c)＞b2，
即a＋c＞b成立，所以∠B为锐角．
综合法：由题意：2b＝1a＋1c＝a＋cac，
则b＝2aca＋c，
∴b(a＋c)＝2ac，∵a＋c＞b，
∴b(a＋c)＝2ac＞b2.
∵cos B＝a2＋c2－b22ac≥2ac－b22ac＞0，
又∵y＝cos x在(0，π)上单调递减，
∴0＜∠B＜π2，即∠B为锐角．
9．是否存在常数C，使得不等式x2x＋y＋yx＋2y≤C≤xx＋2y＋y2x＋y对任意正数x，y恒成
立？试证明你的结论．
解析： 令x＝y＝1，得23≤C≤23，
∴C＝23，
下面给出证明：
先证明x2x＋y＋yx＋2y≤23，
因为x＞0，y＞0，
要证x2x＋y＋yx＋2y≤23，
只需证3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)，
即x2＋y2≥2xy，显然成立，
∴x2x＋y＋yx＋2y≤23.
再证xx＋2y＋y2x＋y≥23，
只需证3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)，
即2xy≤x2＋y2，显然成立，
∴xx＋2y＋y2x＋y≥23.
综上所述，存在常数C＝23，使对任意正数x，y都有：
x2x＋y＋yx＋2y≤C≤xx＋2y＋y
2x＋y
成立．