特殊的平行四边形专题(题型详细分类)
特殊平行四边形重点题型
特殊平行四边形重点题型一、题型概述特殊平行四边形是初中数学中经常出现的一个重要概念，它具有特殊的性质，常用于解决几何问题。
本文将介绍特殊平行四边形的定义、性质以及解题方法，并通过一些典型题目进行分析和讲解。
二、特殊平行四边形的定义特殊平行四边形是指具有特殊性质的平行四边形，包括矩形、正方形、菱形和长方形。
下面将逐个介绍这些特殊平行四边形的定义。
1.矩形矩形是一种特殊的平行四边形，具有以下特点：-所有内角均为直角；-两对相对边长度相等；-对角线相等且相互平分。
2.正方形正方形是一种特殊的矩形，具有以下特点：-所有内角均为直角；-所有边长相等；-对角线相等且相互平分。
3.菱形菱形是一种特殊的平行四边形，具有以下特点：-所有边长相等；-对角线相等且相互平分。
4.长方形长方形是一种特殊的矩形，具有以下特点：-所有内角均为直角；-两对相对边长度相等；-对角线相等且相互平分。
三、特殊平行四边形的性质特殊平行四边形具有一些独特的性质，这些性质是解决几何问题的重要依据。
下面将详细介绍这些性质。
1.矩形的性质-矩形的对角线相等且互相平分；-矩形的内角均为直角；-矩形的邻边互相垂直；-矩形的任意两边长度相等。
2.正方形的性质-正方形的对角线相等且互相平分；-正方形的内角均为直角；-正方形的任意两边长度相等。
3.菱形的性质-菱形的对角线相等且互相平分；-菱形的内角不一定为直角；-菱形的邻边互相垂直。
4.长方形的性质-长方形的对角线相等且互相平分；-长方形的内角均为直角；-长方形的邻边互相垂直。
四、特殊平行四边形的解题方法解决特殊平行四边形的问题，通常需要运用它们的特殊性质。
下面将介绍一些常见的解题方法。
1.利用对角线性质对于特殊平行四边形的问题，我们经常可以利用对角线的性质来解题。
例如，求特殊平行四边形的面积，可以先求出对角线的长度，然后利用面积公式计算。
2.利用内角性质特殊平行四边形的内角性质也是解题中常用的方法。
2024年广东省中考数学总复习专题16：特殊的平行四边形
2024年广东省中考数学总复习专题16特殊的平行四边形一、矩形的性质与判定1．矩形的性质：1）四个角都是直角；2）对角线相等且互相平分；3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）2．矩形的判定：1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；2）有三个角是直角；3）对角线相等的平行四边形．二、菱形的性质与判定1．菱形的性质：1）四边相等；2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；3）面积=底×高=对角线乘积的一半．2．菱形的判定：1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；2）对角线互相垂直的平行四边形；3）四条边都相等的四边形．三、正方形的性质与判定1．正方形的性质：1）四条边都相等，四个角都是直角；2）对角线相等且互相垂直平分；3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．2．正方形的判定：1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；2）一组邻边相等的矩形；3）一个角是直角的菱形；4）对角线相等且互相垂直、平分．四、联系（1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角；（5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角．五、中点四边形1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一矩形的性质1．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4B．6C．8D．102．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm3．已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE 的长是．4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为cm．5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．（1）求证：△AOM≌△CON；（2）若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为．6．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．考向二矩形的判定7．已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND9．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．10．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD ＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．11．如图，已知在△ABC中AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．（1）求证：AD∥CF；（2）求证：四边形ADCF是矩形．考向三菱形的性质12．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60cm，菱形的边长AB＝20cm，则∠DAB的度数是（）A．90°B．100°C．120°D．150°13．已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（）A．8B．8C．4D．214．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO．若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为（）A．36°B．54°C．64°D．72°15．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE ＝，则CE的长为．16．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．考向四菱形的判定17．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD18．如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC19．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD ∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）20．如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD．求证：四边形ABCD 是菱形．21．如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．考向五正方形的性质22．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（）A．（6，3）B．（3，6）C．（0，6）D．（6，6）23．如图的正三角形ABC与正方形CDEF中，B、C、D三点共线，且AC＝10，CF＝8．若有一动点P沿着CA由C往A移动，则FP的长度最小为多少？（）A．4B．5C．4D．524．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝°．25．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°．求证：CE＝DF．考向六正方形的判定26．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形27．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）28．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD 是正方形．29．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE ＝BC ，且∠CBE ：∠BCE ＝2：3，求证：四边形ABCD 是正方形．考向七中点四边形1．顺次连接菱形四边的中点得到的四边形一定是（）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．以上都不对2．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A ．互相平分B ．相等C ．互相垂直D ．互相垂直平分3．如图，四边形ABCD 中，AC ＝m ，BD ＝n ，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……，如此进行下去，得到四边形A 5B 5C 5D 5的周长是（）A ．4m n+B ．52mnC ．5m n+D ．2nmn一．选择题（共7小题）1．如图，要判定▱ABCD是菱形，需要添加的条件是（）A．AB＝AC B．BC＝BD C．AC＝BD D．AB＝BC2．已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB3．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形4．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4：1B．5：1C．6：1D．7：15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）A．B．C．D．6．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（）A．15°B．35°C．45°D．55°7．如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E．若OE＝3，BC＝8，则OB的长为（）A．4B．5C．D．二．填空题（共6小题）8．如图，菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝°．9．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是．10．已知菱形的周长为4，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为．11．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD ∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD．其中正确的序号是．13．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．三．解答题（共6小题）14．如图，在矩形ABCD，AD＝AE，DF⊥AE于点F．求证：AB＝DF．15．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．16．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、ND分别交l2于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，连接CE 和AF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长．18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若EF＝4，∠HEF＝60°，求EG的长．19．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠BEF＝∠BFE．。
特殊平行四边形的经典题型
特殊平行四边形的经典题型特殊平行四边形包括矩形、菱形和正方形，那这几种图形在各种经典题型里可是各有各的“戏码”呢。
矩形嘛，经常会在面积和对角线相关的题目里出现。
比如说，已知一个矩形的长是8，对角线长是10，让你求宽是多少。
这时候就可以用到勾股定理啦，因为矩形的对角线把矩形分成了两个直角三角形，对角线就是斜边，长和宽就是两条直角边。
根据勾股定理a² + b² = c²（这里的a和b就是长和宽，c就是对角线），已知a = 8，c = 10，那宽b就等于6。
这类型的题目就像是给你一把钥匙，只要你知道用勾股定理这个“开锁方法”，就能轻松解决。
菱形呢，它的对角线互相垂直且平分这个性质可是出题的热门点。
像有一道题说菱形的对角线分别是6和8，问菱形的面积是多少。
很多人可能会先求边长再用底乘高来算面积，其实完全不用这么麻烦，直接根据菱形面积等于对角线乘积的一半这个公式，就能得出面积是24啦。
还有就是菱形四边相等这个性质，有时候会在证明题里出现，比如证明四个点构成的四边形是菱形，就需要通过证明四条边相等来得出结论。
正方形就更有趣了，它是集矩形和菱形的性质于一身的特殊平行四边形。
有这样一道题，正方形ABCD中，E是AB的中点，连接CE，CE的垂直平分线交AD于F，让你证明AF = 1/4 AD。
这题就要用到正方形的性质，它的角是直角，边相等，再结合一些三角形全等的知识。
首先设正方形边长为a，通过相似三角形或者勾股定理求出AF的长度，最后就能得出AF = 1/4 AD的结论。
在做特殊平行四边形的经典题型时，还有一些小技巧。
如果是证明题，一定要仔细分析已知条件，看这些条件能推出什么性质或者结论，然后再往要证明的结论上靠。
如果是计算面积或者边长的题目，一定要牢记各种图形的面积公式和特殊性质。
而且啊，多画图绝对是个好办法，有时候看着图形，思路一下子就清晰了呢。
不要觉得这些题型很难，只要多做几道，就会发现其实它们都是有规律可循的。
专题4.2 平行四边形的性质【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题4.2 平行四边形的性质【八大题型】【浙教版】【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 (1)【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 (6)【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 (10)【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 (14)【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】 (19)【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】 (23)【题型7 利用平行四边形的性质求最值】 (29)【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】 (34)【题型1 利用平行四边形的性质求长度】【例1】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，点E、F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，A′E恰好垂直于AD，若AE=5，则B′F的值为2（）A ．3B ．C ．−12D 【答案】C【分析】延长F B ′交AD 于点H ，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到A ′G =2A ′E =5，EG Rt△GH B ′中，得到H B ′=12G B ′=12，HG =△HEF 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】解：延长F B ′交AD 于点H ，∵A ′E 恰好垂直于AD ，且四边形ABCD 是平行四边形，∴FH 也垂直于AD ，由折叠的性质得AE =A E ′=52，∠A ′EG =∠B ′HG =90°，∠A ′=∠A =60°，A ′B ′=AB =6，∴∠A ′GE =30°，∴A ′G =2A ′E =5，EG =在Rt △GH B ′中，∠B ′GH =30°，B ′G =A ′B ′−A ′G =1，∴H B ′=12G B ′=12，HG =∴EH =EG +GH =由折叠的性质得∠AEF =∠A ′EF ，∴180°−∠HEF =90°+∠HEF ，∴∠HEF =45°，∴△HEF 是等腰直角三角形，∴FH =EH =∴B ′F =−12，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明△HEF 是等腰直角三角形是解题的关键．【变式1-1】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，EF 过点O 与AD ，BC 分别相交于E ，F ，若BC =8，OE =2，AB =4，那么四边形EFCD 的周长为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】A 【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD =AB =4，AD =BC =8，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≅ △COF ，根据全等三角形的性质，得：OF =OE =2，CF =AE ，故四边形EFCD 的周长为CD +EF +AD =16．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD =AB =4，AD =BC =8，OA =OC ，AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ，∠AEO =∠CFO ，在△AOE 和△COF 中，∠EAO =∠FCO ∠AEO =∠CFO OA =OC，∴△AOE≅ △COF ，∴OF =OE =2，CF =AE ，∴四边形EFCD 的周长为CD +EF +ED +FC =CD +EF +AE +ED =CD +AD +EF =4+8+2×2=16，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．【变式1-2】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD 中，AB =6，AD =10，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 于点E ，交BC 于点F ；②分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内相交于点P ；③画射线BP ，交AD 于点Q ，交对角线AC 于点O ．若BA ⊥CA ，则AO 的长度为（ ）A ．3BC ．32D ．【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得到BC ＝AD ＝10，再利用勾股定理计算出AC ＝8，利用基本作图得到BQ 平分∠ABC ，则根据角平分线的性质得到点O 到BA 的距离等于点O 到BC 的距离，接着利用三角形的面积公式得到S △ABO ：S △BCO ＝AB ：BC ＝OA ：OC ，所以OA =38AC ．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ＝10，∵BA ⊥CA ，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，AC ==8，由作法得BQ 平分∠ABC ，∴点O 到BA 的距离等于点O 到BC 的距离，∴S △ABO ：S △BCO ＝AB ：BC ＝6：10＝3：5，∵S △ABO ：S △BCO ＝OA ：OC ，∴OA ：OC ＝3：5，∴OA ：AC ＝3：8，∴OA =38AC =38×8＝3．【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则ED的值是（）AEB C DA．2【答案】D【分析】由平行四边形的性质可求∠ADB=30°，由直角三角形的性质可求DE=，AE=BH，即可求解．【详解】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠DAB=180°，∵∠ADC=105°，∴∠DAB=75°，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA=75°，∴∠BDA=30°，∴BD=2BH=AD，DH，∴AH=，∵∠EBA=60°，∴∠BEA =180°−∠DAB−∠ABE =45°，∴∠EBH =45°=∠BEH ，∴BH =EH ，∴DE =，AE =，∴ED AE ==故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．【题型2 利用平行四边形的性质求角度】【例2】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱ABCD 中，AC 、BD 交于点O ．过点O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ，连接DE ．若∠CDE ＝∠CBD ＝15°．求∠ABC 的度数．【答案】45°【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE ＝ED ，得出∠CBD =∠BDE =15° ，求出∠ABD =30°，则可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ，∵OE ⊥BD ，∴BE =ED ，∴∠CBD =∠BDE =15°，∵∠CDE =15°，∴∠BDC =30°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABD =∠BDC =30°，∴∠ABC =∠ABD +∠CBD =30°+15°=45°．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【变式2-1】（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD的两个内角∠A:∠B=1:2，则∠A的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可得到∠A与∠B是邻角并且互补，再结合∠A:∠B=1:2列方程，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∵∠A:∠B=1:2，∴∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，故选B．【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键．【变式2-2】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（）．A．130°B．135°C．150°D．125°【答案】B【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°−2x，∠BCD=225°−2y，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，∵AD=DE=CE，∴AD=DE=CE=BC，∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∵∠DEC=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，∴∠ADE=180°−2x，∠BCE=180°−2y，∴∠ADC=180°−2x+45°=225°−2x，∠BCD=225°−2y，∴∠BAD=180°−(225°−2x)=2x−45°，∴2x−45°=225°−2y，∴x+y=135°，∴∠AEB=360°−135°−90°=135°；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到∠AED和∠CEB之间的关系．【变式2-3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC 于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为_____．【答案】45°【分析】连接DG，根据平行四边形的性质证明△ADG≌△ECG(SAS)，可得DG=CG，∠ADG=∠ECG，然后证明△DGC是等腰直角三角形，进而可以解决问题．【详解】解：如图，连接DG，在平行四边形ABCD 中，AB∥CD ，AD∥BC ，AD =BC ，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠DAG =∠GEC =90°，∵EG =BC ，∴EG =AD ，在△ADG 和△ECG 中，AD =EG ∠DAG =∠GEC =90°AG =EC，∴△ADG≌△ECG (SAS)，∴DG =CG ，∠ADG =∠ECG ，∵∠ADG +∠AGD =90°，∴∠EGC +∠AGD =90°，∴∠DGC =90°，∴△DGC 是等腰直角三角形，∴∠DCG =45°，∵AB∥CD ，∴∠BFC =∠DCG =45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADG≌△ECG．【题型3 利用平行四边形的性质求面积】【例3】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC 于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周长为60，则平行四边形ABCD的面积是（）A．36B．48C．63D．75【答案】C【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设BC为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得BC长，乘以3即为平行四边形的面积．【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为60，∴BC+CD=30，设BC为x，=BC⋅AE=CD⋅AF，∵S▱ABCD∴3x=(30−x)×7，解得：x=21，∴▱ABCD的面积为21×3=63，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底×高．【变式3-1】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______．【答案】10【分析】根据平行线间的距离相等以及平行四边形的对边相等即可得出答案．【详解】解：连接BD，∵m∥n，∴S△ABC=S△ABD，∵四边形ABED为平行四边形，∴AB=DE，∴S△ABC=S△ABD=S△BDE，∴平行四边形ABED的面积等于S△ABD+S△BDE=5+5=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行四边形的性质，根据同底等高的两个三角形面积相等以及等底等高的两个三角形面积相等是解本题的关键．【变式3-2】（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m，n满足(m+1)2+|n−3|=0，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD．(1)补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；(2)平行四边形ABCD的面积是多少？(3)在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)图见解析，A(−1,0)，B(3,0)，C(4,3)，D(0,3)(2)12(3)存在，(11,0)或(−5,0)【分析】（1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得m,n 的值，再根据平移的性质、线段的画法补全图形，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点C,D 的坐标；（2）先求出AB =4，OD =3，再利用平行四边形的面积公式即可得；（3）设点M 的坐标为M (a,0)，则BM =|a−3|，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程可得a 的值，由此即可得．（1）解：∵(m +1)2+|n−3|=0，∴m +1=0，n−3=0，解得m =−1，n =3，∴A (−1,0)，B (3,0)，补全图形如下：由平移的性质得：C (3+1,0+3)，D (−1+1,0+3)，即C (4,3)，D (0,3)．（2）解：∵A (−1,0)，B (3,0)，D (0,3)，∴AB =3−(−1)=4，OD =3，则平行四边形ABCD 的面积是AB ⋅OD =4×3=12．（3）解：如图，设点M 的坐标为M (a,0)，则BM =|a−3|，∵△MBD 的面积等于平行四边形ABCD 的面积，∴12OD ⋅BM =12，即12×3|a−3|=12，解得a=11或a=−5，所以存在这样的点M，此时点M的坐标为(11,0)或(−5,0)．【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，熟练掌握平移作图是解题关键．【变式3-3】（2022春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可；（2）根据要求，画出平行四边形即可．【详解】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求；由图可知：平行四边形ABCD的面积=3×2=6；（2）解：如图，平行四边形EFGH即为所求；由图可知：平行四边形EFGH的面积=3×2=6．【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的的关键．【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】【例4】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（）．A．124°B．114°C．104°D．56°【答案】A【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：由折叠得，∠4=∠5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠5=∠3，∴∠3=∠4，又∵∠1=∠3+∠4=48°，×48°=24°，∴∠5=∠4=∠3=12在△ABC中，∠B=180°−∠5−∠2=180°−24°−32°=124°，故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．【变式4-1】（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EF C′D′，E D′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A．6B．12C．18D．24【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EFG=∠DEF=60°，根据折叠的性质得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠EFG=∠DEF=60°，∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EF C′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠EGF=60°，即∠EFG=∠GEF=∠EGF=60°，∴△EGF是等边三角形，∵EF=6，∴△GEF的周长=18，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．【变式4-2】（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB5BE=AE．则AF长度为_____．【答案】152【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，∵AB5BE=AE，∴AE BE由折叠的性质可知：GE=AE GF=AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN 和△ABM 是等腰直角三角形，∴EN =BN =2BE =1，AM =BM =2AB =6，∴FH =BM =6，在Rt △GEN 中，根据勾股定理，得E N 2+G N 2=G E 2，∴12+G N 2=2，解得GN =±7（负值舍去），∴GN =7，设MF =BH =x ,则GH =GN -BN -BH =7-1-x =6-x ，GF =AF =AM +FM =6+x ，在Rt △GFH 中，根据勾股定理，得G H 2+F H 2=G F 2，∴(6−x)2+62=(6+x)2，解得x =32，∴AF =AM +FM =6+32=152．∴AF 长度为152．故答案为：152．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形ABCD 为平行四边形，己知AB BC ＝6，AC ＝5，点E 是BC 边上的动点，现将△ABE 沿AE 折叠，点B ′是点B 的对应点，设CE 长为x ，若点B ′落在△ADE 内（包括边界），则x 的取值范围为____________．【答案】x 2【分析】如图1，当B′在AD上，易证由四边形CD B′E为平行四边形，得到CE=D B′=6−2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当B′在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝CE的另一个临界值，问题得解．【详解】解：如图1，当B′在AD上，此时，AB=A B′，∠B=∠A B′E=∠D，∴B′E∥CD，∵AD∥BC，∴四边形CD B′E为平行四边形，∴CE=D B′=6−如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当B′在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，∴DA＝DE在Rt△ABG和Rt△ACG中，AG2=AB2−BG2=AC2−CG2∴2−B G2=52−(6−BG)2∴BG＝2，∴AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝∴CE＝2；综上：x的取值范围为：x2．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】【例5】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为(1,−1)，(−2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则a+b的值不可能是（）A．-7B．-1C．1D．7【答案】B【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出a,b的值．【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴−2a2=102，302=b−12解得;a=3,b=4∴a+b=7②AB为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴−212=a02，3(−1)2=b02解得;a=-1,b=2∴a+b=1③AC为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴1a2=−202，−102=b32解得;a=-3,b=-4∴a+b=−7故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．【变式5-1】（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B （0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．【答案】(0,2)【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．【详解】解：设点P（0，y），∵PD=AP，点A（-3，0），∴点D（3，2y），∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形，∴C（6，2y-4），∴点C在x=6这条直线上运动，∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即2y-4=0，∴y=2，∴点P（0，2）．故答案为（0，2）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【变式5-2】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，则D 点的坐标为_______．【答案】（-2，8）【分析】过点B 作BE ⊥y 轴于E 点，交AD 的延长线于点F ，先通过AAS 证出△BOE ≌△CAD ，根据全等三角形的性质得到OE =AD ，BE =CD ，根据三角形的面积即可得到结论．【详解】过点B 作BE ⊥y 轴于E 点，交AD 的延长线于点F ，∵四边形ABOC 是平行四边形，∴AC =OB ，AC ∥OB ，∴∠OGC =∠BOE ，∵AD ∥y 轴，∴∠DAC =∠OGC ，∴∠BOE =∠DAC ，在△BOE 和△CAD 中，∠BEO ＝∠CDA ∠BOE ＝∠CAD BO ＝AC，∴△BOE ≌△CAD （AAS ），∴OE =AD =2，BE =CD =8，∵S △ABD =6，∴12AD •BF =6，×2×BF=6，∴12∴BF=6，∴EF=BE-BF=2，∵∠ADB=135°，∴∠BDF=45°，∴BF=DF=6，∵DF+OE=6+2=8∴D（-2，8），故答案为：（-2，8）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．【变式5-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A(0，3)，B(−1，0)，若直线y=−2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是_____________．3【分析】连接BD，设D(m，3)，BD的中点为T，求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．【详解】解：连接BD，设D(m，3)，BD的中点为T，∵B(−1，0)，∴∵直线y=−2x+4平分平行四边形ABCD的面积，∴直线y=−2x+4经过点T，∴32=−2×m−12+4，∴m=72，∴3，3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和求点的坐标，解决本题的关键是连接BD，找到BD的中点坐标．【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】【例6】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．证明：四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，①∴∠ABD =∠CDB ，∵AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∴ ② ，∠DCH =12∠BCD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴ ③∴∠BAE =∠DCH ，在△ABF 和△CDG 中，∠ABD =∠CDB ④∠BAE =∠DCH，∴△ABF≌△CDG (ASA)．∴BF =DG【答案】(1)作图见详解(2)AB ∥CD ，∠BAF =12∠BAD ，∠BAD =∠DCB ，AB =CD 【分析】（1）以点C 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC ，DC 于点M ，N ，连接MN ，分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 为半径画弧，交于点P ，连接CP ，交AD 于点H ，交BD 的于点G ，由此即可求解；（2）平行四边形ABCD 中，可知AB =CD ，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∠BAF =12∠BAD ，∠DCH =12∠BCD ，从而证明△ABF≌△CDG (ASA)，由此即可求解．【详解】（1）解：如图所示，∴CH 为∠BCD 的角平分线．（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD =∠CDB，∵AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∴∠BAF =12∠BAD ，∠DCH =12∠BCD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠BAD =∠DCB ，∴∠BAE =∠DCH ，在△ABF 和△CDG △CDG 中，∠ABD =∠CDB AB =CD ∠BAE =∠DCH，∴△ABF≌△CDG (ASA)．∴BF =DG ．故答案为：①AB ∥CD ；②∠BAF =12∠BAD ；③∠BAD =∠DCB ；④AB =CD ．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，三角形全等的判定和性质，掌握角平分线的画法，三角形全等的判定和性质是解题的关键．【变式6-1】（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在▱ABCD 中，点E 是CD 边的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BE ，BE ⊥AF ．(1)求证：△ADE≌△FCE ；(2)求证：AE 平分∠DAB ；(3)若∠DAB =60°，AB =4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得∠D =∠ECF ，根据对顶角相等，∠DEA =∠CEF ，再根据点E 是CD 边的中点，即可求证；（2）通过证明△ABF为等腰三角形，即可求证；（3）由题意可得，▱ABCD的面积等于△ABF的面积，利用含30°角直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∵点E是CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠DEA=∠CEF，∴△ADE≌△FCE(ASA)；（2）证明：由（1）可得△ADE≌△FCE，∴AE=EF，即BE为△ABF的中线，∠F=∠DAE，又∵BE⊥AF，∴△ABF为等腰三角形，∴AB=BF，∠F=∠BAE∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠DAB；（3）解：由（2）可得AE平分∠DAB；又∵∠DAB=60°∴∠EAB=30°，∵BE⊥AF，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠EAB=30°，AB=4，∴BE=12AB=2，∴AE=∴AF=2AE=由（1）可得△ADE≌△FCE，则S△ADE =S△CEF，∴S▱ABCD=S△ABF=12AF×BE=【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．【变式6-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF(1)求证：AE =CF ；(2)若AD =AE ，∠DFC =140°，求∠DAE 的度数=______【答案】(1)见解析(2)100°【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥DC 、AB =CD 即∠ABE =∠CDF ，然后证得△ABE≅△CDF 即可证得结论；（2）由△ABE≅△CDF 可得∠AEB =∠CFD =140°，进而求得∠AED ，再根据AD =AE 可得∠ADE ，最后根据三角形内角和定理即可解答．【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD∴AB∥DC ，AB =CD ，∴∠ABE =∠CDF在△ABE 和△CDF 中AB =CD ∠ABE =∠CDF BE =DF∴△ABE≅△CDF (SAS)∴AE =CF ．（2）解：∵△ABE≅△CDF ，∠DFC =140°∴∠AEB =∠CFD =140°∴∠AED =180°−∠AEB =40°∵AD =AE∴∠AED =∠ADE =40°∴∠DAE =180°−∠AED−∠ADE =100°．故答案为：100°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．【变式6-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F.(1)求证：OE=OF；(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四边形CDFE的周长.【答案】(1)见解析(2)四边形CDFE的周长为11【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF(ASA)，则可证得结论；（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE，∵在△OAF和△OCE中∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OF=OE．（2）解：∵△AOF≌△COE，∴AF=CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∵BC=4，AB=3，OE=OF=2，∴C四边形CDFE =EF+DF+CE+CD=2OE +DF +AF +CD=2OE +AD +CD=4+4+3=11．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【题型7 利用平行四边形的性质求最值】【例7】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，若AC =5cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE =CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE =AC =5，∠EAB =∠CAD ，则∠EAC =∠EAB +∠BAC =∠DAC +∠BAC =∠BAD =90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．(2)如图2，在△ABC 中，∠ACB =90°，且AC +BC =4，求线段AB 的最小值．(3)如图3，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且∠BOC =60°；AC +BD =10，则AD 是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD 的最小值及此时平行四边形ABCD 的面积．【答案】(1)12.5(2)(3)不是，52，4【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC 的面积，从而可以得到四边形ABCD 的面积；（2）由勾股定理可得AB（3）由平行四边形的性质可得BO+CO=5，AD=BC，由勾股定理可求BC=可求BC的最小值，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得，AE=AC=5，∠EAC=90°，则△EAC的面积=12×AE⋅AC=12×5×5=12.5(cm2)，即四边形ABCD的面积为12.5cm2，故答案为：12.5；（2）解：∵AC+BC=4，∴BC=4−AC，∵∠ACB=90°，∴AB∴当AC=2时，AB取最小值，最小值为（3）解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，AD=BC，∵AC+BD=10，∴BO+CO=5，∴CO=5−BO，∵∠BOC=60°，BH⊥AC，∴∠OBH=30°，∴HO=12BO，BH==，∴CH=CO−HO=5−32BO，∵BC =∴当BO =52时，BC 有最小值52，即AD 的最小值为52，此时：BO =BC =52，∠BOC =60°，∴ △BOC 是等边三角形，∴S ▱ABCD =4S △BOC =4综上可知，AD 不是定值，AD 的最小值为52，此时平行四边形ABCD 的面积为4．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．【变式7-1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC 中，AB =BC =10，AC =12，D 是BC 边上任意一点，连接AD ，以AD ，CD 为邻边作平行四边形ADCE ，连接DE ，则DE 长的最小值为___________．【答案】9.6【分析】设AC,ED 交于点O ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，勾股定理求得OB ，等面积法求得OF ，根据垂线段最短，当点D 与点F ，重合时，OD 最小，进而求得DE 的最小值，即可求解．【详解】设AC,ED 交于点O ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，如图所示，在四边形ADCE 中，AO =CO ，EO =DO ，∵AB =BC =10，∴BO ⊥AC ，∵AC =12，∴AO =CO =6,在Rt △BOC 中，BO ==8，∵S △OBC =12CO ⋅BO =12BC ⋅OF ，∴OF =4.8，当点D 与点F ，重合时，OD 最小，∴ED 的最小值为2OD =9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．【变式7-2】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，BC =6，∠ABC =60°，BE 平分∠ABC ，点F 为BC 上一点，点G 为BE 上一点，连接CG ，FG ，则CG +FG 的最小值为_________．【答案】【分析】在AB 上取一点H ，使BH =BF ，则GF =GH ，所以CG +FG =CG +HG ，因此当C 、G 、H 在同一直线上，且CH ⊥AB 时，CG +FG =CG +HG 最小，最小值为CH ．【详解】在AB 上取一点H ，使BH =BF ，∵BE 平分∠ABC ，∴GF =GH ，∴CG+FG=CG+HG，∴当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB时，CG+FG=CG+HG最小，最小值为CH．∵BC=6，∠ABC=60°，∴∠BCH=30°，∴BC=2BH，BC=3，∴BH=12∴CH=故答案为：【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．，∠ACB=30°，AC⊥AB，【变式7-3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AO=32点E在AC上，CE=1，点P是BC边上的一动点，连接PE、PA，则PE+PA的最小值是________．【分析】过点A作直线BC的对称点F，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，过点E作直线CF的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：过点A作直线BC的对称点F，连接AF、FC，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，∵点A与点F关于直线BC对称，∴CA =CF ，∠ACB =∠FCB =30°，则∠ACF =60°，∴△ACF 是等边三角形，∵在▱ABCD 中，AO =32，∴CF =AC =2AO =3，过点E 作直线CF 的垂线，垂足为点G ，∵∠ACF =60°，∴∠CEG =30°，∴CG =12CE =12，EG =2，∴FG =FC−CG =52，∴EF ==∴PE +PA【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】【例8】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =9cm ，BC =24cm ，E 是BC 的中点． 动点P 从点A 出发沿AD 向终点D 运动，动点P 平均每秒运动1 cm ；同时动点Q 从点C 出发沿CB 向终点B 运动，动点Q 平均每秒运动2 cm ，当动点P 停止运动时，动点Q 也随之停止运动．(1)当动点P 运动t (0<t <9)秒时，则PD =________；(用含t 的代数式直接表示)(2)当动点Q 运动t 秒时，① 若0<t <6，则EQ =________；(用含t 的代数式直接表示)② 若6<t <9，则EQ =________；(用含t 的代数式直接表示)(3)当运动时间t 为多少秒时，以点P ，Q ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？【答案】(1)9−t ；(2)①12−2t ；② 2t−12；(3)t 为3秒或7秒时．【分析】（1）根据题意得：AP =t ，AD =9，即可得出答案；（2）①若0<t <6，CQ =2t ，CE =12，即可得出EQ =12−2t ；② 若6<t <9，CQ =2t ，CE =12，即可得出EQ =2t−12；（3）分别从当Q 运动到E 和C 之间和当Q 运动到E 和B 之间，去分析求解即可求出答案．【详解】（1）解：根据题意得：AP =t ，AD =9，∴PD =AD−AP =9−t ，故答案为：9−t ；（2）解：①若0<t <6，CQ =2t ，CE =12BC =12×24=12，∴EQ =12−2t ，故答案为：12−2t ；② 若6<t <9，CQ =2t ，CE =12BC =12×24=12，∴EQ =2t−12，故答案为：2t−12；（3）解：如图所示：∵E 是BC 的中点，∴BE =12BC =12×24=12，① 当Q 运动到E 和C 之间时，设运动时间为t ，则：12−2t =9−t ，解得：t =3，② 当Q 运动到E 和B 之间时，设运动时间为t ，则：2t−12=9−t ，。
第1章特殊平行四边形《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型-北师大版九年级数学上册
《特殊四边形》典型题型1 特殊四边形中的多结论题型【知识梳理】 总体解题思路和方法：①直接证明：不一定按顺序，哪个结论最好证就先证哪个； ②已证明的结论可以作为题目的已知条件；③假设法：遇到不好证的，可以假设它成立，倒过去反推，若推出的结论与题目已知条件相符，说明假设成立，即结论也成立，反之，结论错误；④涉及几何计算时，常用解题技巧是：特殊值法或字母参数法【典型例题】例1.如图，在平行四边形ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③；④∠CFE=3∠DEF ；其中正确结论的个数有（ D ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析：多结论题型，几何综合题型，压轴题（1）数学典型模型：“等腰△+平行线=角平分线”，∵FC=BC ，FC//AB ， ∴∠CFB=∠ABF=∠CBF ，∴∠ABC=2∠ABF ，①正确；（2）数学典型模型：“中线倍长”；延长BC 交EF 的延长线于点G ，由AAS 易证△DEF ≌△CGF ，则EF=FG ，∵AD//BC ，∴∠AEB=∠EBC=90°，则BF 是Rt △EBG 斜边上的中线，∴BF=EF=FG ，②正确； （3）由△DEF ≌△CGF 可得，由BF 是中线，可得， ∴，③正确；CBADEFGFEDABC（4）依几何图形的审题技巧：想办法拉近∠CFE与∠DEF的位置距离，由AD//BG，可得∠DEF=∠G，由BF=FG可得∠G=∠FBG，由CF=CB可得∠FBG=∠CFB，∴∠DEF=∠CFB，由外角定理可得∠EFB=∠G+∠FBC=2∠FBC=2∠CFB，∴∠CFE=3∠CFB=3∠DEF，④正确，故选D.例2.已知如图，四边形ABCD为矩形，点O是AC的中点，过点O的一直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M,连接DE、BO，若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC,OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD 是菱形；④MB:OE=3:2，其中正确结论是___________解析：多结论题型，压轴题。
部编数学八年级下册专题06特殊平行四边形的两种考法全攻略(解析版)含答案
专题06 特殊平行四边形的两种考法全攻略类型一、最值问题例1．（将军饮马）如图，在菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB PE +PE 的最小值为（ ）A ．2B C ．1D ．0.5由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、∴1602ABD ABC Ð=Ð=°，PE PB PE +=即DE 就是PB PE +的最小值，例2．（中点模型）如图，矩形,2,4ABCD AB BC ==，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为（ ）A ．2B ．2C 1D ．【答案】A 【详解】如图，取AD 的中点H ，连接CH ，OH ，Q 矩形ABCD ，2AB =，4BC =，2CD AB \==，4AD BC ==，例3．（截补模型）如图，在Rt ABC △中，90C =o ∠，2AC BC ==，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的动点．且BD CE =，连接AD 、BE ，则AD BE +的最小值为______．∵90ACB Ð=°，AC =∴90FBD ACB Ð=Ð=∵BD CE =，∴(SAS BDF CEB ≌△△AC=，以BC为对角线作正方形BDCE，连例4．（瓜豆模型）如图，平面内三点A，B，C，4AB=，3接AD，则AD的最大值是______．【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，84AB AD ==，，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是___________．当点F 与点C 重合时，点P 在1P 当点F 与点E 重合时，点P 在2P ∴PP EC ∥且1PP CE =．【变式训练2】如图，已知线段12AB =，点C 在线段AB 上，且ACD V 是边长为4的等边三角形，以CD 为边的右侧作矩形CDEF ，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接MB ，则线段MB 的最小值为_______________．【答案】6【详解】∵ACD V 为等边三角形，∴AC AD =，60DAC Ð=°，∵四边形DCFE 是矩形，点M 是DF 的中点，∴DM ＝CM ，【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，边长2AB =，点Q 是边CD 的中点，点P 是线段AC 上的动点，则DP PQ +的最小值为 _____．【变式训练4】如图，在菱形ABCD 中，10AB =，16AC =，点M ，N 在AC 上，且2MN =，连接BM ，DN ，则BM DN +的最小值为 ______【变式训练5】如图，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ^于点M ，DN AC ^于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为_____．类型二、动点问题例1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平－向点D运动，面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程28160-+=的根．点P从点B出发，沿BC CDx x-向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个同时点Q从点E出发，沿EB BC△的面积为单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，AQPS．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式；△是以AP为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．(3)当AQP由题意得：EQ t =，2BP t =，∴2AQ AE EQ t =+=+，2BQ t =-，2222222(2)44,(2)(2)AQ t t t PQ BP t t \=+=+++=-+2544t t =-+当AQ PQ =时，22AQ PQ =，∴2244544t t t t ++=-+，解得0=t (舍去)或2，∴4BP =，∴当0t 2££，AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，()44P ，；②24t <£时，如图：由题意得：EB BQ t +=，2BC CP t +=，∴2BQ t BE t =-=-，6CQ BC BE t t =+-=-，224CP t BC t =-=-，282PD BC CD t t =+-=-，22224(2)AQ AB BQ t \=+=+-2420t t =-+2222(6)PQ CQ CP t =+=-22(24)52852t t t +-=-+当AQ PQ =时，22AQ PQ =，∴2242052852t t t t -+=-+，解得2t =(舍去)或4，∴0DP =，∴()04P ，；∴当24t <£，AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，()04P ，，综上所述，当AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，点P 的坐标为()44，或()04，例2.如图，在长方形ABCD 中，4AB =，3BC =，点E 为AD 延长线上一点，且6AE =，点P 从点A 出发，沿A —B —C —D 向终点D 运动．同时点Q 从点B 出发，沿B —C —D —E 向终点E 运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．设APQ △的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒．(1)当2t =时，S = ；当72t =时，S = ．(2)当07t <£时，用含t 的代数式表示S ．直接写出结果并化简．(3)当点P 在CD 边上，且APQ △为等腰三角形时，直接写出t 的取值或者范围．【变式训练1】如图，在ABCD Y 中，ABC Ð为锐角，5AB =，9BC =，36ABCD S =Y ．动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A B C D A ®®®®运动．同时，动点Q 从点A 出发，以每秒3个单位的速度沿A D C B A ®®®®运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．(1)点P 在BC 上运动时，CP =_____________；点P 在CD 上运动时，CP =_____________．（用含t 的代数式表示）(2)点P 在CD 上，PQ BC ∥时，求t 的值．(3)当直线PQ 平分ABCD Y 的面积时，求t 的值．(4)若点Q 的运动速度改变为每秒a 个单位．当972t << ，ABCD Y 的某两个顶点与P 、Q 所围成的四边形为菱形时，直接写出a 的值．【变式训练2】如图，长方形ABCD 中，AD BC ∥，90B Ð=°，104AD BC cm AB cm ===，，动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿B A D ®®的方向，向终点D 运动；动点Q 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿B C ®的方向向终点C 运动．以PQ 为边向右上方作正方形PQMN ，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P Q 、同时出发，运动时间为t 秒0t （＞）．(1)当04t ＜＜时，AP ＝______（用含t 的代数式表示）；(2)当点N 落在AD 边上时，求t 的值；(3)当正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S （用含t 的代数式表示）；(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形．如图3，当M 点运动到D 点处时，∵10214CQ t CQ PM PM t ===-﹣，，，∴2014t t -=-（1），解得6t =，∴当6t =时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形，∴46t ££时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形；如图4，当Q 点运动与C 点时，10t =，此时正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形；∴610t ＜＜时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为四边形，如图5，【变式训练3】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点M在AD上，且AM＝4，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，沿B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，运动时间为t秒．(1)当点P在BC边上时，BP＝，CP＝．（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，△ABP是直角三角形时，t的取值范围为．(3)点P在运动过程中，△DMP是等腰三角形时，t的值为．(4)连接CM，当点P在线段CM的垂直平分线上时，t的值为．【答案】(1)t，9﹣t(2)0＜t≤9或13≤t＜22(3)1或7或6.5当点P 在线段BC 上时，CP =MP =9-t ，PH =t -4，MH =4，∵△MPH 是直角三角形，∴2222MH PH PM CP +=＝即()()222449t t -=+-，∴t ＝4.9，当点P 在线段AD 上时，同法可得PM ＝CPCP =MP =18-t ，DP =t -13，CD =4∵△CDP 是直角三角形，∴2222CD DP PM CP +=＝即()()22241318t t =+--，∴t ＝13.9．综上所述，满足条件的t 的值为4.9或13.9．故答案为：4.9或13.9．。
特殊平行四边形知识点总结及题型
特殊平行四边形知识点总结及题型特殊平行四边形知识点总结及题型特殊平行四边形是几何学中的重要概念，它包括矩形、菱形和正方形。
这些特殊平行四边形具有一些独特的性质和特征，它们在几何学、晶体学和工程学等领域都有广泛的应用。
本文将总结特殊平行四边形的定义、性质、判定方法和典型题型，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
一、定义1、矩形：一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
2、菱形：一个内角为锐角的平行四边形叫做菱形。
3、正方形：内角均为直角的平行四边形叫做正方形。
二、性质1、对边平行且相等。
2、对角线互相平分且相等。
3、四个内角均为90度。
4、邻角互补。
5、对角线与邻边组成的三角形为等腰直角三角形。
三、判定方法1、矩形 (1) 内角为直角。
(2) 对边平行且相等。
2、菱形 (1) 内角为锐角。
(2) 对边平行且相等。
3、正方形 (1) 内角均为直角。
(2) 对边平行且相等。
四、典型题型1、求特殊平行四边形的角度和周长。
2、证明特殊平行四边形的性质和判定方法。
3、解决与特殊平行四边形相关的实际问题。
五、扩展知识1、空间几何中的特殊平行四边形，如空间双面平行四边形等。
2、立体几何中的特殊平行四边形，如平行六面体等。
3、相关知识点，如三角函数、向量等在特殊平行四边形中的应用。
总之，特殊平行四边形是一个具有丰富内容和广泛应用的知识点。
理解和掌握这些特殊形状的特点和性质，对于解决相关问题以及进一步学习几何学、物理学等学科都具有重要意义。
希望读者通过阅读本文，能够对这些特殊平行四边形的定义、性质、判定方法和典型题型有更深入的理解和掌握，为进一步学习打下坚实的基础。
平行四边形知识点总结平行四边形知识点总结一、定义平行四边形是一种几何图形，具有两条相互平行的对边和两条对角线。
它是人类生活中常见的形状，具有广泛的应用价值。
二、性质1、平行四边形的对边平行且相等。
2、平行四边形的对角相等。
3、平行四边形的内角和为360度。
人教八下平行四边形专题知识点常考(典型)题型重难点题型(含详细答案)
平行四边形专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.平行四边形的定义 (2)2.平行四边形的性质 (3)3.平行四边形的判定定理 (7)4.三角形中位线定理 (10)三、重难点题型 (14)1.平行四边形的共性 (14)2.平行四边形间距离的应用 (16)3.与平行四边形有关的计算 (17)4.与平行四边形有关的证明 (19)二、基础知识点1.平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形。
平行四边形ABCD记作“□ABCD”注：只要满足对边平行的四边形都是平行四边形。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形例1.如图，□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：BE=DF．答案：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥CB，AD=CB∵DE⊥AB，BF⊥CD∴∠DEA=∠CFB∴△ADE≌△CFB∴AE=CF∵DC=AB∴BE=DF例2.在平面直角坐标系中，有A（0,1），B（-1,0），C（1,0）三点，若点D与A，B，C构成平行四边形，求D的坐标。
（3解）答案：如下图，有三种情况，坐标分别为：（0，－1）；（2,1）；（－2,1）2.平行四边形的性质性质1（边）：平行四边形的对边相等（AB=CD，AC=BD）证明：∵∠CAD=∠ADB ∠DAB=∠ADC AD=AD ∴△ACD≌△DBA（ASA）∴AB=CD AC=BD性质2（角）：平行四边形对角相等，邻角互补（∠A=∠D，∠C=∠B；∠A+∠C=∠B+∠D=180°）证明：∵△ACD≌△DBA（ASA）又∵∠CAB=∠CAD+∠DAB ∠CDB=∠CDA+∠ADB∴∠CAB=∠CDB∵AB∥CD∴∠B+∠BDC=180°性质3（对角线）：平行四边形对角线互相平分（AO=OC；BO=OD）证明：∵AD=BC ∠OAD=∠OCB ∠ODA=∠OBC∴△AOD≌△COB（ASA）∴AO=OC OB=OD注1：平行四边形对角线互相平分，但两对角线不一定相等解析：假设平行四边形对角线相等∴∠OAD=∠ADO=∠OBC=∠OCB∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠CDO又∵∠DAB+∠CBA=180°∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°∴仅在平行四边形的四个角为直角时（即矩形），对角线相等注2：对角线不一定平分角解析：假设平行四边形对角线平分角，则∠ADB=∠BDC ∠ACD=∠ACB ∵∠DCB=∠BAD∴∠ACD=∠CAD又∵OD=OD∴△AOD≌△COD（AAS）∴AD=DC=BC=AB∴仅当平行四边形四条边相等时（即菱形），对角线平分角性质4：平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点。
专题18 特殊的平行四边形(8大考点)(学生版)
第五部分四边形专题18特殊的平行四边形（8大考点）核心考点核心考点一矩形的性质与判定核心考点二矩形的相关证明与计算核心考点三菱形的性质与判定核心考点四菱形的相关证明与计算核心考点五正方形的性质与判定核心考点六正方形的相关证明与计算核心考点七中点四边形核心考点八三角形的中位线新题速递核心考点一矩形的性质与判定（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中，AB ＝ABC ＝60°，矩形BEFG 的边EF 经过点C ，且点G 在边AD上，若BG ＝4，则BE 的长为（）A ．32B ．2C D．3（2022·湖北随州·统考中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，连接EF ．如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转角()090θθ<<︒，使EF AD ⊥，连接BE 并延长交DF 于点H ，则∠BHD 的度数为______，DH 的长为______．（2022·云南·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°(1)求证：四边形ABDF是矩形；(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．1.矩形的性质：（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等且互相平分；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2.矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）【变式1】（2022·山东泰安·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于点P ，若四边形ABCD 的面积是9，则DP 的长是()A ．6B ．4.5C ．3D ．2【变式2】（2023·安徽淮北·校联考一模）如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一点，连接PA ，PC ，PD ，若PA PD ⊥，则PC 的最小值为（）A ．2134B ．2103C ．2D ．4【变式3】（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，矩形ABCD 中，4,10AB BC ==，M 为AD 的中点，把矩形沿着过点M 的直线折叠，点A 刚好落在边BC 上的点E 处，则AE 的长为___________．【变式4】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，点E 、F 在边AB 、AD 上，且1==AE AF ，点P 为BC 上一动点，点Q 为矩形内部一动点，且135EQF ∠=︒，连接PD 、PQ ，则PQ PD +的最小值为______．【变式5】（2022·云南文山·统考三模）如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，点E 是AD 的中点，延长BE 至点F ，使EF BE =，连接AF CF 、，BF 与AC 交于点G ，连接DG ．(1)求证：四边形ADCF 是矩形；(2)若AC BF ⊥，3AC =，tan ABC ∠=，求DG 的长．核心考点二矩形的相关证明与计算（2021·四川绵阳·统考中考真题）如图，在等腰直角ABC 中，90C ∠=︒，M 、N 分别为BC 、AC上的点，50CNM ∠=︒，P 为MN 上的点，且12PC MN =，117BPC ∠=︒，则ABP ∠=（）A ．22︒B ．23︒C ．25︒D ．27︒BC=，点A在x轴正半轴上，点D （2021·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD，1AB=，2在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为__．Y中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC （2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，ABCD的中点．(1)求证：BE DF=；(2)设AC kBD=，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．【变式1】（2021·浙江宁波·校考三模）如图，在ABC 中，点E 是线段AB 上一点，ED BC ⊥于点D ，四边形EDGF 为矩形，若BC DG =，ABC 的面积为a ，矩形EDGF 的面积为b ，则下列图形中面积可以确定的是（）A ．BDE △的面积B ．四边形ACGF 的面积C ．梯形EDCH 的面积D ．AEF △的面积【变式2】（2022·湖南娄底·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于点E ，点F 是CD 边上一点（不与点D 重合）．点P 为DE 上一动点，PE PD <，将DPF ∠绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA 于H ，G 两点，有下列结论：①DH DE =；②DP DG =；③2DG DF +；④DP DE DH DC ⋅=⋅，其中一定正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【变式3】（2022·黑龙江哈尔滨·校考二模）已知矩形ABCD ，点E 在AD 边上，DE AE <，连接BE ，点G 在BC 边上，连接EG ，BE 平分AEG ∠，若5BG GC =，2DE CG =，210BE =则ABE 的面积是___________．【变式4】（2022·陕西咸阳·统考一模）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，D 是AB 上一点，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值为___________cm ．【变式5】（2022·黑龙江哈尔滨·统考三模）在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在AD 上，连接BE ，CE ，ABE DCE ≌△△．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 在AD 上，连接BE ，CE ，△ABE ≌△DCE ．(1)如图1，求证：四边形ABCD 为矩形；(2)如图2，连接AC 交BE 于点F ，点G 在CF 上，2AF CG =，连接BG ，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有面积为四边形ABCD 面积的14的三角形．核心考点三菱形的性质与判定（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2,60AB ABC =∠=︒，M 是对角线BD 上的一个动点，CF BF =，则MA MF +的最小值为（）A ．1B CD ．2（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，对角线AC 与BD 交于点O ，E 为OB 中点，F 为AD 中点，连接EF ，则EF 的长为_________．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =120°，AB =6，连接BD ．(1)求BD 的长；(2)点E 为线段BD 上一动点（不与点B ，D 重合），点F 在边AD 上，且BE ，①当CE 丄AB 时，求四边形ABEF 的面积；②当四边形ABEF 的面积取得最小值时，CE的值是否也最小？如果是，求CE 的最小值；如果不是，请说明理由．1.菱形的性质：（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度）2.菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．【变式1】（2023·安徽淮北·校联考一模）如图，菱形ABCD 的边长为4cm ，60A ∠=︒，点E ，F 在菱形ABCD 的边上，从点A 同时出发，分别沿A B C →→和A D C →→的方向以每秒1cm 的速度运动，到达点C 时停止，线段EF 扫过区域的面积记为()2cmy ，运动时间记为()s x ，能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．【变式2】（2022·辽宁营口·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数00k x k y x=（＞，＞）的图像与菱形OABC 的边OC ，AB 分别交于点M 、N ，且2OM MC =，6OA =，60COA ∠=︒，则N 的横坐标为（）A ．7B ．6C ．D ．3【变式3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点D 作DE CD ⊥，交AC 于点E ，若6AC =，2tan 3ACB ∠=，则DE 的长是______．【变式4】（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD 中，10BC =，F 为AD 的中点，点E 在BD 上，FE BD ⊥，4EF =，将DFE △沿DB 方向平移，使点F 落在AB 上，则DFE △平移的距离为________．【变式5】（2023·四川巴中·校考一模）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若AD =2BD =，求OE 的长．核心考点四菱形的相关证明与计算（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，E 为AD 边的中点，连接CE交对角线BD 于点F ．若∠DEF ＝∠DFE ，则这个菱形的面积为（）A ．16B ．C ．D ．30（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点E 在OB 上，连接AE ，点F 为CD 的中点，连接OF ，若AE BE =，3OE =，4OA =，则线段OF 的长为___________．（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒，12ADB ABD BDC ∠=∠=∠，DE 交BC 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，且EF EC =．（1）求证：四边形ABED 是菱形；（2）若4=AD ，求BED 的面积．【变式1】（2022·山东济南·校考一模）如图，菱形ABCD 的边长为8，E 、F 分别是AB 、AD 上的点，连接CE 、CF 、EF ，AC 与EF 相交于点G ，若2BE AF ==，120BAD ∠=︒，则FG 的长为（）A 132B 3C ．2D ．32【变式2】（2021·陕西·西安市第三中学校考三模）如图，折叠菱形纸片ABCD ，使得A D ''对应边过点C ，若602B AB ∠=︒=，，当A E AB '⊥时，AE 的长是（）A ．23B ．232-C 5D ．13+【变式3】（2023·山东东营·校联考一模）如图，在菱形ABCD 中，43AB =60ABC ∠=︒，点P 是BD 上一点，点M 、N 分别是BC 、CD 上任意一点，且PM BC ⊥，垂足为M ，连接PM 、PN ，则PM PN +的最小值为_____．【变式4】（2023·山东东营·校考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60A ∠=︒，M 是AD 边上的一点，且14AM AD =，N 是AB 边上的一动点，将AMN 沿MN 所在直线翻折得到A MN '△，连接A C '，则A C '长度的最小值是___________．【变式5】（2023·广东深圳·校考一模）如图，已知ABC 中，D 是BC 边上一点，过点D 分别作DE AC ∥交AB 于点E ，作DF AB ∥交AC 于点F ，连接AD ．(1)下列条件：①D 是BC 边的中点；②AD 是ABC 的角平分线；③点E 与点F 关于直线AD 对称．请从中选择一个能证明四边形AEDF 是菱形的条件，并写出证明过程；(2)若四边形AEDF 是菱形，且2AE =，1CF =，求BE 的长．核心考点五正方形的性质与判定（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为5，点A 的坐标为（4，0），点B 在y轴上，若反比例函数y ＝k x （k ≠0）的图像过点C ，则k 的值为（）A ．4B ．﹣4C ．﹣3D ．3（2022·海南·统考中考真题）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，,30AE AF EAF =∠=︒，则AEB ∠=___________︒；若AEF △的面积等于1，则AB 的值是___________．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 的垂直平分线交AB 于点M ，交CD 于点N ，垂足为O ，点F 在DC 上，且MF AD ∥．(1)求证：ABE FMN ≌△△；(2)若8AB =，6AE =，求ON 的长．1.正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．2.正方形的判定：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．【变式1】（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC '，若90CC D '∠=︒，2CC '=，则线段BC '的长度为（）A ．2B ．52C 6D 5【变式2】（2022·河南周口·周口市第一初级中学校考模拟预测）如图，正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…照如图所示的方式放置，点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C ，…分别在直线()0k kx b k =+>和x 轴上，已知点()11,1B ，()23,2B ，则3B 的坐标是（）A ．()12,9B ．()10,7C ．()8,5D ．()7,4【变式3】（2022·陕西西安·西安市第三中学校考模拟预测）如图，在正方形ABCD 中，3AB =，E 、M 、N 分别是边AD 、AB 、BC 上的动点，且2NM =，MO NO =，则CE EO +的最小值是________．【变式4】（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 边上任意一点（不与B 、C 重合），沿AE 折叠正方形ABCD ，使得点B 落在B '，连接DB '，若点F 为线段DB '的中点，则CF 的最小值为__________．【变式5】（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考二模）如图，已知正方形ABCD ，AB ＝8，点M 为线段DC 上的动点，射线AM 交BD 于E 交射线BC 于F ，过点C 作CQ ⊥CE ，交AF 于点Q ，(1)求证：∠QCF ＝∠QFC ；(2)证明：△CMQ 是等腰三角形．(3)取DM 的中点H ，连结HQ ，若HQ ＝5，求出BF 的长．核心考点六正方形的相关证明与计算（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图①，在正方形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 是对角线BD 上一动点，设DN ＝x ，AN +MN ＝y ，已知y 与x 之间的函数图象如图②所示，点E （a ，图象的最低点，那么a 的值为（）A ．3B ．C D（2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上的一点，点F 在边CD 的延长线上，且BE DF =，连接EF 交边AD 于点G ．过点A 作AN EF ⊥，垂足为点M ，交边CD 于点N ．若5BE =，8CN =，则线段AN 的长为_________（2022·湖南永州·统考中考真题）为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A 、B 、C 、D 四个位置安装四个自动喷酒装置（如图1所示），A 、B 、C 、D 四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）．方案一：如图2所示，沿正方形ABCD 的三边铺设水管；方案二：如图3所示，沿正方形ABCD 的两条对角线铺设水管．(1)请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短；(2)小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示），满足120AEB CFD =∠∠=°，AE BE CF DF ===，EF AD ∥、请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由． 1.4≈ 1.7≈）【变式1】（2022·吉林长春·校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上，5OA =，点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，将OAD △沿直线OD 折叠后得到OA D '△，若反比例函数()0k y k x=≠的图象经过A '点，则k 的值为（）A ．9B ．12C ．18D ．24【变式2】（2020·贵州遵义·统考二模）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE EF ⊥，1CF =，则AF 的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【变式3】（2023·山东济南·山东大学附属中学校考一模）如图，点E 是正方形ABCD 边BC 的中点，2AD =，连接AE ，将ABE 沿AE 翻折，得到AFE △，延长EF ，交AD 的延长线于点M ，交CD 于点N ．则MN 的长度为______．【变式4】（2022·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图，已知Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以斜边AC 为边向外作正方形ACDE ，正方形的对角线交于点O ，连接OB ．已知96BC AB ==，，则OB =________．【变式5】（2023·浙江·模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长为E ，F 分别是AB BC ，的中点，AF 与DE DB ，分别交于点M ，N ．请你回答下列问题：(1)求证：AF D E ⊥．(2)直接写出AM 的长．(3)求DMN 的面积．核心考点七中点四边形（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的1 4（2022·广东佛山·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．给出以下判断：①AC垂直平分BD；②四边形ABCD的面积S＝AC•BD；③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；④将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，四边形ABCD的内切圆半径为227．其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）（2018·湖南邵阳·统考中考真题）如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①若OEOG=1，求ENGM的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形原四边形对角线互相垂直的中点四边形是矩形。
特殊平行四边形(压轴题型归纳)(原卷版)-九年级数学(北师大版)
第06讲特殊平行四边形（压轴题型归纳）目录：一、存在性问题；二、动态几何；三、情景探究题；四、解答证明题；五、特殊平行四边形综合一、存在性问题(1)求直线AC 的解析式；(2)若D 为线段AC 上一点，E 为线段BC 上一点，当ABD S △小值，并求出此时点E 的坐标；(3)在（2）的结论下，将CDE 沿射线DB 方向平移得C 为直线AB 上一点，N 为平面内一点，当以点M C D '，，直接写出点M 的坐标．2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数22y x =+的图象分别交将AOB 绕点O 顺时针旋转90︒得COD △（点A 与点C(1)求直线CD 的解析式；(2)点E 为线段CD 上一点，过点E 作EF y ∥轴交直线AB 于点F ，作EG x ∥点G ，当EF EG AD +=时，求点E 的坐标；(3)如图2，若点M 为线段AB 的中点，点N 为直线CD 上一点，点P 为坐标系内一点，且以O ，M ，N ，P 为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．3．如图，直角三角形ABC 在平面直角坐标系中，直角边BC 在y 轴上，AB 的两个根，AB BC <A ，且2BC OB =，P 为(1)求点A 的坐标；(2)求过点P 的反比例函数解析式；(1)如图1，当点E 恰好落在边CD 上时，则EC 的长为______(请直接写出答案(2)如图2，CD 所在直线与OE 、GF 分别交于点H 、M ，且CH MH =．求线段(3)如图3，设点P 为边FG 的中点，连接PB ，PE ，BE ，在矩形OBCD 旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），以OA 为一边在第一象限内作矩形线CD ：12y x b =-+交AB 于点E ，与y 轴交于点D ，2AE =．(1)求点B 的坐标．(2)点P 为线段CE 上的一个动点，过点P 作//PF y 轴，交AB 于点F ，交x 轴于点FD ，设点p 的横坐标为m ，△DFP 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式．(3)在（2）的条件下，连接BP 并延长与x 轴交于点M ，过点N ，当12PF DFP BC S S ∆=四边形时，在直线CD 上是否存在一点于点Q ，得2RQ MN OM =-，若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”．(1)已知点()1,0A -，直线l 是经过()0,2且平行于x 轴的一条直线，则点A 的“二次对称点”的坐标为__________；(2)如图1，正方形ABCD 的顶点坐标分别是()1,0A -，()10B ,，()1,2C ，()1,2D -，点E 的坐标为()1,1，点K 是x 轴上的一个动点，直线l 经过点K 且垂直于x 轴，若正方形ABCD 上存在点M ，使得点M '是点M 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，且点M '在射线OE 上，则点K 的横坐标x 的取值范围是________________；(3)如图2，()(),00T t t ≥是x 轴上的动点，线段RS 经过点T ，且点R 、点S 的坐标分别是(),1R t ，(),1S t -，直线l 经过()0,1且与x 轴正半轴夹角为60°，在点T 的运动过程中，若线段RS 上存在点N ，使得点N '是点N 关于y 轴，直线l 的“二次对称点”，且点N '在y 轴上，则点N '纵坐标y 的取值范围是______________．二、动态几何一、解答题1．已知，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，点H 为CF 的中点．（1）若BAE∠（2）作CG(1)①如图1，判断线段AE 与MN 之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若垂足P 为AE 的中点，连接BD ，交(3)若垂足P 在对角线BD 上，正方形的边长为①如图3，若1BM =，32BE =，则BP =______②如图4，连接AN ，将APN 沿着AN 翻折，点最小值为______．三、情景探究题一、解答题1．问题情境：如图1，已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，B 、C 、G 在一条直线上，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．探究DM ，EM 的数量关系与位置关系．小明的思路是：小明发现AD //EF ，所以通过延长ME 交AD 于点H ，构造△EFM 和△HAM 全等，进而可得△DEH 是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：(1)下列四副图中，直线L 是该“L 图形”等积线的是_________(填写序号)(2)如图2，直线m 是该“L 图形”的等积线，与边BC 、AF O 的直线分别交边BC 、AF 于点P 、Q ，则直线PQ (填(3)在图3所示的“L 图形”中，6AB =，10BC =，2AF =①若2CD =，在下图中画出与AB 平行的等积线l (在图中标明数据②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边DE 、BC 值；③如果存在与水平方向的两条边DE 、BC 相交的等积线，则4．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形(1)如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD 和“准菱形”ABCD '．（要求：(2)下列说法正确的有；（填写所有正确结论的序号）①一组对边平行的“准矩形”是矩形；②一组对边相等的“准矩形③一组对边相等的“准菱形”是菱形；④一组对边平行的“准菱形(3)如图⑤，在ABC 中，90ABC ∠=︒，以AC 为一边向外作“准菱形AF EF =，AE 、CF 交于点D ；①若ACE AFE ∠=∠，求证：“准菱形”ACEF 是菱形；②在①的条件下，连接BD ，若22BD =，15ACB ∠=︒，ACD ∠=的边长．5．【问题情境】(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形ABCD ，点一边构造正方形CEFG ，连接BE 和DG ，如图1所示，则BE 和位置关系为______．【继续探究】(2)若正方形ABCD 的边长为4，点E 是AD 边上的一个动点，以方形CEFG ，连接DG 、BE ，如图2所示，①请判断线段DG 与BE 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；②连接BG ，若1AE =，求线段BG 长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G 作GH BC ⊥，如图3，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．【拓展提升】(3)在（2）的条件下，点E 在AD 边上运动时，利用图2，则BG BE +的最小值为______．6．【问题情境】（1）小明在学习过程中遇到这样的一道试题：如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 边上一动点．EF AC ⊥，垂足为F ，求证：EF FC =．请你帮助小明完成证明；【问题探究】（2）小明在“问题情境”的基础上继续探究．如图2，点G 在BC 的延长线上，且满足CG BE =．连接BF ，FG ，DG ．①求证：BF FG =；②判断BF 、DG 的数量关系，并说明理由；五、特殊平行四边形综合一、解答题1．如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，20cm,24cm AB BC ==．点E ，F ，G 分别从A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s ，点F 的运动速度为2cm/s ，点G 的运动速度为cm /s x ．当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动，在运动过程中，EBF △关于直线EF 的对称图形是EB F '△设点E ，F ，G 运动的时间为t （单位：s ）一、解答题1．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．(1)求证：BC EC CP =+．(2)如图2，F 在CA 延长线上，且FE FB =，求证：AF EC =．(3)如图3，在（2）的条件下4AF =，6BE =，点O 是FB 的中点，求OA 的长．3．如图，在矩形ABCD 中，DE 平分ADC ∠交BC 于E ，连接AE ，DE ．(1)如图1，若3AB =，5AD =，求AE 的长；(2)如图2，若点F 是DC 边上的一点，若CF BE =，连结AF 交DE 于G ，①猜想EAF ∠的度数，并说明理由；②若DG DF =，求DF AD的值．4．已知点M 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，AC 与BD 交于点O ，AH BM ⊥H ，直线AH 与BD 交于点N ．(1)如图1，当M 在线段OC 上时，求证MO NO =；(2)如图2，当M 在线段OA 上时，BM 的延长线交AD 于点E ，若EN AC ∥，求证：①四边形AENM 为菱形；②CM CB =；(3)如图3，若2AB =，在M 点从C 到A 的运动过程中，CH 的最小值为______．5．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．（1）求证：QAB QMC∠=∠（2）求证：90AQM ∠=︒（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积图1图26．如图正方形ABCD ，点E 、G 、H 分别在AB 、AD 、BC 上，DE 与HG 相交于点O ．(1)如图1，当90GOD ∠=︒，①求证：DE HG =；。
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励胜教育 只教简单数学 特殊的平行四边形讲义
知识点归纳
矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：
四边形分类专题汇总 专题一：特殊四边形的判定
矩形 菱形 正方形 性 质
边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组邻边相等； ·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 励胜教育 只教简单数学 【知识点】 1.平行四边形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 【练一练】 一．选择题 1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点
3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )
A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形
5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ） A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（ ） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（ ） A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC 9.在下列命题中，真命题是（ ） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 励胜教育 只教简单数学 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 10.在下列命题中，正确的是（ ） A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形 C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 11.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC=900时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形
12.如图，在ABC△中，点EDF，，分别在边AB，BC，CA上，且DECA∥，DFBA∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ）
A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果90BAC，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形 D．如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形 13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
A、对角线互相垂直且相等的四边形 B、一条对角线平分一组对角的矩形 C、对角线相等的棱形 D、对角线互相垂直的矩形 14.下列命题中，假命题是（ ）。 A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形 C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 15.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。 A、BDAC，CDAB// B、BCAD//，CA C、DOCOBOAO，BDAC D、COAO，DOBO，BCAB 16.下列命题正确的是（ ） A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是等腰梯形 17.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A、当AB=BC时，它是菱形 B、当AC⊥BD时，它是菱形 C、当∠ABC=90°时，它是矩形 D、当AC=BD是，它是正方形 18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 （ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形
一．矩形 例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为
例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补 例3： 已知：如图， □ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，•H，求证：•四边形EFGH是矩形．
D C B
A Ａ Ｆ
Ｃ Ｄ Ｂ
Ｅ
ABC
D 励胜教育 只教简单数学 二．菱形 例1已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
例2、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。 例3（中考题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E． 求线段BE的长．
例4、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想
例5、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
B M A D C E
D
ABC
O
E60 励胜教育 只教简单数学 三．正方形 例1、（2011海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设AP=x, △PBE的面积为y. ① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
专题二：矩形的有关线段计算 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知0120AOD，AB=2.5，则AC的长为 。
A B C P D
E
B F C A H D E G 励胜教育 只教简单数学 2. 如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.
3. 如图，矩形ABCD中，35ABBC，．过对角线交点O作OEAC交AD于E，则AE的长是（ ） A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4 4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A．1 B．34 C．23 D．2
5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）． A、3 B、2 C、3 D、32
6. 黄冈)如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm. 7. 把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2．
8. 如图(十二)，长方形ABCD中，E为BC中点，作AEC的角平分线交AD于F点。若AB＝6，AD＝16，则FD的长度为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 9. 如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm. 10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝ cm． 专题三：菱形的有关线段计算
1. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2 2. .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ） A 16 B 8 C 4 D 1 3. 如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_________cm.
A′ G
D B C
A
A B C F
E 'A
题11 （'B） D A B B1 C D
E
AB