机理建模方法

y = f ( t ) = −0.3036t + 27.125.
( 2)
由（2）式算出的函数值 f ( t i ) 与实测 yi 的有 ） 一定的偏差.现列表比较如下 现列表比较如下： 一定的偏差 现列表比较如下：
ti
实测
0 27.0
1 26.8
2 26.5
3 26.3
4 26.1
5 25.7
6 25.3
Tp
两边从t 积分， 两边从 1到t2积分，可得
dt
+ y = K pu
Tp [ y (t1 ) − y (t 2 )] + ∫ y (t )dt =K p ∫ u (t )dt
t1 t1
t2
t2
以采样周期h对 ， 采样， 相对于T 以采样周期 对u(t)， y(t)采样，当h相对于 p足够小时： 采样 相对于 足够小时：
最小二乘法（两组变量的情况）
为了测定刀具的磨损速度， 例1 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的 实验：经过一定时间(如每隔一小时) 实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下： 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 顺序编号i 0 1 2 3 4 5 6 7 小时) 时间t i (小时 小时 刀具厚度 yi (毫米 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3 毫米) 毫米
yi（t） ） yo（t） ）
解：列写方程，得： 列写方程，
a
2
k
m
f
d y o (t ) dy o ( t ) m = k [ y i ( t ) − y o ( t )] − f 2 d t dt
整理得： 整理得：
d y0 (t ) dy0 (t ) m +f + ky0 (t ) = kyi (t ) 2 dt dt
例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据： 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：
i
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
7 21 8.9
8 24 6.5
τi
yi
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2
y 表示从实验开始算起的时间， 其中 τ 表示从实验开始算起的时间， 表示时刻τ 反应物的量． 反应物的量．试定出经验公式 y = f (τ ).
即
7 [ y − (at + b )]t = 0, i i ∑ i i =0 7 ∑ [ yi − (at i + b )] = 0. i =0
将括号内各项进行整理合并， 将括号内各项进行整理合并，并把未知数 a 分离出来， 和 b 分离出来，便得
a t 2 + b t = y t , ∑i ∑ ii ∑ i i =0 i =0 i =0 7 7 a ∑ t i + 8b = ∑ yi . i =0 i =0
2）自适应控制器设计方法：
要得到被控对象数学模型参数T 是困难的。 要得到被控对象数学模型参数 p和Kp是困难的。同时 也不可能完全不变，如热容量C与炉内工件的多 ， Tp和Kp也不可能完全不变，如热容量 与炉内工件的多 少有关，散热系数a与环境温度有关 所以T 与环境温度有关， 少有关，散热系数 与环境温度有关，所以 p和Kp也是随 环境、工况和炉温的变化而变化的。 变化后， 环境、工况和炉温的变化而变化的。在Tp和Kp变化后，上 例中根据固定的T 例中根据固定的 p和Kp设计的控制器显然会使控制系统性 能下降。于是可以考虑通过控制量u(t)和被控量 和被控量y(t)来估计 能下降。于是可以考虑通过控制量 和被控量 来估计 Tp和Kp 。对模型 dy
试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y = f (t ).
解 首先确定 f (t ) 的类型.y 的类型. 如图， 如图，在坐标纸上画出 这些点， 这些点， 观察可以认为 y = f (t ) 是 线 性 函 数 ,
并设 f ( t ) = at + b, 其中
27
26
25
a 和 b 是待定常数. 是待定常数.
C 于是有： 于是有：
dy = K1u − ay, dt
令 T p = C , K p = K1 , 则
a a
dy Tp + y = K pu dt 加热炉传递函数： 加热炉传递函数： G p ( s ) = Y ( s ) =
Kp 1 + Tp s
U (s)
如果对加热炉温度控制的设计目标是使理想的闭环 传函为 Y ( s) 1 Gm ( s ) = = , Tm ≠ 0 U ( s ) 1 + Tm s 选择PI（比例积分） 选择 （比例积分）控制器
T p [ y (t1 ) − y (t 2 )] + h∑ y (ih) = K p h∑ u (ih)
式中
t2 i = t1 t2 1
t2
t2
(1)
i =t1
i =t1
∑ y (ih) − −时刻 t 至时刻 t 所有输出采样数据之和 ；
2
∑ u (ih) − −时刻 t 至时刻 t 所有控制量采样数据之 和；
2
机理建模方法
方程两边同时求拉氏变换： 方程两边同时求拉氏变换： ms2Yo(s)+fsYo(s)+kYo(s)=kyi(s) 整理得： 整理得：Yo(s)[ms2+fs+k]=kYi(s) 则：
Yo ( s ) k Φ( s) = = 2 Yi ( s ) ms + fs + k
例：加热炉温度控制系统设计
ˆ Ti = T p ,
Tp K= ˆ TK
i
p
从而构成了炉温控制系统的“自适应控制器” 从而构成了炉温控制系统的“自适应控制器”。
计算机控制的过程： 计算机控制的过程： (a) 开机，施加一定的控制 恒值 ，或手动控制 ，检测 开机，施加一定的控制(恒值 恒值PI，或手动控制)，检测u(ih) 和y(ih)，以构造 、(2)； ，以构造(1)、 ； ˆ ˆ (b) 解(1)、(2)式，得 T p 和K p ，从而获得控制器参数 Ti 和K ； 、 式 (c) 将控制器参数调整为Ti 和K ，并投入运行； 并投入运行； (d) 继续用新的采样数据构造 、(2)式，求出新的控制器参 继续用新的采样数据构造(1)、 式 数。
7 7 7
(1)
计算得
∑t
i =0 7 i =0
7
i
= 28, = 208.5,
∑t
i =0 7 i =0
7
2 i
= 140, = 717.0
∑y
i
∑yt
i i
代入方程组（ ） 代入方程组（1）得
140a + 28b = 717, 28a + 8b = 208.5.
= 27.125. 这样便得到所求经验公式为
Go ( s ) 1 1 G ( s) = = = Tp 1 + Go ( s ) 1 + 1 1+ s Go ( s) K pK 比较Gm ( s )与G ( s )，有
K=
则要设计的控制器为
Tp
K pTm
Tp 1 1 + Gc ( s ) = K pTm T p s
yi − f ( t i )
7
( i = 0,1,2,L,7 ) 都很小 都很小.
2
因此可以考虑选取常数 a, b ，使得
M = ∑ [ yi − (at i + b )]
i =0
最小来保证每个偏差的绝对值都很小． 最小来保证每个偏差的绝对值都很小． 定义 这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 最小二乘法． 的方法叫做最小二乘法 择常数 a, b 的方法叫做最小二乘法． 这种确定常数的方法是通常所采用的. 这种确定常数的方法是通常所采用的
24
o
1 2 3 4 5 6 7 8
t
因为这些点本来不在一条直线上， 因为这些点本来不在一条直线上，我们只 能要求选取这样的 a, b ，使得 f ( t ) = at + b 在 t 0 , t1 ,L, t 7 处的函数值与实验数据 y0 , y1 L, y7 相 差都很小． 差都很小．
就是要使偏差
1）常规控制器设计方法： ）常规控制器设计方法： 被控对象： 被控对象： C dy = q − qs
dt
其物理意义为： 其物理意义为：单位时间炉温升高所用的热量等于 单位时间内流入炉子热量与流出炉子热量之差。 单位时间内流入炉子热量与流出炉子热量之差。 其中： 其中：
C − −炉子热容量； 炉子热容量； y − −炉温； 炉温； qs − −单位时间内流出炉子的 热量； 热量； a − −散热系数； 散热系数； q − −单位时间内流入炉子的 热量， q = K1u 热量， u − −控制量（如电热炉的加 热功率） 控制量（ 热功率） K1 − −系数
7 24.3
yi
算得
27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000
f (ti )
偏差
-0.125 -0.021 -0.018 -0.086 0.189 0.093 -0.003 -0.200
偏差的平方和 M = 0.108165， 它的平方根 M = 0.329 ． 我们把 M 称为均方误差，它的大小在一定 称为均方误差， 均方误差 程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关 系的近似程度的好坏． 系的近似程度的好坏．
dω ∑ J = T (t ) − fω dt dω J + fω = T(t) dt