第三章粘弹性流体的本构方程
粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论共3篇
粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论共3篇粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论1粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论随着工业生产的不断发展和科学技术的不断进步，粘弹性流体力学在物理、化学、生物医学、石油化工等领域得到了广泛应用。
作为一种特殊的非牛顿流体，粘弹性流体的表现和性质与牛顿流体有很大的区别，因此建立相应的数学模型和理论研究也成为了当今流体力学研究的热点。
粘弹性流体的本质是两种性质不同但相互耦合的物理机制，即粘性和弹性。
其中粘性是指流体呈现由牛顿运动定律描述的黏性阻尼现象，而弹性是指流体分子间的一种内聚力，使其呈现某些固体材料的特征。
在构建粘弹性模型时，需要考虑以上两种机制对流体行为的复杂影响。
Oldroyd模型是一种用于描述粘弹性流体的经典模型，在理论研究和实际应用中具有重要意义。
Oldroyd模型的基本假设是，粘弹性流体的应力张量既包含粘性和弹性的贡献，又与应变率的时间演化有关。
为了解释这一假设，引入了一组中间变量-粘弹性应力张量，并构建了相应的微分方程组。
Oldroyd模型给出了粘弹性流体的基本性质，包括流变特征、时间依赖性、滞后等等。
其中，一个重要的性质是非线性，也就是说，在应变率较高的情况下会出现复杂的非线性效应。
这种非线性效应对于粘弹性流体的流动性质产生了极大的影响，成为目前数学理论研究的一个重要课题。
在数学理论研究中，研究者通过各种数学方法和技巧，对Oldroyd模型进行了深入的探索和研究。
其中，最基本的是方程的解的存在性和唯一性问题。
针对这个问题，Hilbert在20世纪30年代提出了著名的证明方法，后来在流体力学中获得了广泛应用。
除此之外，研究者还针对Oldroyd模型的非线性性质展开了深入的研究。
他们使用了各种数学工具，包括常规分析、代数拓扑学、几何分析、动力系统等等，对方程组的稳定性、动力学行为等问题进行了深入探讨。
随着科学技术的不断发展，现代数学在粘弹性流体力学中的应用也越来越广泛。
高等流体力学(粘性流体力学部分)课件
uy ux x y ux uz xz z x uz uy yz y z
2 C 将 12 3
2 ux uy uz ux 2 3 x x y z 2 ux uy uz uy yy 2 3 y x y z 2 ux uy uz uz zz 2
（3）当没有变形时，各切应力分量都等于零，法向应力
简化成体积平均应力 则
xx C11 xx C12 yy C13 zz C14 xy C15 xz C16 yz C17
yy C21 xx C22 yy C23 zz C24 xy C25 xz C26 yz C27
yz C 61 xx C 62 yy C 63 zz C 64 xy C 65 xz C 66 yz C 67
利用流体各向同性的性质，将未知的系数减少到5个。 公式成为：
xx C11 xx C12 yy C12 zz C17
yy C12 xx C11 yy C12 zz C27
x z l 2l 3 xx m 2m 3 yy n 2n 3 zz
' '
l m
2
' '
3
l 3m 2 xy l 2n 3 l 3n 2 xz m 2n 3 m 3n 2 yz
y z l 1l 3 xx m1m 3 yy n 1n 3 zz
对牛顿流体，应用牛顿内摩擦定律：
xy
得 则
dux 1 u (C11 C12 ) 2 y dy
Polyflow中的本构方程简介
Polyflow中的本构方程简介广义牛顿流动shear-rate-dependent viscosity law(粘度依赖剪切速率)power law 适用于剪切率>100或1000的高剪切流动bird-carreu law 与power law相对的,增加了低剪切率下的流动行为（就是增加了平台区）cross law 类似bird-carreu law,不同点在于他们从平台区(Newtonian plateau)到高剪切区域(power-law region)过渡时的粘度曲线的曲率不同（moldflow用的就是cross+wlf！）modified cross law可认为是carreau-yasuda law的一个特例(看不出与cross law有什么区别-_-!)bingham law 广泛用于混凝土,泥土,生面团,牙膏等,在临界剪切压力作用后,恒定粘度可被合理假设的材料modified bingham law 与标准bingham law相比,它是一种解析表达.换句话说它能使polyflow的计算更容易,结果更稳定herschel-bulkley law与bingham law一样.不同之处在于它能表现流动与非流动之间的过渡行为:剪切变稀(shear-thinning)行为modified herschel-bulkley law没什么好说的,标准herschel-bulkley law的解析表达log-log law这纯粹是个经验公式,但有时候它与试验数据更吻合,不过在系数的选择上你要格外小心.当你使用这个公式时,你必须保证剪切率在实际可接受的范围内,要做到这一点就要小心的指定多项式系数.注意:在非等温流动中使用这个公式,就必须使用mixed-dependence law来表现热量与粘度的依赖关系(thermal dependence of the viscosity)carreau-yasuda law基于bird-carreau law的变形,变形不大.增加的指数a能让你控制牛顿稳定平台(Newtonian plateau)到高剪切区域(power-law region)之间的过渡.a>1增长过渡,a<1会导致一个陡峭的过渡temperature-dependent viscosity laws(粘度依赖温度)arrhenius law有两个版本,一个以剪切率为基础,另一个以剪切力为基础.对于大多数的高聚物,它们提供的结果是相似的(虽然不相同).注意:由于缺少过渡区,power law并不能反映两个版本的不同approximate arrhenius law当两个温度相差不是太大时有效fulcher law主要用于玻璃wlf law基于剪切率的版本.当温度范围很大时,特别时接近玻璃态的转变温度时,比起arrhenius law,它更吻合试验数据wlf shear-stress law这个是基于剪切力的版本mixed-dependence law只与log-log law一起使用粘弹性流动differential viscoelastic flow(微分型)maxwell model默认选项，最简单的粘弹模型之一.由于它的简化,只有当对流体信息几乎一无所知或定性的预测充分的情况下,推荐使用oldroyd-B model最简单的粘弹模型之一,要比maxwell model稍好.当流体表现出高外延粘性时,它是一个很好的选择。
原油流变学 粘弹性流体
＝ 12
N1 ＝ （2）第一法向应力系数 1 2
（3）第二法向应力系数
2 ＝ N 2
2
均为0， 和 2 1 为常数。 对于牛顿流体，
4．回弹现象
5．无管虹吸现象
6．次级流现象
7．紊流减阻现象
二、粘弹性流体的流变特征
1．法向应力与法向应力差
当力F作用于物体时，物体内部体积元所受的总应力（或物体内
可用九个应力分量 ij 表示，或者说 部某一点所受到的总应力）
可分解为九个应力分量 ij ，其中i代表应力分量作用的平面
－时间曲线是介于理想固体与理想流体之间的独特的特性曲线。 在应力施加阶段的应变－时间曲线为蠕变曲线，在应力消除后
对应的应变－时间曲线为回复曲线。
蠕变与回复曲线
5．线性粘弹性与非线性粘弹性
流体的粘弹性可分为线性粘弹性和非线性粘弹性。线性粘弹 性即应力、应变和应变速率之间成线性关系。粘弹性流体往往 只能在较小的形变或形变速率下才出现线性特性。在较大的应 变或剪切速率下，应力、应变和应变速率之间一般不成线性关
τ13＝ τ31 ， τ23＝ τ32 。对简单的剪切流动， τ13＝ τ31＝0， τ23＝ τ32 ＝0， 故只有剪切应力τ12起作用。
11－ 22＝N1 为 第 一 法 向 应 力 差 ， 产 生 轴 向 压 力 ， 引 起
Weissenberg效应和挤出物胀大现象。
22－ 33＝N 2为第二法向应力差，产生径向压力，通常很小，
a b
弹性滞后曲线示意图
聚合物熔体粘弹性本构方程
理论 、 ｏｌ Ｉ ｌｍａ Ｎ ｌ ＆ ｅ ｎ的有 限 线性 粘 弹 理 论 、 ｏ
Ｇｒｅ ｅ ｎ＆ Ｒ ｖｉ 的 多 重 积 分 表 达 式 、 ｅｓｅｎ ｉｌ ｎ Ｂ ｒｔｉ—
Ｋｅ ｒｌｙＺ ｐ ｓ的 Ｂ ａｓ — ａ ａ ｅ ＫＺ模 型、 ｃ ａ ｅｙ的依 桢 Ｓｈｐｒ 温度 的非线性 粘弹本 构表 达式 、 ｉ — ｌｎ ｒ Ｗｈｔ Ｍｅｚ ｅ ｅ 非线 性 本 构方 程 、 ｄｏ ｄ ８参数 本 构 方 程 以 Ｏｌｒｙ 及 Ｐ ａ — ｈｅ — ａ ｎ ｒ 构 关 系等 ； 分 子 理 ｈｎＴ ｉ Ｔ ｎ ｅ 本 ｎ 而
学 模 型得到 。 １ ２ Ｊ ｆｒｙ 本 构 方 程 ． ｅｆｅ ｓ
ｃ ｍｉ ｏ ｎ等人有所 发展 。 本构 方 程有 速率 型和 积分 型两 种类 型 ， 这 里 主要讨论 几种 常见 的粘 弹性本 构 方程 。
１ 线 性 粘 弹 性 本 构 方 程 １ １ Ｍａ ｗ ｌ 本 构 方 程 ． ｘ ｅｌ
Ｍａ ｗ ｌ元 件是 一个二 元 件模 型 ，ｅｆ ｙ ｘ ｅｌ Ｊｆ ｅ ｓ ｒ 在 １２ ９ ９年 发 展 了 一 个 三 元 件 Ｊｆ ｅ ｓ模 ｅｆ ｙ ｒ 型 。６ 它 由一个理 想粘 壶与一 个 Ｋ ｌｉ Ｖｏ ｌ ｌ ．。 ｅｖｎ ｉ ｇ
收 稿 日期 ：０ ００ ５ 修 订 目埘 ：０ ００ 一０ ＊９ ２０ —４１ ： ２ ０ —７ｌ ８缎 博 士 生
聚 合物 熔 体 粘 弹 性本 构 方 程
柳 和 生 ，涂志 刚 ，熊 洪槐
ｔ 昌大 学 机 电工 程 学 院 ．江 西 南 昌 ３ ０ ２ ） 南 ３ ０ ９
摘 要 ： 迷 丁聚 合 枷 熔 体 粘 弹性 奉 构 方程 的发 展 历程 ． 出 了有 代 表 性 的 线 性 粘 弹 性 和 非 线性 粘 弹 性 本 概 络 构 方 程 的 各种 形 式 的数 学表 达 式 ， ｛ 讨 旨了它 们 的特 ． 应 用 范 围 ， 最厦 旨在 为 聚 合 枷 熔 体 流 动 数 值模 拟 中奉
粘性流体运动详解演示文稿
xx
p 2
x
x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx 附加粘性正应力
xx p xx
附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。
第5页，共89页。
正应力与压力：
由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等 于正应力值。但有：
p xx yy zz 3
1 r2
2v
2
2
r2
v r
2v z 2
第18页，共89页。
v
1
r
2
v max
R
u
vdA
A
1
R 2
R
0 v 2rdr
1
R 2
R 0
2v max
1
r R
2
rdr
v max 2
v max
4L
R2
第19页，共89页。
引入：阻力系数（又称范宁因子）
f w
u2
2
v
1
r
2
•
0 或 2 0
• 上述方程称作不可压无旋流动的基本方程。
• 在笛卡儿坐标系中：
•
• 在柱坐标系中：
•
2 2 2 2 0
x2 y 2 z 2
• 式中 为拉普拉2斯 算子2r2 。1r 满r 足 r拉12 普22 拉 斯2z2 方 0程的函数为调和函数，
故速度2势是调和函数。
第24页，共89页。
二 流函数
• 在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可写成:
V
vx
v y
0
• 若定义某一个函数（流函数）x y
令:
(x, y)
粘弹性介绍全解
小结： 静态粘弹性现象：
蠕变：在一定的温度和恒定应力的作用下，观察 试样的应变随时间增加而增大的现象。
ε
③
②
①
t
静态粘弹性现象：
应力松弛：在一定的温度和恒定应变的作用下， 观察试样的应力随时间增加而衰减的现象。 0 交联聚合物 线形聚合物
t
线性粘弹性模型： Maxwell模型
由一个弹簧与一个粘壶串联组成
Maxwell 模型
一个弹簧与一个粘壶串联组成
E η F
t=0 t=∞
7.3.1 Maxwell 模型
7.3.1 Maxwell 模型
7.3.1 Maxwell 模型
Maxwell 模型: 可模拟线形聚合物的应力松驰行为。
7.3.1
Maxwell 模型
理论分析：
E η
∵两元件串联 ∴σ = σE = σV ε = εE + εV
牛顿流体定律的比例常数为粘度η
y
d d x 1 dx ( ) dt dt y y dt
应变速率为速度梯度
x
∴粘度η等于单位速度梯度时的剪切应力，反映了分 子间由于相互作用而产生的流动阻力，即内摩擦力的 大小，单位为Pa·S
弹性
(1)储能：能量储为应变能 (2)可逆：记忆形状 (3)瞬时：不依赖时间 E＝E（σ, ε, T） 虎克固体
)
Temperature dependence
分子运动的温度依赖性
Arrhenius Equation 阿累尼乌斯方程
0e
T
E / RT
E - 松弛所需的活化能 activation energy
T
7.2 Creeping and Relaxation 蠕变和应力松弛
哈工大李凤臣-粘弹性非牛顿流体动力学及其应用
粘弹性非牛顿流体动力学及其应用
Viscoelastic fluid non-Newtonian fluid dynamics and its applications
李 凤 臣（工学博士，教授）
Feng-Chen Li (Ph.D., Professor) 哈尔滨工业大学/能源科学与工程学院
Linear Viscoelstic Fluid Kelvin-Voigt Model Maxwell Model
∂σ σ +λ = −ηγ ∂t
21
描述粘弹性流体的本构方程 (3)
Linear Viscoelastic Fluid Standard Linear Solid Model
Generalized Maxwell Model
牛顿流体
τ
粘弹性流体
τ = τ s +τ p τ s = −η sγ τ p + λ1τ p(1) − α
Mobility factor
λ2
t
λ1 {τ p iτ p } = −η0γ ηp
24
粘弹性流体在极端条件下的应用
Re
We
Non-linear terms 高雷诺数条件（对于牛顿流体处于湍流状态） 极低雷诺数条件（对于牛顿流体处于绝对层流状态）
τ
粘弹性流体 牛顿流体
t0
λ1 =
t
η
E
λ1
17
描述粘弹性流体流动的动量方程（1）
Equation of motion: ρ
Dv = −∇ ⋅τ − ∇Φ Dt
Constant viscosity
Newtonian fluid: τ = − µγ Non-Newtonian fluid: τ yx = −η (γ )γ yx
粘性流体力学.ppt
Dvy Dt
=
fy-
p y
+
x
vy x
vx y
y
2
vy y
2 3
V
z
vz y
vy z
Dvz Dt
=
fz -
p z
在 t 时间内通过控制体左侧面流入控制体的 流体质量为 u y z t 通过右侧面流出控制体的流体质量为
u
u+
x
x y z t
这里对 u 运用了泰勒级数展开，并忽略二阶 以上小量。沿x方向净流出控制体的流体质量 为
u
u
从上式可得
+ u + v + w = 0
1.6
用场论符号表示为： t x y z
+ v = 0
t
利用散度公式 v = v + v
质点 导数表达式，（1D.7）+式 可v =改0写为
Dt
1.7
静止固壁： v 0 （粘附条件）
运动固壁： v流 v固
自由界面上：pnn p0 , pij 0i j
即在自由界面上，法向应力等于自由界面上的压力，切向应
力为零。
对于温度场，还可以有温度边界条件，即
或
qw
k
T n
w
T Tw
式中 Tw 是物面上的温度。qw 为通过单位面积传递给流 体 T / n
流变学(三)
BUCT Polymer RheologyMao LixinBeijing University of Chemical TechnologyBUCT第一节连续性方程第二节动量方程第三节能量方程第四节本构方程BUCT第四节本构方程本构方程：反映流体的力学本质特征的方程联系应力张量和应变丈量或应变速率张量的所有分量的方程或称为流变状态方程建立本构方程是流变学的中心任务BUCT第四节本构方程一、本构方程的原理1、应力决定性原理质点P在现在时刻的应力状态只取决于它从无限远的过去直到现在时刻的形变历史。
某一时刻的应力与过去的形变历史有关，而与将来的形变过程无关。
2、局部作用原理在给定质点处的应力由该质点周围无限近区域的形变历史单质决定。
该原理反映了近程相互作用，它保证了在每点联系应力张量与应变张量的可行性。
这种连续性是不均一的，不同的应力和形变历史的关系可以是变化的。
BUCT第四节本构方程一、本构方程的原理3、坐标不变性原理本构方程不依赖于坐标系的选择，应写成张量形式。
对本构方程数学表述上的一种要求所有描述物理定律的方程都要满足这一原理。
4、物质客观性原理描述物质或材料固有的力学行为，与观察者的运动或物体自身的刚性运动无关。
物质或材料的流变性质不随观察者的运动而变化。
有时又被称作空间各向同性原理BUCT第四节本构方程小结：后两个原理：不会产生任何意义的本构关系式任何数学物理方程都须服从这两个原理前两个原理：流变学本构理论特有的引出了简单流体理论：提供了一个非牛顿流体力学可以接受的本构关系框架得到本构方程的方法：经验尝试法、分子模型法、基于复杂流体结构单元力学行为的模型构造法BUCT第四节本构方程本构方程的一般数学表示式：()()0,,0,,=γγσ=γσt f t f ij ij ij ij ij K K &K K t 为时间，有时还包括其他物理量，如温度、压力等本构方程的一般式特别突出时间t ，说明应力和应变关系的基本物理规律中包含时间，但要注意通常不是简单的函数关系，而只能写成微分或积分的形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。
不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。
两种。
唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。
以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。
分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。
采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。
为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。
根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。
目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。
同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。
从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。
积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。
积分又分为单重积分或多重积分。
判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3）有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
4）最后也是最重要的一条，即实验事实（实验数据）是判断一个本构方程优劣的出发点和归宿。
实践是检验真理的唯一标准。
本章重点介绍用唯象论方法对一般非线性粘弹流体建立的本构方程。
分子论方法在第四章介绍。
2． 速率型本构方程2．1 经典的线性粘弹性模型——Maxwell 模型已知高分子本体的线性粘弹行为可以用一些力学模型，如Maxwell 模型、Voigt 模型及它们的恰当组合进行描述。
其中Maxwell 模型由一个虎克型弹簧和一个牛顿型粘壶串联而成（图3-1）。
由于形变时粘壶不受弹簧约束，可产生大形变。
原则上Maxwell 模型可用于描述液体流动的性质。
图3-1 Maxwell 模型设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形变。
对弹簧有 11γσG =对粘壶有 202γησ&=因为串联，总应力 21σσσ==总应变 σησγγγ02111+=+=&&&&G 所以有 γησλσ&&01=+ （3-1）式中 G /01ηλ= 称松弛时间 ，单位为秒； （3-2） t∂∂=σσ&（3-3） 将（3-1）式推广写成三维形式，以张量表示，则有d 012ηλ=+σσ& （3-4）式中：σ 为偏应力张量； d 为形变率张量()2/T L L d += （3-5）L 为速度梯度张量。
注意这儿的推广是将方程简单地从一维形式推广到三维形式，并无深刻物理意义。
公式中系数2的出现是由于采用了张量描述的缘故。
例1 Maxwell 模型用于描述稳态简单剪切流场。
简单剪切流场形式见图2-3，其中速度场方程见公式（2-46）。
我们在固定坐标系中考察流场中某一确定点上材料流过时的应力状态。
由于流场是稳定的，因此该点的应力状态不随时间变化，故有 0=σ& 对于稳态简单剪切流场，其形变率张量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000002/02/0γγ&&d （3-6）代入（3-4）式，得到⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211σσσσσσσσσ=20η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000002/02/0γγ&&这是一个由九个方程组成的方程组。
由此解得：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-=-======000332222113113322302112σσσσσσσσγησσ& （3-7）结果表明，采用Maxwell模型确实能描述材料在稳态简单剪切流场中的流动，但是模型的描述能力很有限。
实际上它只能描述具有常数粘度η0的牛顿型流体的粘性行为，高分子液体在剪切速率极低情况下（γ&→0）的流动状态（具有常数粘度）也可用该模型近似描述。
对于非牛顿型流体在一般流场中的非线性粘弹行为，Maxwell模型无能为力。
既不能描述高分子液体典型的剪切变稀（即结构粘性）行为，也不能描述流动中存在法向应力差（即具有弹性）的事实。
（3-7）式中给出的两个法向应力差值均等于零。
分析可知，Maxwell模型有限的描述能力与方程的推广方式有关，特别与方程中应力张量的导数形式有关。
（3-1）式中描述的应力变化的导数形式σ&是应力对时间的一般偏微商，这种偏微商通常只能描述无穷小形变行为，或流动中体系性质无变化的形变行为。
对于描述高分子液体在大形变下的非线性粘弹行为，必须对应力张量的导数形式审慎定义和推广。
另外，在考察流场中流体流动时，紧盯着固定坐标系的一点考察（注意在不同时刻流经该点的流体元不同）和紧跟着一个流体元考察（该流体元在不同时刻占据空间不同位置）是大不相同的。
为此我们首先介绍流体力学中描写材料元流动的空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典Maxwell模型的推广。
2．2空间描述法和物质描述法流体力学中，在固定的空间坐标系描写一个材料元的流动有两种不同方法：一是物质描述法，观察者的视点集中于一个具体的流体元及其邻域所发生的事件，研究它在不同时刻所处的位置，以及它的速度，加速度等，与通常力学中集中于一个质点的方法相同。
这种方法又称拉格朗日描述法。
在该方法中一般以流体元在参考构型中的物质坐标X R (R=1,2,3) 为自变量，以便区别不同的材料元。
另一个方法称空间描述法，观察者的视点集中于坐标空间某一特殊点及其邻域所发生的事件，不针对一个具体的流体元。
这种方法又称欧拉描述法。
在该方法中，往往以固定坐标系的空间坐标x i (i=1,2,3) 为自变量。
流场中的任一物理量u 都是时间t 和空间坐标x i (i=1,2,3)的函数，记成()321,,,x x x t u 。
当求u 的时间导数时，应当区分两种情况。
一是固定空间坐标x i (i=1,2,3)不变（空间描述法），只对时间t 求偏导数，称一般偏导数。
()()tx x x t u x x x t u ∂∂=321321,,,,,,& 二是采用物质描述法，紧盯着一个材料元求时间导数。
由于材料元的坐标也在变化（为时间t 的函数），因此求导时不仅要对t 求，也要对x i(i=1,2,3)求，这种导数称物质导数，()Dtt D ,x u 记成 。
展开来写，有 ()∑∑==∂∂⋅+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=3131,i ii i i i i x u v t u t x x u t u Dt t x Du （3-16） 也称u 对时间求全导数。
（3-16）还可记成以下矢量形式： u v u u ∇•+∂∂=tDt D （3-17）2． 3 广义Maxwell 模型考虑将经典的Maxwell模型进行推广。
推广的方法是唯象的。
在唯象方法中，强调建立描述应力分量与形变分量或形变率分量间正确关系的方程，而对材料的物质结构和其他性质不作深究。
下面介绍几种广义Maxwell模型。
2．3．1 White-Metzner模型该模型的主要特点是在Maxwell模型方程（3-4）中，采用对应力张量求Oldroyd随流微商代替一般偏微商。
convected frame of reference）。
对于纯粘性流体，由于无记忆特性，应力只依赖于形变速率的瞬时值，因此采用固定空间坐标系计算是方便的。
对于粘弹性流体，其应力不仅依赖于即时形变，还依赖于形变历史，流体元有“记忆”能力，因此采用固定空间坐标系描述就很麻烦。
另外在固定坐标系中考察流动时，材料元的形变往往总与平动、转动牵扯在一起，讨论也不方便。
为此，人们采用一种镶嵌在所考察的材料元上，随材料元一起运动的这种参照系最初是由Oldroyd提出的。
由于在随流坐标系中定义的任何形变的度量总是针对同一个材料元的，可摆脱平动和转动速率的影响，故讨论流体元的形变问题有明显的优越性。
重要的是，我们必须建立随流坐标系和固定空间坐标系中各种物理量之间的转换关系。
因为所有的实验仪器都安装在固定坐标系中，所有对流体性质的测量也都在固定坐标系中进行，只有建立起随流坐标系和固定坐标系中各物理量之间的转换关系，才能将随流坐标系中讨论的结果转换到实验室系中加以验证，以确定本构方程的优劣。
随流坐标系中，质点的随流坐标不变，为常数，故采用随流坐标对流体元的描述为物质描述。
同样在随流坐标系中，对物理量求时间导数时保持随流坐标不变，因此对任何物理量所求的时间导数均为物质导数。
Oldroyd 随流微商即其中一种，记作tδδ。
按照上面的讨论，这种随流微商需要转换到固定的空间坐标系中。
二阶应力张量T ij 的Oldroyd 随流微商转换到固定坐标系后的形式为: ik k j kj k i ij ij T x v T x v T Dt D T t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=δδ （3-20） 式中等号右边第一项为 ∑=∂∂+∂∂=31k ij k k ij ij T x v T t T Dt D （3-21） 即二阶应力张量在固定坐标系的物质微商，可以理解为在固定坐标系中观察者见到的某一材料元的应力张量对时间的变化率。
第二、三项中含有速度梯度⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂k ix v 的影响，速度梯度中含有形变率张量d 和旋转速率张量ω两部分，它描述了材料元对于固定坐标系的有限形变和旋转运动。
White-Metzner 推广经典的Maxwell 模型，其方法就是在方程(3-4)中采用对应力张量求Oldroyd 随流微商代替一般偏微商。
White-Metzner 模型的方程形式为：d 012ηδδλ=+tσσ (3-22) 此公式在形式上虽然与方程(3-4)相仿，但物理意义不同。
在这儿应力张量的时间变化率是在随流坐标系中计算的，它与在固定的空间坐标系中所求的一般偏微商以及物质微商都不相同。
2．3．2 DeWitt 模型另一种广义Maxwell 模型—DeWitt 模型，是在Maxwell 方程中对应力张量求时间微商这一项，用共旋随流微商（Jaumann 微商）代替一般偏微商。