118.二元一次方程组(中间版)
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二元一次方程组课件(共42张PPT)
设篮球队胜了x场，负了y场
胜 负 合计 场数 x y 10 得分 2x y 16
x＋y=10 2x＋y=16
小组讨论
观察：
x+y=10 ①
2x+y=16 ②
在未知数的个数和含有未知数的项的 次数与方程
x+(10-x)=16 有什么不一样？
定义1
含有两个未知数，并且 含有未知数的项的次数 都是1的整式方程叫做二 元一次方程．
• 4.一般地，二元一次方程组的两个方程的 ___叫
做二元一次方程组的解 • 方程3x-y=1有_____对解
巩固练习
已知二元一次方程组
5x+4y=5 ① 3x+2y=9 ②
下列说
法正确的是（Ａ）
A.同时适合方程①和②的x、y的值是方程组的解
B.适合方程①的x、y的值是方程组的解
C.适合方程②的x、y的值是方程组的解
知识树
在NBA篮球联赛中，比赛规则是：每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分. 姚 明所在的火箭队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数应分别是多少?
设这个队设胜x场，根据题意得：
2x+(10－x)=16
设这个队胜x场，负y场；你能根据题意列出方程吗？
用方程表示为：
x y 10 2xy16
从中你体会到二元一次方程有＿ 对解解，叫做二元一次方程组的解．
x+(10-x)=16
会检验二元一次方程的解
设2x这+(1个0队－胜x（)=x1场6，2负）y场；举例说明二元一次方程、二元一次方程组的
已知二元一次方程组
下列说
解的概念. 同时适合①、②的x、ｙ值不一定是方程组的解
二元一次方程组ppt课件
5. B 提示：A.当
时，x-2y=0-2×
=1，是方程的解；B.当
时，x-2y=1-2×1=-1，不是方程的解；C.当
时，x-2y=1-2×0=1，是
方程的解；D.当
时，x-2y=-1-2×（-1）=1，是方程的解.
6. C 提示：A、B 方程组里含有 x，y，z 三个未知数，不符合二元一次方程组
方程组）
共计 44 元
共计 26 元
解析：从题图中可获得信息：2 件 T 恤衫和 2 瓶 矿泉水一共是 44 元
；1 件 T 恤衫和 3 瓶矿泉水一共 是 26 元.列出二元一次方程组即可.
答案：解：设每件 T 恤衫 x 元，每瓶矿泉水 y 元.
由题意，得 题型解法：解答有关二元一次方程组的图表信息题的关键是认真分析和提 取图表中的数据信息，挖掘图表中所隐含的等量关系，从而建立方程组求解.
D. 1
是方程 2x-ay=3b 的一个解，那么 a-
解析：将
代入方程2x-ay=3b，得 2+a= 3b，所以 a-3b=-2.故
选 C. 答案：C 题型解法：解决本题的关键是将方程的解代入，从而求出待定式子的值.
-9-
6.1 二元一次方程组
例 4 （巴中中考）已知关于 x，y 的二元一次方程组
为解的二元一次方程有无穷多个，只要从这些方
程中选中两个方程联立，即可得所要求的二元一次方程组.注意：在找两个
方程联立时，不能找系数成比例的两个方程.
-13-
6.1 二元一次方程组
[方法总结]
■检验二元一次方程组的解的方法———代入检验法 将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满足所有方程
k 的值为 （ ）
二元一次方程组课件
二元一次方程组1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1次的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．例1 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A 、23x y y z +=⎧⎨+=⎩；B 、2325x yx y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩；C 、226y x y =⎧⎨-=⎩；D 、236x y xy +=⎧⎨=⎩。
2．二元一次方程组的解法 （一）代入法（1）定义：通过―代入‖消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来求解的解法叫做代人消元法，简称代人法（2）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；②将变形后的关系式代人另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x (或y )的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值； ⑤把求得的x ，y 的值用―{‖联立起来，就是方程组的解。
（二）加减法(1)定义：通过将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来求解的方法叫做加减消元法，简称加减法 (2)用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号―{‖联立起来。
二元一次方程组二元一次方程组
当Ax=b中的A的行列式为0时，方程组有无数解。这是因为此时矩阵A的逆矩阵不存在，无法得到唯一解x，而是存在无数个解。
要点一
要点二
系数矩阵的行向量组线性相关
如果系数矩阵的行向量组线性相关，则说明存在一组系数使得等式左右两边相等，从而使得方程组有无数解。
方程组的无数解
系数矩阵的行列式不为0
在Ax=b中的A行列式不为0时，方程组有唯一解。但此时如果b在A的列向量组中可以由其他列向量线性表示，则会出现矛盾解的情况。
经济学
牛顿第二定律
能量守恒定律
动量守恒定律
物理学
计算机科学
要点三
算法设计
二元一次方程组可以用于设计算法，例如快速排序算法和二分查找算法等。
要点一
要点二
数据结构
二Hale Waihona Puke 一次方程组可以描述一些常见的数据结构，如栈、队列、链表和树等。
计算几何
二元一次方程组可以解决一些计算几何问题，如两点间的距离、求直线交点等。
性质1
二元一次方程组中每个方程的左右两边的代数式相等。
性质2
表达形式1
$ax + by = e(其中a,b,e为已知数，x,y为未知数，a!=0,b!=0)$。
表达形式2
$dx + ey = f(其中d,e,f为已知数，x,y为未知数，d!=0,e!=0)$。
表达形式
02
解法
通过代入或加减消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，求解得到一个未知数的值。
要点三
04
注意事项
系数矩阵的行列式为0
对于Ax=b中的A，如果其行列式为0，则方程组无解。这是因为此时矩阵A无法进行逆矩阵运算，无法得到x的值。
要点一
要点二
系数矩阵的行向量组线性相关
如果系数矩阵的行向量组线性相关，则说明存在一组系数使得等式左右两边相等，从而使得方程组有无数解。
方程组的无数解
系数矩阵的行列式不为0
在Ax=b中的A行列式不为0时，方程组有唯一解。但此时如果b在A的列向量组中可以由其他列向量线性表示，则会出现矛盾解的情况。
经济学
牛顿第二定律
能量守恒定律
动量守恒定律
物理学
计算机科学
要点三
算法设计
二元一次方程组可以用于设计算法，例如快速排序算法和二分查找算法等。
要点一
要点二
数据结构
二Hale Waihona Puke 一次方程组可以描述一些常见的数据结构，如栈、队列、链表和树等。
计算几何
二元一次方程组可以解决一些计算几何问题，如两点间的距离、求直线交点等。
性质1
二元一次方程组中每个方程的左右两边的代数式相等。
性质2
表达形式1
$ax + by = e(其中a,b,e为已知数，x,y为未知数，a!=0,b!=0)$。
表达形式2
$dx + ey = f(其中d,e,f为已知数，x,y为未知数，d!=0,e!=0)$。
表达形式
02
解法
通过代入或加减消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，求解得到一个未知数的值。
要点三
04
注意事项
系数矩阵的行列式为0
对于Ax=b中的A，如果其行列式为0，则方程组无解。这是因为此时矩阵A无法进行逆矩阵运算，无法得到x的值。
人教版数学七年级下册8.1《二元一次方程组》课件(19张PPT)
把具有相同未知数的两个二 元一次方程合在一起，就组成了 一个二元一次方程组。
注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元
一次方程合在一起组成的，方程的个数可以超过 2个，其中有的方程可以是一元一次方程，方程 组各方程中，相同字母代表同一数量，否则不能 将两个方程合在一起。
刚才自己写的二元一次方程哪些可以组成二元一次方程组：
篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分, 负一场得1分.某队为了争取较好名次,想在全部10场比赛 中得到16分,那么这个队胜负场数分别是多少?
解：设该队胜了X场，负了y场,
等量关系: 胜的场数+负的场数=总场数 胜场积分+负场积分=总积分
x + y = 10 ① 2x + y = 16 ②
8.1二元一次方程 组
课前小热身
√ √ 1、下列哪些方程是一元一次方程？
3x=5
x x+y=16 2a+8=2
x x x —2 =x+3 xy+6=34 3x + y = 28
x
一元：一个未知数
一次： 含有未知数的项的次数是1次 整式方程： 分母中不含有未知数
2、x=5是方程3x+5=20的解吗？为什么？
思考三：什么是二元一次方程的解？ 思考四：什么是二元一次方程组的解？
使二元一次方程两边的值相等的两个未知 数的值,叫做二元一次方程的解.
已知X、Y的值：
①
x y
2 2
x 3
②
y
2
③
x 3
y
2
④
x 6
y
6
其中二元一次ห้องสมุดไป่ตู้程2X－Y＝4解是：（）
二元一次方程组PPT课件
二元一次方程组的特点
1 两个未知数
二元一次方程组有两个未知数，通常用 x 和 y 表示。
2 一次方程
方程组中的方程都是一次方程，即未知数的最高次数为 1。
3 两个方程
二元一次方程组由两个方程组成，即有两个等式。
方程组在实际问题中的应用
1
经济学
方程组用于描述供需关系、成本与利润等经济指标之间的关系。
二元一次方程组PPT课件
这个PPT课件将教你什么是二元一次方程组，如何求解方程组，以及方程组在 实际问题中的应用。还会讨论方程组解的唯一性和存在性。
方程组的定义和概念
定义
二元一次方程组是由两个二元一次方程组成 的集合。
示例
例如：x + 2y = 5 和 2x - 3y = 8 是一个二元一 次方程组。
2
物理学
方程组可以用于描述物理量之间的相互作用、运动规律等。
3
工程学
方程组在工程学中常用于解决结构设计、材料力学等问题。
方程组的解的唯一性和存在性
解的存在性
方程组有解的条件是系数 行列式不为零，即方程组 是相容的。
解的唯一性
如果方程组只有一个解， 则称为唯一解；否则称为 无穷多解。
线性无关
当两个方程没有公共解解解都有各自的优 势和特点，根据实际情况选择 合适的方法。
概念
方程组是数学中一组有关未知数的数与式的 等量关系。
图解法
方程组的解是使得两个方程同时成立的点坐 标的集合，可以通过图解法求得。
方程组求解方法
代入法
将一个方程的解代入到另一 个方程中，以求得未知数的 值。
消元法
通过加减乘除运算，将一个 方程的未知数系数相同或倍 数关系，然后相减相消。
二元一次方程组ppt课件
这个队在10场比赛中胜6场、负4场．
课堂小测第63页
D
11 5 3.8 -1
x+y=35 2x+4y=94
x=23 y=12
C
x+y=7 900x=1200y x=4 y=3
1、方程 x2a−1 + 5y3b−2a = 2是二元一次方程， 则a=____ ,b=____
2、已知2x+3y=4，当x=y 时，x、y 的值 为_____，当 x+y=0 , x=____，y=____
D
BC
y° A
xx°°
E
课堂小结
通过这节课的学习，使大家进一步体会到了 方程是刻画现实世界的有效的数学模型。
（1）举例说明二元一次方程、二元一次方程 组的概念. （2）举例说明二元一次方程、二元一次方程 组的解的概念.
8.1 二元一次方程组
学习目标： 了解二元一次方程组及其解的概念．
学习重点： 二元一次方程组及其解的概念．
1．二元一次方程及二元一次方程组 章引言：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负， 每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场 比赛中得到16分，那么这个队胜负分别是多少？
问题1 依据章引言的问题如何列一一次方 程？ 解：设胜x场，则负（10－x）场.
3.对于x+2y=5，思考下列问题： (1)用含y的式子表示x； (2)用含x的式子表示y； (3)在自然数范围内，该方程的解是
_______________________.
4、如图所示，将长方形ABCD的一个角折叠，
折痕为AE，∠BAD比∠BAE大48°.设∠BAE和
∠BAD的度数分别为x ,y度，那么x,y所适合的 一个方程组是（ C）
课堂小测第63页
D
11 5 3.8 -1
x+y=35 2x+4y=94
x=23 y=12
C
x+y=7 900x=1200y x=4 y=3
1、方程 x2a−1 + 5y3b−2a = 2是二元一次方程， 则a=____ ,b=____
2、已知2x+3y=4，当x=y 时，x、y 的值 为_____，当 x+y=0 , x=____，y=____
D
BC
y° A
xx°°
E
课堂小结
通过这节课的学习，使大家进一步体会到了 方程是刻画现实世界的有效的数学模型。
（1）举例说明二元一次方程、二元一次方程 组的概念. （2）举例说明二元一次方程、二元一次方程 组的解的概念.
8.1 二元一次方程组
学习目标： 了解二元一次方程组及其解的概念．
学习重点： 二元一次方程组及其解的概念．
1．二元一次方程及二元一次方程组 章引言：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负， 每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在10场 比赛中得到16分，那么这个队胜负分别是多少？
问题1 依据章引言的问题如何列一一次方 程？ 解：设胜x场，则负（10－x）场.
3.对于x+2y=5，思考下列问题： (1)用含y的式子表示x； (2)用含x的式子表示y； (3)在自然数范围内，该方程的解是
_______________________.
4、如图所示，将长方形ABCD的一个角折叠，
折痕为AE，∠BAD比∠BAE大48°.设∠BAE和
∠BAD的度数分别为x ,y度，那么x,y所适合的 一个方程组是（ C）
二元一次方程组-完整版PPT课件
第八章 二元一次方程组
81 二元一次方程组
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分， 某队在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？ 你会用你学过的一元一次方程解决这个问题吗？
设胜场，负22-场，则 222-=40
设胜的场数是，负的场数为y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
+2y=1
(2)x+
1 y
=
-7
(3)8ab=5
（4）2x2-x+1=0 (5)2(x+y)-3(x-y)=1
答案：15
m-3-8yn2=0 是关于,y的二元一次方程, 则m=__4__,n=__－__1___
y=22， （1） 2y=40 （2）
把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 二元一次方程组 要点:（1）一共有两个方程
从中你体会到二元一次方程有＿无＿数＿个解 上表中哪对,y的值是方程2y=40的解？
x 18, y 4.
【概念学习】
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共 解，叫做二元一次方程组的解
【例题】
【例】检验下列各对数是不是方程组 的3xx解42yy61, 1 ②①
①
x y
2, 1.
②
x
y
3, 1.
2y=11的解的说法正确的是 A任何一对有理数都是它的解 B只有一个解 C只有两个解 D无穷多个解
【解析】2y=11成立的，y有无数组
4
3y=4，当=y 时，，y的值为_____，当y=0时5,
=____-_4，y=_____4_
x=-3，
1
3已知 是方y=程-22-4y2a=3的一个解，则a=______
81 二元一次方程组
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分， 某队在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？ 你会用你学过的一元一次方程解决这个问题吗？
设胜场，负22-场，则 222-=40
设胜的场数是，负的场数为y，你能用方程把这些条件表示出来吗？
+2y=1
(2)x+
1 y
=
-7
(3)8ab=5
（4）2x2-x+1=0 (5)2(x+y)-3(x-y)=1
答案：15
m-3-8yn2=0 是关于,y的二元一次方程, 则m=__4__,n=__－__1___
y=22， （1） 2y=40 （2）
把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 二元一次方程组 要点:（1）一共有两个方程
从中你体会到二元一次方程有＿无＿数＿个解 上表中哪对,y的值是方程2y=40的解？
x 18, y 4.
【概念学习】
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共 解，叫做二元一次方程组的解
【例题】
【例】检验下列各对数是不是方程组 的3xx解42yy61, 1 ②①
①
x y
2, 1.
②
x
y
3, 1.
2y=11的解的说法正确的是 A任何一对有理数都是它的解 B只有一个解 C只有两个解 D无穷多个解
【解析】2y=11成立的，y有无数组
4
3y=4，当=y 时，，y的值为_____，当y=0时5,
=____-_4，y=_____4_
x=-3，
1
3已知 是方y=程-22-4y2a=3的一个解，则a=______
二元一次方程组二元一次方程组
二元一次方程组的定义
二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组。一次方 程的最高次数为1。
二元一次方程组的求解方法
代入法
将一个方程的解代入另一个方程中，求出另一个未知数的值。
消元法
通过加减乘除等运算，将二元一次方程组转化为只含有一个未知数的方程。
矩阵法
使用矩阵和行列式来表示和求解方程组。
二元一次方程组
在数学中，方程组是含有一组未知数的方程的集合。二元一次方程组是含有 是由一组方程组成的数学表达式。它们描述了未知数之间的关系。在方程组中，未知数可以同时 满足所有方程，或者找到与所有方程都相符的解。
方程组的解法
解方程组的常见方法包括代入法、消元法和矩阵法。这些方法根据问题的不 同，选择最适合的解法。
商业决策
在商业决策中，二元一次方程 组可以用来分析市场趋势和利 润最大化的策略。
统计分析
在统计分析中，二元一次方程 组可以用来拟合数据和预测未 来趋势。
总结
二元一次方程组是数学中常见的方程组形式，可以通过代入法、消元法和矩 阵法求解。它在实际应用中具有广泛的用途。
解二元一次方程组的例子
1
代入法
将x = 3代入方程2x + y = 7，求出y的
消元法
2
值。
通过加减乘除等运算，将方程组变换
为x = 2，y = -1。
3
矩阵法
使用矩阵和行列式求解方程组，得出 x = 2，y = -1。
二元一次方程组的实际应用
工程设计
在工程设计中，二元一次方程 组可以描述不同变量之间的关 系，帮助解决实际问题。
《二元一次方程组》ppt课件
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简化计算
在代数问题中，有时需要 通过复杂的运算来求解， 二元一次方程组可以简化 这些计算过程。
证明数学定理
在代数证明中，二元一次 方程组可以作为证明某些 数学定理的工具，例如 Cramer's Rule等。
几何问题中的应用
确定位置关系
在几何问题中，二元一次方程组 可以用来确定点、线、面的位置
关系。
05
习题与解答
基础习题
基础习题1：解方程组 2x + 3y = 10
3x - y = 4
基础习题
基础习题2：解方程组 3x + 4y = 12
x - 2y = 5
基础习题
基础习题3：解方程组
2x - y = 4
x + 2y = 7
进阶习题
进阶习题1：解方程组 3x + 4y = 15 x+y=4
详细描述
消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。通过加减或代入的方式消去一个或多个变量，将二元一次方程组转 化为一元一次方程，然后求解这个一元一次方程即可得到原方程组的解。消元法可以分为加减消元法和代入消元 法两种。
矩阵法解二元一次方程组
总结词
利用矩阵的运算性质和逆矩阵求解二元一次方程组。
详细描述
在资源优化和分配问题中，二元 一次方程组可以用来找到最优的 方案，例如时间、成本、效益等
最小化或最大化。
交通和物流
在交通和物流领域，二元一次方 程组可以用来解车辆路线规划、
货物配载等问题。
04
二元一次方程组的扩展
二元一次方程组的变种
系数变种
在二元一次方程组中，可以通过改变方程的系数来形成新的方程 组，例如将常数项或系数乘以某个数，或将系数互换等。
简化计算
在代数问题中，有时需要 通过复杂的运算来求解， 二元一次方程组可以简化 这些计算过程。
证明数学定理
在代数证明中，二元一次 方程组可以作为证明某些 数学定理的工具，例如 Cramer's Rule等。
几何问题中的应用
确定位置关系
在几何问题中，二元一次方程组 可以用来确定点、线、面的位置
关系。
05
习题与解答
基础习题
基础习题1：解方程组 2x + 3y = 10
3x - y = 4
基础习题
基础习题2：解方程组 3x + 4y = 12
x - 2y = 5
基础习题
基础习题3：解方程组
2x - y = 4
x + 2y = 7
进阶习题
进阶习题1：解方程组 3x + 4y = 15 x+y=4
详细描述
消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。通过加减或代入的方式消去一个或多个变量，将二元一次方程组转 化为一元一次方程，然后求解这个一元一次方程即可得到原方程组的解。消元法可以分为加减消元法和代入消元 法两种。
矩阵法解二元一次方程组
总结词
利用矩阵的运算性质和逆矩阵求解二元一次方程组。
详细描述
在资源优化和分配问题中，二元 一次方程组可以用来找到最优的 方案，例如时间、成本、效益等
最小化或最大化。
交通和物流
在交通和物流领域，二元一次方 程组可以用来解车辆路线规划、
货物配载等问题。
04
二元一次方程组的扩展
二元一次方程组的变种
系数变种
在二元一次方程组中，可以通过改变方程的系数来形成新的方程 组，例如将常数项或系数乘以某个数，或将系数互换等。
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x＝6 x＝5 x＝4 正整数解： 、 、 、 y＝1 y＝3 y＝5 x＝3 x＝2 x＝1 、 、 y＝7 y＝9 y＝11
＋ 5y3n – 2 ＝ 7 是二元一次方程.求 m、n 的值．
练习：1．若方程 x 答案：m＝1，n＝1.
y＝1
5.你知道方程 2x＋y＝13 有多少组解？有多少 组正整数解？你能把它们都说出来吗？ 【课堂操练】 1 ．下列方程组中，是二元一次方程组的是 （ ） x＋y＝4 x＋y＝4 A．1 1 B． y＋z＝9 x ＋ y ＝9 x＝4 x－y＝xy C． D． 3x－2y＝6 x＋y＝9 答案：C 2．下列方程是二元一次方程的有（填序号） 1 （1） ＋2y＝1； （2）xy＋2y＝1 ； x （3）3x＋2y＝1； （4）7x－2－y＝3x； （5）xy＝1； （6）x＋y＝0. 答案：(3)(4)(6) x＝3 3x＋ky＝0 2．已知 是方程组 的解， y＝－1 mx＋y＝8 求 k 和 m 的值． 答案：k＝92 2．已知方程(m－2)x|m| －1＋(n＋3)y n －8 ＝5 是关于 x，y 的二元一次方程，求 m2＋ 2mn＋n2的值． 答案：m＝－2，n＝3 m2＋2mn＋n2＝1
x＝a 6. 若 是方程 2x＋y＝0 的解， y＝b 求 6a＋3b＋2 的值
答案：6a＋3b＋2＝3（2a＋b）＋2＝2
解？
海陵中学七年级数学教学案
二元一次方程组 x＝3 x＝1 答案： 、 y＝1 y＝2
x＋y＝4 A．1 1 x ＋y ＝9
x＋y＝5 B． y＋z＝7
解
x＝2 x＝4 x＝6 、 、 y＝3 y＝2 y＝1 x＝6 （2） 收益最大 y＝1 3、 5、 7， 16.在方程 x＋2y－9＝0 中， 设 x 1、 分别求出对应的 y 值，并组成四组解 x＝－1 x＝3 x＝－5 x＝7 答案： 、 、 、 y＝5 y＝3 y＝7 y＝1
18.用适当的方法解下列方程 4 11 （1） －8x＝3－ x； 3 2 答案：x＝－ 2 3
1 2 （2） (3x－6)＝ x－3； 6 5 答案：x＝－20 1－2x 3x＋1 （3） ＝ －3； 3 7
．
17.（１）众所周知，每只兔子有 4 只脚，每 只鸡有 2 只脚，能否使若干只兔子和若干只 鸡，共有 25 只脚呢？为什么？26 只脚可以 吗？ （２）从上述例子中，找出规律，判断下列方 程是否有整数解：①12x＋3y＝4 ②2x＋3y＝5？并说明理由 答案：（1）不可能 25 只脚，不可能单数 （2）可能
7．既是方程 x＋y＝7 的解，又是方程 3x＋ 2y＝18 的解是（ ） x＝1 x＝2 A． B． y＝－2 y＝1 x ＝ 4 x＝－4 C． D． y＝3 y＝－5 答案：C 8．方程 x＋2y＝5 有 组解，方程 x－2y ＝－5 有 组 解 ， 方 程 3x － 2y ＝ 3 有 组解，从上面的例子你可以发现：一个二元 一次方程有 组解． 答案：无数、无数、无数、无数 1 ax－3y＝5 x＝2 9．若 是方程组 的解，那 2x－by＝1 y＝－1 么 a2＋b2＝ 16 ． 答案：16 10．方程 3x＋4y＝6 的非负整数解为 x＝2 答案： y＝0 11．求方程 x＋2y＝5 的正整数解 ．
海陵中学七年级数学教学案
二元一次方程组
二元一次方程组
【目标导航】 1． 掌握二元一次方程、 二元一次方程组和它 的解的概念 2．会求二元一次方程的特殊解. 【预习引领】 1．判断下列各式是否是方程．（是的打√， 不是的打×） （1）10－3＝7； （2）x－2＞1； （3）2x－1＝0； （4）x2＋y＝3； 1 （5） ＝0 ． x 答案：（1）×；（2）×；（3）√； （4）√；（5）√. 2． 判断下列方程是否式一元一次方程． （是 的打√，不是的打×） （1）x＝3； （2）4x2＋5＝0； 1 （3） ＝4； x （4）5x＋6＝－2； （5）x＋2y－3＝0． 答案：（1）√；（2）×；（3）×； （4）√；（5）×. 3．已知 x＝2 是方程 5x＋m＝12 的解，求 m 的值． 答案：m＝2 x＝1 4．已知 是方程 5x－ky＝3 的一个解， y＝2 则 k 的值为 答案：1 【要点梳理】 知识点一：二元一次方程 含有两个未知数，并且未知数项的次数 为 1 的整式方程叫做二元一次方程 知识点二：二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程 合在一起，就组成二元一次方程组 知识点三：二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未 知数的值，叫做二元一次方程的解 知识点四：二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解， 叫做二元一次方程组的解 【例题精讲】
2x＋31y＝－11
答案：m＝－15，n＝－7 m2－3n＝246
【课后盘点】 3 m － 2 １．若 x －2yn－1＝5 是二元一次方程， 则m ，n ． 答案：m＝1，n＝2 x＝2 ２．已知 是方程 2x＋ay＝5 的解，则 a y＝1 ＝ ． 答案：a＝1 ３．下列方程组中，是二元一次方程组的是 （ ）
67 答案：x＝ 23 －x－1 x＋3 （4）x ＝7－ ； 3 5 答案：x＝7 5y＋4 y－1 5y－5 （5） ＋ ＝2－ ； 3 4 12 13 答案：x＝ 14 1 1 1 （6） { [ (2x－1)－1]－1}－2＝0． 2 3 4 答案：x＝ 65 2
x＝1 x＝y＝xy C． D． 3x－2y＝6 x－y＝1 答案：C x＋y＝7 ４．二元一次方程组 的解（ ） 2x－y＝－4 x＝1 x＝－1 A． B． y＝6 y＝4 x＝－3 x＝3 C． D． y＝2 y＝2 答案：A ５．若方程 x－2y＋3z＝0，且当 x＝1 时 y＝ 2，则 z＝ ． 答案：1 ６．若方程 2x＋4y＝16 中，当 x＝3 时，y ＝ ，当 y＝－2 时，x＝ ，若 x、y 都 是正整数，那么这个方程的解是 ． x ＝ 2 x ＝ 4 x ＝ 6 5 答案： 、12、 、 、 2 y ＝ 3 y ＝ 2 y＝1
x＝－6 x＝10 答案：(1) ， y＝－9 y＝－1 x＝10 (2) y＝－1
例 4．求二元一次方程 3x＋2y＝19 的正整数 解．
x＝1 x＝3 x＝5 答案： 、 、 y＝8 y＝5 y＝2
4．求方程 x＋2y＝13 的正整数的解 x＝1 x＝3 x＝5 x＝7 x＝9 答案： 、 、 、 、 、 y＝6 y＝5 y＝4 y＝3 y＝2 x＝11
例 1． 在下列方程中， 哪些是二元一次方程？ 哪些不是？ 1 1 （1）6x－7y＝8； （2） － ＝3； x y （3）3xy－7＝0； （4）x＋y＝3z． 答案：(1)是的 （2） （3） （4）不是 2． 下列方程组中， 哪些是二元一次方程组？ 哪些不是？ x＋y＝3 x＝5－2x （1） （2） xy＝1 2x＋2y＝1 y＝3x x＝0 （3） （4） x＋4z＝－1 y＝0 答案：(2) （4）是的 （1） （3）不是 小结： （1）二元一次方程的三个条件； （2）二元一次方程组的条件； 例 2．（1）方程（a＋2）x ＋(b－1)y ＝ 3 是二元一次方程，试求 a、b 的取值范围； ∣ ∣ （2）方程 x a – 1＋(a－2)y ＝ 2 是二 元一次方程，试求 a 的值． 答案：（1）a≠－2，b≠1； (2)a＝－2.
12．根据下列语句，分别设适当的未知数， 列出二元一次方程或方程组： （1）甲数的 3 倍比乙数的相反数大 1； 答案：设甲数为 x，乙数为 y 3x＝－y＋1 （2）小明、小芳两人的年龄之和为 29 岁， 且小明比小芳大 1 岁； 答案：设小明的年龄为 x，小芳的年龄为 y， x＋y＝29 由题意得： x－y＝1 （3） 现有面额为 100 元和 20 元的人民币 40 张，共计 2000 元 答案：设面额为 100 元人民币有 x 张，20 元 的有 y 张， x＋y＝40 由题意得： 100x＋20y＝2 000 13．足球联赛得分规定是胜一场得 3 分，平 一场得 1 分，负一场不得分．某队在足球联 赛的 4 场比赛中得 6 分，这个队胜几场，平 了几场，负了几场？ 答案：设胜了 x 场，平了 y 场 3x＋y＝6 14．一个两位数，对换它的十位数字和个位 7 数字后，所得的数是原数的 ， 4 （１）若设十位数字为 x，个位数字为 y，列 出关于的二元一次方程 （２）该二元一次方程的解是无数个还是有 限个，为什么？ 7 答案：(1) (10x＋y)＝10y＋x； 4 (2)无数组 15．某电视台在黄金时段的 2 分钟广告时间 内， 计划插播长度为 15 秒和 30 秒的两种 广告，15 秒广告每播 1 次收费 0.6 万元， 30 秒广告每播 1 次收费 1 万元，若要求 每种广告播放不少于 2 次，问： （１）两 种 广告的播 放次数有 几种 安排方式 ？ （２）电视台选择哪种方式播放收益较 大？ 答案：（1）15x＋30y＝120 不小于 2 的整数
例 3．已知下列三对值： x＝6 x＝10 x＝10 ， ， y＝－9 y＝－6 y＝－1 1 (1)哪几对数值使方程 x－y＝6 的左、 右两边 2 的值相等？ 1 2x－y＝6 (2) 哪几对数值是方程组 的
x＝－2 3．已知 是方程 3x－3y＝m 和 5x＋y y＝3 ＝n 的公共解，求 m2－3n 的值．
＋ 5y3n – 2 ＝ 7 是二元一次方程.求 m、n 的值．
练习：1．若方程 x 答案：m＝1，n＝1.
y＝1
5.你知道方程 2x＋y＝13 有多少组解？有多少 组正整数解？你能把它们都说出来吗？ 【课堂操练】 1 ．下列方程组中，是二元一次方程组的是 （ ） x＋y＝4 x＋y＝4 A．1 1 B． y＋z＝9 x ＋ y ＝9 x＝4 x－y＝xy C． D． 3x－2y＝6 x＋y＝9 答案：C 2．下列方程是二元一次方程的有（填序号） 1 （1） ＋2y＝1； （2）xy＋2y＝1 ； x （3）3x＋2y＝1； （4）7x－2－y＝3x； （5）xy＝1； （6）x＋y＝0. 答案：(3)(4)(6) x＝3 3x＋ky＝0 2．已知 是方程组 的解， y＝－1 mx＋y＝8 求 k 和 m 的值． 答案：k＝92 2．已知方程(m－2)x|m| －1＋(n＋3)y n －8 ＝5 是关于 x，y 的二元一次方程，求 m2＋ 2mn＋n2的值． 答案：m＝－2，n＝3 m2＋2mn＋n2＝1
x＝a 6. 若 是方程 2x＋y＝0 的解， y＝b 求 6a＋3b＋2 的值
答案：6a＋3b＋2＝3（2a＋b）＋2＝2
解？
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二元一次方程组 x＝3 x＝1 答案： 、 y＝1 y＝2
x＋y＝4 A．1 1 x ＋y ＝9
x＋y＝5 B． y＋z＝7
解
x＝2 x＝4 x＝6 、 、 y＝3 y＝2 y＝1 x＝6 （2） 收益最大 y＝1 3、 5、 7， 16.在方程 x＋2y－9＝0 中， 设 x 1、 分别求出对应的 y 值，并组成四组解 x＝－1 x＝3 x＝－5 x＝7 答案： 、 、 、 y＝5 y＝3 y＝7 y＝1
18.用适当的方法解下列方程 4 11 （1） －8x＝3－ x； 3 2 答案：x＝－ 2 3
1 2 （2） (3x－6)＝ x－3； 6 5 答案：x＝－20 1－2x 3x＋1 （3） ＝ －3； 3 7
．
17.（１）众所周知，每只兔子有 4 只脚，每 只鸡有 2 只脚，能否使若干只兔子和若干只 鸡，共有 25 只脚呢？为什么？26 只脚可以 吗？ （２）从上述例子中，找出规律，判断下列方 程是否有整数解：①12x＋3y＝4 ②2x＋3y＝5？并说明理由 答案：（1）不可能 25 只脚，不可能单数 （2）可能
7．既是方程 x＋y＝7 的解，又是方程 3x＋ 2y＝18 的解是（ ） x＝1 x＝2 A． B． y＝－2 y＝1 x ＝ 4 x＝－4 C． D． y＝3 y＝－5 答案：C 8．方程 x＋2y＝5 有 组解，方程 x－2y ＝－5 有 组 解 ， 方 程 3x － 2y ＝ 3 有 组解，从上面的例子你可以发现：一个二元 一次方程有 组解． 答案：无数、无数、无数、无数 1 ax－3y＝5 x＝2 9．若 是方程组 的解，那 2x－by＝1 y＝－1 么 a2＋b2＝ 16 ． 答案：16 10．方程 3x＋4y＝6 的非负整数解为 x＝2 答案： y＝0 11．求方程 x＋2y＝5 的正整数解 ．
海陵中学七年级数学教学案
二元一次方程组
二元一次方程组
【目标导航】 1． 掌握二元一次方程、 二元一次方程组和它 的解的概念 2．会求二元一次方程的特殊解. 【预习引领】 1．判断下列各式是否是方程．（是的打√， 不是的打×） （1）10－3＝7； （2）x－2＞1； （3）2x－1＝0； （4）x2＋y＝3； 1 （5） ＝0 ． x 答案：（1）×；（2）×；（3）√； （4）√；（5）√. 2． 判断下列方程是否式一元一次方程． （是 的打√，不是的打×） （1）x＝3； （2）4x2＋5＝0； 1 （3） ＝4； x （4）5x＋6＝－2； （5）x＋2y－3＝0． 答案：（1）√；（2）×；（3）×； （4）√；（5）×. 3．已知 x＝2 是方程 5x＋m＝12 的解，求 m 的值． 答案：m＝2 x＝1 4．已知 是方程 5x－ky＝3 的一个解， y＝2 则 k 的值为 答案：1 【要点梳理】 知识点一：二元一次方程 含有两个未知数，并且未知数项的次数 为 1 的整式方程叫做二元一次方程 知识点二：二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程 合在一起，就组成二元一次方程组 知识点三：二元一次方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未 知数的值，叫做二元一次方程的解 知识点四：二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的公共解， 叫做二元一次方程组的解 【例题精讲】
2x＋31y＝－11
答案：m＝－15，n＝－7 m2－3n＝246
【课后盘点】 3 m － 2 １．若 x －2yn－1＝5 是二元一次方程， 则m ，n ． 答案：m＝1，n＝2 x＝2 ２．已知 是方程 2x＋ay＝5 的解，则 a y＝1 ＝ ． 答案：a＝1 ３．下列方程组中，是二元一次方程组的是 （ ）
67 答案：x＝ 23 －x－1 x＋3 （4）x ＝7－ ； 3 5 答案：x＝7 5y＋4 y－1 5y－5 （5） ＋ ＝2－ ； 3 4 12 13 答案：x＝ 14 1 1 1 （6） { [ (2x－1)－1]－1}－2＝0． 2 3 4 答案：x＝ 65 2
x＝1 x＝y＝xy C． D． 3x－2y＝6 x－y＝1 答案：C x＋y＝7 ４．二元一次方程组 的解（ ） 2x－y＝－4 x＝1 x＝－1 A． B． y＝6 y＝4 x＝－3 x＝3 C． D． y＝2 y＝2 答案：A ５．若方程 x－2y＋3z＝0，且当 x＝1 时 y＝ 2，则 z＝ ． 答案：1 ６．若方程 2x＋4y＝16 中，当 x＝3 时，y ＝ ，当 y＝－2 时，x＝ ，若 x、y 都 是正整数，那么这个方程的解是 ． x ＝ 2 x ＝ 4 x ＝ 6 5 答案： 、12、 、 、 2 y ＝ 3 y ＝ 2 y＝1
x＝－6 x＝10 答案：(1) ， y＝－9 y＝－1 x＝10 (2) y＝－1
例 4．求二元一次方程 3x＋2y＝19 的正整数 解．
x＝1 x＝3 x＝5 答案： 、 、 y＝8 y＝5 y＝2
4．求方程 x＋2y＝13 的正整数的解 x＝1 x＝3 x＝5 x＝7 x＝9 答案： 、 、 、 、 、 y＝6 y＝5 y＝4 y＝3 y＝2 x＝11
例 1． 在下列方程中， 哪些是二元一次方程？ 哪些不是？ 1 1 （1）6x－7y＝8； （2） － ＝3； x y （3）3xy－7＝0； （4）x＋y＝3z． 答案：(1)是的 （2） （3） （4）不是 2． 下列方程组中， 哪些是二元一次方程组？ 哪些不是？ x＋y＝3 x＝5－2x （1） （2） xy＝1 2x＋2y＝1 y＝3x x＝0 （3） （4） x＋4z＝－1 y＝0 答案：(2) （4）是的 （1） （3）不是 小结： （1）二元一次方程的三个条件； （2）二元一次方程组的条件； 例 2．（1）方程（a＋2）x ＋(b－1)y ＝ 3 是二元一次方程，试求 a、b 的取值范围； ∣ ∣ （2）方程 x a – 1＋(a－2)y ＝ 2 是二 元一次方程，试求 a 的值． 答案：（1）a≠－2，b≠1； (2)a＝－2.
12．根据下列语句，分别设适当的未知数， 列出二元一次方程或方程组： （1）甲数的 3 倍比乙数的相反数大 1； 答案：设甲数为 x，乙数为 y 3x＝－y＋1 （2）小明、小芳两人的年龄之和为 29 岁， 且小明比小芳大 1 岁； 答案：设小明的年龄为 x，小芳的年龄为 y， x＋y＝29 由题意得： x－y＝1 （3） 现有面额为 100 元和 20 元的人民币 40 张，共计 2000 元 答案：设面额为 100 元人民币有 x 张，20 元 的有 y 张， x＋y＝40 由题意得： 100x＋20y＝2 000 13．足球联赛得分规定是胜一场得 3 分，平 一场得 1 分，负一场不得分．某队在足球联 赛的 4 场比赛中得 6 分，这个队胜几场，平 了几场，负了几场？ 答案：设胜了 x 场，平了 y 场 3x＋y＝6 14．一个两位数，对换它的十位数字和个位 7 数字后，所得的数是原数的 ， 4 （１）若设十位数字为 x，个位数字为 y，列 出关于的二元一次方程 （２）该二元一次方程的解是无数个还是有 限个，为什么？ 7 答案：(1) (10x＋y)＝10y＋x； 4 (2)无数组 15．某电视台在黄金时段的 2 分钟广告时间 内， 计划插播长度为 15 秒和 30 秒的两种 广告，15 秒广告每播 1 次收费 0.6 万元， 30 秒广告每播 1 次收费 1 万元，若要求 每种广告播放不少于 2 次，问： （１）两 种 广告的播 放次数有 几种 安排方式 ？ （２）电视台选择哪种方式播放收益较 大？ 答案：（1）15x＋30y＝120 不小于 2 的整数
例 3．已知下列三对值： x＝6 x＝10 x＝10 ， ， y＝－9 y＝－6 y＝－1 1 (1)哪几对数值使方程 x－y＝6 的左、 右两边 2 的值相等？ 1 2x－y＝6 (2) 哪几对数值是方程组 的
x＝－2 3．已知 是方程 3x－3y＝m 和 5x＋y y＝3 ＝n 的公共解，求 m2－3n 的值．