推理与证明精选训练题(有答案)
高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》分类汇编含答案
新高考数学《推理与证明》练习题一、选择题1．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．乙 B．甲 C．丁 D．丙【答案】A【解析】【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.2．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取.则三人中被录取的是（）A．甲B．丙C．甲与丙D．甲与乙【答案】D【解析】【分析】分别就三人各自被录取进行分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.【详解】若甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，命题②成立，则乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，则乙被录取，三个命题能同时成立；若乙被录取，命题②成立，则丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即若乙、丙未全被录取，则甲被录取，三个命题能同时成立；若丙被录取，命题②成立，则乙未被录取，命题③成立，则甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立.综上所述，甲与乙被录取.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D【解析】【分析】 通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=--()()4141sin cos k f x k x x x -=---()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯-所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x +=故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.4．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．5．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”；②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a b c c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答.【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a b c c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.6．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ．【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．7．观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则10097的末两位数字为（ ） A ．49B ．43C ．07D ．01【答案】C【解析】【分析】先观察前5个式子的末两位数的特点，寻找规律，结合周期性进行判断即可.【详解】观察2749=，37343=，472401=，572401716807=⨯=，67168077117649=⨯=，…，可知末两位每4个式子一个循环，2749=到10097一共有1008个式子，且10084252÷=，则10097的末两位数字与57的末两位数字相同，为07. 故选：C.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件寻找周期性是解决本题的关键.8．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法预测【答案】A【解析】【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。
推理与证明训练题
推理与证明训练题1、【2014湖北八校联考数学】对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y375[961824数列}{n x 满足11x =，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则123420132014x x x x x x ++++++的值为 （ ）A ．7549 B ．7545 C ．7539 D ．75352、【2014成都新津中学】观察下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=根据上述规律，333333123456+++++= （ ） A ．219 B ．220 C ．221 D ．222 3、【2014东北三省二模】观察下列等式3233233323333211,123,1236,123410,,=+=++=+++=根据上述规律，第n 个等式为 。
4、【2014山东省日照3月】已知双曲正弦函数2x x e e shx --=和双曲作弦函数2x x e e chx -+=与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确．．结论_____________. 5、【原创题】有一个奇数列1, 3, 5, 7, 9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1，第二组含两个数{}3,5，第三组含三个数{}7,9,11，第四组含四个数{}13,15,17,19，…，现观察猜想每组内各数之和为n a 与其组的编号数n 的关系为 .6、【改编题】观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据以上式子可以猜想2221111232014++++< .7、【2014山东省淄博市3月】对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：3331373152,39,4,5171119……⎧⎧⎪⎧⎪⎪===⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩．仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2015，则m = ． 8、【2014湖北省八市联考】某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如图，在区域{,)|0,0}x y y ≥≥内植树，第一棵树在点A l （0，1），第二棵树在点．B 1（l ，l ），第三棵树在点C 1（1,0），第四棵树在点C 2（2,0），接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么（1）第n 棵树所在点坐标是（44,0），则n= ． （2）第2014棵树所在点的坐标是 .9、【改编题】如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点. 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一个点，若它停在奇数点上，则下次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点. 该青蛙从“5”这点起跳，经2014次跳后它停在的点对应的数字是 .10、【原创题】在平面几何里，有：“若ABC ∆的三边长分别为,,,c b a 内切圆半径为r ，则三角形面积为r c b a S ABC )(21++=∆”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体BCD A -的四个面的面积分别为,,,,4321S S S S 内切球的半径为r ，则四面体的体积为 ”11、【陕西省咸阳市2014届高三下学期第三次模拟考试】用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________(用n 表示).12、【陕西省西工大附中2014届高三第四次适应性训练】在平面中，△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比AEC BECSACSBC=.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为A CDEB CDEV V --＝________．13、【陕西（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学）2014届第三次模拟考试】观察下列···· ·3 12 4 5等式：12133+=；781011123333+++=；16171920222339333333+++++=；……则当n m <且,m n N ∈时，313232313333n n m m ++--++⋅⋅⋅++= .（最后结果用,m n 表示）三、解答题14、【2014陕西五校联考】设数列{}n a 的前n 项的和nS 与na的关系是*,211N n a S n n n ∈-+-=. (1) 求321,,a a a 并归纳出数列{}n a 的通项（不需证明）； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T .15、（1）已知等差数列{}n a ，na a ab nn +++=21（N n ∈），求证：{}n b 仍为等差数列；（2）已知等比数列{}n c ，0>n c （N n ∈），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．16、【2014江西抚州一中】下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n 个图形中有n 个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为)(n f .图1 图2 图3 图4 （1）求出)2(f ,)3(f ,)4(f ,)5(f ;（2）找出)(n f 与)1(+n f 的关系，并求出)(n f 的表达式； （3）求证：362512)(3117)3(3115)2(3113)1(311<+++++++++n n f f f f (*N n ∈)1、【答案】A 【解析】由已知表格列出点1(,)n n x x +，(1,3),(3,5),(5,6),(6,1),(1,3),，即1231,3,5,x x x ===456,1,x x ==，数列{}n x 是周期数列，周期为4，201445032=⨯+，所以122014x x x +++=503(1356)137549⨯+++++=．2、【答案】C 【解析】3211=.下面考查1，3，6，10的规律，由于122334451,3,6,102222⨯⨯⨯⨯====，由此可猜想，33332(1)123[]2n n n ⨯+++++=，所以333322671236()212⨯++++==. 3、【答案】22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅+=【解析】观察式子等式右边正好为等式左边各项的和的平方，所以答案为()212n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭即22(1)4n n + 。
精编高中数学单元测试试题-推理与证明专题测试题库(含答案)
2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 A.29 B. 254 C. 602 D. 20042．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是（ ）(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号43．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的， 称为杨辉三角形，第三次第二次第一次开始根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是-------------------------------（ ） (A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为 2（2k +1） . 5．观察下列等式：231111222⨯=-⨯，2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯， 2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯，……由以上等式推测到一个一般的结论： 对于n ∈*N ，2314121122232(1)2n n n n +⨯+⨯++⨯=⨯⨯+ ▲ ．()1112nn -+⋅ 6． 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设是 7．从等式2c os，2c os，2c os，中能归纳出一个一般性的结论是 ▲ . 8．设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2x f x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+ 32()(()),78xf x f f x x ==+1 12 1 13 3 1 14 a 4 1 15 10 10 5 143()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得： 当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .9．观察下列等式： 31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋×12n ＝ ▲ ．10．观察下列恒等式：∵ ααααtan 2)tan 1(2tan 1tan 22--=-，∴ ααα2tan 2tan 1tan -=-ααα4tan 22tan 12tan -=-ααα8tan 24tan 14tan -=- 由此可知：128tan18tan1616tan832tan464tan2128tanππππππ-++++ = ．11．若三角形内切圆半径为ｒ，三边长分别为ａ，ｂ，ｃ,则三角形面积Ｓ＝21ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ），根据类比推理方法，若一个四面体的内切球半径为Ｒ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，则四面体的体积Ｖ＝__________12．设211S =，2222121S =++，22222312321S =++++，⋅⋅⋅，222221221n S n =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，⋅⋅⋅，某学生猜测2()n S n an b =+，老师回答正确，则a b += ．13．在共有2009项的等比数列{}n a 中，有等式135200910052462008a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成立；类比上述性质，在共有2013项的等差数列{}n b 中，相应的有等式 成立．14．已知数列{}n a 满足11a =，11()2n n n a a -+=(2)n ≥，212222n n n S a a a =⋅+⋅++⋅，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得132n n n S a +-⋅= ▲ .15．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若b a b a R b a =⇒=-∈0，则、”类比推出“b a b a C c a =⇒=-∈0,则、” ②“若d b c a di c bi a R d c b a ==⇒+=+∈,，则复数、、、”类比推出 “d b c a d c b a Q d c b a ==⇒+=+∈,22，则、、、” ③“若ba b a R b a >⇒>-∈0，则、、”类比推出“若b a b a C b a >⇒>-∈0,则、” ④“若111||<<-⇒<∈x x R x ，则”类比推出“若111||<<-⇒<∈z z C z ，则”其中类比结论正确．．．．的有 (填写序号）16．已知等差数列有一性质：若{}n a 为等差数列，则通项为123nn a a a a b n++++=的数列{}n b 也是等差数列．类比此命题，相应地等比数列有如下性质：若{}n a 为等比数列（各项均为正），则通项为n b = 的数列{}n b 也是等比数列．三、解答题17． (本小题满分16分) 已知数列1111,,,,1447710(32)(31)n n ⨯⨯⨯-+的前n 项和为n S ．（1）计算1234,,,S S S S ,根据计算结果,猜想n S 的表达式,并用数学归纳法进行证明； （2）试用其它方法求n S ．18．已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a （1）计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式； （2）用数学归纳法对你的结论进行证明．（本小题满分15分）19．已知0(1,2,,)i a i n >=，考查①1111a a ⋅≥； ②121211()()4a a a a ++≥； ③123123111()()9a a a a a a ++++≥． 归纳出对12,,,n a a a 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．（本题满分15分）20．已知函数)(x f 是在),0(+∞上每一点均可导的函数，若)()(/x f x xf >在0>x 时恒成立.（1）求证：函数xx f x g )()(=在),0(+∞上是增函数； （2）求证：当0,021>>x x 时，有1212()()()f x x f x f x +>+； （3）请将（2）问推广到一般情况，并用数学归纳法证明你的结论.21．已知110,02,,b aa b a b a b++>>+>且求证:中至少有一个小于2.22．用数学归纳法证明：*(1)(2)(3)123234(1)(2)()4n n n n n n n n +++⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=∈N ．23．已知数列{}n x 中，()是正常数p N n x p x x x nnn ,1,111*+∈++==。
推理与直接间接证明数学归纳法早练专题练习(一)带答案人教版新高考分类汇编
高中数学专题复习
《推理与直接间接证明数学归纳法》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若 ()2f k k ≥成立，则()()2
11f k k +≥+成立，下列命题成立的是 A ．若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2
f k k ≥成立； B ．若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2
f k k <成立； C ．若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2
f k k <成立； D ．若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2
f k k ≥成立。
（汇编上海文理15）
2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为。
高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》专项训练及答案
【最新】数学高考《推理与证明》专题解析一、选择题1．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙 B ．甲 C ．丁 D ．丙 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论. 【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的， 由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A. 【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．4．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x RB ．2123kcq x x R -C ．21232kcq x x RD ．21232kcq x x R -【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李C ．小孙D ．小赵【答案】A 【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.6．小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列{}n a 有以下结论:①515a =；②{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列{}n a的递堆公式11(),n n a a n n N *+=++∈其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④【答案】D 【解析】由图形可得：a 1=1,a 2=1+2，… ∴()1122n n n a n +=++⋯+=.所以①a 5=15； 正确；②an −a n −1= n ,所以数列{a n }不是一个等差数列；故②错误； ③数列{an }不是一个等比数列；③错误； ④数列{a n }的递推关系是a n +1=a n +n +1(n ∈N ∗).正确； 本题选择D 选项.点睛： 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．7．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（ ） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 【答案】B 【解析】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B.点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.8．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】 【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立． 故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙.故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （ ） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】 【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -， 首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+， 313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.11．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2 D ．至少有一个不小于2【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112226x y z x y z≥⋅+⋅+⋅=，当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2， 故选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）A ．30010B ．40010C ．50010D ．60010【答案】A 【解析】 【分析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为10231023lg 230021010=≈.故选：A 【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题13．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)(4)
一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（ ）A ．2450B ．2451C ．2452D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．1994．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()()2f x f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是 （ ）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.14．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n n a a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B 【解析】 【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====， 故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=， 由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+， 故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.5．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾， 故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误， 故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=， 则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确； 对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的； 对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的； 综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了 命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．C解析：C 【解析】 设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符； 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符； 当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符. 故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论． 【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014， 故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1， 从右到左第2行的第一个数为：3×20， 从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2，第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ． 【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2.点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.14．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194 【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.15．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392 【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时， 故A 到F 的最短时间就为9小时， 则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时， 即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为：4n+2．18．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x的不等式111kx bxax cx-+<--可化为111bk xa cx x-+<--，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx-∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x的不等式111kx bx ax cx -+< --的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．19．1和3【详解】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】 （1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =， 则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+， 即当1n k =+时猜想也成立， 由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立． （ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立， 即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 23．见解析. 【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）假设当()*,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．详解：证明：①当1n =时，左边111224=>，不等式成立. ②假设当()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即11111112324k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++， 则当1n k =+时，111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 111112421221k k k >++-+++， ∵11121221k k k +-+++ ()()()()()21212212121k k k k k +++-+=++()()102121k k =>++，∴11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．24．（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.【解析】试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.试题 解：（I ）()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴()5254441f =+⨯=．（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 25．见解析. 【分析】将代数式()()2222a b +++展开，利用基本不等式()2222a b a b ++≥可证出所证的不等式. 【详解】222a b ab +≥，()()2222222a babab a b ∴+≥++=+，则()222122a b a b ++≥=，()()()222212522484822a b a b a b ∴+++=++++≥++=， 当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()2225222a b +++≥. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立． 【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。
推理与证明-证明题专项训练
推理与证明-21．用数学归纳法证明不等式：（且）2．（本题满分50分）设，是互不相同的正整数，求证：.3．用数学归纳法证明，4．已知求证：5．已知,求证6．证明:若,则7．已知数列满足,我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列：当时,得到有穷数列：.（Ⅰ）求当为何值时；（Ⅱ）设数列满足, ，求证：取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列；（Ⅲ）若，求的取值范围.8．9．在数列中，，（1）写出；（2）求数列的通项公式10．在数列中，，求数列的通项公式11．设函数为奇函数.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）用定义法判断在其定义域上为增函数12．（1）当时，等式是否成立？呢？（2）假设时，等式成立．能否推得时，等式也成立？时等式成立吗？设为常数，且13．证明对任意14．假设对任意有，求的取值范围．15．在数列中，，其中，求数列的通项公式16．已知数列{ a n}的各项都是正数，且满足：a0=1，a n+1=a n·（4-a n）（n∈N）.证明：a n＜a n+1＜2（n∈N）.17．，当时，有，请给予证明．18．已知等差数列{a n}的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=1-.（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，试比较与S n+1的大小，并说明理由.19．已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，并且S n+1=4a n+2（n=1，2，…），a1=1.（1）设b n=a n+1-2a n(n=1,2,…)，求证：数列{b n}是等比数列；（2）设c n=(n=1,2,…),求证：数列{c n}是等差数列；（3）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式.1.已知a＞0,b＞0,且a+b=1,试用分析法证明不等式≥.21．已知函数，数列满足，．（1）求；（2）猜想数列的通项，并予以证明．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n=n2a n（n∈N*）.（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想S n的表达式；（2）证明你的猜想，并求出a n的表达式.23．24．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的都满足：，若，（），求证：．25．在数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，a n,S n,S n－成等比数列.(1)求a2,a3,a4，并推出a n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列{a n}所有项的和.参考答案1.【解析】：（1）当时，成立；（2）设时，成立；则当时，由于当时，，即：则当时，=2.【解析】对s 归纳.（1）当时，结论显然成立. …10分（2） 假设时结论成立，当时，不妨设.由归纳假设可知，，则.所以只要证明：，此即.30分因为正整数，所以. 故，.所以，即时，命题成立.因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数成立.3.证明：当时，左边，右边，即原式成立 假设当时，原式成立，即当时，即原式成立4.证明：，5.【解析】要证，只需证即，只需证，即证显然成立，因此成立6.【解析】当时，，两边取对数，得，又当时7.【解析】（Ⅰ）(Ⅱ) 解法一：,,当时,,当时,,,当时,,.一般地, 当时,可得一个含有项的有穷数列.下面用数学归纳法证明.(1)当时, ,显然,可得一个含有2项的有穷数列(2)假设当时,,得到一个含有项的有穷数列,其中,则时,,, 由假设可知,得到一个含有项的有穷数列,其中.所以,当时, 可以得到一个含有项的有穷数列,,其中由(1),(2)知,对一切,命题都成立.解法二：故取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列.（Ⅲ）即,所以要使,当且仅当它的前一项满足.由于,所以只须当时,都有由,得, 解得.8.【解析】证明：要证需证……………4分9.【解析】，，猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知猜想成立（2）假设n=k 时猜想成立，即则所以当n=k+1时，猜想也成立综合（1）（2），对猜想都成立10.解析：猜想下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，，猜想成立（2）假设当n=k时猜想成立，则当n=k+1时猜想也成立 综合（1）（2），对猜想都成立11.【解析】（Ⅰ）依题意，函数的定义域为R ∵是奇函数,∴∴ ∴,（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,设且，则∴∴在R 上是增函数12.【解析】（1）当时，等式成立．当时，左边，右边，左边右边，等式不成立． （2）假设时等式成立，即有，而时等式成立．但时，；时，．故时等式均不成立．13.14.【答案】【13】证法一：（ⅰ）当时，由已知，等式成立．（ⅱ）假设当等式成立，即那么也就是说，当时，等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）可知【14】由通项公式①（ⅰ）当时，①式即为即为②②式对都成立，有（ⅱ）当时，即为③③式对都成立，有综上，①式对任意成立，有故的取值范围为15.【解析】，，.由此可猜想出数列的通项公式为.以下用数学归纳法证明：(1)当n=1时，,等式成立.(2)假设当n=k 时等式成立，即.则当n=k+1时，.这就是说，当n=k+1时等式也成立。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》专项训练解析附答案
【高中数学】数学《推理与证明》高考复习知识点一、选择题1．某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的是排球；丙说：小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一人说对了一半，另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（ ） A ．可能是国画 B ．可能是书法C ．可能是排球D ．一定是篮球【答案】B 【解析】 【分析】依次假定小刚的选择，逐一验证得到答案. 【详解】若小刚选择的是国画，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除； 若小刚选择的是书法，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足； 若小刚选择的是排球，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除； 若小刚选择的是篮球，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足； 故小刚可能选择的是书法和篮球. 故选：B . 【点睛】本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】 【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；对于B 中， 猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3．观察下图：12343456745678910LL则第 行的各数之和等于22017（ ） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】 【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可 【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数 且这21n -个数成公差为1的等差数列 所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.4．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( )A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111n n nn n c c c c c q c q c q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ． 【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6 上列乘5 上列乘2 16 30 60 123153013 2 10 2014 32 1521515 6561216 15 10所以6603020151210147S =+++++=.故选：A 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.7．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（）A．1个B．5个C．7个D．9个【答案】B【解析】【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，因此这样的点有且只有5个.故选：B【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.8．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A．甲B．乙C．丙D．无法预测【答案】A【解析】【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》技巧及练习题附答案解析
【高中数学】数学《推理与证明》试卷含答案一、选择题1．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）A ．大于2B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号． 【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+-()()2222a b c a b c =-+++++ ()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（ ）A ．13311x y +=B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += 【答案】C【解析】 【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上，故可得21009199a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C. 【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】 【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.5．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．6．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-. 累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.7．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结论. 【详解】若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符； 若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符． 故选：D ． 【点睛】本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.8．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】 【分析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的， 丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的； 假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的， 乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立， 所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.9．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有4637a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于5b ，7b ，4b ，8b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．5748b b b b > B ．7845b b b b > C ．5748b b b b +<+ D ．7845b b b b ++<【答案】C 【解析】 【分析】类比等差数列{}n a 与等比数列{}n b 各项均为正数，等差数列中的“和”运算类比到等比数列变为“积”运算，即可得到答案． 【详解】在等差数列{}n a 中，由4637+=+时，有4637a a a a >， 类比到等比数列{}n b 中，由5748+=+时，有4857b b b b +>+，因为4334857444444()(1)(1)b b b b b b q b q b q b q b q q +-+=+--=-+-32244(1)(1)(1)(1)0b q q b q q q =--=-++>，所以4857b b b b +>+成立． 故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题．11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n+，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。
高考数学二轮复习推理与证明专题训练习题(含答案解析)
高考数学二轮复习专题训练：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．则假设的内容是( ) A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除 【答案】B2．设n 为正整数,111()1...23f n n =++++,经计算得35(2),(4)2,(8),22f f f =>> 7(16)3,(32),2f f >>观察上述结果,可推测出一般结论( ) A ． 21(2)2n f n +≥ B ． 2(2)2n n f +≥ C ． 22()2n f n +≥ D ．以上都不对 【答案】B3．用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为0”其反设正确的是( )A ．b a ,至少有一个不为0B ． b a ,至少有一个为0C ． b a ,全不为0D ． b a ,中只有一个为0 【答案】A4．给出下面四个类比结论：①实数,,b a 若0=ab 则0=a或0=b ；类比向量,,若0=⋅，则=或= ②实数,,b a 有;2)(222b ab a b a ++=+类比向量,,有2222)(b b a a b a +⋅+=+③向量2a =；类比复数z ，有22z z =④实数b a ,有022=+b a ，则0==b a ；类比复数z ，2z 有02221=+z z ，则021==z z其中类比结论正确的命题个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B 5．若定义在正整数有序对集合上的二元函数(,)f x y 满足：①(,)f x x x =，②(,)(,)f x y f y x = ③()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(12,16)f 的值是( )A ．12B ． 16C ．24D ．48【答案】D6．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么 c b a ,,中至少有一个是偶数”时，应假设( )A ．c b a ,,中至多一个是偶数B ． c b a ,,中至少一个是奇数C ． c b a ,,中全是奇数D ． c b a ,,中恰有一个偶数【答案】C 7．由7598139,,,10811102521>>>…若a>b>0,m>0,则b m a m ++与b a之间大小关系为( ) A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定 【答案】B8．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中，()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 【答案】A9．在求证“数列2， 3， 5,不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法B ．综合法C ．反证法D ．直接法【答案】C 10．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形【答案】C11．给出下列四个推导过程：①∵a ，b∈Ｒ＋， ∴（b ／a ）+（a ／b ）≥2=2; ②∵x ，y∈Ｒ＋，lgx+lgy ≥2;a ∈R ，a ≠0， ∴（4／a ）+a ≥2=4; x ，y R ，xy ＜0，（x ／y ）+（y ／x ）=-［（-（x ／y ））+（-（y ／x ））］≤-2=-2. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【答案】D12．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 【答案】Ｂ第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．观察下列式子：213122+<，221151+234+<， 222111712348+++<⋅⋅⋅，由此可归纳出的一般结论是 ．【答案】14．三段论推理的规则为____________①如果p q ⇒,p 真，则q 真;②如果b a c b ⇒⇒,则c a ⇒;③如果a//b,b //c, 则a//c ④如果c a c b b a ⇒⇒⇒则,,【答案】②15．若a 、b 是正常数，a ≠b ，x 、y ∈(0，＋∞)，则a2x ＋b2y ≥，当且仅当a x ＝b y时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝4x ＋91－2x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0，12的最小值为____________． 【答案】3516．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖 块.【答案】100三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．【答案】（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，．N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =．EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ，MN ∴∥平面PAD ．(2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线，CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ，AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．18．若,x y 都是正实数，且2,x y +> 求证：12x y +<与12y x+<中至少有一个成立. 【答案】假设12x y +<和12y x +<都不成立，则有21≥+y x 和21≥+xy 同时成立， 因为0x >且0y >，所以y x 21≥+且x y 21≥+ 两式相加，得y x y x 222+≥++.所以2≤+y x ，这与已知条件2x y +>矛盾. 因此12x y +<和12y x+<中至少有一个成立. 19．有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z 的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:给出如下变换公式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+=)2,261,(132)2,261,(21'整除能被整除不能被x x N x x x x N x x X 将明文转换成密文,如8→82+13=17,即h 变成q ；如5→5+12=3，即e 变成c. ①按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是什么？【答案】①g →7→7+12=4→d; o →15→15+12=8→h; d →o; 则明文good 的密文为dhho②逆变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈-=)2614,(262)131,(12''''''x N x x x N x x x 则有s →19→2×19-26=12→l ； h →8→2×8-1=15→o ；x →24→2×24-26=22→v ； c →3→2×3-1=5→e故密文shxc 的明文为love 20．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．【答案】（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数．设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++．24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a 一定是偶数．21)a b c ++．【答案】因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥（此处省略了大前提），所以)b a b ++（两次省略了大前提，小前提），同理，)b c +)c a +，三式相加得)a b c ++．(省略了大前提，小前提）22．设 f(x)＝x 2＋a. 记f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f(f n －1(x))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R|对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]． 【答案】⑴ 如果a ＜－2，则||f 1(0)＝|a|＞2，a ∈/M ． ⑵ 如果－2≤a ≤14，由题意，f 1(0)＝a ，f n (0)＝(f n －1(0))2＋a ，n ＝2，3，……．则 ① 当0≤a ≤14时，||f n (0)≤12，(∀n ≥1). 事实上，当n ＝1时，||f 1(0)＝|a|≤12，设n ＝k －1时成立(k ≥2为某整数）， 则对n ＝k ，||f k(0)≤||f k －1(0)2＋a ≤(12)2＋14＝12． ② 当－2≤a ＜0时，||f n (0)≤|a|，(∀n ≥1)．事实上，当n ＝1时，||f 1(0)≤|a|，设n ＝k －1时成立(k ≥2为某整数)，则对n ＝k ，有 －|a|＝a ≤()f k －1(0)2＋a ≤a 2＋a注意到当－2≤a ＜0时，总有a 2≤－2a ，即a 2＋a ≤－a ＝|a|．从而有||f k (0)≤|a|．由归纳法，推出[－2，14]⊆M ． ⑶ 当a ＞14时，记a n ＝f n (0)， 则对于任意n ≥1，a n ＞a ＞14且a n ＋1＝f n ＋1(0)＝f(f n (0))＝f(a n )＝a n 2＋a ． 对于任意n ≥1，a n ＋1－a n ＝a n 2－a n ＋a ＝(a n －12)2＋a －14≥a －14．则a n ＋1－a n ≥a －14． 所以，a n ＋1－a ＝a n ＋1－a 1≥n(a －14)．当n ＞2－a a －14时，a n ＋1＞n(a －14)＋a ＞2－a ＋a ＝2， 即f n ＋1(0)＞2．因此a ∈/M ．综合⑴，⑵，⑶，我们有M ＝[－2，14]。
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推理与证明精选训练题一、选择题1.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l ，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则239a a +349a a +459a a +…+201220139a a =A ．20102011B ．20112012C ．20122013D ．201320122.设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则cb a S r ++=2；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝（ ） A ．4321S S S S V+++ B ．43212S S S S V+++C ．43213S S S S V+++ D ．43214S S S S V+++3.下面使用类比推理正确的是（ ）A ．“若a·3=b·3，则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”B ．“若（a+b ）c=ac+bc”类推出“（a·b ）c=ac·bc”C ．“若（a+b ）c=ac+bc”类推出“(0)a b a b c ccc+=+≠”D ．“()nnnab a b =”类推出“()nnna b a b +=+”4.已知“*”表示一种运算，定义如下关系：①1*1=a ②)*(3*)1(a n a n =+（n ∈N *）则=a n * （ ）A ．23-nB ．13+nC ．13-nD ．n 3 5.观察下图，可推断出“?”应该填的数字是 （ ）A ．19B ．192C ．117D ．118?81642475947165316.我们知道十进制数有10个数码即0～9，进位规则是“逢十进一”，如47+56=103；由此可知八进制数有8个数码即0～7，进位规则是“逢八进一”，则在八进制下做如下运算47+56= （ ） A ．85 B ．103 C ．125 D ．185 7.下列说法正确的是 A ．合情推理就是归纳推理B ．合情推理的结论不一定正确，有待证明C ．演绎推理的结论一定正确，不需证明D ．类比推理是从特殊到一般的推理8.有一段演绎推理是这样的：“指数函数都是增函数；已知x y )21(=是指数函数；则x y )21(=是增函数”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误9.下列几种推理过程是演绎推理的是 （ ）A ．两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的内错角，则B A ∠=∠B ．金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C ．由圆的性质推测球的性质D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇10.如下图，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是 （ ）A ．12B ．48C ．60D ．14411.长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角为βα，，则1cos cos 22=+βα，将长方形与长方体进行类比，长方体的一条体对角线与长方体过同一个顶点的三个面所成的角分别为γβα，，，则正确的结论为 （ ） A ．1cos cos cos 222=++γβαB ．2cos cos cos 222=++γβαC ．3cos cos cos 222=++γβαD ．4cos cos cos 222=++γβα12.若点P 是正三角形ABC 的内部任一点，且P 到三边的距离分别为321,,h h h ，正三角形ABC的高为h ，根据等面积法可以得到321h h h h ++=，由此可以类推到空间中，若点P 是正四面体A －BCD 的内部任一点，且P 到四个面的距离分别为4321,,,h h h h ，正四面体A -BCD 的高为h ，则有 （ ）A ．4321h h h h h +++＞B ．4321h h h h h +++=C ．4321h h h h h +++＜D ．4321,,,h h h h 与h 的关系不定13.已知(0,)x ∈+∞，观察下列各式：21≥+xx ，3422422≥++=+xx x xx ，4273332733≥+++=+xx x x xx ，．．．，类比有nxa x n≥+(n ∈N *)，则=a（ ）A ．nB ．2nC ．2nD ．n n二、填空题14.空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ,A ,B ,C四点共面的充要条件．在平面中，类似的定理是 ．15.已知213cos=π，4152cos5cos=ππ，8173cos 72cos7cos=πππ，…，根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ．16.经计算发现下列正确的等式：231323133333++=++，352535253333++=++，682868283333++=++，．．．，根据以上等式的规律，试写出一个对正实数b a ,成立的等式 ．17.在数学解题中，常会碰到形如“xyy x -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设ba ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sinπππππ=-+b a b a ，则ab ＝ （ ）A ．4B ．15C ．2D ．318.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如下图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2012次互换座位后，小兔的座位对应的是 （ ）A ．编号1B ．编号2C ．编号3D ．编号4三、解答题19.设N =2n （n ∈N *，n ≥2），将N 个数x 1,x 2,…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0=x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N 个位置，得到排列P 1=x 1x 3…x N-1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换，将P 1分成两段，每段2N 个数，并对每段作C 变换，得到2p ；当2≤i ≤n-2时，将P i 分成2i段，每段2iN 个数，并对每段C 变换，得到P i+1，例如，当N=8时，P 2=x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置.（1）当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置；（2）当N=2n （n ≥8）时，x 173位于P 4中的第___个位置.试卷答案1.B2.C因为a h a S ⋅⋅=21，h S V ⋅⋅=底21，所以S 2类比V 3，故选择C 。
直接法简答如下： 如图（1），r c r b r a S ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=212121r c b a )(21++=，所以cb a S r ++=2；如图（2），R S S S S R S R S R S R S V )(3131313131********+++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，所以43213S S S S VR +++=。
3.C4.C5.C6.C7.B8.A9.A 10.D 11.B 12.B 13.D14.面内任一点O 和两点A 、B ，则(1)O P xO A yO B x y =++=是P ,A ,B 三点共线的充要条件． 15.,2112cos122cos12cosnn n n n =+⋯++πππ16.)()(3333b a a b a b a aba -++=-++17.D 18.C19.（1）6；（2）43211n -⨯+（1）当N=16时,012345616P x x x x x x x = ,可设为(1,2,3,4,5,6,,16) ,113571524616P x x x x x x x x x = ,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16) ,2159133711152616P x x x x x x x x x x x = ,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16) , x 7位于P 2中的第6个位置,；（2）方法同（1）,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.BEC图（1）。