高二数学推理与证明练习及答案
高二数学推理证明练习含答案
课时作业16 合情推理与演绎推理]基础热身1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N ，则f 2009(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为：________________________________________________________________________.4．[2011·陕西卷] 观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________________________________．能力提升5．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，a >0且为常数，动点P 满足||P A |－|PB ||＝2a <|AB |，则P 点的轨迹为双曲线B ．由a 1＝1，a n ＝3n ＋1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．三角形ABC 一条边的长度为4，该边上的高为1，那么这个三角形的面积为26．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图K62－1)，则第七个三角形数是( )A ．21B ．28C ．32D ．36 7．设函数f (x )＝12x ＋2，类比课本推导等差数列前n 项和公式的推导方法计算f (－4)＋f (－3)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (4)＋f (5)的值为( )A.322B.522C.922D.228．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为( ) 12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A ．105B ．106C ．107D ．1089．[2011·福建卷] 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：②________，②式可以用语言叙述为：________________________________________________________________________.11．如图K62－2，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．13．设f (x )________.14.(10分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．课时作业16答案【基础热身】1．C [解析] f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x )，f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x )，f n ＋4(x )＝…＝…＝f n (x )，故可猜测f n (x )是以4为周期的函数，有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ，f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x .故f 2009(x )＝f 1(x )＝cos x ，故选C.2．A [解析] A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．故选A.3．x ＋2y －z －2＝0 [解析] 设B (x ，y ，z )为平面内的任一点，由AB →·n ＝0得(－1)×(x－1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.4．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [解析] 因为1＝1第一个式子左边1个数，右边1；2＋3＋4＝9第二个式子左边3个数，从2开始加，加3个连续整数，右边3的平方；3＋4＋5＋6＋7＝25第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个连续整数，右边5的平方；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49第四个式子左边7个数，从4开始加，加7个连续整数，右边7的平方，故第五个式子为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.【能力提升】5．B [解析] 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．6．B [解析] 观察这一组数的特点：a 1＝1，a n －a n －1＝n ，∴a n ＝n (n ＋1)2，∴a 7＝28. 7．B [解析] ∵f (x )＝12x ＋2， ∴f (－x )＝12－x ＋2＝2x1＋2·2x， f (x ＋1)＝12x ＋1＋2＝12(1＋2·2x )， 则f (－x )＋f (x ＋1)＝2x 1＋2·2x ＋12(1＋2·2x )＝1＋2·2x 2(1＋2·2x )＝22， ∴f (－4)＋f (5)＝f (－3)＋f (4)＝f (－2)＋f (3)＝f (－1)＋f (2)＝f (0)＋f (1)＝22， ∴原式的值为22×5＝522.故选B. 8．C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.9．C [解析] 因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a ，b 属于同一“类”[k ]，可设a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k (n 1，n 2∈Z )，则a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]；反之，若a －b ∈[0]，可设a ＝5n 1＋k 1，b ＝5n 2＋k 2(n 1，n 2∈Z )，则a －b ＝5(n 1－n 2)＋(k 1－k 2)∈[0]；∴k 1＝k 2，则整数a ，b 属于同一“类”，结论④正确，故选C.10.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 11．3×4n －1 [解析] a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，可知a n ＝3×4n －1.12.T 8T 4 T 12T 8 [解析] 通过类比，若等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力．13．5 [解析] 由条件知x 1＝5，x 2＝f (x 1)＝f (5)＝6，x 3＝f (x 2)＝f (6)＝3，x 4＝f (x 3)＝f (3)＝1，x 5＝f (x 4)＝f (1)＝4，x 6＝f (x 5)＝f (4)＝2，x 7＝f (x 6)＝f (2)＝5＝x 1，可知{x n }是周期为6的周期数列，所以x 2011＝x 1＝5.14．[解答] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°] ＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋ 12⎣⎡⎦⎤sin (30°＋2α)－12 ＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋ 12⎣⎡⎦⎤sin (30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°·cos 60°＝，sin240°＋cos270°＋sin 40°·cos 70°＝，sin215°＋cos245°＋sin 15°·cos 45°＝.…写出反映一般规律的等式，并给予证明．【答案】sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝【解析】反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝sin2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)＝sin2α＋2＋sin α ·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.2.观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－＝()A．－2B．－4C．－6D．－8【答案】D【解析】根据题意，由于观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－=2tan＋4tan-= -8tan=-8，故答案为D.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
2013-2014高二理科数学期末复习(推理与证明)
2013-2014高二理科数学期末复习（推理与证明）考向一 归纳推理【例1】(1) 观察下列等式： 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15， 13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，13＋23＋33＋43＋53＝225.可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)．解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…第n 项a n ，与第n －1项a n －1(n ≥2)的差为：a n －a n －1＝n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得，a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ，其中a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ，即a n ＝n (n ＋1)2，∴a 2n ＝14n 2(n ＋1)2.答案 14n 2(n ＋1)2【训练1】1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为_______________________________解析 13＋23＝32＝(1＋2)2,13＋23＋33＝62＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝102＝(1＋2＋3＋4)2，则13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22，故第五个等式即为当n ＝6时，13＋23＋33＋43＋53＋63＝⎝⎛⎭⎫6×722＝212.答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝2122. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________. 解析 法一 由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.法二 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123. 答案 1233. 观察下列不等式1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……照此规律，第五个不等式为________________．解析 先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162<116. 答案 1＋122＋132＋142＋152＋162<1164. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.解析 归纳类比，得偶函数f (x )的导函数g (x )是奇函数，从而有g (－x )＝－g (x )． 答案 －g (x )5. 将正奇数排列如图形式，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，若a ij ＝2 009，则i ＋j ＝________.解析 根据正奇数排列的正三角图表知，2 009是第1 005个奇数，应排在i 行(其中i ∈N *)，则1＋2＋3＋…＋(i －1)＝i (i －1)2＜1 005①，且1＋2＋3＋…＋i ＝i (i ＋1)2＞1 005②；验证i ＝45时，①②式成立，所以i ＝45；第45行第1个奇数是2×44×452＋1＝1 981，而1 981＋2(j －1)＝2 009，∴j ＝15；所以，2 009在第45行第15个数，则i ＋j ＝60； 答案 606. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 2 13°＋cos 2 17°－sin 13°cos 17°；②sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2 18°＋cos 2 12°－sin 18°cos 12°；④sin 2 (－18°)＋cos 2 48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 2 55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解 法一(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.考向二 类比推理【例2】 (1)在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S△ABC＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案 V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(2) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…[审题与转化] 第一步：观察等差数列{a n }前n 项和S n 的特点．[规范解答] 第二步：由等差数列“S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12”中的“差”，类比到等比数列中的“商”．故可得T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．[反思与回顾] 第三步：类比推理是以比较为基础的，它是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较，而做出有关另一个特殊属性的结论，是从特殊到特殊的推理，利用这类推理所得到的结论需要进行严格的证明．[方法总结] (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能． 【训练2】1. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，利用倒序求和的方法，可将S n 表示成首项a 1、末项a n 与项数n 的一个关系式，即公式S n ＝n (a 1＋a n )2；类似地，记等比数列{b n }的前n 项积为T n ，且b n >0(n ∈N *)，试类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成首项b 1、末项b n 与项数n 的一个关系式，即公式T n ＝________. 解析 利用等比数列性质，即若m ＋n ＝p ＋q ，则b m ·b n ＝b p ·b q ， 得T 2n ＝(b 1b 2…b n )·(b n b n －1…b 2b 1)＝(b 1b n )n ，即T n ＝(b 1b n )n 2. 答案 (b 1b n )n 22．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4；类似地，在空间内，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析 由正方体的体积之比等于棱长的立方之比可得．答案 1∶83．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的序号是________． 答案 ③4. 在共有2 013项的等差数列{a n }中，有等式(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)－(a 2＋a 4＋…＋a 2 012)＝a 1 007成立；类比上述性质，在共有2 011项的等比数列{b n }中，相应的有等式________成立．解析 将等式中加、减换成乘除可得b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 006.答案 b 1·b 3·b 5·…·b 2 011b 2·b 4·b 6·…·b 2 010＝b 1 0065. 若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S nn ＝a 1＋(n－1)·d 2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，通项为________．解析 由等差数列与等比数列的运算类比，可得n T n ＝b 1(q )n －1.答案 n T n ＝b 1(q )n －16. 如果函数f (x )在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n 成立．已知函数y ＝sin x 在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC 中，sin A ＋sinB ＋sinC 的最大值是________．解析 由凸函数定义，知sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝323. 答案 32 37．圆x 2＋y 2＝r 2在点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类似地，可以求得椭圆x 28＋y 22＝1在(2,1)处的切线方程为________．解析 由类比结构可知，相应的切线方程为：x 0x 8＋y 0y2＝1，代入点坐标，所求切线方程为：x 4＋y 2＝1. 答案 x 4＋y2＝17. 命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过点F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．解析 对于椭圆，延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q .由对称性知，M 为F 2Q 的中点，且PF 2＝PQ ，从而OM ∥F 1Q 且OM ＝12F 1Q .而F 1Q ＝F 1P ＋PQ ＝F 1P ＋PF 2＝2a ，所以OM ＝a .对于双曲线，过点F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线，垂足为M ，类比可得OM ＝a . 答案 内角平分线[方法总结] 归纳推理可以通过多求几项找规律．类比推理，从类比对象划分，主要有等差数列与等比数列的类比，其中等差数列中的加、减、乘、除运算与等比数列中的乘、除、乘方、开方运算对应．平面几何与立体几何的类比，其中平面几何中的点、线、面、长度、面积等，与立体几何中的线、面、体、面积、体积等对应．椭圆与双曲线的类比，其中椭圆与双曲线中有“互余”关系． 考向三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n (结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)[方法总结] 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．考向四 数学归纳法的原理1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0 等于________．解析 边数最少的凸n 边形是三角形． 答案 32．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了________项．解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项．答案2k3．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为________． 答案 1＋a ＋a 24．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得下列成立的说法是________．①n ＝6时该命题不成立；②n ＝6时该命题成立；③n ＝4时该命题不成立；④n ＝4时该命题成立． 解析 法一 由n ＝k (k ∈N *)成立，可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．因而若n ＝4成立，必有n ＝5成立．现知n ＝5不成立，所以n ＝4一定不成立．法二 其逆否命题“若当n ＝k ＋1时该命题不成立，则当n ＝k 时也不成立”为真，故“n ＝5时不成立”⇒“n ＝4时不成立”．答案 ③ 5．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)，故填1(2k ＋1)(2k ＋2). 答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)【例1】用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n ×(n ＋1)×(n ＋2)＝n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)4.(n ∈N *)证明 (1)当n ＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝1×2×3×44＝6＝左边，所以等式成立．(2)设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4.则当n ＝k ＋1时，左边＝1×2×3＋2×3×4＋…＋k ×(k ＋1)×(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3) ＝k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)4＋(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫k 4＋1＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)(k ＋4)4 ＝(k ＋1)(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)(k ＋1＋3)4所以n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知，原等式对于任意的n ∈N *成立．【训练】 1已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2n ＝a 2n －1＋1a n －1(n ≥2)，a n ≥12n 13.求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.证明 由题得a 2n ＋1＝a 2n ＋1a n ，即a 2n ＋1－a 2n ＝1a n ，于是有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 2n ＋1－a 21＝a 2n ＋1－1. 要证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1，只需证明a n ≤2n 13.下面使用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝1，12<a 1<2，则当n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k 时，12k 13≤a k ≤2k 13成立，则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1＝a 2k ＋1a k ≤4k 23＋112k 13＝4k 23＋2k 13，只要证明4k 23＋2k 13≤4(k ＋1)23，只需2k ＋1≤2k 13(k ＋1)23，只需(2k ＋1)3≤8k (k ＋1)2，化简后恒成立，于是a k ＋1≤2(k ＋1)13，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤4(n ＋1)23－1.2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1,2,3，…. (1)求a 1，a 2；(2)猜想数列{S n }的通项公式，并给出严格的证明．解 (1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3，….下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． [方法总结] 归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此要务必保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．3. 在数列{a n }、{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512.(1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2，所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立．(2)证明1a1＋b1＝16＜512. n≥2时，由(1)知a n＋b n＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n.故1a1＋b1＋1a2＋b2＋…＋1a n＋b n＜16＋12⎣⎡⎦⎤12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n＋1＜16＋14＝512.综上，原不等式成立．。
高二数学推理与证明试题答案及解析
高二数学推理与证明试题答案及解析1.若，那么必有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为=0，所以选A。
【考点】本题主要考查不等式性质、不等式的证明方法。
点评：利用差比法，即综合法。
也看取两组数据代入检验。
2.已知，，，则与的关系为．【答案】【解析】先比较对数的真数平方的大小，根据对数的底数大于1，对数函数是单调增函数确定m与n的关系。
【考点】本题主要考查不等式性质、对数函数的性质以及分析法、综合法、反证法的定义和方法。
点评：综合应用各种方法及不等式性质。
3.已知数列为等差数列，公差，数列满足．判断数列是否为等差数列，并证明你的结论．【答案】是等差数列，见解析。
【解析】是等差数列．证明：由条件，则．所以，所以数列为等差数列．【考点】本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及综合法的定义和方法。
点评：等差数列中的基本问题．4.已知，求证：不能同时大于．【答案】见解析。
【解析】证明：假设三式同时大于，即，，．三式同向相乘得．①又，同理，．．②因①②矛盾，故原结论正确．【考点】本题主要考查不等式的性质、以及反证法的定义及方法。
点评：反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反”．5.已知成等差数列，成等比数列，则的取值范围是．【答案】【解析】由等差数列的性质得，由等比数列的性质得，所以==，当时，，当，，所以0，故的取值范围是。
【考点】本题主要考查等差、等比数列的性质，均值定理的应用，综合法的定义及方法。
点评：综合性较强，在理解掌握综合法的基础上，运用等差、等比数列的知识及均值定理完成解答。
6.设函数若，则的取值范围为．【答案】【解析】因为所以解即解或，解得的取值范围为。
【考点】本题主要考查指数函数、幂函数的图象和性质。
点评：注意分类讨论。
利用数形结合思想，通过画出函数图象，观察也可得解。
7.已知成等差数列，成等比数列，则的取值范围是．【答案】【解析】由等差数列的性质得，由等比数列的性质得，所以==，当时，，当，，所以0，故的取值范围是。
高二数学第二章逻辑推理与证明(含答案)
高二数学第二章逻辑推理与证明一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知数列{an }的前n 项和Sn ＝n 2·an (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想an 等于( ) A ．2(n+1)2B ．2n(n+1)C ．22n −1 D ．22n−12.用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n−1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程中，第二步由k 到k ＋1时不等式左边需增加( )A ．12kB ．12k−1+1＋12kC ．12k−1+1＋12k−1+2＋12kD ．12k−1+1＋12k−1+2＋…＋12k 3.在圆内接三角形ABC 中，AB ＝AC ，弧AB 对应的角度为130°，则∠A 等于( )A ． 130°B ． 50°C ． 100°D ． 90°4.下面几种推理中是类比推理的是( )A ．n 边形内角和为f (n )＝(n －2)π，则5边形内角和为f (5)＝(5－2)π＝3πB ． 某班张三、李四、王五身高都超过1.8米，猜想该班同学身高都超过1.8米C ． 猜想数列1×2,2×3,3×4，…的通项公式为an ＝n (n ＋1)(n ∈N *)D ． 由平面直角坐标系中两点P 1(x ，y )，P 2(a ，b )之间距离为d ＝√(x −a)2+(y −b)2，推测空间直角坐标系中两点P 1(x ，y ，z )，P 2(a ，b ，c )之间距离为 d ＝√(x −a)2+(y −b)2+(z −c)2 5.先阅读下面的文字：“求√1+√1+√1+⋯的值时，采用了如下方法：令√1+√1+√1+⋯＝x ，则有x ＝√1+x ，两边同时平方，得1＋x ＝x 2，解得x ＝1+√52(负值已舍去)”可用类比的方法，求得1＋12+11+12+⋯的值等于( )A ．√3−12B．√3+12C．1−√32D．−1−√326.在研究函数f(x)＝a1x(a＞1)的单调区间时，可用如下作法：设g(x)＝log af(x)＝1得到f(x)在(－∞，0)，x(0，＋∞)上是减函数，类比上述作法，研究y＝xx(x＞0)的单调性，则其单调增区间为()A． (0,1)B． (1，＋∞)，+∞)C．(1e)D．(0，1e7.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2 013次跳后它将停在的点是()A． 1B． 2C． 3D． 48.在演绎推理“因为平行四边形的对角线互相平分，而正方形是平行四边形，所以正方形的对角线互相平分．”中“正方形是平行四边形”是“三段论”的()A．大前提B．小前提C．结论D．其他9.我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)．试求第n个正方形数是()A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ． (n ＋1)210.设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数( )A ． 至少有一个不大于2B ． 都小于2C ． 至少有一个不小于2D ． 都大于211.利用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *，n ≥2)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边需要添加的项共有( )A ． 1项B ．k 项C ． 2k －1项D ． 2k 项12.已知数列{an }，{bn }的通项公式分别为an ＝an ＋2，bn ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是( )A ． 0B ． 1C ． 2D ． 无穷多个分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.用反证法证明命题“x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时应假设为________________． 14.有n 粒球(n ≥2，n ∈N *)，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为Sn .例如对于4粒球有如下两种分解：(4)→(1,3)→(1,1,2)→(1,1,1,1)，此时S 4＝1×3＋1×2＋1×1＝6；(4)→(2,2)→(1,1,2)→(1,1,1,1)，此时S 4＝2×2＋1×1＋1×1＝6.于是发现S4为定值，请你研究Sn的规律，归纳Sn＝________.15.把已知正整数n表示为若干个正整数(至少3个，且可以相等)之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：(1,4,7)与(7,4,1)为12的相同等差分拆．问正整数30的不同等差分拆有________个．16.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________________．三、解答题(共6小题,每小题12.0分,共72分)17.设a，b是两个不相等的正数，若1a ＋1b＝1，用综合法证明：a＋b>4.18.数列{an}满足a1＝12，Sn＝n2an(n≥1)．(1)求S1，S2，S3，并猜想Sn；(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的正确性．19.用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数：f(n)＝12n(n－3)(n≥3，n∈N*)．20.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝a n3a n+1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．21.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝3－2Sn(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值并猜想an的表达式．(2)若猜想的结论正确，用三段论证明数列{an}是等比数列.22.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f(n)．(1)求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)；(2)找出f(n)与f(n＋1)的关系，并求出f(n)的表达式；(3)求证：11 3f(1)+3＋113f(2)+5＋113f(3)+7＋…＋113f(n)+2n+1<2536(n∈N*)．答案解析1.【答案】B【解析】由a 1＝1，S 2＝22·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝13，又a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝16，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4得a 4＝110，…，猜想an ＝2n(n+1).2.【答案】D【解析】用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n−1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程中，假设n ＝k 时不等式成立，左边＝1＋12＋13＋…＋12k−1，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k−1＋12k−1+1＋…＋12(k+1)−1∴由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边需增加12k−1+1＋…＋12(k+1)−1＝12k−1+1＋…＋12k . 3.【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，过O 作OD ⊥AB 于D .在Rt △OAD 中，∠AOD ＝12∠AOB ＝12×130°＝65°，∴∠BAO ＝90°－65°＝25°，∴∠BAC ＝2∠BAO ＝2×25°＝50°.4.【答案】D【解析】对于A ，n 边形内角和为f (n )＝(n －2)π，则5边形内角和为f (5)＝(5－2)π＝3π，是演绎推理；对于B ，某班张三、李四、王五身高都超过1.8米，猜想该班同学身高都超过1.8米，是归纳推理；对于C ，猜想数列1×2,2×3,3×4，…的通项公式为an ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，是归纳推理； 对于D ，由平面直角坐标系中两点P 1(x ，y )，P 2(a ，b )之间距离为d ＝√(x −a)2+(y −b)2，推测空间直角坐标系中两点P 1(x ，y ，z )，P 2(a ，b ，c )之间距离为d ＝√(x −a)2+(y −b)2+(z −c)2，是类比推理．5.【答案】B【解析】设1＋12+11+12+⋯＝x ，则1＋12+1x ＝x ， ∴2x 2－2x －1＝0，∴x ＝1±√32， ∵x ＞0，∴x ＝√3+12. 6.【答案】C【解析】设g (x )＝ln y ＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )＞0，则x ＞1e ，即g (x )在(1e ，+∞)上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则，得y ＝xx (x ＞0)的单调增区间为(1e ，+∞)．7.【答案】D【解析】按照规则，前面几次跳的点数依次为：5→1→2→4→1→2→4→1→2→4…，所以从第一次起跳开始，每跳过三次，就会落在4点上，而2 013＝3×671，∴最后青蛙停在4点上． 8.【答案】B【解析】“平行四边形的对角线互相平分”是大前提，“正方形是平行四边形”是小前提，“正方形的对角线互相平分”是结论．9.【答案】C【解析】当n ＝1时，第n 个正方形数是1＝12，当n ＝2时，第n 个正方形数是4＝22，当n ＝3时，第n 个正方形数是9＝32，当n ＝4时，第n 个正方形数是16＝42，当n ＝5时，第n 个正方形数是25＝52，…，由此归纳猜想：第n 个正方形数是n 2.10.【答案】C【解析】假设a ，b ，c 三个数均小于2，即x ＋1y <2，y ＋1z <2，z ＋1x <2，于是有a ＋b ＋c <6. 而又有a ＋b ＋c ≥2＋2＋2＝6，这与<6相矛盾，故假设错误，即a ，b ，c 中至少有一个不小于2. 11.【答案】D【解析】∵n ＝k 时，左边最后一项为12k ，n ＝k ＋1时，左边最后一项为12k+1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边需要添加的项共有2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k .12.【答案】A【解析】假设存在两个数列中序号与相应项的数值相同的项，则有an ＋2＝bn ＋1，得到(a －b )n ＝－1，这样的n 是不存在的，故假设不成立．13.【答案】x ＝a 或x ＝b【解析】否定结论时，一定要全面否定，x ≠a 且x ≠b 的否定为x ＝a 或x ＝b .14.【答案】n 2−n 2【解析】(2)→(1,1)，此时S 2＝1×1＝1； (3)→(1,2)→(1,1,1)，此时S 3＝1×2＋1×1＝2＋1＝3；(4)→(1,3)→(1,1,2)→(1,1,1,1)，此时S 4＝1×3＋1＋2＋1×1＝3＋2＋1＝6；(5)→(1,4)→(1,1,3)→(1,1,1,2)→(1,1,1,1,1)，此时S 5＝1×4＋1×3＋1×2＋1×1＝4＋3＋2＋1＝10， 归纳猜想：Sn ＝(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋3＋2＋1＝1+(n−1)2×(n －1)＝n 2−n 2.15.【答案】19【解析】∵30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6.∴可以考虑以下等差分拆． ①以10为等差中项的3个整数的分拆共有以下10个：30＝1＋10＋19＝2＋10＋18＝…＝10＋10＋10；②30等差分拆为4个数的共有以下2个：6,7,8,9；3,6,9,12；③30等差分拆为5个数的共有以下3个：6,6,6,6,6；4,5,6,7,8；2,4,6,8,10；④30等差分拆为6个数的只有以下1个：5,5,5,5,5,5；⑤30等差分拆为10个数的只有以下1个：3,3，…，3(共10个3)；⑥30等差分拆为15个数的只有以下1个：2,2，…，2(共15个2)；⑦30等差分拆为30个数的只有以下1个：1,1，…，1(共30个1)．综上可知，正整数30的不同等差分拆共有19个．16.【答案】存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【解析】“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”． 17.【答案】证明 因为a >0，b >0，且a ≠b ，所以a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝1＋1＋b a ＋a b >2＋2√b a ·a b ＝4. 所以a ＋b >4.【解析】18.【答案】(1)解 当n ≥2 时，Sn －Sn －1＝an ，故Sn ＝n 2n 2−1Sn －1.又S 1＝a 1＝12，故可得S 2＝23，S 3＝34.猜想：Sn ＝n n+1(n ∈N *)．(2)证明 ①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即Sk ＝k k+1.当n ＝k ＋1时，Sk ＋1＝(k+1)2(k+1)2−1Sk＝(k+1)2(k+1)2−1·k k+1＝k+1k+2＝k+1(k+1)+1，故当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②知，结论对一切n ∈N *均成立．【解析】19.【答案】证明 ①当n ＝3时，f (x )＝12×3×0＝0，凸三边形没有对角线，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥3)时命题成立，即凸k 边形的对角线条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥3)，当k ＝k ＋1时，k ＋1边形是在k 边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 变形的一边A 1Ak ， 增加的对角线条数为(k －3)＋2＝k －1，∴f (k ＋1)＝12×k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)(k －2)＝12×(k ＋1)[(k ＋1)－3]， 综上当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥3命题成立．【解析】20.【答案】解 (1)∵a 1＝2，an ＋1＝a n 3a n +1， ∴a 2＝a 13a1+1＝27； a 3＝a 23a2+1＝273×27+1＝213； a 4＝2133×213+1＝219.(2)由(1)可猜想：an ＝26n−5. 证明：①当n ＝1时，a 1＝2，等式成立；②假设n ＝k 时等式成立，ak ＝26k−5， 则当n ＝k ＋1时，ak ＋1＝a k 3a k +1＝26k−53×26k−5+1 ＝26+6k−5＝26(k+1)−5，即n ＝k ＋1时，等式也成立． 综上所述，对任意n ∈N *，an ＝26n−5.【解析】21.【答案】(1)解 ∵an ＝3－2Sn ，∴a 1＝3－2S 1＝3－2a 1，解得a 1＝1，a 2＝13，a 3＝19，a 4＝127，…，猜想an ＝(13)n －1.(2)证明 大前提：数列{an }，若a n+1a n ＝q ，q 是非零常数，则{an }是等比数列，小前提：由an ＝(13)n －1， 又a n+1a n ＝13， 结论：{an }是等比数列．【解析】22.【答案】解 (1)由题意有f (1)＝3，f (2)＝f (1)＋3＋3×2＝12， f (3)＝f (2)＋3＋3×4＝27，f (4)＝f (3)＋3＋3×6＝48，f (5)＝f (4)＋3＋3×8＝75. (2)由题意及(1)知，f (n ＋1)＝f (n )＋3＋3×2n ＝f (n )＋6n ＋3, 即f (n ＋1)－f (n )＝6n ＋3，所以f (2)－f (1)＝6×1＋3， f (3)－f (2)＝6×2＋3， f (4)－f (3)＝6×3＋3， …，f (n )－f (n －1)＝6(n －1)＋3,将上面(n －1)个式子相加，得：f (n )－f (1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋3(n －1)＝6×(1+n−1)(n−1)2＋3(n －1)＝3n 2－3， 又f (1)＝3，所以f (n )＝3n 2.(3)∵f (n )＝3n 2，∴113f (n )+2n+1＝1n 2+2n+1＝1(n+1)2<1n(n+1)＝1n －1n+1. 当n ＝1时，113f (1)+3＝14<2536，原不等式成立．当n ＝2时，113f (1)+3＋113f (2)+5＝14＋19＝1336<2536，原不等式成立．当n ≥3时，113f (1)+3＋113f (2)+5＋113f (3)+7＋…＋113f (n )+2n+1<113×3+3＋113×12+5＋(13－14)＋(14－15)＋…＋(1n －1n+1) ＝14＋19＋13－1n+1)＝2536－1n+1)<2536，原不等式成立．综上所述，对于任意n ∈N *，原不等式成立．。
高中数学 第2章 推理与证明综合测试 新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题
本章综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．)1．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3b B.3a <3bC.3a ＝3b ，且3a <3bD.3a ＝3b ，或3a <3b 答案：D2．“金导电、银导电、铜导电、铁导电；所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A ．完全归纳推理 B ．归纳推理 C ．类比推理 D ．演绎推理 解析：由特殊到一般的推理． 答案：B3．若x ，y >0且x ＋4y ＝4，令z ＝xy ，则( ) A ．z 的最小值为1 B ．z 的最大值为1 C ．z 的最小值为1625D ．z 的最大值为1625答案：B4．若方程mx 2－mx ＋1＝0没有实根，则m 的取值X 围是( ) A ．(0,4) B ．(0,4] C ．[0,4) D ．[0,4] 答案：C5．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49 解析：75＝16 807,76＝117 649,77＝823 543， 78＝5 764 801，…结合题中所给信息可以发现7n的末两位数n ∈Z 时呈周期性变化，周期T ＝4 ∵2 011＝502×4＋3 ∴72 011与73末两位数相同均为43.答案：B6．n 个连续自然数按规律排成下表根据规律，从2002到2004，箭头的方向依次为( ) A ．↓→ B ．→↑ C ．↑→ D．→↓解析：观察特例的规律知位置相同的数字都是以4为公差的等差数列．由此知从2 002到2 004为↑→，故选C.答案：C7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1) C.22n－1D.22n －1解析：利用S n ＝n 2·a n (n ≥2)且a 1＝1， 求得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，代入A 、B 、C 、D 四选项，排除A 、C 、D ，选B. 答案：B8．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：由已知|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80. 故选B.答案：B9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题： (1)若α∥β，则l ⊥m ；(2)若l ⊥m ，则α∥β；(3)若α⊥β，则l ∥m ；(4)若l ∥m ，则α⊥β； 其中正确命题是( ) A ．(1)(2) B ．(3)(4) C ．(1)(4) D ．(2)(3) 答案：C10．将正整数排成下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …其中第i 行，第j 列记为A ji ，则数表中的2 008应记为( ) A ．A 2044 B ．A 2144 C ．A 7145 D ．A 7245 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分．)11．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式．．．．．为________． 解析：依据题目特征，不难发现：每个等式左边各加数的底数之和，恰好为右边的底数，注意到，左边数的指数均是3，右边数的指数均是2，从而，第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝21212．若{b n }是等比数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：(b pb n)m·(b m b p)n·(b n b m)p＝1.类比上述性质，相应地，若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有正确的结论：________.解析：由题中等式知，左边＝(qp －n )m·(qm －p )n·(qn －m )p＝qmp －mn·qmn －pn·qnp －mp＝q 0＝1，类似可构造：m (a p －a n )＋n (a m －a p )＋p (a n －a m )＝m (p －n )d ＋n (m －p )d ＋p (n －m )d ＝0.答案：m (a p －a n )＋n (a m －a p )＋p (a n －a m )＝013．把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以构成正三角形(如图1)，在这样的三角形数列中，第7个三角形点数为__________，第n个为__________．图1答案：28 n(n＋1)214．挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割(如图2)，利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：图2a1b2＋a2b2＋a3b3＋…＋a n b n＝a1(b1－b2)＋L2(b2－b3)＋L3(b3－b4)＋…＋L n－1(b n－1－b n)＋L n b n，则其中：L3＝________；L n＝________.解析：(1)由图(b)知，L2＝a1＋a2，L3＝a1＋a2＋a3，…，所以L n＝a1＋a2＋…＋a n.答案：a1＋a2＋a3a1＋a2＋a3＋…＋a n.三、解答题(本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(8分)已知a，b，c为不全相等的实数，求证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.证明：∵a，b，c∈R∴a2＋b2≥2abb2＋c2≥2bca2＋c2≥2ac∴2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ac即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac当且仅当a＝b＝c时，取“＝”∵a，b，c不全相等，∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.16．(8分)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c 且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明：由A ，B ，C 成等差数列得A ＋C ＝2B ，又由于A ＋B ＋C ＝π，得B ＝π3，由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac 所以ac ＝a 2＋c 2－ac ，即(a －c )2＝0，从而知a ＝c ，又B ＝π3，∴△ABC 为等边三角形． 17．(10分)观察数表求：(1)这个表的第i 行里的最后一个数字是多少？(2)若第i 行各数之和为M ，前i ＋1行的数的个数为N ，证明：当i >2时，M >N . 解：(1)第i 行的第1个数为i ，共有2i －1个数，设这些数从左到右构成数列{a n }，则a 1＝i ，d ＝1，所以a 2i －1＝a 1＋[(2i －1)－1]d ＝3i －2. (2)由(1)知第i 行各数之和为M ＝(2i －1)(1＋2i ＋1)2＝(i ＋1)2.N ＝1＋3＋5＋…＋(2i ＋1)＝(i ＋1)(1＋2i ＋1)2＝(i ＋1)2.∵M －N ＝(2i －1)2－(i ＋1)2＝3i (i －2)． 又∵i >2 ∴M －N >0. ∴M >N18．(12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1) (1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实数根． 证明：(1)任取－1<x 1<x 2，则19．(12分)对于直线l ：y ＝kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(反证法)假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧ ka ＝－1y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2y 1＋y 22＝a x 1＋x 22①②③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 2＝3x 2－1⇒(3－k 2)x 2－2kx －2＝0④由②③有a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2⑤ 由④知x 1＋x 2＝2k3－k2代入⑤整理得： ak ＝3与①矛盾．故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称．20．(14分)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n 对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明：(1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1,2,3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，① 当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3 ＝6a n .②由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4， 所以a 2＝a 3－d ′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3， 所以a 1＝a 3－2d ′， 所以数列{a n }是等差数列．。
(必考题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④2．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（ ）A ．122 B．12- C1 D．13．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组4．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 5．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 6．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人B ．猜想数列111,,122334⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质7．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了8．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，,,A B C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或乙。
人教版数学高二 数学A版选修1-2 第二章《推理与证明》教辅资料
满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。
其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析 用综合法可得应选（B ） 例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， 又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。
∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1．如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。
（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个二、填空题4． 已知 5,2==b a ，向量b a 与的 夹角为0120，则a b a ．)2(-=5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足n，n证明：如图，连接BD ，∵在△ABC 中，BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即ab +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立 令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解令t = -4得，2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92．2直接证明2．2．1 综合法一、选择题（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填（B ）。
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1． “三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是( ) A ．推理完全正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确[答案] D[解析] 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．2．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 3．已知整数的数列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7)[答案] D[解析] 观察可知横坐标与纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，…，依此类推和为n ＋1的数对有n 个，和相同的数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n (n ＋1)2＝60⇒n (n ＋1)＝120，n ∈N ，n＝10时，n (n ＋1)2＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，所以第60个数对是(5,7)．4．平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A．43a B．63aC．54a D．64a[答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a类比到正四面体一个面上的高63a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )A．①B．②C．③D．①②[答案] B[解析] 由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.6、以下推理过程省略的大前提为：________.∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.[答案] 若a≥b，则a＋c≥b＋c[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.7．以下推理中，错误的序号为________．①∵ab＝ac，∴b＝c；②∵a≥b，b>c，∴a>c；③∵75不能被2整除，∴75是奇数；④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.[答案] ①[解析] 当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．8．“∵α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β”，在上述推理过程中，省略的命题为________．[答案] 如果两个平面相交，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面9．下面给出判断函数f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1的奇偶性的解题过程： 解：由于x ∈R ，且f (x )f (－x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1·1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1 ＝(1＋x 2)－(x －1)2(1＋x 2)－(x ＋1)2＝2x －2x＝－1. ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． 试用三段论加以分析．[解析] 判断奇偶性的大前提“若x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若x ∈R ，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．10．先解答下题，然后分析说明你的解题过程符合演绎推理规则．设m 为实数，求证：方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0没有实数根．[解析] 已知方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0的判别式Δ＝(－2m )2－4(m 2＋1)＝－4<0，所以方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0没有实数根．说明：此推理过程用三段论表述为：大前提：如果一元二次方程的判别式Δ<0，那么这个方程没有实数根； 小前提：一元二次方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0的判别式Δ<0； 结论：一元二次方程x 2－2mx ＋m 2＋1＝0没有实数根． 解题过程就是验证小前提成立后，得出结论．11．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝(19－2n )(a n ＋1＋a 19－n )2＝0，∴等式成立．同理可得n >19－n 时的情形．由此可知：等差数列{a n }之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，类似地，在等比数列{b n }中，也有性质：b n ＋1·b 17－n ＝b 29＝1，因而得到答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，故在等比数列{b n }中，由b 9＝1，可知应有“积”的性质b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n＜17，n ∈N *)成立. (1)证明如下：当n ＜8时，等式(1)为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b n b n ＋1…b 17－n ， 即：b n ＋1·b n ＋2…b 17－n ＝1.(2) ∵b 9＝1，∴b k ＋1·b 17－k ＝b 29＝1. ∴b n ＋1b n ＋2…b 17－n ＝b 17－2n9＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；当n ＝8时，(1)式即：b 9＝1显然成立； 当8＜n ＜17时，(1)式即：b 1b 2…b 17－n ·b 18－n ·…b n ＝b 1b 2…b 17－n ，即：b 18－n ·b 19－n …b n ＝1(3) ∵b 9＝1，∴b 18－k ·b k ＝b 29＝1， ∴b 18－n b 19－n ·…·b n ＝b 2n －179＝1，∴(3)式成立，即(1)式成立．综上可知，当等比数列{b n }满足b 9＝1时，有：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立．12．我们知道：12＝ 1， 22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，左右两边分别相加，得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解析] 我们记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ，S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)．已知13＝ 1， 23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1.将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n .由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1(n )3＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。