2020-2021学年上海市浦东新区实验学校高二下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高二下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年华东师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（共10小题）.1．从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）2．若a n 是（2+x ）n（n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，则lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2na n)= ． 3．二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第 项．4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ．5．记∑ 5i=1a i =a 1+a 2+⋯+a 5，若a 1＝4.47，a 2＝4.51，a 3＝4.61，a 4＝4.65，a 5＝4.76．则∑ 5i=1a i =23．另有正整数A i （1≤i ≤5）的和仍是23，若以A i 来估计a i ，则“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |的最小值为 ．6．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG →=OE →+OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 ．7．设函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，则当x ≤﹣1时，则f [f （x ）]表达式的展开式中含x 2项的系数是 ．8．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则ab＞13的概率为 ．9．从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的系数，则使得f(1)2∈Z 的概率为 ．10．已知当|x |＜12时，有11+2x =1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，根据以上信息，若对任意|x |＜12都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+……+a n x n +……，则a 11＝ ．二.选择题11．设P 1、P 2、P 3、P 4为空间中的四个不同点，则“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”是“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件12．设α﹣l ﹣β是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂直，则（ ）A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行13．函数f ：{1，2，3}→{1，2，3}满足f （f （x ））＝f （x ），则这样的函数个数共有（ ） A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个14．如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）A ．2√2B ．√10C ．√11D ．√12三、解答题15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan√22．（1）求PA的长度；（2）求异面直线AE与PD所成角的大小．（结果用反三角函数表示）16．电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100xx+11%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1=√3，E是C1D1的中点，F 是CE的中点．（1）求证：EA∥平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面BCE；（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．18．正四棱锥P﹣ABCD的底面正方形边长是3，O是在底面上的射影，PO＝6，Q是AC 上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL．（1）在图中做出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．参考答案一.填空题1．从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 240 种排法（用数字作答）【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a “全排列，有C 53A 44种结果． 解：由题意知本题是一个分步计数问题， 当选取4个字母时从其它5个字母中选3个， 再与“a “全排列，C 53A 44＝240， 即含有“a ”的共有240种． 故答案为240．2．若a n 是（2+x ）n（n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，则lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2na n )=8 ．【分析】由题意可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2，即a n =C n 2⋅2n−2．再把要求的式子 lim n→∞(22a2+23a 3+⋯+2n a n ) 化为 lim n→∞4⋅(11+1C 32+⋯+1C n 2)，即lim n→∞8⋅(1−1n )，从而得到结果． 解：∵a n 是（2+x ）n （n ∈N *，n ≥2，x ∈R ）展开式中x 2项的系数，又 （2+x ）n 的展开式的通项公式为T r +1=C n r •2n ﹣r •x r ，令r ＝2，可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2． ∴a n =C n 2⋅2n−2． ∴lim n→∞(22a 2+23a 3+⋯+2n a n )=lim n→∞(221+23C n 2⋅2+⋯+2nC n 2⋅2n−2)=lim n→∞(221+22C 32+⋯+22C n 2)=lim n→∞4⋅(11+1C 32+⋯+1C n 2)=lim n→∞4⋅(11+22×3+23×4⋯+2n(n−1))=lim n→∞8⋅(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n ) =lim n→∞8⋅(1−1n)=8，故答案为：8．3．二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第 9 项．【分析】根据二项式系数的性质可得，（x −1x）15展开式中，二项式系数最大是C 157=C 158，由此可得结论．解：根据二项式系数的性质可得，（x −1x）15展开式中，二项式系数最大是C 157=C 158，是第8项或第9项，又（x −1x ）15展开式中的奇数项为“+”，偶数项符号为“﹣”，∴二项式（x −1x）15的展开式中系数最大的项是第9项． 故答案为：9．4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 1−π4 ．【分析】求出有信号的区域面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论． 解：扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积之和为14×π×12×2=π2，矩形的面积S＝2，则该地点无信号的面积S ＝2−π2，则对应的概率P =2−π22=1−π4， 故答案为：1−π45．记∑ 5i=1a i =a 1+a 2+⋯+a 5，若a 1＝4.47，a 2＝4.51，a 3＝4.61，a 4＝4.65，a 5＝4.76．则∑ 5i=1a i =23．另有正整数A i （1≤i ≤5）的和仍是23，若以A i 来估计a i ，则“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |的最小值为 1.96 ．【分析】先将∑ 5i=1a i =23分解为a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝23，以A i 来估计a i ，根据绝对值的性质和物理上处理误差的原理，a 1＝a 2＝4，a 3＝a 4＝a 5＝5时，∑ 5i=1|A i −a i |取到最小值，代入题中的表达式即可求出这个最小值． 解：根据题意，∑ 5i=1a i =a 1+a 2+a 3+a 4+a5=23当“误差和”∑ 5i=1|A i −a i |取最小值时，a 1＝a 2＝4，a 3＝a 4＝a 5＝5，此时：∑ 5i=1|A i −a i |=|4﹣4.47|+|4﹣4.51|+|5﹣4.61|+|5﹣4.65|+|5﹣4.76|＝1.96， 故答案为：1.966．在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取一点记为F ，设G 为满足向量OG →=OE →+OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为34．【分析】本题主要考查了古典概型的综合运用，属中档题．关键是列举出所有G 点的个数，及落在平行四边形ABCD 不含边界）的G 点的个数，再将其代入古典概型计算公式进行求解．解：由题意知，G 点的位置受到E 、F 点取法不同的限制，令（E ，F ）表示E 、F 的一种取法，则（A ，B ），（A ，Q ），（A ，N ），（A ，D ） （P ，B ），（P ，Q ），（P ，N ），（P ，D ） （M ，B ），（M ，Q ），（M ，N ），（M ，D ）（C ，B ），（C ，Q ），（C ，N ），（C ，D ）共有16种取法，而只有（P ，Q ），（P ，N ），（M ，Q ），（M ，N ）落在平行四边形内，故符合要求的G 的只有4个，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率P =16−416=34． 故答案为：347．设函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，则当x ≤﹣1时，则f [f （x ）]表达式的展开式中含x 2项的系数是 60 ．【分析】根据分段函数的解析式先求出f [f （x ）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r +1项，整理成最简形式，令x 的指数为2求得r ，再代入系数求出结果解：由函数f （x ）={x 6，x ≥1−2x −1，x ≤−1，当x ≤﹣1时，f （x ）＝﹣2x ﹣1， 此时f （x ）min ＝f （﹣1）＝2﹣1＝1， ∴f [f （x ）]＝（﹣2x ﹣1）6＝（2x +1）6， ∴T r +1＝C 6r 2r x r ，当r ＝2时，系数为C 62×22＝60， 故答案为：608．由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则ab＞13的概率为16672000 ．【分析】P （ab ＞13）＝1﹣P （ab ≤13），由ab ≤13，得a ≤13b ，求出P （ab ≤13）=3332000，由此能求出ab＞13的概率．解：由1，2，3，…，1000这个1000正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ， 取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ， P （ab＞13）＝1﹣P （ab≤13），∵a b≤13，∴a ≤13b ，∴P （a b≤13）=3332000，则a b＞13的概率P （a b＞13）＝1−3332000=16672000． 故答案为：16672000．9．从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数作为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的系数，则使得f(1)2∈Z 的概率为4181．【分析】由题意可得 f （1）＝a +b +c 是偶数，分①a ，b ，c 里面三个都是偶数和②a ，b ，c 里面一个偶数、两个奇数，两种情况，分别求得满足条件的（a ，b ，c ）的个数，相加即得所求基本事件的个数，从而可求出使得f(1)2∈Z 的概率．解：由题意可得 f （1）＝a +b +c 是偶数， 若a ，b ，c 里面三个都是偶数，则（a ，b ，c ）（a ≠0）共有A 53−A 42=48个，若a ，b ，c 里面一个偶数，两个奇数，则（a ，b ，c ）（a ≠0）共有C 52C 51A 33−A 52=280个，∴使得f(1)2∈Z 的事件共有48+280＝328个，从0，1，2，…，9这10个整数中任意取3个不同的数的事件共A 103−A 92=648个，∴使得f(1)2∈Z 的概率为P =328648=4181， 故答案为：4181．10．已知当|x |＜12时，有11+2x =1−2x +4x 2−⋯+(−2x)n +⋯，根据以上信息，若对任意|x |＜12都有x(1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+……+a n x n +……，则a 11＝ 1102 ．【分析】推导出|x |＜12，11−x =1+（x 3）1+（x 3）2+（x 3）3+…+（x 3）n+…，求出|x |＜12，都有x(1−x )(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n +⋯的泰勒展开式中含x 11的项是T＝（﹣2x ）10×1×x +（﹣2x ）6×x ×x 3+（﹣2x ）4×x ×x 6+（﹣2x ）1×x ×x 9＝1102x 11．由此能求出a 11． 解：|x |＜12时，有11+2x=1﹣2x +4x 2﹣…+（﹣2x ）n +…|x |＜12，11−x 3=1+（x 3）1+（x 3）2+（x 3）3+…+（x 3）n +…，∴|x |＜12，都有x (1−x 3)(1+2x)=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a nx n +⋯的泰勒展开式中含x 11的项是：T ＝（﹣2x ）10×1×x +（﹣2x ）6×x ×x 3+（﹣2x ）4×x ×x 6+（﹣2x ）1×x ×x 9＝1102x 11． 解得a 11＝1102． 故答案为：1102． 二.选择题11．设P 1、P 2、P 3、P 4为空间中的四个不同点，则“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”是“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【分析】“P 1、P 2、P 3、P 4中有三点在同一条直线上”⇒“P 1、P 2、P 3、P 4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，由此能求出结果．解：设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点，则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”⇒“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”，“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”知“P1、P2、P3、P4中可以任意三点不在同一条直线上”，∴“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面上”的充分非必要条件．故选：A．12．设α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，则（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【分析】利用空间中线线间的位置关系求解．解：∵α﹣l﹣β是直二面角，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a、b与l均不垂直，∴当a∥l，且b∥l时，由平行公理得a∥b，即a，b可能平行，故A与D错误；当a，b垂直时，若二面角是直二面角，则a⊥l，与已知矛盾，∴a与b不可能垂直，也有可能平行．故选：C．13．函数f：{1，2，3}→{1，2，3}满足f（f（x））＝f（x），则这样的函数个数共有（）A．1个B．4个C．8个D．10个【分析】将f（1）、f（2）、f（3）取不同的值进行讨论，得出结论．解：1、f（1）＝f（2）＝f（3）＝1或2或3，共3个．2、f（1）＝1；f（2）＝f（3）＝2或3，共2个．f（2）＝2；f（1）＝f（3）＝1或3，共2个．f（3）＝3；f（1）＝f（2）＝1或2，共2个．3、f（1）＝1；f（2）＝2；f（3）＝3；1个所以这样的函数共有10个．故选D．14．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2√2B．√10C．√11D．√12【分析】由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得到△PEQ周长的最小值．解：由题意得：△PEQ周长取最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，连结MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点为M时，则MN是△PEQ周长的最小值，EM＝2，EN=√2，∠MEN＝135°，∴MN=4+2−2×2×√2×(−2)=√10．2∴△PEQ周长的最小值为√10．故选：B．三、解答题15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面正方形ABCD的边长为2，PA⊥底面ABCD，E为BC的．中点，PC与平面PAD所成的角为arctan√22（1）求PA的长度；（2）求异面直线AE 与PD 所成角的大小．（结果用反三角函数表示）【分析】（1）推导出CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，从而CD ⊥平面PAD ，进而是∠CPD 是PC与平面PAD 所成的角，由PC 与平面PAD 所成的角为arctan √22．得tan ∠CPD =CD PD=2PD =√22，求出PD ＝2√2，由此能求出PA ． （2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与PD 所成角的大小．解：（1）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面正方形ABCD 的边长为2，PA ⊥底面ABCD ，∴CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴∠CPD 是PC 与平面PAD 所成的角，∵PC 与平面PAD 所成的角为arctan √22． ∴tan ∠CPD =CD PD =2PD =√22，解得PD ＝2√2， ∴PA =√PD 2−AD 2=√(2√2)2−22=2．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），E （2，1，0），P （0，0，2），D （0，2，0），AE →=（2，1，0），PD →=（0，2，﹣2），设异面直线AE 与PD 所成角为θ，则cos θ=|AE →⋅PD →||AE →|⋅|PD →|=√5⋅√8=√1010， ∴异面直线AE 与PD 所成角的大小θ＝arccos √1010．16．电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100xx+11%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？【分析】（1）求出后三组数据的频率之和，利用频率乘以样本容量得频数求得“足球迷”的人数和“铁杆足球迷”人数；（2）设票价为100+10x元，求出一般“足球迷”和“铁杆足球迷”中去现场看球的人数，根据现场观看足球比赛的人数不超过10万人，列出不等式．通过解不等式求得正整数x 的值，可得答案．解：（1）样本中“足球迷”出现的频率＝（0.16+0.10+0.06）×0.5＝16%，“足球迷”的人数＝100×16%＝16（万），“铁杆足球迷”＝100×（0.06×0.5）＝3（万）∴16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人；（2）设票价为100+10x元，则一般“足球迷”中约有13（1﹣10x%）万人，“铁杆足球迷”约有3(1−100xx+11%)万人去现场看球，令13(1−10x%)+3(1−100xx+11%)=16−13x10−3xx+11≤10，化简得：13x2+113x﹣660≥0解得：x≤−16513，或x≥4，由x∈N，∴x≥4，即平均票价至少定为100+40＝140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人．17．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DA＝DC＝2，DD1=√3，E是C1D1的中点，F 是CE的中点．（1）求证：EA∥平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面BCE；（3）求二面角D﹣EB﹣C的正切值．【分析】（1）连接AC交BD于O点，连接OF，欲证EA∥平面BDF，在平面BDF内寻找一直线与直线EA平行即可，而OF是△ACE的中位线，OF∥AE，又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，满足定理条件；（2）欲证平面BDF⊥平面BCE，找线面垂直，根据线面垂直的判定定理可知DF⊥平面BCE，又DF⊂平面BDF，从而得到结论；（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE 中的射影为FG，则∠DGF即为二面角D﹣EB﹣C的平面角，在三角形DGF中求出此角的正切值即可．解：（1）连接AC交BD于O点，连接OF，可得OF是△ACE的中位线，OF∥AE，又AE⊄平面BDF，OF⊂平面BDF，所以EA∥平面BDF；（2）计算可得DE＝DC＝2，又F是CE的中点，所以DF⊥CE又BC⊥平面CDD1C1，所以DF⊥BC，又BC∩CE＝C，所以DF⊥平面BCE又DF⊂平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE（理）；（3）由（2）知DF⊥平面BCE，过F作FG⊥BE于G点，连接DG，则DG在平面BCE 中的射影为FG，从而DG⊥BE，所以∠DGF即为二面角D﹣EB﹣C的平面角，设其大小为θ，计算得DF=√3，FG=√22，tanθ=DFFG=√618．正四棱锥P﹣ABCD的底面正方形边长是3，O是在底面上的射影，PO＝6，Q是AC 上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL．（1）在图中做出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．【分析】（1）Q是AC上的一点，过Q作EL∥BD，交AB于点E，交AD于点L，过Q作QG∥PA，交PC于点G，过点E作EF∥PA，交PB于F，过点L作HL∥PA，交PD于点H，连结FG，GH，FH，从而得到过Q且与PA，BD都平行的截面EFGHL．（2）由PA∥截面EFGHL，BD∥截面EFGHL，得PA∥EF，PA∥HL，PA∥GQ，BD ∥EL，BD∥FH，推导出PO⊥平面ABCD，BD⊥AC，PO⊥BD，从而BD⊥平面PAC，BD⊥PA，EF⊥EL，由FH∥BD，P﹣ABCD是正四棱锥，得到截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，△AEL是等腰直角三角形，由此能求出截面EFGHL的面积最大值．解：（1）由题可知，Q是AC上的一点，过Q且与PA，BD都平行的截面为五边形EFGHL，过Q作EL∥BD，交AB于点E，交AD于点L，过Q作QG∥PA，交PC于点G，过点E作EF∥PA，交PB于F，过点L作HL∥PA，交PD于点H，连结FG，GH，FH，∴EF∥PA，HL∥PA，GQ∥PA，∴EF∥HL∥GQ，∴E，F，G，H，L共面，Q∈平面EFGHL，EL∥BD，EL⊂平面EFGHL，∴BD∥平面EFGHL，同理，PA∥平面EFGHL，∴过Q且与PA，BD都平行的截面EFGHL如右图．（2）由题意可知，PA∥截面EFGHL，BD∥截面EFGHL，∴PA∥EF，PA∥HL，PA∥GQ，BD∥EL，BD∥FH，∵O是P在底面上的射影，PO＝6，∴PO⊥平面ABCD，BD⊥AC，∴PO⊥BD，且AC∩BD＝O，∴BD⊥平面PAC，则BD⊥PA，∴EF⊥EL，∵FH∥BD，P﹣ABCD是正四棱锥，∴PH＝PF，∴△PFG≌△PHG，∴GF＝GH，∴截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，∵EL∥BD，∴△AEL是等腰直角三角形，设EQ＝x，则QL＝x，∴EFPA =BEBA=OQOA=3√22−x3√22，∴EF＝（1−√23x）PA，同理，QG＝（1−√26x）PA，∵PA=√PO2+OA2=9√22，设截面EFGHL面积为S，则S＝（EF+QG）EQ＝（2−√22x）•9√22x，∴S=−92x2+9√2x=−92（x−√2）2+9，当且仅当x=√2时，S有最大值为9，∴截面EFGHL的面积最大值为9．。
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期末数学试卷
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数y= √ln(2021−x)的定义域为___ ．2.（填空题，5分）已知集合A={x|y=x12}，B={x|e x-2＜1}，则A∩B=___ ．3.（填空题，5分）已知函数f（x）=（a2-1）x，若函数在（-∞，+∞）严格增函数，则实数a 的取值范围是___ ．4.（填空题，5分）函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为___ ．5.（填空题，5分）对于任意实数a，函数f(x)=a x+3+12（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是___ ．6.（填空题，5分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BQD=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为___ cm．7.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2（x≤0），则y=f（x）的反函数为___ ．8.（填空题，5分）已知a、b都是正数，且（a+1）（b+2）=16，则a+b的最小值为___ ．9.（填空题，5分）已知log35= 1a，5b=7，则用a、b的代数式表示log63105=___ ．10.（填空题，5分）当|lga|=|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是___ ．11.（填空题，5分）如图所示，已知函数f（x）=log24x图象上的两点A、B和函数f（x）=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则2qp的值为___ ．12.（填空题，5分）已知函数f(x)={2−|x|，x≤2(x−2)2，x＞2，函数g（x）=b-f（2-x），如果y=f（x）-g（x）恰好有两个零点，则实数b的取值范围是___ ．13.（单选题，5分）函数f（x）= lg|x|x2的大致图象为（）A.B.C.D.14.（单选题，5分）若函数f(x)=x2+a−1e x是偶函数，则实数a的值是（）A.-1B.0C.1D.不唯一15.（单选题，5分）已知cos170°=m，则tan10°的值为（）A. √1−m2mB. −√1−m 2mC. √1−m 2D. √1−m 216.（单选题，5分）已知n ＜m ，函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n 22−|x−1|−3，n ＜x ≤m的值域是[-1，1]，有下列结论：① 当n=0时， m ∈(12，2] ； ② 当 n ∈[0，12) 时，m∈（n ，2]；③ 当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]； ④ 当 n =12 时， m ∈(12，2] ．其中正确结论的序号是（ ）A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ③ ④17.（问答题，12分）（1）已知 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) ，求 f (π3) 的值； （2）已知 tanθ=12 ，求sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ的值．18.（问答题，12分）设函数 f (x )=a•e x −11+e x (a ∈R ) 是R 上的奇函数．（1）求a 的值，并求函数f （x ）的反函数f -1（x ）解析式；（2）若k 为正实数，解关于x 的不等式 f −1(x )＞ln 1+x k．19.（问答题，14分）某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为 S ={−14t 2+6t +46，0＜t ≤1383−log 3(t −5)，13＜t ≤40． （1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？20.（问答题，16分）已知幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）求y=log22f(x)−log12 [2f（x）]，x∈[12，2]的最值，并求出取得最值时的x取值．21.（问答题，16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），记g（x）=f（x）-f（-x）．（1）解不等式：f（2x）-2f（x）≤3；（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，求t的取值范围；（3）记H（x）=f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，求a、b的值．2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，5分）函数y= √ln(2021−x)的定义域为___ ．【正确答案】：[1]（-∞，2020]【解析】：根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】：解：由题意得：2021-x≥1，解得：x≤2020，故答案为：（-∞，2020]．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数以及二次根式的性质，是一道基础题．2.（填空题，5分）已知集合A={x|y=x12}，B={x|e x-2＜1}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1][0，2）【解析】：求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|y=x 12}={x|x≥0}，B={x|e x-2＜1}={x|x＜2}，∴A∩B=[0，2）．故答案为：[0，2）．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（填空题，5分）已知函数f（x）=（a2-1）x，若函数在（-∞，+∞）严格增函数，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] (−∞，−√2)∪(√2，+∞)【解析】：根据指数函数的单调性即可得出：a2-1＞1，然后解出a的范围即可．【解答】：解：∵f（x）在（-∞，+∞）严格增函数，∴a2-1＞1，解得a＜−√2或a＞√2，∴a的取值范围是(−∞，−√2)∪(√2，+∞)．故答案为：(−∞，−√2)∪(√2，+∞)．【点评】：本题考查了指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．4.（填空题，5分）函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为___ ．【正确答案】：[1] (−∞，12]【解析】：利用复合函数的单调性，转化求解即可．【解答】：解：因为y= (12)x是减函数，y=x2-x-2在(−∞，12]是减函数，所以函数f(x)=(12)x2−x−2的单调递增区间为：(−∞，12]．故答案为：(−∞，12]．【点评】：本题考查复合函数的单调性的求法，是基础题．5.（填空题，5分）对于任意实数a，函数f(x)=a x+3+12（a＞0且a≠1）的图象经过一个定点，则该定点的坐标是___ ．【正确答案】：[1] (−3，32)【解析】：直接利用指数的性质a0=1求解即可．【解答】：解：因为当x=-3式时，f（x）= a0+12=32，所以函数f（x）必过定点(−3，32)．故答案为：(−3，32)．【点评】：本题考查了指数函数的性质，解题的关键是掌握指数的性质a0=1，属于基础题．6.（填空题，5分）如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B之间的距离为16cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BQD=30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为___ cm．【正确答案】：[1]70【解析】：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，推得四边形AEFB为矩形，可得EF=AB，再由解直角三角形可得CE=DF，即可得到所求最大值．【解答】：解：连接AB，CD，过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，因为AB || EF，AE || BF，所以四边形AEFB为平行四边形，又因为∠AEF=90°，可得四边形AEFB为矩形，所以EF=AB=16，因为AE || PC，可得∠PCA=∠CAE=30°，×54=27，所以CE=ACsin30°= 12同理可得DF=27，所以当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为：CD=CE+EF+FD=27+16+27=70（cm），故答案为：70．【点评】：本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，考查运算能力和数形结合思想，属于基础题．7.（填空题，5分）已知函数f（x）=x2（x≤0），则y=f（x）的反函数为___ ．【正确答案】：[1] f−1(x)=−√x(x≥0)【解析】：由y=f （x ）反解出x ，然后求出原函数的值域即为反函数的定义域，再得到y=f （x ）的反函数．【解答】：解：因为y=x 2（x≤0），所以x=- √y ，又因原函数的值域是{y|y≥0}，所以已知函数f （x ）=x 2（x≤0），则y=f （x ）的反函数为 f −1(x )=−√x (x ≥0) ．故答案为： f −1(x )=−√x (x ≥0) ．【点评】：本题主要考查反函数的求解，解题中一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域，同时考查了学生的计算能力，属于基础题．8.（填空题，5分）已知a 、b 都是正数，且（a+1）（b+2）=16，则a+b 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]5【解析】：直接利用均值不等式求解【解答】：解：∵（a+1）（b+2）=16，∴（a+1）+（b+2） ≥2√( a +1)(b +2) =2× √16 =8，（当且仅当a+1=b+2，即a=3，b=2时取等号）∴a+b≥5，则a+b 的最小值为5，故答案为：5．【点评】：本题考查了均值不等式的应用，属于基础题．9.（填空题，5分）已知log 35= 1a ，5b =7，则用a 、b 的代数式表示log 63105=___ ．【正确答案】：[1] b+a+1b+2a【解析】：由换底公式可得出 log 63105=log 3(5×7×3)log 3(7×32) ，然后进行对数的运算即可．【解答】：解：∵ log 35=1a ，5b =7 ，∴ log 63105=log 3(5×7×3)log 3(7×32) = log 35+log 35b +1log 35b +2 = 1a +b a +1b a +2 = b+a+1b+2a ． 故答案为： b+a+1b+2a ．【点评】：本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．10.（填空题，5分）当|lga|=|lgb|，a＜b时，则a+3b的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（4，+∞）【解析】：利用对数函数的性质，判断a，b是大小，得到关系式，然后求解a+2b的取值范围．【解答】：解：|lga|=|lgb|，a＜b时，|lga|=|lgb|，lga+lgb=0=lg（ab），∴ab=1，a，b＞0，所以a+3b=a+ 3 a ，令f（a）=a+ 3a，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+ 31=4，即a+3b的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点评】：本题考查了函数与方程的应用、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.（填空题，5分）如图所示，已知函数f（x）=log24x图象上的两点A、B和函数f（x）=log2x上的点C，线段AC平行于y轴，三角形ABC为正三角形时，设点B的坐标为（p，q），则2qp的值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：直接利用点B在函数f（x）上，得到p和q的关系式，再利用对数式与指数式的互化即可得到答案．【解答】：解：根据题意，因为点B（p，q）在函数f（x）=log24x上，又f（x）=2+log2x，所以2+log2p=q，所以p=2q-2，即4p=2q ，所以 2q p 的值为4．故答案为：4．【点评】：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，涉及了指数与对数的运算，解题的关键是将点B 代入f （x ）得到p 和q 的关系，属于基础题．12.（填空题，5分）已知函数 f (x )={2−|x |，x ≤2(x −2)2，x ＞2，函数g （x ）=b-f （2-x ），如果y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，则实数b 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] {74}∪(2，+∞)【解析】：根据f （x ）的解析式，先求出f （2-x ）的解析式，进而求得y=f （x ）+f （2-x ）的解析式，然后将问题转化为函数y=f （x ）+f （2-x ）与函数y=b 的图象恰有两个交点，作出两个函数的图象，根据图象分析求解即可．【解答】：解：函数 f (x )={2−|x |，x ≤2(x −2)2，x ＞2， 则函数 f (2−x )={2−|2−x |，x ≥0x 2，x ＜0 ， 故函数 y =f (x )+f (2−x )={2−|x |+x 2，x ＜02−|x |+2−|2−x |，0≤x ≤2(x −2)2+2−|2−x |，x ＞2，即 y =f (x )+f (2−x )={x 2+x +2，x ＜02，0≤x ≤2x 2−5x +8，x ＞2，因为函数g （x ）=b-f （2-x ），且y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，等价于f （x ）+f （2-x ）=b 恰有两个根，即函数y=f （x ）+f （2-x ）与函数y=b 的图象恰有两个交点，因为 y =x 2+x +2=(x +12)2+74 且 y =x 2−5x +8=(x −52)2+74 ， 所以函数y=f （x ）+f （2-x ）的最低点的纵坐标为 74 ，作出函数y=f （x ）+f （2-x ）和y=b 的图象如图所示，由图象可知，当b= 74 或b ＞2时，两个函数图象有两个交点，即y=f （x ）-g （x ）恰好有两个零点，}∪(2，+∞)．所以实数b的取值范围是{74}∪(2，+∞)．故答案为：{74【点评】：本题考查了函数零点与方程根的关系，涉及了分段函数的应用，对于分段函数一般选用分类讨论或是数形结合的方法进行研究，而对于函数零点问题，则一般会转化为两个函数图象的交点进行处理，解题的关键是作出函数y=f（x）+f（2-x）的图象，属于中档题．13.（单选题，5分）函数f（x）= lg|x|的大致图象为（）x2A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：根据函数的奇偶性和函数的单调性，即可判断函数的图象．【解答】：解：∵f （-x ）= lg|x|x 2=f （x ），且定义域关于原点对称， ∴函数f （x ）为偶函数，即函数f （x ）的图象关于y 轴对称，故排除A ，B当x ＞1是函数y=lg|x|为增函数，当0＜x ＜1时，函数y=lg|x|为减函数， 当x ＞0，函数y= 1x 2 为减函数，故函数f （x ）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数， 故图象为先增后减，故排除C ， 故选：D ．【点评】：本题主要考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．14.（单选题，5分）若函数 f (x )=x 2+a−1e x是偶函数，则实数a 的值是（ ）A.-1B.0C.1D.不唯一 【正确答案】：C【解析】：根据题意，由偶函数的定义可得f （-x ）=f （x ），即x 2+ a−1e x =（-x ）2+ a−1e (−x ) ，变形可得答案．【解答】：解：根据题意，函数 f (x )=x 2+a−1e x是偶函数， 则f （-x ）=f （x ），即x 2+ a−1e x =（-x ）2+ a−1e (−x ) ， 变形可得：（a-1）（e x -e -x ）=0恒成立，必有a=1， 故选：C ．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题． 15.（单选题，5分）已知cos170°=m ，则tan10°的值为（ ） A.√1−m 2m B. −√1−m 2mC.√1−m 2D. √1−m 2【正确答案】：B【解析】：由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin170°= √1−m 2 ，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．【解答】：解：因为cos170°=m ， 所以sin170°= √1−m 2 ， 则tan10°= sin10°cos10° = sin170°−cos170° = √1−m 2−m =- √1−m 2m． 故选：B ．【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16.（单选题，5分）已知n ＜m ，函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n 22−|x−1|−3，n ＜x ≤m 的值域是[-1，1]，有下列结论：① 当n=0时， m ∈(12，2] ； ② 当 n ∈[0，12) 时，m∈（n ，2]； ③ 当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]； ④ 当 n =12 时， m ∈(12，2] ． 其中正确结论的序号是（ ） A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ③ ④ 【正确答案】：D【解析】：先研究函数的性质，求出函数值为±1时对应x 的值，再根据函数的单调性对四个结论进行判断，找出使得值域是[-1，1]结论，即可得出答案．【解答】：解： y =log 12(1−x ) 是增函数，且当x=-1时，y=-1，x= 12时，y=1，y=22-|x-1|-3= {23−x −3，x ≥12x+1−3，x ＜1 ，当x=1时，y=1，x=2时，y=-1，x=0时，y=-1，且当x ＜1时，函数y=22-|x-1|-3是增函数，x ＞1时，函数y=22-|x-1|-3是减函数，当n=0时，最大值1必在x ＞n 时取到，即m 的值必须保证自变量x 可以取到1，故m≥1，故 m ∈(12，2] 错误， ① 不正确；② 当 n ∈[0，12) 时，此范围中n=0存在，故此时m≥1，故m∈（n ，2]错误， ② 不正确； ③ 由 ① 知，当 n ∈[0，12) 时，m∈[1，2]，故 ③ 正确；④ 当 n =12 时，此时 y =log 12(1−12) =1，此时在-1≤x≤n 时，-1≤y≤1，故此时 m ∈(12，2] ，可保证函数 f (x )={log 12(1−x )，−1≤x ≤n22−|x−1|−3，n ＜x ≤m 的值域是[-1，1]，故 ④ 正确．故选：D ．【点评】：本题考查命题真假的判断与应用，分段函数的性质，本题综合性强，思维量大，研究清楚函数的性质是解答的关键． 17.（问答题，12分）（1）已知 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) ，求 f (π3) 的值；（2）已知 tanθ=12 ，求sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简可得f （α）=-tanα，根据特殊角的三角函数值即可求解．（2）根据同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】：解：（1）因为 f (α)=cos (π+α)tan (π−α)cot (−α)sin (2π+α) = − cosα(−tanα)−cotαsinα=-tanα， 所以 f (π3) =-tan π3 =- √3 ；（2）因为 tanθ=12 ， 所以sin 2θ+sinθcosθ-cos 2θ= sin 2θ+sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ = tan 2θ+tanθ−1tan 2θ+1 = 14+12−114+1= −15 ．【点评】：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于基础题．18.（问答题，12分）设函数 f (x )=a•e x −11+e x(a ∈R ) 是R 上的奇函数．（1）求a 的值，并求函数f （x ）的反函数f -1（x ）解析式； （2）若k 为正实数，解关于x 的不等式 f −1(x )＞ln 1+xk．【正确答案】：【解析】：（1）根据奇函数在x=0处有意义可得f （0）=0，然后求出a 的值，再求出f （x ）的反函数；（2）根据对数函数的单调性建立不等关系，分0＜k ＜2和k≥2两种情况，解不等式即可．【解答】：解：（1）因为函数 f (x )=a•e x −11+e x(a ∈R ) 是R 上的奇函数．所以f （0）=a−12=0 ，解得a=1，设y=f （x ）=e x −11+e x，则 e x =1+y1−y，所以 x =ln (1+y1−y) ， 所以函数f （x ）的反函数 f −1(x )=ln 1+x1−x ，x∈（-1，1）； （2）由 f −1(x )＞ln 1+x k ，可得 ln 1+x 1−x ＞ln 1+xk，x∈（-1，1）， 则1+x 1−x ＞1+x k ，所以 11−x ＞1k且k ＞0，所以1-x ＜k ，所以x ＞1-k ，① 若-1＜1-k ＜1，即0＜k ＜2，则原不等式的解集为（1-k ，1）， ② 若1-k≤-1，即k≥2，则原不等式的解集为（-1，1）．【点评】：本题主要考查反函数的求解，利用函数的奇偶性求参数值和对数不等式的解法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．19.（问答题，14分）某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为 S ={−14t 2+6t +46，0＜t ≤1383−log 3(t −5)，13＜t ≤40． （1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？【正确答案】：【解析】：（1）直接利用二次函数求最值即可；（2）分段求出满足S≥80的t 的范围，取并集求得学生的学习效果最佳时间，再与20比较即可得出结论．【解答】：解：（1）当0＜t≤13时，S= −14t 2+6t +46 ， ∴当t=-62×(−14)=12时，S 的值最大，最大值为82；（2）当0＜t≤13时，令S=- 14 t 2+6t+46＞80，解得12-2 √2 ＜t ＜12+2 √2 ， ∴t∈（12-2 √2 ，13]，当13＜t≤40时，令83-log 3（t-5）＞80，解得5＜t ＜32，∴t∈（13，32）， ∴t∈（12-2 √2 ，32），∵32-（12-2 √2 ）=20+2 √2 ＞20，∴教师能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态．【点评】：本题主要考查了函数的实际运用，考查分段函数最值的求法与不等式的解法，考查运算求解能力，是中档题．20.（问答题，16分）已知幂函数 f (x )=x −2m 2+m+3(m ∈Z ) 是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）为严格增函数．（1）求m 的值，并确定f （x ）的解析式；（2）求 y =log 22f (x )−log 12[2f （x ）]， x ∈[12，2] 的最值，并求出取得最值时的x 取值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意利用幂函数的定义和性质，可得-2m2+m+3 为奇数，且-2m2+m+3＞0，由此求得m的值．（2）令log2f（x）=t= log2x3，则t∈[-3，3]，函数y=t2+t+1= (t+12)2+ 34，再利用二次函数的性质，求出它的最值．【解答】：解：（1）∵幂函数f(x)=x−2m2+m+3(m∈Z)是奇函数，且f（x）在（0，+∞）为严格增函数，∴-2m2+m+3 为奇数，且-2m2+m+3＞0，求得-1＜m＜32，且-2m2+m+3 为奇数．∴m=0，f（x）=x3．（2）令log2f（x）= log2x3 =t，则log12f(x) = log21f(x)=-log2f（x）=-t，y=t2+t+1．∵ x∈[12，2]，∴t∈[-3，3]，函数y=t2+t+1= (t+12)2+ 34，故当t=- 12时，此时，x= 2−16，函数y取得最小值为34，当t=3时，即x=2时，函数y取得最大值为 13．【点评】：本题主要考查幂函数的定义和性质，对数函数的性质应用，属于中档题．21.（问答题，16分）已知函数f（x）=2x（x∈R），记g（x）=f（x）-f（-x）．（1）解不等式：f（2x）-2f（x）≤3；（2）设t为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，求t的取值范围；（3）记H（x）=f（2x+2）+af（x）+b（其中a、b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，求a、b的值．【正确答案】：【解析】：（1）函数f（x）=2x（x∈R），将f（2x）-2f（x）≤3转化为22x-2x-6≤0，然后利用一元二次不等式的解法以及指数不等式的解法求解即可；（2）根据g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，利用换元法k=2x0−2−x0，转化为存在实数k∈(3 2，154]，使得1+k√k2+4=tk2成立，再设m=1k2，m∈[16225，49)，转化为求解函数y=m+√4m+1的求值范围，即可求得t的取值范围；（3）根据H（x）=f（2x+2）+af（x）+b的解析式，令v=2x，将问题转化为对任意v∈[1，2]，均有|φ（v）|= |4v2+av+b|≤12，列出关于a，b的关系，求解即可．【解答】：解：（1）因为函数f（x）=2x（x∈R），所以不等式f（2x）-2f（x）≤3，即为22x-2x-6≤0，即（2x+2）（2x-3）≤0，解得0＜2x≤3，所以x≤log23，故不等式f（2x）-2f（x）≤3的解集为（-∞，log23]；（2）存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）=t•g2（x0）-1成立，即存在实数x0∈（1，2]，使得1+22x0−2−2x0=t(2x0−2−x0)2成立，令k=2x0−2−x0，因为k在（1，2]上单调递增，所以k∈(32，154]，又(2x0+2−x0)2=22x0+2−2x0+2=t2+4，则有存在实数k∈(32，154]，使得1+k√k2+4=tk2成立，则t=1k2+√4k2+1，设m=1k2，m∈[16225，49)，即有y=m+√4m+1在m∈[16225，49)上单调递增，所以y∈[271225，199)，故t的取值范围为[271225，199)；（3）H（x）=f（2x+2）+af（x）+b=22x+2+a•2x+b=4•（2x）2+a•2x+b，令v=2x，因为x∈[0，1]，所以v∈[1，2]，所以φ（v）=4v2+av+b，因为若对于任意的x∈[0，1]，均有|H（x）|≤ 12，则对任意v∈[1，2]，均有|φ（v）|= |4v2+av+b|≤12，所以 { |4+a +b |≤12①|16+2a +b |≤12②|16b−a 216|≤12③ ，由 ① ② ③ 解得a=-12，b= 172．【点评】：本题考查了函数与方程的综合运用，涉及了函数与不等式的综合应用，解题的关键是利用换元法将复杂函数转化为常见函数进行研究，属于难题．。
2020-2021学年高二下学期期末考试联考地理试题(word版,含答案)
2020～2021学年第二学期期末三校联考高二地理第一卷单项选择题（每小题2分，共60分）我国国产科考破冰船“雪龙2”号历时5个多月，于2021年5月6日14时载着我国第37次南极科学考察队部分队员顺利返航，靠泊在上海外高桥港中国极地考察国内基地码头。
下图为该船考察期间所途径的部分地区示意图，据此完成1-3题。
1．在我国的南极科学考察站中，长城站位于中山站的（）方向A．东北B．东南C．西北D．西南2．从图中可以读出，弗里曼特尔到蓬塔阿雷纳斯的最短距离大约为（）A．110 km B．5500 km C．10 500 km D．15 500 km 3．“雪龙2”号返航结束时，下列说法可信的是（）A．纽约（西五区）夜幕深沉B．东京（东九区）午饭刚刚开始C．莫斯科（东三区）夕阳西垂D．悉尼（东十区）华灯初上下图为某区域等高线地形图（单位：米），甲、乙两地建有养殖场，完成4-6题。
4．从图中可知（）A．图中所示山峰的海拔可能为1044米B．乙地海拔可能为1025米C．图中陡崖最大相对高度可能为24米D．区域内最大高差超55米5．在②地可以看到（）A．②②B．②②C．②②D．②②6．若图中建有一小型水库，甲养殖场濒临水库最高水位，则（）A．水库最深可能接近10米B．水坝高度最低为15米C．库区水面大于1平方千米D．乙养殖场将污染水库印度尼西亚种植园的农民为开辟新耕地，一直有焚烧芭蕉的传统，随着种植园经济的发展，持续的毁林开荒导致“烧芭”产生的烟霾污染日益扩大，“烧芭”时节，本国及邻国新加坡烟霾污染严重，污染新加坡的烟雾主要来自苏门答腊岛的芭蕉燃烧，如图。
读图回答7-9题。
7．推测印度尼西亚“烧芭”的时间（）A．12月—次年1月B．3—4月C．7—8月D．10月—11月8．新加坡降水丰富，但淡水资源匮乏，主要自然原因是（）A．面积小，储水条件差B．地势低平，径流数少C．人口多，淡水需求大D．经济发达，污染严重9．苏门答腊岛产业发展方向，合理的是（）A．大力推进乳畜业发展B．大力改进河网交通建设C．提升种植园农产品品质D．扩大耕地增加粮食产量图为长江、黄河、尼罗河、亚马孙河河流剖面图及水能蕴藏量表，完成10-12题。
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高二(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市普陀区曹杨二中高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则Imz＝．2．若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α的位置关系为．3．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为．4．方程的解是5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝5，AD＝2，则异面直线AB1和DD1的距离为．6．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数k的值为．7．设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝．8．已知空间四边形ABCD，AB＝CD＝2，且AB与CD所成的角为，设E、F分别是BC、AD的中点，则EF的长度为．9．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为2的球，且A、B两点的球面距离为，则该正四棱柱的体积为．10．在复数范围内方程z2+2|z|﹣1＝0的解集为．11．在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为P i（x i，y i，z i）（i＝1，2，3，4）．设集合A＝{z i|i＝1，2，3，4}，则集合A的元素个数可能为（写出所有可能的值）．12．在三棱锥A﹣BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为l（l＜4）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为．二、选择题13．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β14．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z215．将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（）种A．10B．16C．22D．2816．在如图所示的棱长为20的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到A1D1的距离为6，到AA1的距离为5，则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形三、解答题17．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．（只需列式并计算结果）（1）甲、乙两人相邻；（2）丙、丁两人不相邻；（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）．18．如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB ＝BC＝5，CD＝3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离．19．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根．（1）若α为虚数，且|α|＝3，求实数m的值；（2）若|α﹣β|＝2，求实数m的值．20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形AEFD翻折至A′EFD’，使得平面A′EFD′⊥平面BEFC．（1）求证：A′E⊥BE；（2）设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，求异面直线BD′与CG所成角的大小；（3）求多面体A′BCD′EF的体积．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，E为PD中点，F在PC上，且＝．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣P的大小．（3）设平面AEF与直线PB交于点G，求的值．参考答案一、填空题1．已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则Imz＝﹣1．解：因为z＝1﹣i，故Imz＝﹣1．故答案为：﹣1．2．若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α的位置关系为平行．解：若直线l上有三点A、B、C到平面α的距离均为1，则直线l与平面α平行，不可能相交，因为三点A，B，C共线．．故答案为：平行．3．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的侧面积为2π．解：设圆锥的底面积半径r，则底面半径为πr2＝π，解得r＝1；由母线长为l＝2，则该圆锥的侧面积为S侧＝πrl＝π×1×2＝2π．故答案为：2π．4．方程的解是x＝3或x＝7解：∵，∴x＝2x﹣3或x+2x﹣3＝18，解得x＝3或x＝7．∴方程的解是x＝3或x＝7．故答案为：x＝3或x＝7．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝5，AD＝2，则异面直线AB1和DD1的距离为2．解：如图，在长方体体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为AD⊥平面DD1C1C，且DD1⊂平面DD1C1C，所以AD⊥DD1，同理可证AD⊥AB1故AD是异面直线AB1和DD1的公垂线段，因此AB1和DD1的距离为AD＝2．故答案为：2．6．若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数k的值为1．解：因为＝为纯虚数，所以k﹣1＝0且k+1≠0，解得k＝1．故答案为：1．7．设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝9．解：因为空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），且∥，所以，即（2，n，﹣4）＝λ（﹣1，2，m），可得，解得m＝2，n＝﹣4，所以＝（﹣1，2，2），＝（2，﹣4，﹣4），则﹣＝（﹣3，6，6），所以．故答案为：9．8．已知空间四边形ABCD，AB＝CD＝2，且AB与CD所成的角为，设E、F分别是BC、AD的中点，则EF的长度为1或．解：如图，取BD中点M，连结FM，EM，由题可知，MF∥AB，ME∥CD，MF＝，ME＝，∵AB与CD所成的角为，∴或者＝，当时，△FME为等边三角形，∴EF＝1，当时，由余弦定理可知，EF2＝EM2+MF2﹣2EM•MF•cos∠FME＝，∴EF＝，综上，EF＝1或EF＝，故答案为：1或．9．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为2的球，且A、B两点的球面距离为，则该正四棱柱的体积为8．解：设球的球心为O，正四棱柱的高为h，因为球的半径为2，且A、B两点的球面距离为，则有∠AOB•2＝，所以∠AOB＝，又OA＝OB＝2，所以AB＝2，即正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面正方形的边长为2，又正四棱柱的体对角线为外接球的直径，则，解得h＝，所以该正四棱柱的体积为＝8．故答案为：8．10．在复数范围内方程z2+2|z|﹣1＝0的解集为{1+，，﹣i，i}．解：设z＝x+yi（x，y∈R），则原方程化为，则，由②可知，y＝0或x＝0，故原方程有实根或纯虚数根，①若y＝0，则z＝x，故|x|2+2|x|﹣1＝0，解得x＝1+或x＝；②若x＝0，则z＝yi，则有|y|＝±1，所以z＝±i．综上所述，z＝1+或z＝或z＝±i．故答案为：{1+，，﹣i，i}．11．在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为P i（x i，y i，z i）（i＝1，2，3，4）．设集合A＝{z i|i＝1，2，3，4}，则集合A的元素个数可能为2或3或4（写出所有可能的值）．解：若集合A中只有一个元素，则P1P2P3P4在同一个垂直于z轴的平面内，故不可能，当正四面体P1P2P3P4的底面在坐标平面xoy内时，集合A中有2个元素，当正四面体P1P2P3P4的一面与x或y轴平行，集合A有3个元素，当正四面体P1P2P3P4的各面，各边都不与x或y或z轴平行，集合中有4个元素，故集合A的元素可能为2或3或4．故答案为：2或3或4．12．在三棱锥A﹣BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为l（l＜4）的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动（含边界），若线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l的值为2．解：由题意可知，∠MAN＝90°，在Rt△AMN中，AP＝，线段MN的中点P的轨迹是以A为球心，为半径的球面的，所以线段MN的中点P的轨迹的面积为，则l＝2．故答案为：2．二、选择题13．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确，故选：A．14．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．15．将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（）种A．10B．16C．22D．28解：根据题意，分3种情况讨论：①2个盒子各放3个小球，一个盒子是空的，有C32＝3种放法，②若每个盒子放2个小球，有1种放法，③若1个盒子放1个小球，1个盒子放2个小球，最后一个放3个小球，有A32＝6种放法，则有3+1+6＝10种放法，故选：A．16．在如图所示的棱长为20的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为CD的中点，点P在侧面ADD1A1上，且到A1D1的距离为6，到AA1的距离为5，则过点P且与A1M垂直的正方体截面的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形解：截面形状草图，如图所示：由图可知，截面为六边形，故选：D．三、解答题17．有8名学生排成一排照相，求满足下列要求的排法的种数．（只需列式并计算结果）（1）甲、乙两人相邻；（2）丙、丁两人不相邻；（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）．解：（1）根据题意，将甲乙看成一个整体，与其他6人全排列即可，有A22A77＝10080种排法；（2）根据题意，将8人全排列，有A88种排法，其中丙、丁相邻的排法有A22A77＝10080种，则丙、丁两人不相邻的排法有A88﹣A22A77＝30240种；（3）根据题意，将8人全排列，有A88种排法，甲乙丙三人的排法有A33＝6种，其中甲站在丙、丁两人的中间有2种，则有甲站在丙、丁两人的中间有＝13440种．18．如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB ＝BC＝5，CD＝3．（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离．解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵BC是圆O的直径，∴BD⊥CD，又BD⊂平面ABD，AB⊂平面ABD，AB∩BDE＝B，∴CD⊥平面ABD．∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．∵AB＝BC＝5，∴AC＝5，∴sin∠CAD＝＝．∴直线AC与平面ABD所成角的大小为arcsin．（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，由（1）得CD⊥平面ABD，CD⊂平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD，又平面ABD∩平面ACD＝AD，BM⊂平面ABD，BM⊥AD，∴BM⊥平面ACD．∵BD＝＝4，∴AD＝＝．∴BM＝＝．即B到平面ACD的距离为．19．已知m∈R，α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根．（1）若α为虚数，且|α|＝3，求实数m的值；（2）若|α﹣β|＝2，求实数m的值．解：（1）因为α、β是关于x的方程x2+4x+m＝0（x∈C）的两根，因为α为虚数，设α＝a+bi，则β＝a﹣bi，又|α|＝3，则a2+b2＝9，解得，因为aβ＝（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝9＝m，所以m＝9；（2）①当△＝16﹣4m＜0时，由（1）可知，a+bi+a﹣bi＝﹣4，解得a＝﹣2，又aβ＝（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝m，因为|α﹣β|＝2，所以|2bi|＝2，解得b＝±1，故m＝5；②当△＝16﹣4m≥0时，则α+β＝﹣4，αβ＝m，所以|α﹣β|＝2，即，解得m＝3．综上所述，m＝3或m＝5．20．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将梯形AEFD翻折至A′EFD’，使得平面A′EFD′⊥平面BEFC．（1）求证：A′E⊥BE；（2）设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，求异面直线BD′与CG所成角的大小；（3）求多面体A′BCD′EF的体积．【解答】（1）证明：因为平面A′EFD′⊥平面BEFC，EF⊥BE，EF⊥A′E，所以∠A′EB是二面角A′﹣EF﹣B的平面角，所以∠A′EB＝90°，所以A′E⊥BE；（2）解：设G为EF上的动点，当A'G+GC取最小值时，EG＝2，建立空间直角坐标系，如图所示：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D′（0，2，2），G（0，2，0），所以＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，0），设异面直线BD′与CG所成角为θ，则cosθ＝＝＝0，所以θ＝90°；（3）解：多面体A′BCD′EF的体积为：V A′BCD′EF＝+V D′﹣EBCF＝S△BEA′•EE1+•DE1＝×2×2×2+××2×2＝6．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，E为PD中点，F在PC上，且＝．（1）求证：AE⊥平面PCD；（2）求二面角F﹣AE﹣P的大小．（3）设平面AEF与直线PB交于点G，求的值．解：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，又AD，PD⊂平面PAD，AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE，因为PA＝AD＝4，则△PAD是等腰三角形，又E是PD的中点，所以AE⊥PD，又PD，CD⊂平面PCD，PD∩CD＝D，所以AE⊥平面PCD．（2）如图所示分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则A（0，0，0），D（0，4，0），E（0，2，2），F（1，1，3），P（0，0，4），C （4，4，0）则，设平面AEF的一个法向量为，所以⇒，取c＝1，解得b＝﹣1，a＝2，所以．是平面AEF的一个法向量，设二面角F﹣AE﹣P的平面角为θ，则．（3）平面AEF与直线PB交于点G，设，则，设G（a，b，c），则，⇒（a，b，c﹣4）＝λ（4，0，﹣4）⇒a＝4λ，b＝0＝m⇒⇒﹣8λ+0+4﹣4λ＝0⇒，所以．。
2020-2021学年上海市闵行中学高二(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市闵行中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．行列式的值等于．2．过点（3，5）与直线y＝x+m垂直的直线方程是．3．抛物线x2＝2y的焦点到其准线的距离为．4．双曲线x2﹣＝2的渐近线方程为．5．长轴长为6，焦距为，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为．6．已知复数z满足z（2+i）＝3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．7．设双曲线的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF2|＝2，且sin∠PF2F1＝λsin∠PF1F2，则λ＝．8．已知向量＝（3，4），＝（cosθ，sinθ），则|﹣2|的最大值为．9．已知实数x，y满足x2+（y﹣2）2＝4，则的取值范围是．10．已知点A（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，过点B（2，﹣2）的直线交抛物线C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，则k1×k2等于．11．设双曲线n2x2﹣（n+1）2y2＝1（n∈N*）上动点P到定点Q（2，0）的距离的最小值为d n，则的值为．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ的弦AB与CD分别垂直于x轴与y轴，且相交于点P．已知线段PA，PC，PB，PD的长分别为2，4，6，12，则△PF1F2的面积为．二、选择题（共4小题）.13．已知向量，，则“”是“x＝﹣1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．设变量x，y满足约束条件，则z＝|x﹣3y|的最大值为（）A．10B．8C．6D．415．设a，b∈R，ab≠0，则直线ax﹣y+b＝0和曲线bx2+ay2＝ab的大致图形是（）A．B．C．D．16．下面是对曲线C：＝1的一些结论，正确的结论是（）①x的取值范围是[﹣2，2]；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上除点（0，±1），（±2，0）外的其余所有点都在椭圆＝1的内部；④过曲线C上任一点作y轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于π．A．①②④B．②③④C．①②D．①③④三、解答题（本大题满分76分）17．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（2，0）的距离减去它到y轴距离的差都是2．（1）求曲线C的方程；（2）求曲线C上的点P（x，y）到直线l：x﹣y+3＝0距离的最小值及此时点P的坐标．18．设复数z＝a+bi（a，b∈R）．（其中i为虚数单位，且i2＝﹣1）（1）若|z|2﹣2＝7+4i，求z；（2）若z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+…+2020i2019+2021i2020，求a﹣b的值．19．有一种大型商品，A、B两点都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的2倍，已知A、B两地相距10千米，顾客购物的唯﹣标准是总费用较低，建立适当的平面直角坐标系．（1）求A、B两地的售货区域的分界线的方程；（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．20．（16分）已知椭圆C1：＝1与双曲线C2：有共同的焦点F1，F2，且双曲线的实轴长为2．（1）求双曲线C2的标准方程；（2）若曲线C1与C2在第一象限的交点为P，求证：∠F1PF2＝90°．（3）过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支相交于的A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点．记△AOB，△COD的面积分别为S1，S2，求的最小值．21．（18分）已知椭圆，M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的两个不同的点．（1）若点A（1，1）满足，求直线MN的方程；（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足x1x2+2y1y2＝0，动点P满足（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（3）若M，N在直线x﹣y+m＝0上，是否存在与m无关的定点T（x0，y0），使得直线TM，TN的斜率之和为一个定值？若存在，求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（共12小题）.1．行列式的值等于0．解：＝1×8﹣2×4＝0．故答案为：0．2．过点（3，5）与直线y＝x+m垂直的直线方程是x+y﹣8＝0．解：因为所求直线与y＝x+m垂直，故设所求直线方程为y＝﹣x+b，将点（3，5）代入可得b＝8，故所求直线方程为x+y﹣8＝0．故答案为：x+y﹣8＝0．3．抛物线x2＝2y的焦点到其准线的距离为1．解：抛物线x2＝2y的焦点到准线的距离为：p＝1．故答案为：1．4．双曲线x2﹣＝2的渐近线方程为y＝±2x．解：双曲线x2﹣＝2的渐近线方程为双曲线x2﹣＝0，解得y＝±2x．故答案为：y＝±2x．5．长轴长为6，焦距为，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为．解：长轴长为6，焦距为，可知a＝3，c＝，则b＝．所以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为．故答案为：．6．已知复数z满足z（2+i）＝3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．解：由z（2+i）＝3+4i，得z＝，∴|z|＝||＝＝．故答案为：．7．设双曲线的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF2|＝2，且sin∠PF2F1＝λsin∠PF1F2，则λ＝4．解：∵|PF2|＝2＜3，∴点P在双曲线的上支，由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2×3＝6，∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，∵＝|PF2|•|F1F2|sin∠PF2F1＝|PF1|•|F1F2|sin∠PF1F2，∴＝＝＝＝，∴λ＝4．故答案为：4．8．已知向量＝（3，4），＝（cosθ，sinθ），则|﹣2|的最大值为7．解：根据题意，向量＝（3，4），＝（cosθ，sinθ），则﹣2＝（3﹣2cosθ，4﹣2sinθ），则有|﹣2|＝＝，又由12cosθ+16sinθ＝20sin（θ+α），其中tanα＝，则﹣20≤12cosθ+16sinθ≤20，则|﹣2|＝≤＝7，即|﹣2|的最大值为7，故答案为：7．9．已知实数x，y满足x2+（y﹣2）2＝4，则的取值范围是[﹣1，3]．解：圆x2+（y﹣2）2＝4的圆心坐标为（0，2），半径为2，令z＝，则，由，解得z＝﹣1或z＝3．∴的取值范围是[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]．10．已知点A（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，过点B（2，﹣2）的直线交抛物线C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，则k1×k2等于﹣4．解：由题意将A的坐标代入抛物线的方程可得4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；由题意可得直线AB的斜率不为0，所以设直线PQ的方程为：x＝m（y+2）+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与抛物线的方程：，整理可得：y2﹣4my﹣8m﹣8＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8m﹣8，由题意可得k1k2＝＝•＝＝＝﹣4，所以k1k2＝﹣4．故答案为：4．11．设双曲线n2x2﹣（n+1）2y2＝1（n∈N*）上动点P到定点Q（2，0）的距离的最小值为d n，则的值为．解：∵n2x2﹣（n+1）2y2＝1，∴x2﹣（1+）2y2＝，当n→∞时，→0，此时有x2﹣y2＝0，即，原问题可转化为点Q（2，0）到直线y＝±x的距离，∴＝＝．故答案为：．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆Γ的弦AB与CD分别垂直于x轴与y轴，且相交于点P．已知线段PA，PC，PB，PD的长分别为2，4，6，12，则△PF1F2的面积为4．解：不妨设点P在第一象限内，则由题意可知，，故点P的坐标为（4，2），由|PA|＝2，|PC|＝4，可得点A的坐标为（4，4），点C的坐标为（8，2），代入椭圆方程可得，解得，所以．故答案为：．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知向量，，则“”是“x＝﹣1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：若，则1×1﹣x×x＝0，解得x＝±1，所以“”是“x＝﹣1”的必要非充分条件．故选：B．14．设变量x，y满足约束条件，则z＝|x﹣3y|的最大值为（）A．10B．8C．6D．4解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数z＝x﹣3y，当直线经过A（﹣2，2）时，z＝|x﹣3y|，取到最大值，Z max＝8．故选：B．15．设a，b∈R，ab≠0，则直线ax﹣y+b＝0和曲线bx2+ay2＝ab的大致图形是（）A．B．C．D．解：整理曲线的方程得＝1，整理直线方程得y＝ax+b对于A选项观察直线图象可知斜率小于0即，a＜0，b＞0则曲线的方程的图象一定是双曲线，故A不符合．B，D选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故B正确，D错误．C项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故C项错误．故选：B．16．下面是对曲线C：＝1的一些结论，正确的结论是（）①x的取值范围是[﹣2，2]；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上除点（0，±1），（±2，0）外的其余所有点都在椭圆＝1的内部；④过曲线C上任一点作y轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于π．A．①②④B．②③④C．①②D．①③④解：由曲线C：＝1可得≤1，即x2≤4，可得﹣2≤x≤2，故①正确；将方程C中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，所以曲线C是中心对称图形，故②正确；由x2≤4可得≤1，则＝1≤+y2，可得曲线C上除点（0，±1），（±2，0）外的其余所有点都在椭圆＝1的外部，故③错误；设过曲线C上任一点P（m，n），垂线段中点为M（x，y），可得2x＝m，y＝n，由+n2＝1，即为x4+y2＝1，由x4≤1，即x2≤1，可得1＝x4+y2≤x2+y2，则垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不小于π．故④错误．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（2，0）的距离减去它到y轴距离的差都是2．（1）求曲线C的方程；（2）求曲线C上的点P（x，y）到直线l：x﹣y+3＝0距离的最小值及此时点P的坐标．解：（1）设：曲线C（x，y），C上每一点到点F（2，0）的距离减去它到y轴距离的差都是2．可得，化简整理可得：y2＝8x．（2），∴y＝4，即P（2，4）时，．18．设复数z＝a+bi（a，b∈R）．（其中i为虚数单位，且i2＝﹣1）（1）若|z|2﹣2＝7+4i，求z；（2）若z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+…+2020i2019+2021i2020，求a﹣b的值．解：（1）由已知可得，a2+b2﹣2a+2bi＝7+4i，∴，解之得，或，∴z＝3+2i或z＝﹣1+2i（2）由复数相等的性质，可知，．∴a﹣b＝2021．另解：z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+…+2020i2019+2021i2020①∴zi＝1i+2i2+3i3+4i4+5i5+…+2020i2020+2021i2021②∴①﹣②得：z（1﹣i）＝1+i+i2+i3+i4+…+i2020﹣2021i2021＝1﹣2020i∴，∴a＝1011，b＝﹣1010，∴a﹣b＝2021．19．有一种大型商品，A、B两点都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的2倍，已知A、B两地相距10千米，顾客购物的唯﹣标准是总费用较低，建立适当的平面直角坐标系．（1）求A、B两地的售货区域的分界线的方程；（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地．解：（1）以线段AB的中点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设每单位距离B地的运费为a元，设售货区域内一点为（x，y），则A（﹣5，0），B（5，0），若在两地购货费用相同，则2a，化简可得：3x2+3y2+50x+75＝0，即（x+）2+y2＝，故A、B两地的售货区域的分界线的方程为：即（x+）2+y2＝，（2）由（1）知A，B两地购货区域的分界线是以C（﹣，0）为圆心，为半径的圆，所以在圆C上的居民从A，B两地购货总费用相等，在圆C内的居民从A地购货便宜，在圆C外的居民从B地购货便宜．20．（16分）已知椭圆C1：＝1与双曲线C2：有共同的焦点F1，F2，且双曲线的实轴长为2．（1）求双曲线C2的标准方程；（2）若曲线C1与C2在第一象限的交点为P，求证：∠F1PF2＝90°．（3）过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支相交于的A，B两点，与椭圆C1交于C，D两点．记△AOB，△COD的面积分别为S1，S2，求的最小值．解：（1）由已知可得，，解之得，双曲线C2的标准方程为．（2）证明：联立方程组，解之得，所以点，，，，，∴∠F1PF2＝90°．（3）当直线l的斜率不存在时，，|CD|＝1，此时，当直线l的斜率存在时，设方程为，C（x1，y1），D（x2，y2），代入椭圆方程得，x1+x2＝，x1x2＝，由弦长公式得|CD|＝＝＝，把直线方程代入双曲线方程得，所以，∴，综上可知，的最小值为．21．（18分）已知椭圆，M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上的两个不同的点．（1）若点A（1，1）满足，求直线MN的方程；（2）若M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足x1x2+2y1y2＝0，动点P满足（其中O为坐标原点），求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状；（3）若M，N在直线x﹣y+m＝0上，是否存在与m无关的定点T（x0，y0），使得直线TM，TN的斜率之和为一个定值？若存在，求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知可得，A（1，1）是线段MN中点，所以，由已知，，两式相减化简整理得，所以，直线MN的方程是x+2y﹣3＝0．（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，由x1x2+2y1y2＝0②，结合①②可得，，又M，N是椭圆上的点，故，所以，即．根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆．（3）假设存在定点T（x0，y0）满足题意，联立方程组消去y得，3x2+4mx+2m2﹣4＝0，所以△＞0，即m2＜6且，所以＝＝，要使k AT+k BT为与m无关的常数，只能，解之得或．此时k MT+k NT＝0为与m无关的常数，综上所述，存在定点或，使得直线TM，TN的斜率之和为一个定值0．。
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学西校六年级(下)期末数学试卷(五四学制)
2020-2021学年上海市浦东新区建平中学西校六年级（下）期末数学试卷（五四学制）试题数：27，总分：01.（单选题，0分）下列方程组，是二元一次方程组的是（ ） A. {xy =22x =3yB. {x −2y =3y =1C. {2x −y =4x +2z =5D. {−x +2y =7y =x 22.（单选题，0分）在方程x-3y=4中，用含x 的代数式表示y ，正确的是（ ） A.y=- x−43B.y= x−43C.y=4−x3 D.y=3−x43.（单选题，0分）下列说法正确的是（ ） A.有理数分为正有理数和负有理数 B.绝对值等于本身的数有无数个C.有6个面，12条棱和8个顶点的立体图形是长方体D.如果AB=BC ，则B 是AC 的中点4.（单选题，0分）如图，数轴上点A 、B 、C 分别表示数a 、b 、c ，则下列不等式中错误的是（ ）A.b-a ＜c-aB.a+b ＜a+cC. ba＜ c aD.ac ＜bc5.（单选题，0分）如果受季节影响，某商品每件售价按原价降低a%再降价8元后的售价是100元，那么该商品每件原售价可表示为（）A. 921−a%B. 1081−a%C.92（1-a%）D.108（1-a%）6.（单选题，0分）如图，在长方体ABCD-EFGH中，如果把面ABCD与面DCGH组成的图形看作是直立于面ADHE上的合页型折纸，那么可以说明（）A.棱HD⊥平面ABCDB.棱CG⊥平面ABCDC.棱EH⊥平面DCGHD.棱CD⊥平面ADHE7.（填空题，0分）-32=___ ．8.（填空题，0分）比较大小：- 45 ___ - 34．9.（填空题，0分）截至2021年6月中旬，国外疫情累计治愈约161000000例，161000000这个数据用科学记数法可表示为 ___ ．10.（填空题，0分）在数轴上，点A所表示的数是-3，那么到点A距离等于4个单位的点所表示的数为___ ．11.（填空题，0分）当x ___ 时，-2x≤3x．12.（填空题，0分）二元一次方程2x+3y=9的非负整数解为 ___ ．13.（填空题，0分）已知∠α的补角是136°42′，则它的余角是 ___ ．14.（填空题，0分）一个长方体的棱长总和为120厘米，长、宽、高的比为5：3：2，则这个长方体的体积为 ___ 立方厘米．15.（填空题，0分）如图，在长方体ABCD-EFGH中，与平面BCGF垂直的平面有 ___ 个．16.（填空题，0分）如图，点C是线段AB上一点，且AB=3BC，点D是AB的中点，DC=2，那么AB的长为 ___ ．17.（填空题，0分）点A在点B的北偏东80°方向上，点C在射线BA与正北方向夹角的角平分线上，那么点C在点B的 ___ 方向上．18.（填空题，0分）同一平面内，已知∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互补，且OM平分∠AOC，则∠AOM=___ ．19.（问答题，0分）计算：|-24|÷（2 23）2+（-4 12）× 13+125%．20.（问答题，0分）解方程：2x- x−13=1．21.（问答题，0分）解不等式组{−5x+2＜−3(x−2)6(23x−1)＜x+1，并求它的整数解．22.（问答题，0分）解方程组：{3x+4y=165x−6y=33．23.（问答题，0分）解方程组：{x+y+2z=152x+3y−2z=95x−4y−2z=0．24.（问答题，0分）已知∠α和∠β．（1）请在原图以外的答题区域画一个∠AOB，使得它等于∠β-∠α．（2）作出∠AOB的平分线．（第2小题，请使用尺规作图）（不写作法，保留作图痕迹，并写出结论．）25.（问答题，0分）六年级（1）班、（2）班各有48人，两个班都有一些同学参加课外数学，（2）班参加小组，（1）班参加数学小组的人数恰好是（2）班没有参加数学小组人数的12，六年级（1）班、（2）班没有参数学小组的人数恰好是（1）班没有参加数学小组人数的23加数学小组的各有多少人？26.（问答题，0分）已知长方体无盖纸盒有一个面为正方形，且已知两条棱的长度分别为4厘米和6厘米，求这个纸盒外面的表面积和容积．27.（问答题，0分）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点用一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．（1）生产前要画直观图，现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请您补全正方体模型的直观图，并写出结论．（2）该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个．如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？（3）现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如表所示），若恰好用了5600元，请问该学校应该如何购买该教具？无需解题过程，只需直接写出购买方案．品种高档中档低档每套的价格/元40 30 202020-2021学年上海市浦东新区建平中学西校六年级（下）期末数学试卷（五四学制） 参考答案与试题解析试题数：27，总分：01.（单选题，0分）下列方程组，是二元一次方程组的是（ ） A. {xy =22x =3yB. {x −2y =3y =1C. {2x −y =4x +2z =5D. {−x +2y =7y =x 2 【正确答案】：B【解析】：根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．【解答】：解：A ．xy=2是二元二次方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； B ．是二元一次方程组，故此选项符合题意；C ．有三个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；D ．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； 故选：B ．【点评】：本题主要考查了二元一次方程的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”．2.（单选题，0分）在方程x-3y=4中，用含x 的代数式表示y ，正确的是（ ） A.y=- x−43B.y= x−43C.y=4−x 3D.y= 3−x4【正确答案】：B【解析】：先移项，再把y的系数化为1即可．【解答】：解：x-3y=4，∴3y=x-4，∴y= x−43，故选：B．【点评】：本题考查二元一次方程的变形，解题的关键是掌握等式的性质．3.（单选题，0分）下列说法正确的是（）A.有理数分为正有理数和负有理数B.绝对值等于本身的数有无数个C.有6个面，12条棱和8个顶点的立体图形是长方体D.如果AB=BC，则B是AC的中点【正确答案】：B【解析】：根据有理数的定义、绝对值、中点的定义求解判断即可得解．【解答】：解：有理数分为正有理数、负有理数和0，故A错误，不符合题意；0和正数的绝对值都等于本身，故绝对值等于本身的数有无数个，故B正确，符合题意；有6个面、12条棱和8个顶点的立体图形不一定是长方体，故C错误，不符合题意；当点B在线段AC上时，B才是AC的中点，故D错误，不符合题意．故选：B．【点评】：此题考查了两点间的距离，熟练掌握有理数的定义、绝对值、中点的定义是解题的关键．4.（单选题，0分）如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，则下列不等式中错误的是（）A.b-a＜c-aB.a+b＜a+cC. ba ＜caD.ac＜bc【正确答案】：C【解析】：由数轴可得a＜b＜0＜c，根据不等式的定义逐选项进行判断即可．【解答】：解：根据数轴，可得a＜b＜0＜c．∵（b-a）-（c-a）=b-a-c+a=b-c＜0，即b＜c，故A选项正确，∴选项A不符合题意；∵（a+b）-（a+c）=a+b-a-c=b-c＜0，即b＜c，故B选项正确，∴选项B不符合题意；∵ b a −ca= b−ca，b-c＜0，a＜0，∴ b−ca＞0，即ba ＞ca，故C选项不正确，∴选项C符合题意；∵ac-bc=（a-b）c，a-b＜0，c＞0，∴ac-bc＜0，即ac＜bc，故D选项正确，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】：本题考查不等式的定义、数学运算能力，属于基础题．5.（单选题，0分）如果受季节影响，某商品每件售价按原价降低a%再降价8元后的售价是100元，那么该商品每件原售价可表示为（）A. 921−a%B. 1081−a%C.92（1-a%）D.108（1-a%）【正确答案】：B【解析】：设这件商品原售价为x元，把这件商品的原价看作单位“1”，降低了a%后为原价的（1-a%），根据一个数乘分数的意义，求出降低a%后的价钱，然后根据再降价8元后的售价是100元，即：x（1-a%）-8=100，然后解答即可得出结论．【解答】：解：设该商品每件的原售价为x元．则：x（1-a%）-8=100，x（1-a%）=100+8，；x= 1081−a%．答：该商品每件原售价可表示为1081−a%故选：B．【点评】：此题主要考查了列代数式，解答此题的关键是设出要求的问题为x，进而分析题意，找出题中数量间的关系式为：原价×（1-10%）-降价的价钱=现售价，把相关数值代入即可求解．6.（单选题，0分）如图，在长方体ABCD-EFGH中，如果把面ABCD与面DCGH组成的图形看作是直立于面ADHE上的合页型折纸，那么可以说明（）A.棱HD⊥平面ABCDB.棱CG⊥平面ABCDC.棱EH⊥平面DCGHD.棱CD⊥平面ADHE【正确答案】：D【解析】：根据“折合页”的意义进行判断即可．【解答】：解：由“折合页”的定义可知，可得出CD⊥平面ADHE．故选：D．【点评】：本题考查认识立体图形，理解“折合页”的定义是正确判断的关键．7.（填空题，0分）-32=___ ．【正确答案】：[1]-9【解析】：根据有理数的乘方运算法则即可求出答案．【解答】：解：-32=-9．故答案为：-9．【点评】：本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算法则．8.（填空题，0分）比较大小：- 45 ___ - 34．【正确答案】：[1]＜【解析】：根据负有理数比较大小的方法比较（绝对值大的反而小）．【解答】：解：根据两个负数，绝对值大的反而小的规律得出：- 45＜- 34．【点评】：同号有理数比较大小的方法（正有理数）：绝对值大的数大．（1）作差，差大于0，前者大，差小于0，后者大；（2）作商，商大于1，前者大，商小于1，后者大．如果都是负有理数的话，结果刚好相反，且绝对值大的反而小．如过是异号的话，就只要判断哪个是正哪个是负就行，都是字母的话，就要分情况讨论；如果是代数式的话要先求出各个式的值，再比较．9.（填空题，0分）截至2021年6月中旬，国外疫情累计治愈约161000000例，161000000这个数据用科学记数法可表示为 ___ ．【正确答案】：[1]1.61×108【解析】：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】：解：161000000=1.61×108．故答案为：1.61×108．【点评】：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．10.（填空题，0分）在数轴上，点A所表示的数是-3，那么到点A距离等于4个单位的点所表示的数为___ ．【正确答案】：[1]1或-7【解析】：设到点A 距离等于4个单位的点所表示的数为x ，由题意得|x-（-3）|=4，根据绝对值的化简法则，可求得x 的值，问题得解．【解答】：解：设到点A 距离等于4个单位的点所表示的数为x ，由题意得：|x-（-3）|=4∴|x+3|=4∴x+3=4或x+3=-4∴x=1或x=-7故答案为：1或-7．【点评】：本题考查了数轴上的点所表示的数及绝对值的化简计算，本题属于基础知识的考查，比较简单．11.（填空题，0分）当x ___ 时，-2x≤3x ．【正确答案】：[1]≥0【解析】：根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】：解：移项，得：-2x-3x≤0，合并，得：-5x≤0，系数化为1，得：x≥0，故答案为：≥0．【点评】：本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．12.（填空题，0分）二元一次方程2x+3y=9的非负整数解为 ___ ．【正确答案】：[1] {x =0y =3 或 {x =3y =1【解析】：先用含x 的代数式表示y ，再根据式子特点求出x 、y 都是非负整数时，x 、y 的值即可．【解答】：解：2x+3y=9，∴y= 9−2x 3， 当x=0时，y=3，当x=3时，y=1，∴2x+3y=9的非负整数解为 {x =0y =3 或 {x =3y =1． 故答案为： {x =0y =3 或 {x =3y =1．【点评】：本题考查二元一次方程的特殊解，解题的关键是用含x 的代数式表示y ．13.（填空题，0分）已知∠α的补角是136°42′，则它的余角是 ___ ．【正确答案】：[1]46°42'【解析】：根据补角的定义求出∠α，再利用余角的定义求出其余角．【解答】：解：由题意可得：∠α=180°-136°42'=43°18′，∴其余角为：90°-∠α=90°-43°18′=46°42'，故答案为：46°42'．【点评】：本题主要考查补角和余角，解题关键是熟练掌握补角和余角的概念进行计算．14.（填空题，0分）一个长方体的棱长总和为120厘米，长、宽、高的比为5：3：2，则这个长方体的体积为 ___ 立方厘米．【正确答案】：[1]810【解析】：由“按比例分配”可求出长方体的长、宽、高，再根据体积公式进行计算即可．【解答】：解：这个长方体的长为：（120÷4）× 55+3+2 =15（厘米），这个长方体的宽为：（120÷4）× 35+3+2 =9（厘米），这个长方体的高为：（120÷4）× 25+3+2 =6（厘米），所以长方体的体积为：15×9×6=810（立方厘米），故答案为：810．【点评】：本题考查认识立体图形，掌握长方体的形体特征是正确计算的前提．15.（填空题，0分）如图，在长方体ABCD-EFGH 中，与平面BCGF 垂直的平面有 ___ 个．【正确答案】：[1]4【解析】：根据“垂直平面”的定义进行判断即可．【解答】：解：根据“垂直平面”的定义可知，与平面BCGF垂直的面有：平面EFGH，平面DCGH，平面EFBA，平面ABCD，共有4个面．故答案为：4．【点评】：本题考查认识立体图形，掌握各个形体的特征进行判断即可．16.（填空题，0分）如图，点C是线段AB上一点，且AB=3BC，点D是AB的中点，DC=2，那么AB的长为 ___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：根据两点间的距离定义求解即可．【解答】：解：∵AB=3BC，∴BC= 13AB，∵点D是AB的中点，∴BD= 12AB，∵DC=2，DC=DB-BC，即12 AB- 13AB=2，∴AB=12．故答案为：12．【点评】：此题考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离定义是解题的关键．17.（填空题，0分）点A在点B的北偏东80°方向上，点C在射线BA与正北方向夹角的角平分线上，那么点C在点B的 ___ 方向上．【正确答案】：[1]北偏东40°【解析】：先根据题意画出图形，可得∠DBF=80°，DB || EA，由平行线的性质可得∠EAF=∠DBF=80°，结合角平分线的定义可求解∠EAC=40°，进而可求解答案．【解答】：解：如图，∠DBF=80°，DB || EA，∴∠EAF=∠DBF=80°，∵AC平分∠EAF，∴∠EAC=40°，∴点C位于点A北偏东40°，故答案为：北偏东40°．【点评】：本题主要考查方向角，角平分线的定义，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．18.（填空题，0分）同一平面内，已知∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互补，且OM平分∠AOC，则∠AOM=___ ．【正确答案】：[1]90°或50°【解析】：先对∠BOC与∠AOB的位置关系进行分类讨论，再结合补角和角平分线的定义即可求出∠AOM的度数．【解答】：解：分情况讨论：① 如图，∵∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互补，∴∠AOC=180°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=90°．② 如图，∵∠AOB=40°，∠BOC与∠AOB互补，∴∠BOC=140°，∴∠AOC=100°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOM=50°．故答案为：90°或50°．【点评】：本题主要考查补角的定义、角平分线的定义、解题关键是对∠BOC与∠AOB的位置关系．19.（问答题，0分）计算：|-24|÷（2 23）2+（-4 12）× 13+125%．【正确答案】：【解析】：将带分数化为假分数，将百分数化为分数进行计算．【解答】：答案 2．解：|-24|÷（2 23）2+（-4 12）× 13+125%=16÷（83）2+（- 92）× 13+ 54=16÷ 649 -1 12 + 54=16× 964 -1 12 + 54= 94 -1 12 + 54=2．【点评】：本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．20.（问答题，0分）解方程：2x-x−13 =1．【正确答案】：【解析】：方程去分母，去括号，移项，合并，把x 系数化为1，即可求出解．【解答】：解：去分母得：6x-（x-1）=3，去括号得：6x-x+1=3，移项合并得：5x=2，解得：x= 25 ．【点评】：此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．21.（问答题，0分）解不等式组 {−5x +2＜−3(x −2)6(23x −1)＜x +1 ，并求它的整数解．【正确答案】：【解析】：先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．【解答】：解： {−5x +2＜−3(x −2)①6(23x −1)＜x +1②， 解不等式 ① ，得x ＞-2，解不等式 ② ，得x ＜ 73 ，所以 不等式组的解集是-2＜x ＜73 ，所以不等式组的整数解是-1，0，1，2．【点评】：本题考查了解一元一次组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．22.（问答题，0分）解方程组： {3x +4y =165x −6y =33 ．【正确答案】：【解析】：解此题时先找出某个未知数系数的最小公倍数，用加减消元法进行解答．【解答】：解：原方程组变形为： {15x +20y =8015x −18y =99， （1）-（2）得：y=- 12 ，代入（1）得：x=6．所以原方程组的解为 {x =6y =−12．【点评】：此题较简单，只要明白二元一次方程及方程组的解法就可．23.（问答题，0分）解方程组： {x +y +2z =152x +3y −2z =95x −4y −2z =0．【正确答案】：【解析】：方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】：解： {x +y +2z =15①2x +3y −2z =9②5x −4y −2z =0③，① + ② 得：3x+4y=24 ④ ，① + ③ 得：6x-3y=15 ⑤ ，④ ×2- ⑤ 得：8y+3y=48-15，整理得：11y=33，解得：y=3，把y=3代入 ④ 当：3x+12=24，解得：x=4，把x=4，y=3代入 ① 得：4+3+2z=15，解得：z=4，则方程组的解为 {x =4y =3z =4．【点评】：此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．24.（问答题，0分）已知∠α和∠β．（1）请在原图以外的答题区域画一个∠AOB ，使得它等于∠β-∠α．（2）作出∠AOB 的平分线．（第2小题，请使用尺规作图）（不写作法，保留作图痕迹，并写出结论．）【正确答案】：【解析】：（1）在∠AOC的内部作∠COB=α，∠AOB即为所求；（2）利用尺规作出∠AOB的角平分线OP即可．【解答】：解：（1）如图，∠A OB即为所求；（2）如图射线OP即为所求．【点评】：本题考查作图-复杂作图，角的和差定义，角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．25.（问答题，0分）六年级（1）班、（2）班各有48人，两个班都有一些同学参加课外数学，（2）班参加小组，（1）班参加数学小组的人数恰好是（2）班没有参加数学小组人数的12，六年级（1）班、（2）班没有参数学小组的人数恰好是（1）班没有参加数学小组人数的23加数学小组的各有多少人？【正确答案】：x人，【解析】：设六年级（1）班没有参加数学小组的同学有x人，则（2）班参加的同学有23x）人，由题意：（1）（1）班参加的同学有（48-x）人，（2）班没有参加的同学有（48- 23，列出一元一次方程，解方班参加数学小组的人数恰好是（2）班没有参加数学小组人数的12程即可．【解答】：解：设六年级（1）班没有参加数学小组的同学有x人，x人，（1）班参加的同学有（48-x）人，（2）班没有参加的同学则（2）班参加的同学有23有（48- 23x）人，根据题意得：48-x= 12（48- 23x），解得：x=36，则48- 23 x=48- 23×36=24，答：六年级（1）没有参加数学小组的有36人，（2）班没有参加的同学有24人．【点评】：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．26.（问答题，0分）已知长方体无盖纸盒有一个面为正方形，且已知两条棱的长度分别为4厘米和6厘米，求这个纸盒外面的表面积和容积．【正确答案】：【解析】：分两种情况：（1）长=宽=4厘米，高=6厘米，（2）长=宽=6厘米，高=4厘米，根据矩形的面积公式和长方体的体积公式解答即可．【解答】：解：（1）长=宽=4厘米，高=6厘米，纸盒外面的表面积：×4+4×6×4+16+76=144（平方厘米），纸盒外面的容积：4×4×6=96（立方厘米），答：这个纸盒外面的表面积144平方厘米和容积96立方厘米．（2）长=宽=6厘米，高=4厘米，纸盒外面的表面积：6×6+4×6×4=36+96=132（平方厘米），纸盒外面的容积：6×6×4=144（立方厘米），答：这个纸盒外面的表面积132平方厘米和容积144立方厘米．综上所述，这个纸盒外面的表面积和容积分别为144平方厘米；96立方厘米，（2）132平方厘米；144立方厘米．【点评】：本题考查了几何体的表面积，认识立体几何，熟练掌握长方体的表面积的计算是解题的关键．27.（问答题，0分）某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点用一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．（1）生产前要画直观图，现在设计人员仅画出如图所示的设计图，请您补全正方体模型的直观图，并写出结论．（2）该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有11名工人，每个工人每天可生产塑料棒50根或者金属球40个．如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？（3）现某中学购买两种档次的正方体教具共200套（价格如表所示），若恰好用了5600元，请问该学校应该如何购买该教具？无需解题过程，只需直接写出购买方案．品种高档中档低档每套的价格/元40 30 20【正确答案】：【解析】：（1）根据题意画出正方体ABCD-EFGH即可；（2）设x名工人生产塑料棒，则（11-x）名工人生产金属球，可得：50x12 = 40(11−x)8，即可解得6名工人生产塑料棒，5名工人生产金属棒；（3）分三种情况：① 若选择购买高档、中档两种教具，设购买m套高档教具，则购买（200-m）套中档教具，40m+30（200-m）=5600，② 若选择购买高档、低档两种教具，设购买n套高档教具，则购买（200-n）套低档教具，40n+20（200-n）=5600，③ 若购买中档、低档两种教具，设购买t套中档教具，则购买（200-t）套低档教具，30t+20（200-t）=5600，分别解方程，取符合题意的解即可得答案．【解答】：解：（1）如图所示，正方体ABCD-EFGH即为所求，（2）设x名工人生产塑料棒，则（11-x）名工人生产金属球，根据题意可得：50x12 = 40(11−x)8，解得x=6，∴11-x=11-6=5（名），答：6名工人生产塑料棒，5名工人生产金属棒；（3）① 若选择购买高档、中档两种教具，设购买m套高档教具，则购买（200-m）套中档教具，根据题意可得：40m+30（200-m）=5600，解得m=-40，不符合题意，舍去；② 若选择购买高档、低档两种教具，设购买n套高档教具，则购买（200-n）套低档教具，根据题意可得：40n+20（200-n）=5600，解得n=80，∴200-n=200-80=120（套），故购买80套高档，120套低档教具；③ 若购买中档、低档两种教具，设购买t套中档教具，则购买（200-t）套低档教具，根据题意可得：30t+20（200-t）=5600，解得t=160，∴200-t=200-160=40（套），故购买160套中档，40套低档教具；综上所述，共有两种购买方案：购买80套高档，120套低档教具或购买160套中档，40套低档教具．【点评】：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程及分类思想的应用．。
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝．2．函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是．3．已知α∈[0，2π），且α与﹣终边相同，则α＝．4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且B⊆A，则实数a取值范围为．5．若lg2＝a，lg3＝b，则log524＝．6．已知＜x﹣1，则实数x取值范围为．7．已知tanα＝2，则sinαcosα+cos2α+2sin2α＝．8．已知x+2y＝1，求+的最小值为．9．“求方程＝1的解”有如下解题思路：设f（x）＝，则y ＝f（x）是R上的严格减函数，且f（2）＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x的解集为．10．已知y＝f﹣1（x）是y＝f（x）＝2x+x，x∈[0，2]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为．11．已知，若a，b∈[﹣2，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，恒成立，则b﹣a的最大值为．12．定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，若M表示到点A（1，3）、B（6，9）的曼哈顿距离相等的所有点C（x，y）的集合，其中x，y∈[0，10]，则点集M与坐标轴及直线x＝10所围成的图形的面积为．二、选择题13．已知k∈{}，若y＝x k为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数k的值是（）A．﹣1，3B．，3C．D．14．“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），若不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），则不等式f（10x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（lg2，+∞）B．（﹣1，lg2）C．（﹣lg2，+∞）D．（﹣∞，﹣lg2）16．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y＝D（x）＝，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：①D（D（x））＝0；②对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；③任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；④存在三个点A（x1，D（x1））、B（x2，D（x2））、C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④B．②④C．②③④D．①②③三、解答题17．已知．（1）求的值；（2）若，β终边经过P（﹣3，4），求．18．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求实数a的取值范围．19．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y＝2x2+（15﹣4k）x+128k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x＝1时，总成本为142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？20．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．21．对于任意y＝f（x），x∈D，若存在x0∈D，使得f（x0+1）＝f（x0）•f（1），则称f（x）具有性质P．记M＝{f（x）|f（x）具有性质P}．（1）判断f（x）＝lgx和g（x）＝2x+x2是否属于集合M；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知x∈（0，1]时，f（x）＝8x2﹣8x+2；且对任意x∈（﹣1，1]，都有f（x+1）＝f （x）•f（1），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1，k∈R，试讨论函数y＝h（x），x∈（﹣1，1]的零点个数．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3，4}．解：∵集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}．2．函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是（1，3）．解：因为函数y＝log a（2x﹣1）+3（a＞0且a≠1），当x＝1时，y＝3，所以函数的图象恒过定点P（1，3）．故答案为：（1，3）．3．已知α∈[0，2π），且α与﹣终边相同，则α＝．解：∵α与﹣终边相同，∴α＝2kπ﹣，k＝2时，α＝∈[0，2π]，故答案为：．4．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且B⊆A，则实数a取值范围为[3，+∞）．解：由x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，可得B＝（﹣1，3）．∵B⊆A．∴a≥3．∴实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为[3，+∞）．5．若lg2＝a，lg3＝b，则log524＝．解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log524＝＝＝，故答案为：．6．已知＜x﹣1，则实数x取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．解：当x＞0时，不等式化为，两边三次方得x4＜1，解得0＜x＜1；当x＜0时，不等式化为，两边三次方得x4＞1，解得x＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．7．已知tanα＝2，则sinαcosα+cos2α+2sin2α＝．解：因为tanα＝2，所以sinαcosα+cos2α+2sin2α＝＝＝＝．故答案为：．8．已知x+2y＝1，求+的最小值为．解：∵x+2y＝1，x，y＞0，∴+＝（x+2y）＝+＝，当且仅当x＝y＝时取等号．故答案为：．9．“求方程＝1的解”有如下解题思路：设f（x）＝，则y ＝f（x）是R上的严格减函数，且f（2）＝1，所以原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，可得不等式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x的解集为（1，4）．解：不等式式x3﹣（x﹣2）2＞（x﹣2）6﹣x变形为x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2，令u＝x，v＝（x﹣2）2，则x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2⇔u3+u＞v3+v；考察函数f（x）＝x3+x，知f（x）在R上为增函数，∴f（u）＞f（v），∴u＞v；不等式x3+x＞（x﹣2）6+（x﹣2）2可化为x＞（x﹣2）2，解得1＜x＜4；∴不等式的解集为：（1，4）．故答案为：（1，4）．10．已知y＝f﹣1（x）是y＝f（x）＝2x+x，x∈[0，2]的反函数，则函数y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为3．解：因为y＝2x在[0，2]上为增函数，y＝x在[0，2]上为增函数，故f（x）＝2x+x在x∈[0，2]上为增函数，所以其值域为[1，6]，所以y＝f﹣1（x）定义域为[1，6]，且在[1，6]上为增函数，因此y＝f（x）+f﹣1（x）在[1，6]上为增函数，∴y＝f（x）+f﹣1（x）的最小值为f（1）+f﹣1（1）＝2+1+0＝3．故答案为：3．11．已知，若a，b∈[﹣2，5]，且当x1，x2∈[a，b]时，恒成立，则b﹣a的最大值为4．解：∵a，b∈[﹣2，5]，且x1，x2∈[a，b]，∴a＜b，∵恒成立，∴g（x）在区间[a，b]上单调递增，∵函数，∴g（x）＝，当x∈[﹣2，0）时，g（x）＝+1，单调递增；当x∈（0，1]时，g（x）＝1﹣x，单调递减；当x∈[1，）时，g（x）＝x﹣1，单调递增；当x∈[，5]时，g（x）＝+1，单调递增．∴当a＝1，b＝5时，b﹣a取得最大值为5﹣1＝4．故答案为：4．12．定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的曼哈顿距离为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，若M表示到点A（1，3）、B（6，9）的曼哈顿距离相等的所有点C（x，y）的集合，其中x，y∈[0，10]，则点集M与坐标轴及直线x＝10所围成的图形的面积为52.5．解：由题意可知|x﹣1|+|y﹣3|＝|x﹣6|+|y﹣9|，x，y∈[0，10]，①当x≤1，y≤3时，1﹣x+3﹣y＝6﹣x+9﹣y，∴4＝13，无解，②当x≤1，3＜y≤9时，1﹣x+y﹣3＝6﹣x+9﹣y，∴y＝8.5，③当x≤1，y＞9时，1﹣x+y﹣3＝6﹣x+y﹣9，∴﹣2＝﹣3，无解，④当1＜x≤6，y≤3时，x﹣1+3﹣y＝6﹣x+y﹣9，∴x＝6.5＞6，无解，⑤当1＜x≤6，3＜y≤9时，x﹣1+y﹣3＝6﹣x+9﹣y，∴x+y＝，⑥当1＜x≤6，y＞9时，x﹣1+y﹣3＝6﹣x+y﹣9，∴x＝＜1，无解，⑦当x＞6，y≤3时，x﹣1+3﹣y＝x﹣6+9﹣y，∴2＝7，无解，⑧当x＞6，3＜y≤9时，x﹣1+y﹣3＝x﹣6+9﹣y，∴y＝，⑨当x＞6，y＞9时，x﹣1+y﹣3＝x﹣6+y﹣9，∴﹣4＝﹣15，无解，综上，符合条件线段有：x∈[0，1]，y＝8.5；x∈（1，6]，y∈（3，9]，x+y＝；x∈（6，10]，y∈（3，9]，y＝，∴如图所示：，∴图中阴影部分面积为所求面积，∴面积S＝1×8.5+×（6﹣1）+（10﹣6）×3.5＝8.5+30+14＝52.5．故答案为：52.5．二、选择题13．已知k∈{}，若y＝x k为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数k的值是（）A．﹣1，3B．，3C．D．解：当k＝﹣1时，y＝x﹣1为奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；当k＝2时，y＝x2为偶函数，不符合题意；当k＝时，y＝＝为非奇非偶函数，不符合题意；当k＝3时，y＝x3为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，符合题意；当k＝时，y＝为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，符合题意．故实数k的值是3，．故选：B．14．“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为＝＝2+，所以当函数在区间（﹣∞，1）上严格减时，有：2﹣a＞0，即a＜2．由于集合A＝{a|a＜1|⊊B＝{a|a＜2}，所以“a＜1”是“函数在区间（﹣∞，1）上严格减”的充分不必要条件，故选：A．15．已知f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），若不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），则不等式f（10x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（lg2，+∞）B．（﹣1，lg2）C．（﹣lg2，+∞）D．（﹣∞，﹣lg2）解：∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），∴二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（﹣1，0），（，0）且a＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c在（，+∞）上为减函数，∵10x＞0，f（10x）＞0＝f（），∴10x＜，∴x＜lg＝﹣lg2，∴不等式f（10x）＞0的解集为（﹣∞，﹣lg2）．故选：D．16．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y＝D（x）＝，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：①D（D（x））＝0；②对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；③任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；④存在三个点A（x1，D（x1））、B（x2，D（x2））、C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边三角形；其中真命题的序号为（）A．①③④B．②④C．②③④D．①②③解：①若x为有理数，则D（x）＝1是有理数，则D（D（x））＝1，若x为无理数，则D（x）＝0是有理数，则D（D（x））＝1；故①错误，②若x为有理数，则﹣x为有理数，此时D（x）＝1，D（﹣x）＝1，即D（x）＝D（﹣x）成立，若x为无理数，则﹣x为无理数，此时D（x）＝0，D（﹣x）＝0，即D（x）＝D（﹣x）成立，综上对任意x∈R，恒有D（x）＝D（﹣x）成立；故②正确，③若x为有理数，则x+T为有理数，此时D（x+T）＝1，D（x）＝1，即D（x+T）＝D（﹣）成立，若x为无理数，则x+T为无理数，此时D（x+T）＝0，D（x）＝0，即D（x+T）＝D（x）成立，综上任取一个不为零的有理数T，D（x+T）＝D（x）对任意实数x均成立；故③正确，④对任意有理数x，存在三个点A（x，1）、B（x﹣，0）、C（x+，0）是边长为的等边三角形，故④正确，故选：C．三、解答题17．已知．（1）求的值；（2）若，β终边经过P（﹣3，4），求．解：（1）因为，所以两边平方，可得1+2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝﹣，所以＝cosα（﹣sinα）＝．（2）由（1）可得（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝，又，所以sinα﹣cosα＞0，可得sinα﹣cosα＝，又β终边经过P（﹣3，4），所以cosβ＝＝﹣，＝﹣+＝+＝+＝﹣．18．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）不等式f（x）+g（x）≥3可化为|2x﹣1|+|2x﹣a|≥3﹣a，即，当a≥3时，原不等式成立．当a＜3时，由绝对值三角不等式可得，∴，平方得（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴实数a的取值范围是[2，+∞）．19．某企业在现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为：y＝2x2+（15﹣4k）x+128k+8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x＝1时，总成本为142．（1）求k的值；（2）若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？解：（1）由题意可得，除尘后y＝2x2+（15﹣4k）x+120k+8+kx＝2x2+（15﹣3k）x+120k+8，∵当日产量x＝1时，总成本为142，∴2+15﹣3k+120k+8＝142，解得k＝1．（2）由（1）y＝2x2+12x+128，∵总利润L＝48x﹣（2x2+12x+128）＝36x﹣2x2﹣128，（x＞0），∴每吨产品的利润＝4，当且仅当时，即x＝8时，等号成立，∴除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元．20．已知函数f（x）＝3﹣2log2x，g（x）＝log2x．（1）当x∈[1，4]时，求函数h（x）＝[f（x）+1]•g（x）的值域；（2）给定n∈N，如果对任意的x∈[2n，2n+1]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．解：（1），∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，∴函数h（x）的值域为[0，2]．（2）由得（3﹣4log2x）（3﹣log2x）＞k⋅log2x，令t＝log2x，∵x∈[2n，2n+1]，∴t＝log2x∈[n，n+1]，∴（3﹣4t）（3﹣t）＞k⋅t对一切的t∈[n，n+1]恒成立，①当n＝0时，若t＝0时，k∈R；当t∈（0，1]时，恒成立，即，函数在t∈（0，1]单调递减，于是t＝1时取最小值﹣2，此时x＝2，于是k∈（﹣∞，﹣2）；②当n＝1时，此时t∈[1，2]时，恒成立，即，∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为﹣3，k∈（﹣∞，﹣3）；③当n≥2时，此时t∈[n，n+1]时，k＜恒成立，即，函数在t∈[n，n+1]单调递增，于是t＝n时取最小值，此时x＝2n，于是．由于4n﹣15+在n≥2递增，可得4n﹣15+≥﹣＞﹣3，综上可得，k的范围是（﹣∞，﹣3）．21．对于任意y＝f（x），x∈D，若存在x0∈D，使得f（x0+1）＝f（x0）•f（1），则称f（x）具有性质P．记M＝{f（x）|f（x）具有性质P}．（1）判断f（x）＝lgx和g（x）＝2x+x2是否属于集合M；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知x∈（0，1]时，f（x）＝8x2﹣8x+2；且对任意x∈（﹣1，1]，都有f（x+1）＝f （x）•f（1），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1，k∈R，试讨论函数y＝h（x），x∈（﹣1，1]的零点个数．解：（1）若假设f（x）∈M，则存在x0＞0有lg（x0+1）＝lgx0⋅0＝0⇒x0＝0与x0＞0矛盾，所以f（x）∉M，假设存在x0∈R，有．易知x0＝0是其解，所以g（x）∈M；（2）因为，所以存在x∈R有①当a＝0，①式是恒成立．当a≠0，由①式可以得到有解．令t＝2x+1∈（1，+∞），则，所以，综上所述，；（3）任意x∈（﹣1，0），x+1∈（0，1）x∈（﹣1，0），且有f（x+1）＝f（x）f（1），则有，令x＝0得到f（1）＝f（0）f（1），又因为f（1）＝2≠0，所以f（0）＝1，所以f（x），令h（x）＝f（x）﹣kx﹣1＝0，当x＝0，h（0）＝0，所以x＝0是h（x）的零点，当x≠0时，k＝g（x）＝＝，当x∈（0，1]时，g（x）＝8x+﹣8≥4﹣8，其图象为：有图象易知，当k∈（﹣∞，4﹣8）有1个零点，当k∈{4﹣8}∪[4，+∞）有2个零点，当k∈（4﹣8，0]∪（1，4）有3个零点，当k∈（0，1]，有4个零点．。
2021-2022学年上海市浦东新区高二(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷一、填空题（共有12个小题，每小题3分，满分36分）1．公理2：不在同一直线上的点确定一个平面．2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的直线都垂直，那么此直线与该平面垂直．3．三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在垂直．4．一个球的半径为3，则它的体积是．5．一个圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为cm2．6．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为．7．一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是．8．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是．①直线AF与直线DE相交；②直线CH与直线DE平行；③直线BG与直线DE是异面直线；④直线CH与直线BG成60°角．9．若空间三条直线a⊥c，b⊥c，则a，b的位置关系是．10．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面A1BCD1与平面ABCD所成的锐二面角的大小是．11．在长方体的12条棱之中，我们把两条异面的棱称为“一对”，则12条棱中，共有对异面直线．12．平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件．二、单项选择题（本题共有4个小题，每小题3分，满分12分）13．两条直线没有公共点是两条直线平行的（）条件A．充分非必要B．必有非充分C．充要D．非充分非必要14．下列命题：（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线．其中正确的命题有（）个．A．0B．1C．2D．315．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C116．一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平面将圆锥分成上、下两部分，设圆锥所分的上、下两部分的侧面积分别为x，y，则函数y＝f（x）的图像大致是（）A．B．C．D．三、解答题（本题共有6个大题，总分52分）17．在水平放置的平面上有一个边长为6cm的等边△ABC，请在平面α上画出其直观图，并写出简要作法．18．一张A4纸的规格为：21cm×29.7cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱体的体积．（精确到0.0001cm3）19．已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．20．在三棱锥P−ABC中，M，N分别是PA，BC的中点，已知AC＝PB＝2，MN＝，求异面直线AC，PB所成角的大小．21．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE 是否为鳖臑？并说明理由．22．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．参考答案一、填空题（本题共有12个小题，每小题3分，满分36分）1．公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面．【分析】证明三个点不共线即可确定两条相交直线，即可确定一个平面．解：取A，B，C三点，任两点可以组成一条直线，例如直线AB和BC相交于B点，两条相交直线可以确定一个平面．所以不在同一条直线上的三点可以确定一个平面．故答案为：三．2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直．【分析】由直线与平面垂直的判定定理即可得解．解：由直线与平面垂直的判定定理可知：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．故答案为：两条相交．3．三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直．【分析】利用三垂线定理和三垂线定理的逆定理直接求解．解：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影．∴平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的射影垂直．故答案为：平面上的射影．4．一个球的半径为3，则它的体积是36π．【分析】直接利用球的体积公式求解即可．解：球的半径为3，则它的体积为V＝＝36π．故答案为：36π．5．一个圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，则它的侧面积为24πcm2．【分析】利用圆柱的侧面积展开图为长方形，求解即可．解：因为圆柱的底面半径为3cm，高为4cm，所以它的侧面积为2π×3×4＝24π．故答案为：24π．6．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的两倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为．【分析】根据线面角的定义，可得AB与平面α所成的角的余弦值为，从而可求AB与平面α所成的角．解：根据线面角的定义，可得AB与平面α所成的角的余弦值为，∵α∈[0，π]，∴α＝．故答案为：．7．一个正四棱柱底面边长为1，高为2，则它的表面积是10．【分析】利用正四棱柱的表面积公式求解即可．解：因为正四棱柱底面边长为1，高为2，所以它的表面积S＝2×12+4×1×2＝10．故答案为：10．8．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是③④．①直线AF与直线DE相交；②直线CH与直线DE平行；③直线BG与直线DE是异面直线；④直线CH与直线BG成60°角．【分析】将正方体的展开图还原为正方体后，即可得到所求正确结论．解：如图所示，原正方体为：在这个正方体中：①直线AF与直线DE异面直线，因此不正确；②直线CH与直线DE异面直线，因此不正确；③直线BG与直线DE是异面直线，因此正确；④连接BE，EG，则BE∥CH，△BEG为等边三角形，∴BE与BG成60°角，因此CH与BG成60°角，因此正确；以上四个命题中，正确的是③④．故答案为：③④．9．若空间三条直线a⊥c，b⊥c，则a，b的位置关系是平行或相交或异面．【分析】画出图形，在直三棱柱ABC﹣DEF中，列举对应情况，可得出结论．解：如图，直三棱柱ABC﹣DEF中，侧棱BE⊥底面DEF，BE⊥BC，BE⊥EF，BC∥EF，BE⊥DE，BE⊥EF，DE⋂EF＝E，BE⊥DE，BE⊥BC，DE，BC异面，所以，空间中的三条直线a，b，c满足a⊥c且b⊥c，则直线a与直线b的位置关系是平行或相交或异面．故答案为：平行或相交或异面．10．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面A1BCD1与平面ABCD所成的锐二面角的大小是．【分析】画出图形，找出二面角的平面角，求解即可．解：由题意正方体的图形如图：因为A1B⊂平面AA1B1B，BC⊥平面AA1B1B，所以∠A1BA是所求二面角的平面角，可得∠A1BA＝．故答案为：．11．在长方体的12条棱之中，我们把两条异面的棱称为“一对”，则12条棱中，共有24对异面直线．【分析】画出正方体，查出一条棱的异面直线的对数为4，用正方体的棱数乘以4再乘以得答案．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱AB异面的有CC1，DD1，B1C1，A1D1共4对，正方体ABCD﹣A1B1C1D1有12条棱，排除两棱的重复计算，∴异面直线共有12×4×＝24对．故答案为：24．12．平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件s1∥s2，并且t1与t2相交（t1∥t2，并且s1与s2相交）．【分析】当两直线在一个平面内的射影是两条平行线，在另一个相交面内的射影是两条相交直线时，这两条直线一定是异面直线．解：两个相交平面α，β，当两直线在平面α内的射影是两条平行线，在平面β内的射影是两条相交直线时，这两直线是异面直线．当两直线在平面α内的射影是两条相交直线，在平面β内的射影是两条平行线时，这两直线也是异面直线．故“能成为l1，l2是异面直线的充分条件”的是“s1∥s2，并且t1与t2相交”或“t1∥t2，并且s1与s2相交”．故答案为：s1∥s2，并且t1与t2相交，或t1∥t2，并且s1与s2相交．二、单项选择题（本题共有4个小题，每小题3分，满分12分）13．两条直线没有公共点是两条直线平行的（）条件A．充分非必要B．必有非充分C．充要D．非充分非必要【分析】根据充分必要条件的定义以及两直线的位置关系判断即可．解：①由两条直线没有公共点，得两条直线为异面直线或两直线平行，不是充分条件，②由两条直线平行，得两条直线没有公共点，是必要条件，故选：B．14．下列命题：（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线．其中正确的命题有（）个．A．0B．1C．2D．3【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答．解：对于（1），空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故（1）错误；对于（2），空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故（2）正确；对于（3），空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故（3）错误；对于（4），空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故（4）正确；故（2）（4）正确，故选：C．15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．解：根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．16．一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平面将圆锥分成上、下两部分，设圆锥所分的上、下两部分的侧面积分别为x，y，则函数y＝f（x）的图像大致是（）A．B．C．D．【分析】设圆锥的侧面积为S，由题意可得x+y＝S，即可得到y＝f（x）的解析式，由此判断函数的图像即可．解：由题意，一个平行于圆锥（其底面半径和母线均为定值）底面的平面将圆锥分成上、下两部分，因为圆锥所分的上、下两部分的侧面积分别为x，y，设圆锥的侧面积为S，则x+y＝S，所以y＝﹣x+S，即f（x）＝﹣x+S，则f（x）为单调递减的直线．故选：B．三、解答题（本题共有6个大题，总分52分）17．在水平放置的平面上有一个边长为6cm的等边△ABC，请在平面α上画出其直观图，并写出简要作法．【分析】利用斜二测画法的规则作出图形即可．解：作图如图所示：作法：在平面α内作坐标系x'O'y'，使得∠x'O'y'＝45°，在x'轴上取A'B'＝6cm，且O'为A'B'的中点，在y'轴上取O'C'＝OC，连接A'C'，B'C'，则△A'B'C'为△ABC的直观图．18．一张A4纸的规格为：21cm×29.7cm，把它作为一个圆柱的侧面，求卷成的圆柱体的体积．（精确到0.0001cm3）【分析】分别以21cm的边为高和以29.7cm的边为高卷成圆柱体，由底面周长求出底面半径，利用圆柱的体积公式求解即可．解：①如果以21cm的边为高卷成圆柱体，设此时圆柱体的底面半径为r，则2πr＝29.7，解得r＝，所以圆柱的体积为1474.0843（cm3）；②如果以29.7cm的边为高卷成圆柱体，设此时圆柱体的底面半径为R，则2πR＝21，解得，所以圆柱体的体积为1042.2818（cm3）．综上所述，卷成的圆柱体的体积为1474.0843（cm3）或1042.2818（cm3）．19．已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．【分析】由线面平行的判定定理可得．【解答】证明：取DC中点H，联结HM，HN，因为H是DC中点，N是PC中点，所以HN∥DP，同理，得HM∥DA，故平面HNM∥平面PAD，∵MN⊂平面HNM，∴MN∥平面PAD．20．在三棱锥P−ABC中，M，N分别是PA，BC的中点，已知AC＝PB＝2，MN＝，求异面直线AC，PB所成角的大小．【分析】取AB中点Q，连接QM．QN，∠MQN就是异面直线AC、PB所成的角或其补角，通过解三角形求解即可．解：取AB（或PC）中点Q，连接QM．QN，Q是AB中点，N是BC中点，⇒QN∥AC，QN＝三AC＝1，同理，可得QM∥BP，QM＝PB＝1，所以∠MQN就是异面直线AC、PB所成的角或其补角，在△MQN中，QM＝QN＝1，MN＝，cos∠MQN＝，∠MQN＝120°，∴异面直线AC，PB所成的角的大小为60°．21．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点．（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体D1CDE 是否为鳖臑？并说明理由．【分析】（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，即∠D1AF为异面直线AD1与EC 所成角，解三角形可得△AD1F为等边三角形，从而得到异面直线AD1与EC所成角的大小；（2）证明DE⊥CE，进一步得到D1E⊥CE，可知四面体D1CDE是鳖臑．解：（1）取CD中点F，连接AF，则AF∥EC，∴∠D1AF为异面直线AD1与EC所成角．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD＝AA1＝1，AB＝2，得，AF＝，，∴△AD1F为等边三角形，则．∴异面直线AD1与EC所成角的大小为；（2）连接DE，∵E为AB的中点，∴DE＝EC＝，又CD＝2，∴DE2+CE2＝DC2，得DE⊥CE．∵D1D⊥底面DEC，则D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．∴四面体D1CDE的四个面都是直角三角形，故四面体D1CDE是鳖臑．22．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．【分析】设出蛋筒冰淇淋的底面半径和高，由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径，进一步求出圆锥的高，然后直接利用表面积公式和体积公式求解．解：设圆锥的底面半径为r，高为h．因为，所以r＝2．则．则圆锥的表面积S＝．体积V＝．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
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上海市浦东新区实验学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题一、填空题1．方程C＝C的解为．『答案』2或4『解析』方程C＝C，可得2x＝6﹣x，或2x+（6﹣x）＝10，解得x＝2或4．故答案为：2或4．2．已知（x﹣）6的二项展开式中，常数项的值等于．『答案』60『解析』∵（x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，可得展开式的常数项等于×4＝60，故答案为：60．3．如果数据x1、x2、…、x n的平均值为10，方差为3，则3x1+5、3x2+5、…、3x n+5的平均值为，方差为．『答案』35 27『解析』因为x1，x2，…，x n的平均值为10，所以3x1+5、3x2+5、…、3x n+5的平均值+5＝35，其方差为[++...+]＝9×3＝27．故答案为：35，27．4．若在二项式（x+1）10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是．（结果用分数表示）『答案』『解析』展开式中共有11项，其中只有4项的系数C100，C102，C108，C1010为奇数．该项的系数为奇数的概率是故答案为5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为．『答案』（3+）π『解析』根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由圆柱和圆锥组成的组合体；如图所示：故圆锥的母线长x＝，圆锥的底面周长为2π，所以圆锥的侧面积S＝，圆柱的表面积S＝2•π•1•1+π•12＝3π，故几何体的表面积为．故答案为：．6．若（1+x﹣x2）3•（1﹣2x2）4＝a0+a1x+a2x2+…+a14x14，则a1+a2+a3+…+a14＝．『答案』0『解析』∵（1+x﹣x2）3•（1﹣2x2）4＝a0+a1x+a2x2+…+a14x14，令x＝0，可得a0＝1，再令x＝1，可得1+a1+a2+a3+…+a14＝1，∴+a1+a2+a3+…+a14＝0，故答案为：0．7．某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的概率等于.（用数字作答）『答案』『解析』根据题意，农场主与6名同学站成一排，有A77＝5040种不同的站法，若农场主站在中间，有A66＝720种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有4A22A44＝192种站法，则2名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有A66﹣4A22A44＝528种站法，则其概率P＝＝，故答案为：．8．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若＝x+y+z，则x+y+z＝．『答案』2『解析』因为＝＝＝，又＝x+y+z，所以，则x+y+z＝2．故答案为：2．9．已知三行三列的方阵中有9个数a ij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是.（结果用分数表示）『答案』『解析』从9个数中任取3个，共有＝84种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有××1＝6种选法；当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有••＝36种选法；∴从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率＝＝，故答案为：．10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面ACC1A1上一动点，且满足，则满足条件的所有点P所围成的平面区域的面积是．『答案』『解析』因为，所以D1P⊥CP，故P在以CD1为直径的球面上，且P在平面ACC1A1上，则P在面ACC1A1截球所得的圆上，设该圆半径r，且正方体棱长为2，则CD＝2，球半径R＝＝，连接B1D1，则B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，所以B1D1⊥平面ACC1A1，所以D1到平面ACC1A1的距离d1＝＝，因为O为CD1中点，所以O到平面ACC1A1的距离d＝＝，所以圆半径r＝＝，圆面积S＝πr2＝．故答案为：．二、选择题11．从0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不被3整除的概率为（）A．B．C．D．『答案』C『解析』从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除．所有的三位数有A103﹣A92＝648个，将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A33＝12个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A43﹣A32＝18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C31•C31•C31•A33＝162个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C31•C31•2•A22＝36个，这样能被3整除的数共有228个，不能被3整除的数有420个，所以概率为＝．故选：C．12．在（x+y）20的展开式中，系数为有理数的项共有（）项A．6 B．5 C．4 D．3『答案』A『解析』在（x+y）20的展开式中，其通项T r+1＝•x20﹣r••y r，要使展开式中的系数为有理数，则r＝0，4，8，12，16，20，共6项，故选：A．13．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A，且与棱AB、AD、AA1所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4『答案』D『解析』第一类：①A1在平面的一边，B，D在另一边，有一个平面α符合条件；②B在平面的一边，A1，D在另一边，有一个平面α符合条件；③D在平面的一边，A1，B在另一边，有一个平面α符合条件；第二类：A1，B，D都在平面的同侧，有一个平面α符合条件．综上所述，满足条件的平面α共有4个．故选：D．14．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A．225 B．185 C．145 D．110『答案』B『解析』根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．①““2人既会英语又会法语”不参加，这时有C54C44种；②““2人既会英语又会法语””中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有C21C53C44+C54C21C43种；③““2人既会英语又会法语””中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有C22C52C44+C54C22C42+C21C53C11C43种．综上分析，共可开出C54C44+C21C53C44+C54C21C43+C22C52C44+C54C22C42+C21C53C11C43＝185种．故选：B．三、解答题15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC ＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离．解:（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），∴＝（1，0，﹣1），＝（﹣1，1，0），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ＝＝，所以异面直线PB与CD所成角大小为．（2）设平面PBC的一个法向量为＝（x，y，z），＝（1，0，﹣1），＝（0，2，0），＝（﹣1，1，0），则，取x＝1，得＝（1，0，1），∴点D到平面PBC的距离d＝＝．16．已知（x﹣）n的二项展开式中x3的系数是﹣84．（1）求n；（2）求（x﹣）n二项展开式中系数最小的项．解：（1）∵（x﹣）n的二项展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x n﹣2r，令n﹣2r＝3，求得n＝2r+3，故x3的系数是（﹣1）r•＝﹣84，故r为奇数，求得r＝3，∴n＝9．（2）由于（x﹣）n二项展开式中系数为（﹣1）r•＝（﹣1）r•，要使该项最小，r应该是奇数，且r比较靠近，故r＝5，故（x﹣）n二项展开式中系数最小的项为﹣•x﹣1＝﹣．17．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三个组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．解：（1）无序不均匀分组问题．先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种方法，故共有C16C25C33＝60种．（2）有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360种．（3）无序均匀分组问题．先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C26C24C22种分法中还有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A33种情况，而这A33种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15种．（4）在（3）的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90种．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝1，PA•AC ＝1，∠ABC＝θ（0°＜θ≤90°）．（1）若θ＝90°，E为PC的中点，求异面直线PA与BE所成角的大小；（2）若θ＝90°，求二面角A﹣PC﹣B的大小；（3）试求四棱锥P﹣ABCD的体积V的取值范围．解：（1）因为PA⊥平面ABCD，并且θ＝90°，所以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系．因为AB＝1，PA⋅AC＝1，所以，所以，因为E是PC的中点，所以，所以，所以，所以异面直线PA与BE所成角的大小为．（2）设平面PBC的法向量为：，因为所以，即，取平面PBC的法向量为，因为PA⊥BD，AC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，又，取平面PAC的法向量，所以二面角A﹣PC﹣B的平面角．所以所求二面角A﹣PC﹣B的大小为．（2）由已知可得，平行四边形ABCD的面积为：S＝sinθ，在△ABC中，由余弦定理可求得，∴，∴，∵0°＜θ≤90°，∴0≤cosθ＜1，∴所以四棱锥P﹣ABCD的体积V的取值范围是．四、附加题19．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，E是SC上的任意一点．（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2）设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；（3）当的值为多少时，二面角B﹣SC﹣D的大小为120°．解：（1）因为SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以SA⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC．因为BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面SAC．（2）设AC∩BD＝F，连接SF，则易知SF⊥BD，因为AB＝2，所以．因为，所以，设点A到平面SBD的距离为h，因为SA⊥平面ABCD，所以，所以，所以，所以点A至平面SBD的距离为．（3）设SA＝a（a＞0），AB＝1，以A为原点，AB，AD，AS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则C（1，1，0），S（0，0，a），B（1，0，0），D（0，1，0），所以设平面SBC，平面SCD的法向量分别为，则，取x1＝a，则y1＝0，z1＝1，可得，同理可得．所以，要使二面角B﹣SC﹣D的大小为120°，则，从而a＝1，即当时，二面角B﹣SC﹣D的大小为120°．20．已知数列{a n}的首项为1，设．（1）若{a n}为常数列，求f（6）的值；（2）若{a n}为公比为2的等比数列，求f（n）的解析式；（3）数列{a n}能否成等差数列，使得f（n）﹣1＝2n•（n﹣1）对一切n∈N*都成立？若能，求出数列{a n}的通项公式；若不能，试说明理由．解：（1）由题设知：a n＝1，f（n）＝c+c+…+c+…+c＝2n﹣1，∴f（6）＝26﹣1＝63；（2）若{a n}为公比为2的等比数列，则a n＝1×2n﹣1＝2n﹣1，故f（n）＝1×c+21×c+…+2k﹣1c+…+2n﹣1c＝（20c+21×c+22×c+…+2k c+…+2n c﹣1）＝（1+2）n﹣＝；（3）假设数列{a n}能成等差数列，使得f（n）﹣1＝2n•（n﹣1）对一切n∈N*都成立，设公差为d，则①，且f（n）＝a n c+a n﹣1c+…+a n﹣k c+…+a1c②，由①+②可得：2f（n）＝2a n+（a1+a n﹣1）（c+c+…+c），∴f（n）＝a n+（2n﹣2）＝1+（n﹣1）d+（2n﹣2）＝1+（n﹣1）d+[2+（n﹣2）d]（2n﹣1﹣1）∴f（n）﹣1＝（d﹣2）+[2﹣（n﹣2）d]•2n﹣1＝（n﹣1）•2n恒成立，即（d﹣2）+（d﹣2）（n+2）•2n﹣1＝0恒成立，∴d＝2，故存在数列{a n}是成等差数列，使得f（n）﹣1＝2n•（n﹣1）对一切n∈N*都成立，且通项公式为a n＝2n﹣1．。