二元一次方程的应用里程碑上的数
二元一次方程 里程碑上的数
二元一次方程里程碑上的数二元一次方程是数学中的重要概念，在解决实际问题中发挥着重要作用。
本文将探讨二元一次方程在“里程碑上的数”中的应用。
首先，让我们来了解一下二元一次方程的基本概念。
二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常可以表示为ax+by=c的形式，其中a、b、c为已知系数，x、y为未知数。
解二元一次方程的目标是找到满足方程的x和y的值。
在“里程碑上的数”这个场景中，我们可以将x看作是时间，表示过去或者未来的某个时刻，而y表示里程数，表示在这个时刻已经行驶的距离。
假设我们知道某辆车在0时刻的里程数为m，那么我们可以建立以下的二元一次方程：y=mx其中，y表示车辆在x时刻的里程数。
这个方程告诉我们，车辆在任意一个时刻的里程数都是时间与初始里程数的乘积。
举个例子来说明。
假设一辆汽车从起点出发，经过2个小时行驶了120公里，那么我们可以得到一个二元一次方程：120=m*2我们可以通过解这个方程来求解m的值，进而得到这辆汽车的速度。
在这个例子中，m的值为60，表示这辆汽车每小时行驶60公里。
通过二元一次方程，我们可以解决更复杂的问题。
例如，如果我们知道一辆汽车从起点出发，经过一段时间后，到达了终点，我们可以利用已知的时间和终点的里程数，建立一个二元一次方程，从而求解汽车的速度。
需要注意的是，在使用二元一次方程解决问题时，我们要确保方程的系数和等式的值是准确的，并且要注意解的合理性。
此外，在表达过程中要避免使用不适宜展示的敏感词或其他不良信息。
总结起来，二元一次方程在“里程碑上的数”中扮演着重要的角色。
它可以帮助我们解决实际问题，计算出汽车的速度或者其他相关信息。
在使用二元一次方程时，我们需要确保思路清晰，表达流畅，避免包含任何对阅读体验产生负面影响的元素。
5.5应用二元一次方程组--里程碑上的数(教案)
-对于难点三，通过反复练习和讲解，让学生熟悉解方程组的各种技巧。
-对于难点四，通过实际案例的讲解和练习，让学生学会如何将数学解应用于实际问题，并理解其含义。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用二元一次方程组--里程碑上的数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过计算两地距离或时间的情况？”比如，计算从家到学校的时间或距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索里程碑问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们讨论成果和实验操作的结果。（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二元一次方程组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
\[
\begin{cases}
\frac{y}{15} + \frac{y}{10} = 4 \\
\end{cases}
\]
学生在解决这个方程时可能会遇到分数的运算困难，以及如何将总时间与速度的关系正确表达为方程的问题。
在教学过程中，针对这些难点，教师应有意识地通过以下方法帮助学生突破：
-对于难点一，通过实际情境的引入，引导学生观察、分析和抽象问题。
3.培养学生的合作交流能力：在案例分析及练习过程中，鼓励学生进行小组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
八年级数学上册第5章二元一次方程组5应用二元一次方程组__里程碑上的数课件新版北师大版
跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？
则风速是( A )
A. 50里/分
B. 150里/分
1
2
3
4
5
C. 200里/分
6
7
8
9
10
D. 250里/分
5. 甲、乙两地相距960 km，小轿车从甲地出发，2 h后，大
客车从乙地出发，相向而行.又经过4 h两车相遇.已知小
= ，
即ቊ
解得 b ＝9.
+ = ，
所以既是“长平数”又是“长久数”的数为199、299、399、
499、599、699、799、899.
又因为既能被3整除，又能被7整除，所以此数为399.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(3)求最小的“长久数”.
解：由(2)可知199为“长久数”，所以最小的“长久数”
如：123≠1＋2＋3＋1×2＋2×3＋1×3＋1×2×3，所以
123不是“长久数”.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
；999 是
(1)最小的“长平数”为 122
(填“是”或“不
是”)“长久数”；
(2)若一个三位数既是“长平数”又是“长久数”，且它既能
被3整除，又能被7整除，求满足这些条件的所有三位数；
1
2
书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的
空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3
个数之和相等，则 x ＋ y 的值为
《应用二元一次方程组-里程碑上的数》典型例题
《应用二元一次方程组---里程碑上的数》典型例题例1有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．例2下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价：（收盘价：股票每天交易结束时的价格）某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费等），该人账户上星期二比星期一获利200元，星期三比星期二获利1300元，试问该人持有甲、乙股票各多少股．例3 一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99．求这个三位数．例4一个两位数除以它各位数字之和的商为7，余数为6，如果它十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数去除以各位数字之和，商为3，余数为5，求这个两位数．参考答案例 1 分析 若设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，则这个两位数是x y +10．再根据“个位上的数比十位上的数大5”，“新数与原数的和为143”可以列出两个方程．解 设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意，得⎩⎨⎧=+++=-.143)10()10(,5x y y x x y 整理，得⎩⎨⎧=+=-.13,5y x x y 解得⎩⎨⎧==.9,4y x 答：这个两位数是49．说明：本题若设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为)5(+x ，列出一元一次方程求解也很方便．例2 解 设该人持有甲、乙股票分别是x 、y 股，根据题意，得⎩⎨⎧=-+-=-+-,1300)3.139.13()5.129.12(,200)5.133.13()125.12(y x y x 解得⎩⎨⎧==.1500,1000y x 答：该人持有甲、乙股票分别为1000，1500股．例3 分析：这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上的数字．有三个相等关系：（1）百位上数字 ＋ 十位上数字＋个位上数字=13（2）十位上的数字=个位上数字＋2（3）百位上数字与个位上数字交换后的三位数=原三位数＋99解：设这个三位数个位上的数字为x ，十位上的数字为y ，百位上数字为z ，根据题意，得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++==++991010010100213x y z z y x x y z y x解方程组，得 ⎪⎩⎪⎨⎧===364z y x答：这个三位数是364．例4 分析：设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，那么这个两位数是10x ＋y ，两个数字之和是（x 十y ），个位数字与十位数字对调后的两位数是10y十x ，由题意可列出两个等式．解：设两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意，得⎩⎨⎧++=+++=+)2(5)(310)1(6)(710y x x y y x y x )4(2)3(-⨯得 ,93=y 3=y ，把3=y 代入（3），得8=x ．答：这个两位数是83．说明：数字问题要善于抓住其特征，正确地表示出三位数，然后找出等量关系，列出方程组．。
5应用二元一次方程组——里程碑上的数教学设计
5应用二元一次方程组——里程碑上的数教学设计5. 应用二元一次方程组——里程碑上的数渭南初级中学赵佳琪一、教材分析地位和作用：本节内容是在学生学习了二元一次方程组的解法和部分二元一次方程组的应用后，紧接着学习的有关数字问题的应用题。
这部分内容的学习，有助于加深学生对数字问题的明白得，进一步把握列方程组解应用题的方法（相等关系），提高学生解决实际问题的能力。
二、教学目标●知识与技能：让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。
●过程与方法：在解决问题的过程中，学会借助图表分析问题，感受化归思想。
●情感态度价值观：让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气。
三、学情分析学生的知识技能基础：七年级时，学生差不多学习了一元一次方程及其应用。
本章中，学生又学习了二元一次方程、二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题等，能熟练地解二元一次方程组，已初步具备了用方程组刻画实际问题的体会和基础，能正确地分析和明白得题意，寻求题中的各种数量关系，具备了连续学习本节内容的知识和能力。
学生的活动体会基础：在相关知识的学习过程中，学生差不多经历了一些编题活动，同时也具备了一些生活体会，明白列方程解应用题的一些规律、特点和方法，具备了一些解决实际问题的体会和能力。
在往常的数学学习中，学生差不多经历专门多合作学习的过程，具备了一定的合作学习体会，具备了一定的合作与交流的能力。
四、教学重难点重点是教学生会用图表分析数字问题。
难点是将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题。
五、教学过程分析本课设计了六个教学环节：第一环节：出示学习目标；第二环节：导学，情境引入，新课讲解；第三环节：知识回忆；第四环节：学以致用；第五环节：练习提高；第六环节：学习反思。
第一环节出示学习目标1、用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有味场景中的数字问题和行程问题。
应用二元一次方程组——里程碑上的数课件北师大版数学八年级上册
三、典型例题
直接设元、间接设元和设辅助未知数
审题
设元
列方程
解方程
明确题目中的数量关系
找出等量关系
检验作答 写出答案
【当堂检测】
1.一个两位数，十位和个位的数字之和为8，若把十位上的数字与个位数字对 调，得到的新数比本来数小18，则原数为（ A ）
A．53
B. 35
C. 62
ห้องสมุดไป่ตู้
D.26
三、典型例题
【当堂检测】
解：联立方程，得
10x+y-3(x+y)=23 10x+y=5(x+y)+1
化简，得
7x-2y=23 5x-4y=1
解这个方程组，得
x y
5 6
所以这个两位数是56.
三、典型例题
例3．从小戴家到小红家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小戴骑自 行车去小红家，如果保持上坡每小时行3km，下坡每小时行6km，他到小 红家需要行60分钟，从小红家回来时需要行68分钟才能到家．那么，从小 戴家到小红家上坡路和下坡路各有多少千米？
三位数的表示方法： 百位数字×100十位数字×10+个位数字
【当堂检测】
2.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以 它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少.
分析 这个两位数的十位数字是x，个位数字是y. 根据一个两位数，减去它的各位数字之和，结果是23， 可列出方程_1_0_x_+_y_-_3_（__x_+_y_）__=_2_3__; 根据这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1， 可列出方程__1_0_x_+_y_=_5_（__x_+_y_）__+_1__;
应用二元一次方程组——里程碑上的数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练
专题5.20应用二元一次方程组——里程碑上的数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】里程碑上的数字问题两位数：十位数字×10+个位数字.三位数：百位数字×100+十位数字×10+个位数字.四位数：千位数字+百位数字×100+十位数字×10+个位数字.......例如：如果一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数可表示为10y+x，而不可表示为yx，因为yx表示y乘x，应注意区别.特别提醒：1.在表示多位数时，什么数位上的数字就乘什么，如百位上的数字乘100，千位上的数字乘1000.2.若用两个数拼一个新数，则要关注两个数的前后顺序和前面的数扩大的倍数与后面的数的数位的关系.【考点目录】【考点1】数字问题；【考点2】几何问题；【考点3】图表信息题；【考点4】开放问题；【考点5】其他问题.【考点一】数字问题【例1】（2023下·河南南阳·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？（2）第一次，他们拼出的两位数是多少？【答案】（1）他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5；（2）第一次他们拼成的两位数为45．【分析】（1）设他们取出的两个数字分别为x 、y ．根据题意列方程组求解即可；（2）根据（1）的结果即可求解．（1）解：设他们取出的两个数字分别为x 、y ．第一次拼成的两位数为10x y +，第二次拼成的两位数为10y x +．根据题意得：910910x y y x x y +=⎧⎨+-=+⎩①②，由②，得：1y x -=③，+①③得：5y =．把5y =代入①得：4x =，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022下·重庆江津·七年级校联考阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x ，乙数为y ．则得方程组（）A ．1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩B ．1001511001001089x y x y x x y +=⎧⎨+=++⎩C ．1001001089100151x y x y y x y +=++⎧⎨+=⎩D ．1001001089100151x y x y y x y +=+-⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．解：设甲数为x ，乙数为y ．根据题意，得方程组1001511001001089x y y y x x y +=⎧⎨+=+-⎩，故选A ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．【变式2】（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP ，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了．．．．．．．．．．．586步，则出门时看到的步数是．【答案】26【分析】设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为一位正整数，即可得出x ，y 的值，再将其代入()10x y +中，即可求出结论．解：设出门时看到的步数的十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意得：()1001010586y x x y ++-+=，∴1164y x =+.又∵x ,y 均为一位正整数，∴2 6x y =⎧⎨=⎩，∴10102626x y +=⨯+=，即出门时看到的步数是26．故答案为：26．【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．【考点二】几何问题【例2】（2023上·四川内江·八年级威远中学校校考期中）（1）一个正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ，求原正方形的边长；（2）已知一个长方形，若它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变．求这个长方形的面积．【答案】（1）12cm ；（2）224cm 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用：（1）设原正方形的边长为cm x ，根据“正方形的边长增加3cm ，面积就增加281cm ”，列出方程，即可求解；（2）设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，根据“它的长增加4cm ，宽减少1cm ，则面积保持不变；若它的长减少2cm ，宽增加1cm ，则面积仍保持不变”，列出方程组，即可求解．（1）解：设原正方形的边长为cm x ，()22381x x +-=，解得12x =．答：原正方形的边长为12cm ；（2）解：设长方形原来的长为cm x ，宽为cm y ，依题意，得()()()()4121x y xy x y xy ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得：4422x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得：83x y =⎧⎨=⎩，所以这个长方形的面积23824cm S xy ==⨯=．答：这个长方形的面积是224cm ．【举一反三】【变式1】（2021上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，周长为34的大长方形ABCD 被分成7个全等的小长方形，则每个小长方形的面积为（）A ．10B ．14C ．20D ．30【答案】A 【分析】本题中的两个等量关系是：长方形长的四倍与宽的七倍之和为34；长的二倍等于宽的五倍，据此建立二元一次方程组求解即可．解：设长方形的长为x ，宽为y ，根据题意，得：473425x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：52x y =⎧⎨=⎩，∴5210xy =⨯=，∴每个小长方形的面积为10．故选：A ．【点拨】本题考查二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．【变式2】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD 的面积是2cm ．【答案】560【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为x 、y ，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．解：设小长方形的长、宽分别为cm cm x y ，，依题意得212328x y y x y +-=⎧⎨+=⎩，解之得164x y =⎧⎨=⎩，∴小长方形的长、宽分别为16cm 4cm ，，∴12220cm,28cm AB y BC =+==，∴大长方形ABCD 的面积22028560cm AB BC =⋅=⨯=，【考点三】图表信息问题【例3】（2022上·陕西西安·八年级统考期末）张老师在某文体店购买商品A 、B 若干次（每次A 、B 两种商品都购买，且A 、B 都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A 、B 的数量和费用如表所示：购买商品A 的数量/个购买商品B 的数量/个购买总费用/元第一次购物65980第二次购物37940（1）求商品A 、B 的标价；（2）若张老师第三次购物时，商品A 、B 同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？【答案】（1）商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个；（2）张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B【分析】（1）设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可；（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案．（1）解：设商品A 的标价为x 元/个，商品B 的标价为y 元/个，根据题意得：6598037940x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：80100x x =⎧⎨=⎩．答：商品A 的标价为80元/个，商品B 的标价为100元/个．（2）设张老师购买m 个商品A ，n 个商品B ，根据题意得：800.61000.6960m n ⨯+⨯=，∴5204m n =-．当4n =时，15m =；当8n =时，10m =；当12n =时，5m =．答：张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A ，4个商品B ；方案二：购买10个商品A ，8个商品B ；方案三：购买5个商品A ，12个商品B ．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023下·河北邢台·七年级校考期末）如图，两架天平均保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（）A ．10gB ．20gC ．25gD ．30g【答案】B 【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量＝两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量50=克．根据这两个等量关系式可列一个方程组，进行求解即可．解：设每块巧克力的重量为x 克，每块果冻的重量为y 克．由题意列方程组得：3250x y x y =⎧⎨+=⎩，解方程组得：2030x y =⎧⎨=⎩．即：每块巧克力的质量是20克．故选：B ．【点拨】题考查二元一次方程的应用，根据等量关系列方程组是关键．【变式2】（2023下·浙江湖州·七年级统考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在33⨯（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图2的方格中填写了一些代数式，若能构成一个广义的三阶幻方，则a b +=．【答案】6-【分析】根据三阶幻方中的数字列方程组求解即可．解：由题意知，322224a a b +=-⎧⎨-=+-⎩，解得33a b =-⎧⎨=-⎩，∴336a b +=--=-，故答案为：6-．【点拨】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练根据三阶幻方列方程求解是解题的关键．【考点四】开放问题【例4】（2017下·江苏南通·七年级校考期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一），答案：6.5吨.【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一）设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意,得3422{2623x y x y +=+=，解得4{ 2.5x y ==.则x+y=4+2.5=6.5（吨）.答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．【举一反三】【变式1】（2020上·辽宁铁岭·八年级校联考期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（）A ．20B ．22C ．23D ．25【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；解：设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x ，y 分，依题意得：32192321x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴解这个方程组为：35x y =⎧⎨=⎩，∴大壮的得分为：432023x y +=+=．故选：C ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．【变式2】（2018下·七年级单元测试）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23cm ，小红所搭的“小树”的高度为22cm ，设每块A 型积木的高为x cm ，每块B 型积木的高为y cm ，则x =，y =．【答案】45解：根据小强搭的积木的高度=A 的高度×2+B 的高度×3，小红搭的积木的高度=A 的高度×3+B 的高度×2，依两个等量关系列出方程组23233222x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩．故答案为：4和5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解．【考点五】其他问题【例5】（2023上·全国·八年级专题练习）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【答案】（1）每瓶免洗手消毒液价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元；（2）学校选用方案一更节约钱，节约76元．【分析】本题考查二元一次方程组的应用．（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．（1）解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a 元、b 元，40901320601201860a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：158a b =⎧⎨=⎩，答：每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；（2）方案一的花费为：()151008600.81584⨯+⨯⨯=（元），方案二的花费为：()15100860100521660⨯+⨯-÷⨯=（元），1660158476-=（元），15841660<，答：学校选用方案一更节约钱，节约76元．【举一反三】【变式1】（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为（）A ．120cmB ．130cmC ．140cmD ．150cm【答案】D 【分析】设1支塑料凳子的高度为 cm x ，每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，根据2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm ，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm ，列出二元一次方程组，解之求出x 、y 的值，即可解决问题．解：设1支塑料凳子的高度为 cm,x 每叠放1支塑料凳子高度增加 cm y ，依题意得：60380x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：5010x y =⎧⎨=⎩10501010150x y ∴+=+⨯=，即11支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为150cm ．故选：D ．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元．学校准备用160元全部购买A ，B 两种奖品若干个，那么可以购买B 种奖品个．【答案】4或8【分析】设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据“购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元”，可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之可得出两种奖品的单价，设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，利用总价=单价×数量，可得出关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 均为正整数，即可得出n 的值．解：设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，根据题意得：2410052130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2015x y =⎧⎨=⎩，∴A 种奖品的单价为20元，B 种奖品的单价为15元．设可以购买A 种奖品m 个，B 种奖品n 个，根据题意得：2015160m n +=，∴384m n =-，∵m ，n 均为正整数，∴54m n =⎧⎨=⎩或28m n =⎧⎨=⎩，∴可以购买B种奖品4或8个．故答案为：4或8．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．。
应用二元一次方程组——里程碑上的数课件北师大版数学八年级上册
100x＋y＝x＋100y＋1 089， 100x＋y＝x＋100y－1 089，
C.100y＋x＝151y
D.100y＋x＝151y
变式2：小凡出门前看了下智能手表上显示的运动步数，发现步数 是一个两位数，步行下楼后发现十位上的数字与个位上的数字互换 了，到小区门口时，发现步数比下楼后看到的两位数中间多了个1， 且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是 ___2_6____．
5x－5y＝10， 5（x－y）＝10， C.4（x－y）＝2y D.4（x－2y）＝2x
例 3：甲、乙从相距 18 千米的两地同时出发，相向而
行，59小时后相遇．如果甲比乙先出发23小时，那么乙
出发23小时后两人相遇．甲、乙的速度分别是多少？
解：设甲的速度是 x 千米/时，乙的速度是 y 千米/时，
图片导入
周瑜寿属 而立之年督东吴，早逝英年两位数. 十比个位正小三，个位平方与寿符. 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜?
自主探究
1.请同学们阅读课本120－121页． 2．请同学们填写120页横线上的内容并回答下面问题： ①一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，则这 个两位数可表示为__1_0_a_＋__b_； ②一个三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位 上的数字为c，则这个三位数可表示为__1_0_0_a_＋__1_0_b_＋__c_； ③一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，把十 位和个位上的数字交换，则新的两位数可表示为__1_0_b_＋__a_．
小组讨论
这是一种“幻圆”游戏，将－1，2，－3，4，－5，6，－7，8 分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字 之和都相等，小明已经将4，6，－7，8这四个数填入了圆圈， 则图中a＋b的值为_－__3_或__－__6．
5.5应用二元一次方程组里程碑上的数 课件北师大版数学八年级上册
思考
你能归纳列方程组解决实际问题的一般步骤吗？
1. 审题，找 等量关系
2. 设未知数
3. 列方程组
4. 解方程组
5. 检验
任务三：波浪公路之旅
一段波浪公路开始离结束 2.7千米，其中有几段为上坡路，剩下为下坡 路，开完全程共用 5分钟. 已知汽车上坡时的平均速度是 30 千米/时， 下坡时的平均速度是 60千米/时.问这段波浪公路上、下坡各多少千米？
解方程 组
检验
随堂练习
1. 李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨 7:00 时看到里程碑上的数是 一个两位数，它的数字之和为 9；8:00 时看到里程碑上的两位数与 7:00 时看到的个位数字和十位数字互换了；9:00 时看到里程碑上的数是 7:00 时看到的数的 8 倍，李刚在 7:00 时看到的数字为多少？
x
y
新三位数
y
x
表达式 100x + y 10y + x
解：设原三位数百位数字为 x，后两位数字为 y. 得方程组：9x = y - 3 100x + y - 45 = 10y + x
9x = y - 3 化简得，
11x - y= 45
解得： x = 4 y = 39
答：原三位数为 439.
3. 汽车在上坡时速度为 28 km/h，下坡时速度 42 km/h，从甲地到乙
解：设乙队每分钟作业长度为 x m，甲每分钟作业长度为 y m.
据题意得： y=x+50
6x 4( x
50)
,
化简得，
y=x+50 x 100
,
解得：
x=100
y
150
,
因此乙队每分钟作业长度为 100 m，甲每分钟作业长度为150 m.
二元一次方程组的应用——里程碑上的数
利用二元一次方程组——里程碑上的数
一、相关知识
1、一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个两位数可表示为10b+a；在这个两位数中间加一个0，得到一个三位数，那么这个三位数可表示为100b+a.
2、两个两位数x和y，若把x写在y的左边，得到一个四位数，这个四位数可表示为100x+y.
二、知识点数字问题（重难点）
两位数等于十位数字×10＋个位数字；
三位数等于百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字；
四位数等于千位数字×1000＋百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字；
……
例如：如果一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，则这两位数表示为（10 y＋x）.
注意：数字问题的应用题一般采用间接设法，通常设组成这个多位数的各个数位上的数字. 例：有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已
知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3，试求原来的三位数.
题中的等量关系如下：
（1）百位数字的9倍＝由十位和个位数字组成的两位数－3
（2）新三位数＝原三位数－45
解：设原来的三位数的百位数字为x，由十位和个位数字组成的两位数字为y，则这个原三位数为100x＋y，对调后的新三位数为10y＋x. 根据题意，得
9x=y-3
10y+x=100x+y-45
解得x=4
Y=39
答：这个三位数是439.
练习题：
一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数.。
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5.5.1应用二元一次方程组－里程碑上的数
姓名：_________ 班级：___________ 使用时间：________
【学习过程】
一：复习旧知：
１．一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：
２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为： .
３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为： .
二：情境引入：
问题1：小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？
①１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；
②１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；
③１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．
分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么
时刻百位数字十位数字个位数字表达式
１２：００
１３：００
１４：００
相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７： .
２．路程差：
１２：００－１３：００：，
１３：００－１４：００：，
路程差相等：
＝
请完整解决此题。
数值问题：数的表达及调整： ① ② ③四位数 例2：两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数的两位数，得到一个四位数。
已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
分析：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y 。
在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为 在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为
小结：
（1）对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等
量关系，这样，条理比较清楚． （２）借助方程组解决实际问题．
表达为 ，调整后为： y x x y
表达为 。
（x 为一位数，y 为一位数） 两位数 三位数 x y
表达为 ，调整后为： y x 表达为 。
（x 为两位数，y 为一位数） x y
表达为 ，调整后为： y
x
表达为 。
（x 为两位数，y 为两位数）
三．巩固练习：
1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是多少？。
分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么时刻十位数字个位数字表达式
７：００
８：００
９：００
2．甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数．
四．随堂训练：
1．已知一个两位数，它的十位上的数字x 比个位上的数字y 大1，•若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（ ）．
1
1..()()9
109
11..1010910109
x y x y A B x y y x x y y x x y x y C D x y y x x y y x -==+⎧⎧⎨
⎨
+--=+=++⎩⎩=+=+⎧⎧⎨
⎨
+=+-+=++⎩⎩
2．（2012凉山州）雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x 千米/小时和y 千米/小时，则下列方程组正确的是( )
A ．702.5 2.5420x y x y +=⎧⎨+=⎩
B ．702.5 2.5420x y x y -=⎧⎨+=⎩
C ．702.5 2.5420
x y x y +=⎧⎨-=⎩
D ． 2.5 2.5420
2.5 2.570
x y x y +=⎧⎨-=⎩
3．（2012滨州）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x ，
y 分钟，列出的方程是（ ）
A ．14
250802900x y x y ⎧
+=
⎪⎨⎪+=⎩ B ．158********x y x y +=+=⎧⎨⎩ C ．14
802502900
x y x y ⎧
+=⎪⎨⎪+=⎩ D ．152********x y x y +=+=⎧⎨⎩。