北师大版-数学-八年级上册-- 里程碑上的数 同步教案
北师大版八年级数学上册：5.5应用二元一次方程组-里程碑上的数(教案)
-例如：在本节课的里程碑问题中，学生需要理解小明和小华行走速度与相遇时间的关系，将这一关系转化为方程组中的未知数和方程。
（2）熟练运用加减消元法和代入法解二元一次方程组，求解实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有一个未知数的方程构成的，它们共同拥有两个未知数。它在解决两个相关联的量的问题中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将里程碑问题转化为二元一次方程组，并通过求解方程组找到小明和小华相遇的情况。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何建立方程组和如何选择消元方法这两个重点。对于难点部分，如如何从实际问题中抽象出数学模型，我会通过举例和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的模拟实验。通过角色扮演，学生可以直观地感受方程组中各变量的意义。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识。
2.通过二元一次方程组的建立与求解，锻炼学生的逻辑思维和推理能力，增强数学抽象素养。
3.在小组合作与交流中，提高学生的数学表达与沟通能力，培养团队合作精神。
4.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，增强数学建模素养，激发学习兴趣。
-通过实际例题，让学生动手操作，加深对方程组解的实际意义的理解。
-对于拓展案例，鼓励学生自主探索，教师适时提供指导，帮助学生适应问题条件的变化，灵活运用所学知识。
北师大版-数学-八年级上册-5.5 应用二元一次方程组里程碑上的数 教学设计
应用二元一次方程组——里程碑上的数教学目标：1.经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；2.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；3.学会开放性地寻求设计方案，培养分析问题，解决问题的能力重点：能根据题意列二元一次方程组；根据题意找出等量关系；难点：正确发找出问题中的两个等量关系课前自主学习1.一个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则这个两位数可表示为：2.一个三位数，若百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：3.一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，若在这两位数中间加一个0，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：.4.a为两位数，b是一个三位数，若把a放在b的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：.新课探究小明爸爸骑摩托车在公路上高速行驶，下图是小明每隔1h看到的里程情况，你能确定小明在12:00时看到里程碑上的数吗？问题再探例两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数，在较大的两位数在左边写上较小的数，也得到一个四位数。
已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。
分析：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y,在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为________________________。
在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为________________________。
解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y,则得所以，这两个两位数分别是45和23. 随堂练习1.已知一个两位数，十位数字比个位数字大3 ，将十位数字与个位数字对调所得的新数比原数小27，求这个两位数。
解：设十位数为x,个位数为y ，则x-y=310x+y+10y+x=77解这个二元一次方程组得x=5,y=3 即这个两位数为53.2.甲、乙两人做加法，甲在其中一个加数后面多写了一个0，得和为2 342；乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，求原来的两个加数．设其中一个加数为x ，另一个加数为y ，若x 被改动了，则甲做和时该数变为10x ，乙做和时，该数变为110x ，于是得方程组：102342,165.10x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩用代入法或加减法解此方程组都不难，那么我们分组比赛怎么样？请两组各派一名代表板演．解法一：由①，得y=2 342-10x．③把③代入②，得110x+2 342-10x=65，解得x=230．把x=230代入③，得y=2 342-10×230=42．∴230,42. xy=⎧⎨=⎩答：原来的两个加数分别为230和42．解法二：①-②，得10x-110x=2 277，解得x=230．把x=230代入①，得10×230+y=2 342，∴y=42．∴230,42. xy=⎧⎨=⎩答：原来的两个加数分别为230和42．课堂小结多个未知数的实际问题，列方程式组是一种有效的数学工具，通常地设了两个未知数就得列两个方程。
北师大版八年级数学上册：55应用二元一次方程组里程碑上的数教学设计
2.教学过程：
（1）导入新课：通过一个与生活密切相关的实际问题，引出二元一次方程组的定义，激发学生的兴趣。
（2）新课讲解：详细讲解代入法、消元法的运算过程，通过例题示范，让学生掌握二元一次方程组的求解方法。
（3）巩固练习：设计不同类型的习题，让学生在练习中巩固所学知识，提高解题能力。
（4）实际应用：将里程碑上的数与二元一次方程组相结合，设计实际问题，让学生运用所学知识解决问题。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与度、问题探究的积极性以及合作交流的能力。
（2）总结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，评价学生对二元一次方程组的掌握程度。
（二）讲授新知，500字
1.教学内容：讲解二元一次方程组的定义、组成及其求解方法（代入法、消元法）。
2.教学方法：通过PPT展示、板书示范，结合实际例题，详细讲解求解过程。
3.学生活动：跟随教师思路，学习二元一次方程组的求解方法，积极参与课堂互动。
（三）学生小组讨论，500字
1.教学内容：设计具有挑战性的实际问题，让学生小组合作，运用二元一次方程组求解。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：展示一张地图，上面标记了两个城市的距离和行驶时间。提出问题：“如何根据给定的信息，确定两个城市的具体位置？”
2.学生思考：让学生尝试根据地图上的信息，构建一个方程组来解决问题。
3.教师引导：通过学生的回答，引出二元一次方程组的定义，强调其解决实际问题的意义。
（2）结合所学知识，为班级设计一份数学手抄报，要求内容丰富、形式多样，展示二元一次方程组的知识点。
优秀教学案例北师大版初中八年级数学里程碑上的数
“应用二元一次方程组----里程碑上的数”教学设计一、教学内容解析1．内容本节课是北师大版八年级数学上册第五章《二元一次方程组》第五节的内容2．内容解析本节课的内容属于“数与代数”领域中的“方程”。
前面4节学生已经学习了二元一次方程(组)的定义、解法及两节应用，学生已经体会到方程的模型思想，感受代数方法的优越性，方程作为数学的一个重要分支，是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型。
本节的重点是通过丰富的实例进一步学习二元一次方程组的应用，强化二元一次方程组的模型思想，提高学生解决实际问题的能力。
本节课的核心内容是能用二元一次方程组解决数字问题的应用题，是在学生学习了二元一次方程组的解法和部分二元一次方程组的应用后，紧接着学习有关数字问题的应用题。
这部分内容的学习，有助于加深学生对数字问题的理解，灵活进行直接设未知数和间接设未知数的选择，进一步提高学生列方程组解应用题的能力。
与前两节相比，本节选择的问题数量关系更为复杂，“里程碑上的数”这一场景较为有趣，既是一个数字问题又和行程有关，用字母表示数字更抽象难度加大，等量关系更隐蔽，据此采取问题串或者借助表格分析的方式将复杂数字问题进行分解，引导学生抓住两个关键：一是用未知数正确表示数字，二是找到等量关系，突破本节课的重难点。
二、教学目标设置1．目标（1）能用二元一次方程组解决数字及实际问题；（2）进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会模型思想，发展应用意识。
学生经历“观察—思考—交流—归纳—应用”的活动，积累丰富的数学活动经验，提升独立思考和合作交流能力；（3）熟练掌握列方程组解应用题的步骤。
2．目标解析本节课通过复习旧知，设置5个小问题，让学生学会已知一个数各位上的数字，如何用代数式表示这个数的方法，问题由浅入深，学生容易回答，从而激发兴趣进入新课。
情景引入，让学生自主学习合作交流，引导学生采用问题串、表格分析或者线段图的方式分析题目中的已知量、未知量和等量关系，让学生体会将一个复杂问题化为几个简单问题的思维方法。
北师大版八年级数学上册《应用二元一次方程组——里程碑上的数》精品教案
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题列方程式要注意哪些点？列出方程；（2）13：00时小明看到的数可表示为，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是；（3）14：00时小明看到的数可表示为，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是；[归纳总结]在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设为未知数。
解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再进行求解。
活动探究二：想一想，回答下面的问题（小组讨论，3min）例两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．活动探究三：想一想，回答下面的问题（小组讨论，3min）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?与同伴交流一下.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:审清题意,找出等量关系;(鸡兔同笼、增收开支、里程碑上的数)设未知数x,y;列出二元一次方程组解方程组；检验；答题.变式1：一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？变式2：小亮和小明做加法游戏,小明在第一个加首先由学生思考，说出设未知数的方法，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。
学生通过练习检验自己对本节知识的掌握情况．动画引入，使数字问题变的更有趣，确实有效地激发了学生的兴趣，学生参与热情很高；借助图表分析，有效地克服了难点设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段。
本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引导，发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该题。
北师大版数学八年级上册5.5应用二元一次方程组—里程碑上的数教案
举例：以里程碑上的数问题为例，重点讲解如何将问题转化为方程组，以及如何使用代入法和消元法求解方程组。
2.教学难点
-难点一：理解实际问题中的等量关系，并将其准确地转化为数学模型。对于初学者来说，从现实情境中抽象出数学问题是一项挑战。
-举例：在里程碑上的数问题中，难点在于如何将里程碑之间的距离关系和总路程关系转化为方程组中的等量关系。
5.激发学生的创新意识，鼓励学生在解决实际问题时，勇于尝试不同的解题方法和策略，培养创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握利用二元一次方程组解决实际问题的方法，特别是如何从实际问题中抽象出数学模型，即列出二元一次方程组。
-掌握代入法、消元法等解二元一次方程组的基本方法，并能够熟练应用于具体问题中。
北师大版数学八年级上册5.5应用二元一次方程组—里程碑上的数教案
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级上册第5章第5节“应用二元一次方程组—里程碑上的数”。教学内容主要包括：利用二元一次方程组解决实际问题，结合里程碑上的数的情境，理解问题的背景，掌握问题的数学模型，并能正确列出方程组。具体内容包括：
1.理解里程碑上的数问题背景，分析问题涉及的等量关系。
2.根据实际问题列出二元一次方程组，并解释每个方程的含义。
3.探讨解二元一次方程组的方法，如代入法、消元法等，求解里程碑上的数问题。
4.通过解决实际问题，培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生能够结合生活情境，发现并理解数学模型，提高数学建模素养。
北师大版数学八年级上册5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数教案
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数●情景导入 小勋爸爸骑着摩托车带着小勋在公路上匀速行驶．(课件出示)如图是小勋每隔1 h 看到的里程情况．问题：同学们，你能确定小勋在9：00时看到的里程碑上的数吗？【教学与建议】教学：创设问题情境，引导学生将实际问题转化为数学问题时，反映了“数学来源于生活”，学习数学是为了更好地“服务于生活”．建议：引导学生审清题意，特别注意给出的条件，比如：匀速行驶，两数字和为7，正好互换，中间多了个0等．●置疑导入 填空：(1)一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数用代数式表示为__10b ＋a __；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，则用代数式表示为__10a ＋b __．(2)一个两位数，个位上的数字为a ，十位上的数字为b ，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为__100b ＋a __．(3)有两个两位数a 和b ，如果将a 放在b 的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为__100a ＋b __；如果将a 放在b 的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为__100b ＋a __．【教学与建议】教学：通过置疑，让学生学会如何用代数式表示多位数．建议：小组讨论交流，对发现的问题及时解决．命题角度1 列二元一次方程组解数字问题解决数字问题，可以用代数式表示原数或新数，根据题意列出方程组．【例1】(1)一个两位数的个位数字与十位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的新的两位数，求这个两位数．设这个两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，所列的方程组正确的是(B)A ．{x ＋y ＝8，xy ＋18＝yxB ．{x ＋y ＝8，x ＋10y ＋18＝10x ＋yC ．{x ＋y ＝8，10x ＋y ＋18＝yxD ．{x ＋y ＝8，10（x ＋y ）＝yx(2)一个三位数，十位上的数比个位上的数大2，百位上的数是十位上数的2倍．如果把百位上的数与个位上的数对换，那么可以得到比原来小495的三位数，求原三位数．解：设原三位数个位数为x ，则十位数为x ＋2，百位数为2(x ＋2).由题意，得100×2(x ＋2)＋10(x ＋2)＋x －495＝100x ＋10(x ＋2)＋2(x ＋2)，解得x ＝1，∴x ＋2＝3，2(x ＋2)＝6，∴原三位数为631.命题角度2 行程问题解决行程问题要抓住时间、路程、速度之间的关系．弄清题意，找出等量关系，正确列出方程组．【例2】(1)从甲地到乙地的路有一段上坡路，一段下坡路．如果上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，那么从甲地走到乙地需要4.5 h ，从乙地走到甲地需要4.25 h ．甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？解：设甲地到乙地上坡路程为x km ，下坡路程为y km.由题意，得⎩⎨⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25. 解得x ＝24，y ＝18. 答：上坡路24 km ，下坡路18 km.(2)甲、乙两地相距360 km ，一艘轮船往返于甲、乙两地，顺水行船用18 h ，逆水行船用24 h ，若设该船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，则可列方程组为__{18（x ＋y ）＝360，24（x －y ）＝360 __．高效课堂 教学设计1．用二元一次方程组解决数字问题和行程问题．2．归纳用方程组解决实际问题的一般步骤．3．让学生学会借助图表分析问题，感受化归思想．▲重点用二元一次方程组解决数学问题．▲难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型．◆活动1 创设情境 导入新课(课件)请同学们认真观察这些图片，图片上显示的都是里程碑，里程碑上隐藏着许多数学知识，同学们想知道吗？那就让我们一起探索吧！◆活动2 实践探究 交流新知【探究问题】小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1 h 看到的里程情况．你能确定小明在12：00时看到的里程碑上的数吗？自主探究：匀速行驶是什么含义？每个小时行驶的路程一样吗？如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么(1)12：00时小明看到的数可表示为__10x ＋y __，根据两个数字之和是7，可列出方程__x ＋y ＝7__；(2)13：00时小明看到的数可表示为__10y ＋x __，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是__(10y ＋x )－(10x ＋y )__；(3)14：00时小明看到的数可表示为__100x ＋y __，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是__(100x ＋y )－(10y ＋x )__；(4)12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？ 解：根据以上分析，得方程组{x ＋y ＝7，（100x ＋y ）－（10y ＋x ）＝（10y ＋x ）－（10x ＋y ）.化简得{x ＋y ＝7，y ＝6x .解这个方程组，得{x ＝1，y ＝6. 答：小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.问题1：十进制数一般用字母如何表示？【归纳】两位数：a 1a 2＝10a 1＋a 2；三位数：a 1a 2a 3＝100a 1＋10a 2＋a 3；四位数：a 1a 2a 3a 4＝1 000a 1＋100a 2＋10a 3＋a 4，问题2：列二元一次方程组的一般步骤是什么？【归纳】审、找、设、列、解、验、答．◆活动3 开放训练 应用举例【例1】教材P 121例题【方法指导】设较大的两位数为x ，较小的两位数为y .在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为__100x ＋y __；在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为__100y ＋x __．为了让学生有一个清晰的解题过程，展示如下：解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，根据题意，得{x ＋y ＝68，（100x ＋y ）－（100y ＋x ）＝2 178，化简，得{x ＋y ＝68，99x －99y ＝2 178， 即{x ＋y ＝68，x －y ＝22，解这个方程组，得{x ＝45，y ＝23. 所以这两个两位数分别是45和23.【例2】某人骑车外出旅游，已知他的路程分为上坡和下坡，上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，去时他共用了4.5 h ，原路返回共用了4.25 h ，求去时上坡路长和下坡路长．【方法指导】行程问题中路程、速度、时间之间的关系．解：设去时上坡路长为x km ，下坡路长为y km.根据题意，得⎩⎨⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25. 解得{x ＝24，y ＝18.答：去时上坡路长为24 km，下坡路长为18 km.◆活动4随堂练习1A．24 B．42 C．51 D．152．一个两位数，数字之和为7，若原数加45，等于此两位数交换其数位上的数的位置后得到的新数，则原数是多少？若设原数十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出的下列方程组中正确的是(C) A．{10x＋y＝7，10x＋y＋45＝10y＋x B．{10x＋y＝7，x＋y＋45＝y＋xC．{x＋y＝7，10x＋y＋45＝10y＋x D．以上都不对3．某船顺流航行48 km用了4 h，逆流航行32 km用了4 h，求水流速度和船在静水中的速度．解：设船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.根据题意，得{4（x＋y）＝48，4（x－y）＝32，解得{x＝10，y＝2.答：船在静水中速度为10 km/h，水流速度为2 km/h.◆活动5课堂小结与作业学生活动：这节课的主要收获是什么？用二元一次方程组解决问题的关键是什么？教学说明：会列方程组解决数字问题和行程问题，体会模型思想．作业：课本P121随堂练习，P122习题5.6中的T2、T3、T4.给予学生独立思考的空间有助于学生思维的发展．而各组围在黑板前去讨论、探究，从而列方程，解方程，使每个学生都能积极参与到活动中．以小组为单位解决问题增强了学生的小组荣誉感，每个学生都想积极争做最好．同时也利于教师去观察学生分析问题的能力，了解他们解决问题的方向．。
八年级数学上册5.5里程碑上的数教案(新版)北师大版
课题：5.5里程碑上的数教学目标:1. 用二元一次方程组解决数字问题和行程问题，归纳用方程组解决实际问题的一般步骤.2. 经历列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.3•在学习过程中体验把复杂问题化为简单问题的策略，并鼓励学生合作交流，培养学生的 团队精神. 教学重点与难点：重点：用二元一次方程组解决数字问题和行程问题， 初步体会列方程组解决实际问题的步骤. 难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型 .课前准备：多媒体课件。
教学过程：一、情境创设，激趣导入小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶 .（课件出示）下图是小明每隔1小时看到的里程情况.问题：同学们，能确定小明在 12:00时看到的里程碑上的数吗？处理方式：教师多媒体展示情境，引导学生们仔细观看图片， 并根据问题提示激发思考. 可以预设导语为：通过大家的共同努力， 我们用二元一次方程组解决了 “鸡兔同笼”，“增收 节支”等生活中的问题，这节课我们利用二元一次方程来解决小明看到里程碑上的数是多 少？【教师板书课题：5.5里程碑上的数】设计意图：创设问题情境，激发学生的学习兴趣. 在引导学生将实际问题转化为数学问 题时,学生会感到一些困难，从而教师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决T .这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了 “数学来源于生活”，学是一个两位 数字，它的两个 数字之和为7.14 ：W十位与个位数 字与12:00时所看 到的正好互换了比12:00时看到的两位数中间 多了个0.习数学是为更好“服务于生活” •二、知识回顾，夯实基础师：要利用二元一次方程解决有关数字的问题，就必须理解如何用字母表示两位数或三位数•问题1: 一个两位数，十位数字是 4个位数字是3,则这个两位数是__________________________ .问题2: 一个两位数，十位数字是X,十位数字是y,则这个两位数用代数式表示为问题3: 一个三位数，百位数字是X,十位数字是y,个位数字是z,则这个三位数用代数式表示为____________ .问题4:有两个两位数X和y.如果将X放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示如果将X放在y的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为处理方式：学生先独立解决，然后小组内交流.针对(2) (3)中出现的Xy和XyZ这种错误表示法要及时纠正.第四题有点难度，教师在巡视时给予点拨.设计意图：通过以上四个问题，让学生在已知一个数各位上的数字条件下，学会用代数式表示这个数，为后面的学习做好铺垫，打下基础.三、例题解析，提升技能例两个两位数的和是 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数. 已知前一个四位数比后一个四位数大 2178,求这两个两位数.处理方式：学生先独立思考，然后教师根据学生思考情况组织组内进行交流，归纳得出题目中的等量关系，讨论后列出方程组并求解.可以把分析过程设计成问题帮助学生理解.解：设较大的两位数为X,较小的两位数为y.在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，所得的四位数可表示为在较大的两位数的左边写上较小的两位数，所得的四位数可表示为_________ .由题意列方程组为f X -解该方程组，得所以这两个两位数是_______ 和__设计意图：让学生经历和体验列方程组解决实际问题的过程，培养学生的独立思考的能力和与人合作的意识•共同分析题目中包含的所有等量关系并用等式的形式写出来，便于学生设未知的两个量，顺利列出方程组，更好地体会二元一次方程组是刻画现实世界的有效模型。
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北师大版数学八上 里程碑上的数 同步教案
教学目的和要求：
1． 进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。
2． 会列二元一次方程组解决有关数学的问题。
3． 进一步领会列方程组解决实际问题的一般步骤。
教学重点和难点：
重点：
1． 用二元一次方程解决实际问题。
2． 体会方程（组）是刻画现实世界有有效数学模型，培养数学应用能力。
难点：
1． 如何应用方程组解决实际问题。
2． 数学应用能力的培养。
快速反应：
1．如果一个三位数百位上的数字为x ，十位上的数字为y ，个位上的数字为z ，那么这个三位数可表示为
答案：100x+10y+z
2．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是多少？
(1)列方程所依据的相等关系有 、 。
(2)如果设李刚有7:00时看到的数的十位数字是x ，个位的数字是y ，那么
①7:00时，李刚看到的数可以表示为 ；
②8:00时，李刚看到的数可以表示为 ；
③9:00时，李刚看到的数可以表示为 ；
④根据(1)中的相等关系可得方程组为{ 。
答案：两数字之和为9，两时间段路程一样，10x+y,10y+x,8(10x+y),⎩
⎨⎧=++=+9)10(9)10(2y x y x x y 自主学习：
1．一个两位数的十位数字与个位数字的和为7，如果将十位数与个位数字对调后，所得的数比原
数小27，求原来的两位数。
解：设原来两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，根据题意，得
⎩⎨⎧+=-+=+x
y y x y x 1027107 ⎩
⎨⎧==25y x 答：原来的两位数为52。
2．甲、乙两人相距42Km ，如果两人从两地相向而行，2小时后相遇，如果二人同时从两地出发，同向而行，14h 后乙追上甲，求二人的速度。
解：设甲的速度为x Km/h ，乙的速度为y Km/h 。
根据题意，得
⎩⎨⎧=+=+y
x y x 1442144222 解方程组，得⎩⎨⎧==12
9y x
答：设甲的速度为9 Km/h ，乙的速度为12 Km/h 。
3．有两种不同浓度的溶液，如果从第一种中取20L ，从第二种中取30L ，那么混合后得浓度为36%的混合液，如果从第一种中取40L ，从第二种取50L ，那么混合后得浓度为
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16混合液，求两种溶液原来的浓度。
解：设第一种溶液原来的浓度为x %，第二种溶液原来的浓度为y %，则 ⎪⎩
⎪⎨⎧+=++=+4516·)5040(%·50%·40%36·)3020(%·30%·20y x y x ⎩⎨⎧==40
30y x 答：第一种溶液原来的浓度为30%，第二种溶液原来的浓度为40%。
4．一个三位数，三个数位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位数大3，如果把百位上的数字与个位的数字对调，所得的新数比原数小198，求原数。
解：设这个三位数百位、十位、个位数字分别为x 、y 、z ，根据题意得
⎪⎩
⎪⎨⎧=++-+++=+=++198)10100(101003
17x y z z y x z y x z y x ）（
⎪⎩
⎪⎨⎧===719z y x
答：这个三位数为917。
5．小张、小王和小李三人进行自行车比赛，小张比小王早12min 到达终点，小王比小李早3min 到达终点，他们算了一下，小张比小王每小时要快5Km ，小王比小李每小时要快1Km ，他们三人进行自行车比赛的路程有多长？
解：设小张所用时间为x h ，速度为y Km/h ，则小王所用时间为h x )51(+，速度为（y-5）Km/h ，小李所用时间为h x )4
1
(+，速度为（y-6）Km/h ，于是由三个人赛程相同，有 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-+=)6)(41()5)(51(y x xy y x xy ⎩
⎨⎧==301y x 答：他们三人进行自行车比赛的路程为30Km 。
6．（1989年福建省中考题）某车间每天能生产甲各零件120个，或者乙种零件100个，或丙种零件200个，甲、乙、丙三种零件分别取3个、2个、1个才能配成一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？
解：设甲、乙、丙三种零件分别应生产x 天、y 天、z 天，则三种零件依次生产了120x 个，100y 、200z 个，由题意有：
⎪⎩⎪⎨⎧===++z y x z y x 20021003
12030 解得：⎪⎩
⎪⎨⎧===31212z y x
答：甲、乙、丙三种零件分别应生产12天、12天、3天。
5、有甲、乙两种盐水，若分别取甲种盐水240g ，乙种盐水120g ，混合后，制成的盐水浓度为8%；若分别取甲种盐水80g ，，乙种盐水160g ，混合后，制成的盐水浓度为10%，求甲、乙两种盐水的浓度各是多少？
解：设甲种盐水的浓度为x ，乙种盐水浓度为y ，根据题意，得
⎩
⎨⎧+=++=+%10)16080(16080%8)120240(120240y x y x 解方程组得：⎩⎨⎧==12
.006.0y x 答：甲种盐水的浓度为6%，乙种盐水浓度为12%.
小结
1． 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题。
2． 这种处理问题的过程可以进一步概括为：
解答检验
求解组方程抽象分析问题)( 3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用。
课外作业：《畅游数学》“§7.5里程碑上的数”部分。