整式的乘法教案
14.1 整式的乘法（第1课时）
熊农中学姜开岚
一、内容和内容解析
1.内容
同底数幂的乘法.
2.内容解析
同底数幂的乘法是幂的一种运算，在整式乘法中具有基础地位.在整式的乘法中，多项式的乘主要转化为单项式的乘法，单项式的乘法要转化为幂的运算，而幂的运算以同底数幂的乘法为基础.
同底数幂的乘法将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算，其中底数a可以是具体的数·单项式·多项式·分式乃至任何代数式.同底数幂的乘法是类比数的乘方来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出同底数幂的乘法的性质，进而通过推理加以推导，这一过程蕴含数式通性,从具体到抽象的思想方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：同底数幂的乘法的运算性质.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算.
（2）体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生根据乘方的意义推导出同底数幂的乘法的性质，会用符号语言和文字语言表达这一性质，会用性质进行同底数幂的乘法运算.
达成目标（2）的标志是：学生在发现和推导同底数幂的乘法的运算性质的过程中，能认识到具体例子在发现结论的过程中所起的作用，能体会到数式通性在推导结论的过程中的重要作用.
三、教学问题诊断分析
在前面的学习中，学生已经学习了用字母表示数以及整式的加减运算，但是用字母表示幂以及幂的运算，尚属首次。幂的运算抽象程度较高，不易理解.特别是对于a的（m+n）次方的指数的理解，因为它不仅抽象程度较高，而且运算结果反映在指数上，学生第一次接触，也很难理解.教学时，应引导学生回顾乘方的意义，从数式通性的角度理解字母表示的幂的意义，进而明确同底数幂的乘法的真理.
本节课的教学难点是：同底数幂的乘法的运算性质的理解与推导.
四、教学过程设计
1.感受学习同底数幂的乘法的必要性（创设情境，明确目标）
七年级的时候我们学习过整式的加减，a2＋2a2同学们肯定会计算，因为它们是同类项，相同字母的指数相同，当指数不一样的时候还能
计算吗？如a2＋a3？如果我们把加法转化为乘法，a2·a3它能计算吗？它等于多少呢？要想解开这个疑惑的话，就认真学习我们本节课同底数幂的乘法，相信学完以后都能解开谜底了.
（1）回顾乘法与幂的相关知识：
①a n的意义是n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫做底数，n是指数；
24＝2×2×2×2；
10×10×10×10×10＝105
②指出下列幂的底数和指数：
(－a)2底数为－a，指数为2；a2底数为a，指数为2；
(x－y)3底数为x－y，指数为3;_(y－x)n底数为y－x，指数为n；
问题一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s可进行多少次运算？
（1）如何列出算式？
（2） 1015的意义是什么？
（3）怎样根据乘方的意义进行计算？
师生活动：教师提出问题，学生列出算式并解答。要求学生写出解答过程中每一步的依据，明确算理。即
它工作103s可进行运算的次数为1015×103.
1015×103=（10×…×10）×（10×10×10）乘方的意义
15个10 3个10
=10×10×…×10 乘法结合律
18个10
=1018 乘方的意义
设计意图：让学生感受学习同底数幂的乘法的必要性，并通过有步骤、有依据的计算，为探索同底数幂的乘法的运算性质做好知识和方法的铺垫.
2. 探索并推导同底数幂的乘法的性质
问题2 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1）25×22=2（）
（2）a3·a2=a（）
（3）5m×5n=5（）
师生活动：学生独立计算，三位同学在黑板上板书，要求每个步骤都要写出计算的依据.师生共同分析板书的结果.如果学生有困难，引导学生回顾问题1的解答过程，再进行计算.
设计意图：
（1）三个特殊的算式具有代表性和层次性，其中的乘数分别为：底数和指数都是数、底为字母指数为数、底为数指数为
字母；
（2）这三个算式为抽象概括出一般的结论奠定基础；
（3）让学生在每个算式的计算过程中进一步明确算理和算法，今儿得出正确结果.
追问1：上述三个等式左边的乘数有什么共同的特征？
追问2：等式右边的积都是什么形式？积的底数和指数分别与乘数中的底数、指数有什么关系？
追问3：根据你的观察，你能再举一个例子，使它具有上述三个乘法运算的乘数的共同特征吗？不写计算过程直接猜出它的运算结果.
追问4：你能用符号表示你发现的规律吗？
师生活动：学生观察并独立思考，初步获得结论。通过再举例子，进一步验证自己的发现，最后师生共同用符号概括出所发现的规律.
设计意图：让学生在观察、比较、抽象、概括中总结出同底数幂的乘法运算的本质特征，并才想出其性质，即a m·a n=a m+n
问题3 你能将上面发现的规律推导出来吗？
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考并写出推导过程，然后小组交流，学生代表展示推理过程.
a m×a n=（a·a·…·a）·（a·a·…·a）乘方的意义
m个a n个a
= a·a·…·a 乘法结合律
(m+n)个a
=a m+n 乘方的意义
设计意图：通过推导得出同底数幂的乘法的运算性质。让学生认识到，只有通过推理，才能最终确认结论。体验数式通性、从具体到抽象的思想方法对解决问题的价值.
追问1：通过上面的探索和推导，你能用文字语言概括出同底数幂的乘法的运算性质吗？
追问2：a m·a n=a m+n（m，n 都是正整数）表述了两个同底数幂相乘的结果，那么，a m·a n·a p怎样计算？四个、五个…多个同底数幂相乘，结果又会怎样？
师生活动：学生尝试用数学语言概括出同底数幂乘法的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.并将这一性质推广到多个同底数幂相乘的情况.
设计意图：通过利用文字语言概括性质以及对性质进行推广的过程，促进学生对公式结构特征的深层理解.
3.运用同底数幂的乘法的运算性质
例计算：
（1）x2·x5
（2）a·a6
（3）（-2）×（-2）4×（-2）3
（4）x m·x3m+1
师生活动：师生共同分析解答，教师板书（1），学生板书（2）（3）（4）.教师着重让学生说明底是什么，指数是什么，让学生观
察是不是同底数幂相乘，引导学生运用性质进行计算，（2）a=a 1是学生易错点，教师提问可能会出错的学生，并抓住时机强调此问题.
设计意图：让学生运用性质进行计算，在积累解题经验的同时，体会将同底数幂的乘法运算转化为指数的加法运算的思想.
练习1 判断下列计算是否正确，并简要说明理由：
（1） n 3·n 7=n 10；（2）a 3+a 5=a 8；（3）y 5·y 4=y 20；
（4） x ·x 2=x 2； （5）b 4·b 4=2b 4
师生活动：学生回答，并互相补充。教师要重点提醒学生分析题目条件，能否应用同底数幂的乘法的运算性质以及如何正确应用.
设计意图：让学生通辨析，加深对性质的理解和运用.
练习2 计算：
（1）（-21）×（-21）2×（-21）3； （2）a 2·a 6
师生活动：学生独立解答，学生代表板书，学生相互评价. 设计意图：巩固同底数幂乘法的运算性质.
练习三 计算：
（1）（-3）×（-3）3×（-3）4； （2）（a+b ）4·（a+b ）7；
（3）（n-m ）5·（m-n ）4; （4）（m-n ）3·（m-n ）5·（m-n ）
7
师生活动：学生独立解答，代表板书，师生共同评价.
设计意图：此练习涉及符号问题和幂的底数为多项式的情况，难度稍大.学生通过练习，可以更好地理解和运用性质，进一步提高分
析问题和解决问题的能力.
4.归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：
本节课学习了哪些主要内容？
（2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？
设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，把握本节课的核心内容——同底数幂的乘法的运算性质，进一步体会数式通性和从具体到抽象的方法在解决数学问题中的作用.
5.布置作业
必做题：教科书96页练习（2）（4），习题14.1第1（1）（2）题.
选做题：已知a m=5，a n=125，求a m+n的值.
五·目标检测设计
1．计算：（1）73×74；（2）（-y）3·（-y）7·（-y）4；
（3）（b-a）2n×（a-b）2n+1
设计意图：考查学生对同底数幂的乘法的运算性质的理解和应用，其中第（2）题涉及符号问题，第（3）题的底数为多项式.
2.（选做题）若k m=8，k n=64，则k m+n=＿.
设计意图：考查学生对同底数幂的乘法的运算性质的逆向使用.