几何证明的基本方法

几何证明的基本方法

一．割补法：

1.（全等）如图，点E 是BC 中点，CDE BAE ∠=∠，求证：CD AB =

（相似）如图，点E 是BC 上一点，EC k BE ⋅=，CDE BAE ∠=∠，猜想AB 、CD 的数量关系.

2. （全等）如图，在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，AC AB =，BA CD //，点P

是BC 上一点，连结AP ，过点P 做AP PE ⊥交CD 于E .

探究PE 与PA 的数量关系.

相似）如图，在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，AC k AB ⋅=，BA CD //，点P 是BC 上一点，连结AP ，过点P 做AP PE ⊥交CD 于E .

探究PE 与PA 的数量关系.

--1--

3. （全等）如图，在ABC ∆中，AC AB =，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且CE BD =，DE 交BC 于点P .

探究PE 与PD 的数量关系.

（相似）如图，在ABC ∆中，AC k AB ⋅=，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且CE BD =，DE 交BC 于点P .

探究PE 与PD 的数量关系.

1

探究BE 与CD 的数量关系.

（相似）如图，在ABC ∆中，A ECB DBC ∠=∠+∠，BD 、CE 交于点P ，PC k PB ⋅=.

探究BE 与CD 的数量关系.

5．（全等）如图，在EBC ∆中，BD 平分EBC ∠，延长DE 至点A ，使得ED EA =，且C ABE ∠=∠. 探究AB 与CD 的数量关系.

（相似）如图，BD 平分EBC ∠，D '是BD 上一点，且D B k BD '⋅=，连结C D '、DE ，并延长DE 至点A ，使得ED EA =，且C ABE ∠=∠.

探究AB 与D C '的数量关系.

6.（全等）如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，P 为AB 的中点，

PF PE ⊥分别交AC 、BC 于E 、F .

探究PE 、PF 的数量关系.

（相似）如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，P 为AB 上一点，且PB k AP ⋅=，PF PE ⊥分别交AC 、BC 于E 、F .

探究PE 、PF 的数量关系.

（相似）如图，在ABC ∆中，BC AC =，P 为AB 上一点，且PB k AP ⋅=，

︒=∠+∠180C EPF ，EPF ∠的两边分别交AC 、BC 于E 、F .

探究PE 、PF 的数量关系.

7. （全等）如图，CD CB =，︒=∠+∠180CDE ABC ，DE AB =.

探究：AF 与EF 之间的数量关系

（相似）如图，CD CB =，︒=∠+∠180CDE ABC ，DE k AB ⋅=.

探究：AF 与EF 之间的数量关系

如图，直线1l 、2l 相交于点A ，点B 、点C 分别在直线1l 、2l 上，AC k AB ⋅=，连结BC ，点D 是线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合），作α=∠=∠BAC BDE ，与ECF ∠的一边交于点E ，且ABC ECF ∠=∠.

⑴如图1，若1=k ，且︒=∠90α时，猜想线段BD 与DE 的数量关系，并加以证明；

⑵如图2，若1≠k ，时，猜想线段BD 与DE 的数量关系，并加以证明.

二．倍长中线法：

1. （全等）如图，点E 是BC 中点，CDE BAE ∠=∠，求证：CD AB =

（相似）如图，AD 是ABC ∆的中线，AC k AB ⋅=，点E 是AC 延长线上一点，且BAD AEF ∠=∠，EF 交BA 延长线于点F .探究AE 、AF 的数量关系.

2. （全等）如图，在ABC ∆中，AB CD =，BDA BAD ∠=∠，AE 是BD 边的中线.求证：AE AC 2=

（相似）如图，在ABC ∆中，AD k AB ⋅=，BDA BAD ∠=∠，AE 是BD 边的中线，且C EAD ∠=∠. 探究AE 、AC 的数量关系.

3. （全等）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，G 为BC 的中点，AD EG //交CA 延长线于E . 求证：EC BF =

（相似）如图，在ABC ∆中，G 为BC 的中点，E 为CA 延长线上一点，EG 交AB 于F ，EG AD //交BC 于点D ，AB CH //交AD 延长线于点H ，且AC k EC ⋅=.探究：FB 与CH 的数量关系.

4. （全等）如图，等腰直角ABC ∆与等腰直角BDE ∆，

P 为CE 中点，连接PA 、PD .

（相似）如图，ABC ∆与BDE ∆中，︒=∠=∠90BDE CAB ，AB k AC ⋅=，DB k DE ⋅=，P 为CE 中点，连接PA 、PD .

探究PA 、PD 的数量关系.

5. （全等）如图，两个正方形ABDE 和ACGF ，点P 为BC 的中点，连接PA 交EF 于点Q . 探究AP 与EF 的关系.

（相似）⑴如图1，两个矩形ABDE 和ACGF 相似，AB k AE ⋅=，点P 为BC 的中点，连接PA 交EF 于点Q .探究AP 与EF 的关系.

⑵如图2，若将“两个矩形ABDE 和ACGF 相似”改为“两个平行四边形ABDE 和ACGF 相似”，且α=∠EAB .探究AP 与EF 的关系.

6．已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.

⑴试说明线段ME与MC的关系.

α），其他条件不变，上述结论还⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转α度数（︒

<90

正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由.

7.如图1，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.

⑴操作：将三角板中的︒

∆的内部，两边分别与正方形90角的顶点与点O重合，使这个角落在ABC

ABCD的边AB、BC交于F、E.当F、E的位置发生变化时，请你通过测量并回答，每组AF、FE、EC三条线段中，哪一条线段是中始终最长.

⑵以AF、FE、EC这三条线段能否组成以FE为斜边的直角三角形？

若能，请你证明；若不能，请你说明理由.

⑶探究：如图2，ABC

B，点O是斜线AC的中点，当︒

90角的顶点与点O重合，使这个角

∠90

=

∆，︒

在ABC

∆的内部绕点O转动时，⑵中的结论是否仍然成立？请你证明.

8.⑴如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的

边BC的延长线上（BC

CG>）

取线段AE的中点P.

探究：线段PD、PF的关系，并加以证明.

⑵如图2，将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后，其他条件不变. 探究：线段PD、PF的关系，并加以证明.