平面向量与解析几何的综合运用

平面向量与解析几何的综合运用

数学组 施冬芳

由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。近几年全国各地的高考试题中，向量与解析结合的综合问题时有出现。但从最近教学情况来看，学生对这一类问题的掌握不到位，在试卷上经常出现进退两难的境地，因此，就这一问题做一归纳总结和反思。

平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：

1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题

运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究

这类问题要简捷的多。 例1. (全国卷Ⅰ)）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB + 与(3,1)a =- 共线。

（Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB R λμλμ=+∈ ，证明22μλ+为定值。 解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a b

y a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入122

22=+b

y a x ，化简得 02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .

令A （11,y x ），B 22,(y x ），则22222121222222,.a c a c a b x x x x a b a b -+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+ 与a 共线，得

,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，

.23,

0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222c b

a c a =+，所以36.32222a

b a

c b a =-=∴=， 故离心率.3

6==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆122

22=+b y a x 可化为.33222b y x =+ 设(,)OM x y = ，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=

⎩⎨⎧+=+=∴.

,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①

由（1）知.2

1,23,23222221c b c a c x x ===+ .032

9233)(34)

)((33832

222212121212121222222221=+-=

++-=--+=+=+-=c c c c c x x x x c x c x x x y y x x c b

a b a c a x x

又2

22222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ

故22μλ+为定值，定值为1. 例2（天津卷）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c, 0）(c ＞0)的准线l 与x 轴相交于点

A,.2FA OF = 过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率；

(Ⅱ)若,0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；

(Ⅲ)设)1(>=λλAQ AP ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：.FQ FM λ-=

[简解] (Ⅰ) 椭圆方程为12622=+y x ,离心率.3

6=e (Ⅱ)略. (Ⅲ) [证明] 设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),又A （3，0），),3(),,3(2211y x y x -=-=由已知得方程组：

2121),3(3y y x x λλ=-=-； .12

6;12622222121=+=+y x y x 注意λ＞1，消去x 1、y 1和y 2 得

.2152λ

λ-=x 因F （2 , 0）, M （x 1,－y 1）， 故).,21(),21(),1)3((),2(211211y y y x y x λ

λλλλ--=--=-+-=--= 而).,21(),2(222y y x λ

λ-=-= 所以 λ-=.

2.运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题；运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。

例3. （重庆卷）设p ＞0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y 2＝2px 交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆H （H 为圆心），试证明抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程。

[分析] 要证点O 在圆H 上，只要证OA ⊥OB ，可转化为向量运算·＝0，用向量运算的方法证明．（见图1）

[解答] 由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方

程为：ky ＝x －2p 又设A （x A ,y A ）,B(x B ,y B ), 则其坐标满足 ky ＝x －2p

y 2＝2px

由此得 22)2()(p y y B A ＝4P 2 x A ＋x B ＝4p ＋k (y A ＋y B ) ＝(4＋2k 2)p ， x A x B ＝

因此OA ·OB ＝x A x B ＋y A y B ＝0，即OA ⊥OB

故O 必在圆H 的圆周上。

又由题意圆心H （x H , y H ）是AB 的中点，故

由前已证，OH 应是圆H 的半径，且OH ＝22H H y x +＝4524++k k p

从而当k ＝0时，圆H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小。

此时，直线AB 的方程为：x ＝2p .

3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。

例4．（全国新课程卷）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C 满足pk

y y B A 2=+2

4p y y B A -=2A B H x x x (2k )p 2+==+kp y y y B A H =+=2

消去x ，得y 2－2pky －4p 2＝0