5.4 平面向量的综合应用

§5.4 平面向量的综合应用1.用向量方法解决几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直、距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.2.向量的符号形式及图形形式的重要结论 (1)向量的和与差的模：||a ＋b ＝___________________________，||a －b ＝________________________.(2)①G 为△ABC 重心的一个充要条件：___________________________；②O 为△ABC 外心的一个充要条件：__________________________；③P 为△ABC 垂心的一个充要条件：__________________________.(3)不同的三点A ，B ，C 共线⇔存在α，β∈R ，使得OA →＝αOB →＋βOC →，O 为平面任意一点，且____________.3.向量坐标形式的几个重要结论设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，θ为a 与b 的夹角.(1)长度或模||a ＝____________；||AB→＝________________. (2)夹角cos θ＝____________＝__________________. (3)位置关系a ∥b ⇔____________(b ≠0且λ∈R )⇔____________.a ⊥b ⇔____________⇔____________.自查自纠： 2.(1)a 2＋2a ·b ＋b 2 a 2－2a ·b ＋b 2(2)①GA →＋GB →＋GC →＝0②||OA →＝||OB →＝||OC→ ③P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →(3)α＋β＝13.(1)x 21＋y 21（x 4－x 3）2＋（y 4－y 3）2 (2)a ·b||a ||b x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(3)a ＝λb x 1y 2－x 2y1＝0 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0一艘船从点A 出发以4 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船在水流的作用下实际行驶的速度为8 km/h ，则江水的流速的大小为( )A.2 km/hB.4 km/hC.3 2 km/hD. 2 km/h解：由向量加法的平行四边形法则及勾股定理知B 正确，故选B.已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则||a －b 的最大值为( )A.1B. 2C. 3D.2解：∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)，∴||a －b ＝02＋（sin θ－cos θ）2＝1－sin2θ. ∴|a －b |的最大值为2.故选B.(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5B.2 5C.5D.10解：∵AC →·BD →＝0，∴对角线AC ，BD 互相垂直，∴S ＝12|AC |·|BD |＝12×5×25＝5(此题亦可用坐标法解).故选C.一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：N )的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为____________.解：F 1＋F 2＝－F 3，∴||F32＝||F 1＋F 22＝4＋16＋2×2×4×12＝28，∴||F 1＋F 2＝27.故填27.(2013·北京西城区一模)如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC →·DB →＝________.解：AC →＝AB →＋BC →，DB →＝DA →＋AB →＝AB →－2BC →，设AB →与BC →的夹角为θ，则θ＝60°，cos60°＝12，∴AC →·DB →＝(AB →＋BC →)·(AB →－2BC →)＝AB →2－AB →·BC →－2BC →2＝1－1×1×12－2＝－32.故填－32.类型一 向量与函数、三角函数(1)已知非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a ·b x ＋1在x ∈R 上有极值，θ为a ，b 的夹角，则θ的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎝⎛⎦⎤π6，π2D.⎝⎛⎦⎤π6，π 解：f (x )在R 上有极值，∴f ′(x )＝0有不等实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a ·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a ·b＝0有不等实根，∴Δ＝4|a |2－8a ·b ＞0，即a ·b ＜12|a |2，∵cos θ＝a ·b |a ||b |，|a |＝3|b |，∴cos θ＜12|a |2|a ||b |＝32，∴π6＜θ≤π.故选D.(2)(2014·湖南模拟)若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3 (－2＜x ＜10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝( )A.－32B.－16C.16D.32解：由已知，A 的坐标为(4，0)，B ，C 关于点A 对称，即A 是B ，C 的中点，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝32.故选D.(3)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2. (Ⅰ)若a ⊥b ，求θ； (Ⅱ)求|a ＋b |的最大值.解：(Ⅰ)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，∵－π2＜θ＜π2，∴tan θ＝－1，∴θ＝－π4.(Ⅱ)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)， 得a ＋b ＝(sin θ＋1，1＋cos θ).∴|a ＋b |＝（sin θ＋1）2＋（1＋cos θ）2 ＝3＋2（sin θ＋cos θ）＝3＋22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，|a ＋b |取得最大值3＋22＝（2＋1）2＝2＋1. 即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1.点拨：向量与函数、三角函数的综合题，多通过考查向量的线性运算、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理及数量积等来直接考查函数的基本概念，函数、三角函数的图象与性质，三角变换等内容.此类题目中，向量往往是条件的载体，题目考查的重点仍是函数、三角函数，熟练掌握向量的概念和基本运算是解决问题的前提.(1)设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图象是一条直线，则必有( )A.a ⊥bB.a ∥bC.|a |＝|b |D.|a |≠|b |解：f (x )＝－(a ·b )x 2＋(a 2－b 2)x ＋a ·b . 依题意知f (x )的图象是一条直线， ∴a·b ＝0，即a ⊥b .故选A.(2)已知函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，A ，B 分别是这部分图象上的最高点、最低点，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝0，则函数f (x ＋1)是( )A.周期为4的奇函数B.周期为4的偶函数C.周期为2π的奇函数D.周期为2π的偶函数解：由题图可得A ⎝⎛⎭⎫π2ω，3，B ⎝⎛⎭⎫3π2ω，－3，由OA →·OB →＝0得3π24ω2－3＝0，又ω>0，∴ω＝π2，∴f (x )＝3sin π2x ，∴f (x ＋1)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2（x ＋1）＝3cos π2x ，它是周期为4的偶函数.故选B.(3)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0＜α＜β＜π.(Ⅰ)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(Ⅱ)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α的值(其中k 为非零常数).解：(Ⅰ)证明：∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝1－1＝0，∴a ＋b 与a －b 互相垂直.(Ⅱ)k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， ∴|k a ＋b |＝k 2＋1＋2k cos （β－α）， |a －k b |＝1＋k 2－2k cos （β－α）. ∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴k 2＋1＋2k cos （β－α）＝k 2＋1－2k cos （β－α）， ∴cos(β－α)＝0.又∵0＜α＜β＜π，∴0＜β－α＜π， 故β－α＝π2.类型二 向量与解析几何若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A.2B.3C.6D.8解：由题意，F (－1，0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP→取得最大值224＋2＋3＝6，故选C.点拨：向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归思想的运用.(1)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A.y 2＝8xB.y 2＝4xC.y 2＝16xD.y 2＝42x 解：如图，AF →＝FB →⇒F 为线段AB 的中点，∵AF ＝AC ，∴∠ABC ＝30°，由BA →·BC →＝48得BC ＝43，则AC ＝4.∴由中位线性质有p ＝12AC ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x.故选B.(2)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.解法一：设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆C ：(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆C 的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.解法二：动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3＋cos θ，sin θ)，则OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos θ，3＋sin θ).|OA →＋OB →＋OD →|＝（2＋cos θ）2＋（3＋sin θ）2＝8＋2（2cosθ＋3sin θ）＝8＋27sin （θ＋φ）.其中tan φ＝233，当sin(θ＋φ)＝1时，|OA→＋OB →＋OD →|的取值最大值为1＋7.故填1＋7.类型三 向量在物理中的简单应用如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500 m ，一艘船从A 点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|v 2|＝4 km/h ，设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°).(1)当cos θ多大时，船能垂直到达对岸？(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最少？为什么？解：(1)船垂直到达对岸，即v ＝v 1＋v 2与v 2垂直，也即(v 1＋v 2)·v 2＝0.∴v 1·v 2＋v 22＝0，即||v 1||v 2cos θ＋||v 22＝0.∴40cos θ＋16＝0，解得cos θ＝－25.(2)设船航行到对岸所需的时间为t ，则t ＝d ||v 1sin θ＝0.510sin θ＝120sin θ. 故当θ＝90°时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最少.点拨：读懂题(图)，将实际问题抽象成纯数学问题，然后用含向量的式子表示“船垂直到达对岸”和“船垂直到达对岸所需的时间”，此题就不难解了.如图，无弹性细绳OA ，OB 一端分别固定在A ，B 处，在同样的细绳OC 的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是________(三条绳本身质量忽略不计，横线上填OA 或OB 或OC ).解：设OA ，OB ，OC 三条绳受的力分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝0，a 与b 合力为c′＝a ＋b ，||c ＝||c′.如图，在▱A ′OB ′C ′中，∵OB ′→⊥OC ′→，B ′C →′＝OA →′，∴||OA →′>||OB →′，||OA →′>||OC →′. 即||a >||b ，||a >||c ，细绳OA 受力最大，即对OA 绳的耐力性要求最高.故填O A.1.充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，重视向量的工具作用.2.利用向量解题的基本思路有两种，一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立适当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题.3.向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本知识求解，其中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加、减法，数乘运算；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角等.4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题.如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形“四心”的向量结论等.5.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结论，选择使用向量的性质解决相应的问题.如用数量积解决垂直、夹角问题；用三角形法则、向量长度的计算公式解决平面几何中线段的长度问题；用向量共线解决三点共线问题；用向量的线性运算解决力、速度的问题等.如果题设条件中有向量，则可以联想向量的有关概念和性质直接使用；如果没有向量，则需要有向量的工具意识和应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.1.一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v 1，水速为v 2，已知船可垂直到达对岸，则( )A.||v 1<||v 2B.||v 1>||v 2C.||v 1≤||v 2D.||v 1≥||v 2解：设v ＝v 1＋v 2，则v ⊥v 2，易知三向量v 1，v 2，v 的模构成以|v 1|为斜边，|v 2|、|v |为直角边的直角三角形.故选B.2.已知|a |＝2|b |，且|b |≠0，函数f (x )＝x 2＋|a |x －a ·b 只有一个零点，则向量a 与b 的夹角是( )A.－π6B.－π3C.π3D.2π3解：由于Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0且|a |＝2|b |，∴4|b |2＋8|b |2cos θ＝0，θ为a 与b 的夹角，又|b |≠0，∴cos θ＝－12，则θ＝2π3.故选D.3.设0≤θ＜2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( )A. 2B. 3C.3 2D.2 3解：∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，∴||P 1P 2→＝10－8cos θ≤18＝32.故选C. 4.(2014·西安模拟)若直线l 上不同的三个点A ，B ，C 与直线l 外一点O ，使得x 2OA →＋xOB →＝2BC →成立，则满足条件的实数x 的集合为( )A.{－1，0}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋52，1－52 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1＋52，－1－52 D.{－1}解：由x 2OA →＋xOB →＝2BC →＝2(OC →－OB →)可得，OC →＝x 22OA →＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1OB →，由A ，B ，C 共线知，x 22＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1＝1，解得x ＝－1或x ＝0(舍)，故选D. 5.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.56 解：∵m ＋n ≠0，∴a 与b 不共线.∵θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，∴0≤cos θ＜1，故只需a ·b ≥0即可.又∵a ·b ＝m ×1＋n ×(－1)＝m －n ，∴m －n ≥0.其概率为P ＝6＋5＋4＋3＋2＋16×6＝712.故选C.6.直线x ＋y ＋t ＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于M ，N两点，已知O 是坐标原点，若|OM →＋ON →|≤|MN →|，则实数t 的取值范围是( )A.(－∞，－2]∪[2，＋∞)B.[]－2，2C.[]－2，－2∪[]2，2D.[]－2，2解：|OM →＋ON →|≤|MN →|＝|ON →－OM →| ，两边平方得OM →·ON →≤0，∴圆心O 到直线x ＋y ＋t ＝0的距离d ＝|t |2≤22r ＝1，解得－2≤t ≤2.故选D.7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于________.解：∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，∴a 1＋a 200＝1，∵{a n }是等差数列，∴S 200＝200×（a 1＋a 200）2＝100.故填100.8.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则||F A →＋||FB→＋||FC →的值为____________.解：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，由于F (1，0)，则F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC→＝(x 3－1，y 3)，由F A →＋FB →＋FC →＝0得x 1－1＋x 2－1＋x 3－1＝0，x 1＋x 2＋x 3＝3.则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋3＝3＋3＝6.故填6.9.设向量a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)，x ＝a ＋λb ，λ为实数.证明：当|x |最小时，x ⊥b .证明：∵a ＝(1，－1)，b ＝(3，－4)， ∴x ＝a ＋λb ＝(1＋3λ，－1－4λ)， ∴|x |＝（1＋3λ）2＋（－1－4λ）2 ＝25λ2＋14λ＋2＝25⎝⎛⎭⎫λ＋7252＋125，当λ＝－725时，|x |min ＝15，此时x ＝⎝⎛⎭⎫425，325， ∴x ·b ＝425×3＋325×(－4)＝0，∴x ⊥b .故当|x |最小时，x ⊥b .10.(2013·辽宁)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值； (2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值.解：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，∴x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x ＋sin 2x＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. ∴f (x )的最大值为32.11.已知抛物线y ＝x 2上两点A ，B 满足AP →＝λPB →，λ＞0，其中，点P 的坐标为(0，1)，OM →＝OA →＋OB →，O 为坐标原点，求：(1)∠AOB 的大小；(2)四边形OAMB 的面积S 的最小值.解：(1)由AP →＝λPB →，知A ，P ，B 三点在同一直线上，设直线方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝x 2得x 2－kx －1＝0. ∴x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1. ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋x 21x 22＝－1＋(－1)2＝0， ∴OA →⊥OB →，∴∠AOB ＝90°.(2)由OM →＝OA →＋OB →，知四边形OAMB 是平行四边形.又∠AOB ＝90°，∴四边形OAMB 是矩形.∴S ＝|OA →||OB →|＝x 21＋x 41x 22＋x 42＝－x 1x 2（1＋x 21）（1＋x 22）＝1＋x 21＋x 22＋（x 1x 2）2＝2＋（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＝4＋k 2，∴k ＝0时，S min ＝2.(2013·湖南)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A.[]2－1，2＋1B.[]2－1，2＋2C.[]1，2＋1D.[]1，2＋2解：依题意可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，由︱c －a －b ︱＝1得，(x －1)2＋(y －1)2＝1.∵︱c ︱表示点C (x ，y )到原点的距离，且点C (x ，y )满足(x －1)2＋(y －1)2＝1，画出圆C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴|c |即为圆C 1上一动点C (x ，y )到原点的距离|OC |，由图可知直线OC 1和圆C 1相交于点A ，B ，则|OC |最大值为|OC 1|＋1，最小值为|OC 1|－1，又|OC 1|＝12＋12＝2，所以2－1≤|OC|≤2＋1.故选A.。