常考问题8平面向量的线性运算及综合应用

常考问题8 平面向量的线性运算及综合应用[真题感悟]1．(2013·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析 A B →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案 A2．(2013·福建卷)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10解析 因为AC →·BD →＝0，所以AC →⊥BD →.故四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5.答案 C3．(2013·湖北卷)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.322 B.3152C. －322 D ．－3152解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，所以AB →在CD →方向上的投 影为AB →·CD →|CD →|＝2×5＋1×552＋52＝1552＝322. 答案 A4．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 因为向量a ，b 为单位向量，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12，由b·c ＝0，得∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )·b 2＝12t ＋(1－t )×12＝12t ＋1－t ＝1－12t ＝0.∴t ＝2.答案 25．(2013·山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712.答案712[考题分析]题型 选择题、填空题难度 低档 考查平面向量的有关概念(如单位向量)、数量积的运算(求模与夹角等)． 中档 在平面几何中，求边长、夹角及数量积等． 高档 在平面几何中，利用数量积的计算求参数值等.1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)若a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN →＝ON →－OM →(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直，反之也成立．6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.热点一 平面向量的线性运算【例1】 (2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE→＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.答案 12[规律方法] 在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE →用AB →，AC →表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数． 【训练1】 (2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB→|·cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.答案 12热点二 平面向量的数量积【例2】 若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|a |， 则向量b 与a ＋b 的夹角为( )． A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3解析 法一 由已知|a ＋b |＝|a －b |，两边平方，整理可得a·b ＝0.①由已知|a ＋b |＝2|a |，两边平方，整理可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝4a 2.② 把①代入②，得b 2＝3a 2，即|b |＝3|a |.③ 而b ·(a ＋b )＝b ·a ＋b 2＝b 2，故cos 〈b ，a ＋b 〉＝b ·a ＋b |b |·|a ＋b |＝b 23|a |·2|a |＝3a223a2＝32. 又〈b ，a ＋b 〉∈[0，π]，所以〈b ，a ＋b 〉＝π6.法二 如图，作O A →＝a ，O B →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则O C →＝a ＋b ，B A →＝a －b .由|a ＋b |＝|a －b |，可知|O C →|＝|B A →|，所以平行四边形OACB 是矩形．又|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，可得|O C →|＝|B A →|＝2|O A →|，故在Rt △AOB 中，|OB →|＝|BA →|2－|OA →|2,)＝3|O A →|，故tan ∠OBA ＝|O A →||O B →|＝33，所以∠BOC ＝∠OBA ＝π6.而〈b ，a ＋b 〉＝∠BOC ＝π6.答案 A[规律方法] 求解向量的夹角，关键是正确求出两向量的数量积与模．本例中有两种解法，其一利用已知向量所满足的条件和向量的几何意义求解，其二构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象．【训练2】 (2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2] 解析 由a ，b 为单位向量且a ·b ＝0， 可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，又设c ＝(x ，y )， 代入|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1， 又|c |＝x 2＋y 2，故由几何性质得12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1， 即2－1≤|c |≤2＋1. 答案 A热点三 平面向量与三角函数的综合【例3】 已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)． (1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π8的取值范围．解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，于是 sin(A ＋B )＝sin C ， 由正弦定理，得3sin C ＝2sin A sin C ， ∵sin C ≠0，∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3，于是π6<B <π2.∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2 x ＋sin x cos x －2＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8－π4－32＝22sin2B －32.由π6<B <π2得π3<2B <π，∴0<sin2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32，即f (B ＋π8)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，22－32.[规律方法] 在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．【训练3】 (2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．(1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cosαcos β＋sin αsin β＝0，即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1，即sin α＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去) 当α＝5π6时，β＝π6.审题示例(四) 突破有关平面向量问题的思维障碍图1解析法一设直角三角形ABC的两腰长都为4，如图1所示，以C为原点，CA，CB所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (4,0)，B (0,4)，因为D 为AB 的中点，所以D (2,2)．因为P 为CD 的中点，所以P (1,1)．故|PC |2＝12＋12＝2，|PA |2＝(4－1)2＋(0－1)2＝10，|PB |2＝(0－1)2＋(4－1)2＝10，所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝202＝10.图2法二 如图2所示，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别作为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设|CA |＝a ，|CB |＝b ，则A (a,0)，B (0，b )，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，b4，∴|PC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 42＝a 216＋b216，|PB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4－b 2＝a 216＋9b216，|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 42＝9a 216＋b216，所以|PA |2＋|PB |2＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫a 216＋b 216＝10|PC |2，∴|PA |2＋|PB |2|PC |2＝10. 法三 如图3所示，取相互垂直的两个向量C A →＝a ，C B →＝b 作为平面向量的基向量，显然a ·b ＝0.图3则在△ABC 中，B A →＝a －b ，因为D 为AB 的中点，所以C D →＝12(a ＋b )．因为P 为CD 的中点，所以P C →＝－12C D →＝－12×12(a ＋b )＝－14(a ＋b )．在△CBP 中，P B →＝P C→＋C B →＝－14(a ＋b )＋b ＝－14a ＋34b ，在△CAP 中，P A →＝P C →＋C A →＝－14(a ＋b )＋a ＝34a －14b .所以|P C →|2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14a ＋b 2＝116(a 2＋b 2＋2a ·b )＝116(|a |2＋|b |2)，|P B →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋34b 2＝116a 2＋916b 2－38a ·b ＝116|a |2＋916|b |2，|P A →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a －14b 2＝916a 2＋116b 2－38a ·b ＝916|a |2＋116|b |2.故|PA |2＋|PB |2|PC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫916|a |2＋116|b |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116|a |2＋916|b |2116|a |2＋|b |2＝10.答案 D方法点评 以上根据向量数与形的基本特征，结合题目中的选项以及直角三角形的条件，从三个方面提出了不同的解法，涉及向量的基本运算、坐标运算等相关知识，在寻找解题思路时，应牢牢地把握向量的这两个基本特征．[针对训练] 在△ABC 中，已知BC ＝2，AB →·AC →＝1，则△ABC 的面积S △ABC 最大值是________． 解析 以线段BC 所在直线为x 轴， 线段BC 的垂直平分线为y 轴， 建立平面直角坐标系， 则B (－1,0)，C (1,0)．设A (x ，y )，则AB →＝(－1－x ，－y )， AC →＝(1－x ，－y )，于是AB →·AC →＝(－1－x )(1－x )＋(－y )(－y )＝x 2－1＋y 2. 由条件AB →·AC →＝1知x 2＋y 2＝2，这表明点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． 当OA ⊥BC 时，△ABC 面积最大，即S △ABC ＝12×2×2＝ 2.(建议用时：60分钟)1．(2013·陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |. 答案 C2．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13则|b | 等于( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．1解析 向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13， 则a ·b ＝|a ||b |·cos 120°＝－32|b |，|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.所以13＝9－3|b |＋|b |2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4. 答案 B3．(2013·辽宁一模)△ABC 中D 为BC 边的中点，已知A B →＝a ，A C →＝b 则在下列向量中与A D →同向的向量是( )．A.a |a |＋b |b |B.a |a |－b|b | C.a ＋b|a ＋b |D ．|b |a ＋|a |b 解析 ∵A D →＝12(A B →＋A C →)＝12(a ＋b )，∴向量a ＋b |a ＋b |与向量A D →是同向向量． 答案 C4．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，则向量a 与c 的夹角为( )． A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°解析 因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )．所以|c |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2＋2cos 60°＝3.所以|c |＝ 3.又c ·a ＝－(a ＋b )·a ＝－a 2－a ·b ＝－1－cos 60°＝ －32，设向量c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－321×3＝－32.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.答案 D5．(2013·安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB→＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )． A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2 D ．43解析 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，又A ，B 是两定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP →＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪33x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y2－36x ≤1，当⎩⎨⎧x ≥0，3y －3x ≥0，时，3y ＋3x ≤6由可行域可得S 0＝12×2×3＝3，所以由对称性可知点P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝43，故选D. 答案 D6．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.解析 由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →)＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2.答案 27．(2013·江西卷)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________． 解析 a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |. ∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝5. |b |＝|2e 1|＝2. ∴a ·b |b |＝52. 答案 528．在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3P B →|的最小值为______．解析 建立如图所示的直角坐标系，设DC ＝m ，P (0，t )，t ∈[0，m ]，由题意可知，A (2,0)，B (1，m )，P A →＝(2，－t )，P B →＝(1，m －t )，P A →＋3P B →＝(5,3m －4t )，|P A →＋3P B→|＝52＋3m －4t 2≥5，当且仅当t ＝34m 时取等号，即|P A →＋3P B →|的最小值是5.答案 59．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4.(1)用θ表示点B 的坐标及|OA |； (2)若tan θ＝－43，求O A →·O B →的值．解 (1)由题意，可得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．在△ABO 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π－3π4－θ＝3π4－θ.由正弦定理，得|OB |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－34π＝|OA |sin B ， 即|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ.(2)由(1)，得O A →·O B →＝|O A →||O B →|cos θ ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θcos θ. 因为tan θ＝－43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin θ＝45，cos θ＝－35.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4sin θ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×45＝210， 故O A →·O B →＝42×210×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－1225. 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，C＝π3，求△ABC的面积．(1)证明因为m∥n，所以a sin A＝b sin B，即a ·a 2R ＝b ·b2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形．(2)解 由题意，可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab ，由余弦定理，知4＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.11．如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求O A →·O Q →＋S 的最大值； (2)若CB ∥OP ，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．解 (1)由已知，得A (1,0)，B (0,1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形，所以O Q →＝O A →＋O P →＝(1,0)＋(cos θ，sin θ) ＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以O A →·O Q →＝1＋cos θ. 又平行四边形OAQP 的面积为S ＝|O A →|·|O P →|sin θ＝sin θ，所以O A →·O Q →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1. 又0<θ<π，所以当θ＝π4时，O A →·O Q →＋S 的最大值为2＋1.(2)由题意，知C B →＝(2,1)，O P →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ. 又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1， 解得sin θ＝55，cos θ＝255，4 5，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝35.所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。