3-2 转动定律,转动惯量

2 i
这样式(1)可以写为
Lz I z
因为是定轴转动，常常略去下标，通常写为
I = (mi ri 2 )
i
L I
可见，定轴转动刚体的角动量等于转动惯量与角 速度的乘积。
2.定轴转动刚体的转动定律
由质点系对轴的角动量定理 dLZ Mz= dt 将 Lz I z 代入有
d(I z ) d Mz Iz I z dt dt
例2 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘， 求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 r ，宽为 dr 的圆环 圆环质量 dm 2π rdr 圆环对轴的转动惯量
2 3
R R
O
r dr
dI r dm 2 π r dr 而 m π R 1 R 2 3 4 所以 I mR I 2 π r dr π R 0 2 2
2
2.平行轴定理
质量为m 的刚体， 如果对其质心轴的转动 惯量为 I C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的 转轴的转动惯量
来自百度文库
d
C
m
O
IO IC md
2
I I c md
2
圆盘对P 轴的转动惯量
P
R
O
m
质量为m，长为L的细棒绕其一端的I
1 2 2 I P mR mR 2
1 2 I c mL 12
转动惯量
I mi ri
i
2
I r dm
2
转动惯量的单位：kg· m2 I 的意义：转动惯性的量度 .
M I
说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （1）与刚体的质量有关． （2）与刚体的几何形状及质量的分布有关．
（3）与转轴的位置有关．
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
Li Ri mi v i (zi k ri ) mi v i
对z轴的角动量即z分量为
Li (zi k ri ) mi vi
因为 ri 与 v i 垂直，且 vi ri ，则其大小为
Liz mi ri vi mi ri
m2 g T2 m2a2
因为绳不能伸长有
y2 y1 C
(2)
对时间求二次导数得
a2 a1 0
T1r T2 r I
(3)
对滑轮按转动定律列出方程
(4)
又因为绳与滑轮无相对滑动
a1 r
求解方程组(1)~(5)得
(m1 m2 )rg (m1 m2 )r 2 I
Mf 解. 设电磁力矩、摩擦力矩分别为 M 、 由转动定律有 (1) M M f I1 1为启动角加速度，当电风扇达到额定转速时
0 1t1
(2)
电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，
设电风扇关闭后的角加速度为 2 ，于是
M f I 2
(3)
当电风扇达到停止时
0 2t2 0
2
Liz ri mi vi
整个刚体总角动量的z分量为
Lz (mi ri ) (mi ri )
2 2 i i
(1)
i 由刚体各质量元相对于固定轴的分布所决定，与 刚体的受力及运动状态无关。即
(m r
2
i i
) 称刚体对于转轴的转动惯量，用
I 表示,
I z = (mi ri )
积分得
m,l O
FN
θ mg
3g ω (1 cos θ ) l
r
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 2 2 为 r 处的质量元 dm dr dI r dm r dr l /2 1 3 2 如转轴过端点垂直于棒 I 2 r dr l 0 12 l 1 2 1 2 2 I r dr ml ml 0 3 12

i
i i

对质量线分布的刚体：dm dl ：质量线密度
dm dS 对质量面分布的刚体：
：质量面密度

：质量体密度
对质量体分布的刚体：dm
dV
例1. 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒， 求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 。
O
l 2
O
O´
dr
l 2
d r O´
O1
O1’
L 2 1 2 I I c m( ) mL 2 3
d=L/2
O2 O2’
三、刚体转动定理的应用 转动定律应用 说明 ( 1) M I ,
M I
与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中 M I 与平动中F ma 地位相同．
例3. 电风扇开启电源时，经t1时间达到额定转 速 0 ，关闭电源时经t2时间停止。设电风扇的转 动惯量为 I ，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒 量。求：电风扇电机的电磁力矩。
(4)
求解方程组(1)~(4)，得电磁力矩为
M I 0 ( 1 1 ) t1 t 2
例4. 一定滑轮半径为r ，转动惯量为 I ，通过 一轻绳两边系质量为m1 和m2 的物体，绳不能伸 长，绳与滑轮也无相对滑动。求：滑轮转动的 角加速度和绳的张力。
解. 建立坐标如图，对m1 和m2 (1) m1 g T1 m1a1
(5)
(2m2 r 2 I )m1 g T1 (m1 m2 )r 2 I (2m2 r 2 I )m2 g T2 (m1 m2 )r 2 I
解法2
将m1 和m2与滑轮作一个整体
转动惯量
I m1r m2r I
2 2
合外力矩
M (m1 m2 )gr
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN 作用，由转动定律得
m,l O
FN
θ mg
1 mgl sin I 2
式中
1 2 I ml 3
3g sin 得 2l
由角加速度的定义
dω 3 g ω sin θ dθ 2l 3g ωdω sin θdθ 2l 0 3g ω d ω sin θ d θ 0 0 2l
因为是定轴转动，常略去下标，即表示为
M I
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
上述结论称为刚体定轴转动的转动定律， 也称刚体定轴转动的动力学方程。 对比： M I
M
F ma

I

F a m
转动惯量：转动惯性大小的量度。
二、刚体转动惯量的计算
3-2 转动定律 转动惯量
牛顿第二定律给出了质点运动状态的改变与 力的关系，称质点运动的动力学方程。下面讨 论刚体转动的动力学方程，也称转动定律。 一、刚体的定轴转动定律 作为质点系的特例，刚体的运动应当服从质 点系角动量定理
dL M dt
沿固定轴轴的分量式为
dLZ Mz dt
式中 M z 和 LZ 分别为质点系所受的合外力矩与 质点系角动量沿轴的分量。 1.定轴转动刚体的角动量 刚体以的角速度 绕z轴作定轴转动 质量元 mi 对o点的角动量为
所以
(m1 m2 )rg 2 (m1 m2 )r I
例5 一长为 l 、质量 为 m 匀质细杆竖直放置， m,l 其下端与一固定铰链O相 θ 接，并可绕其转动．由于 mg O 此竖直放置的细杆处于非 稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转 动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时 的角加速度和角速度．
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
I 的计算方法 质量离散分布
I mi ri m r m r mi ri
2 2 11 2 2 2
2
质量连续分布
I mi ri r dm
2 2 i
dm：质量元
质量连续分布刚体的转动惯量 2 2 dm ：质量元 I m r r dm