力矩转动定律转动惯量

J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm dm：质量元 j
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
物理学
第五版刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质
量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布质量为面分布质量为体分布
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其
轴的转动惯量也是mR2/2。
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
物第理五版学例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。 (1)转轴通过棒一端并与棒垂直。（2）转轴通过棒的中心并与棒垂直；
解：取如图坐标，dm=dx , =m/L
A L
B
J A r2dm
x
L x2dx mL2 / 3 0
AC L/2
B L/2 x
JC r2dm
L
Jc
2 L
x2dx
mL2
/12
2
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
物理学
第五版
四、
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如
果对其质心轴的转动惯量
为 JC ，则对任一与该轴平
行，相距为 d 的转轴的转
动惯量
JO JC md 2
dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
讨论：
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2）是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个
方向）。
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
物理学
定轴转动定律
第五版（3）M 的符号：使刚体向规定的正方向加速的
Fit fit miait miri
由于法向力的力矩为零，故不作讨论。
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
r 物理学
定轴转动定律
第五版用 i 乘以上式左右两端：
Fit ri fit ri miri2
设刚体由N 个质点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
把力矩
的力矩F。
称之为力M Z 对轴
4-2 力矩转动定律
F∥ F
r
F
垂直于转轴
上页下页首页目录
物理学
第五版
M
z
k
Hale Waihona Puke rFM z rF sin Fd
d r s是in转轴到力作用线
的距离，称为力臂。
因此，在定轴动问题中，如不加说明，所指的力矩是指力对轴的力矩 Mz表示。Mz即为力F 对轴的力矩，有时也省略下标Z。
上页下页首页目录
例1: 物理学
第五版
求质量为m、半径为R、厚为l
的均匀圆盘的转
动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
Z
dm dV 2 rdr l
dJ r 2dm 2lr3dr
OR
J dJ R 2lr3dr 1 R4l
0
2
Q
m
R2l
J 1 mR2 2
i 1
上式左端为刚体所受的合外力矩，以M表示
；而右端求和符号内的量只与刚体本身性质及
转轴位置有关,称之为刚体转动惯量，以J 表示
。
刚体转动惯量： J miri2
于是得到：
M J J d
dt
刚体定轴转动定律
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
物理学
第五版
定轴转动定律
M J J d
一力矩物理学
第五版
力矩：是用来描述力对刚体
的转动作用的物理量。
1、F 对O 点的力矩：
MO Fd Fr sin
d : 力臂
力矩的矢量表达式：
v Mo
rv
v F
z
F
v Mo
Od
r
P*
力的作用点P相对给定点O的位矢 r 与力 F
的矢积为力对给定点的力矩。
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
N
N
N
Fitri fitri (miri2 )
i 1
i 1
i 1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共
线，对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sini 0
i 1
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
物理学
第五版
得到：
N 定轴转动N定律
Fitri (miri2 )
i 1
物第理五版学如果刚体能绕O点任意转动，是不是只要
v Mo 0
z
F∥ MZ
刚体就能转动？ Yes
如果刚体只能绕某一定轴
O rP
F
转动，是不v 是只要
M
Mo 0
刚体就能改变转动状态？
先看两个特殊方向的力产生的力矩
结论：力矩方向与转轴平行时，能使刚体转动状态发生变化；而当力矩方向与转轴垂直时，则不能。
F∥ F
MZ
Or
d
F
F// 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
物理学几点说明：
第五版
（1）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、-号表示。
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和(可求代数和)
M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
物理学2、F 对轴的的力矩：
第五版
因在定轴转动中平行于
转轴的外力对刚体的绕定轴
转动起不了作用，所以当一
个任意的力
F
作用在刚体
MZ
上，必须把力分解为两个力， O
一个是与转轴平行的力，
另一F个// 与转轴垂直的力
。
其中只F有的力矩 F 才能
使刚M体Z 改变转动状态，因此
dm dl 其中、、分
dm ds 别为质量的线密
度、面密度和体
dm dV 密度。
线分布
面分布
4-2 力矩转动定律
体分布
上页下页首页目录
物理学
说明第五版
与转动惯量有关的因素： •刚体的质量分布 •转轴的位置
质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
4-2 力矩转动定律
力矩为正；
（4）具有瞬时性。
（5）M、J、α是对同一轴而言的。
（6）转动中 M 与J平动中
相同。
三转动惯量
F地位ma
J mjrj2
j
J r2dm
➢ 转动惯量的单位：kg·m2
➢ J 的意义：转动惯性的量度。
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
物理学
第五版 ➢ J 的计算方法 ❖ 质量离散分布
M ij
rj
j
O
d
ri
i
Fij
Fji
M ji
Mij M ji
4-2 力矩转动定律
上页下页首页目录
二物理学
第五版
定轴转动定律
Z
对刚体中任一质量元
mi
Fi ——外力 fi ——内力
O
应用牛顿第二定律，可得：
Fi fi miai
ω,α
fi
ri
Fi
mi
采用自然坐标系，上式切向分量式为：

合集下载

力矩转动定律转动惯量解析课件

02
CATALOGUE
转动惯量基础概念
转动惯量的定义
转动惯量
描述刚体绕固定轴转动的惯性大小的物理量。
定义公式
I = Σ(m * r^2)，其中m为刚体的质量，r为刚体上任意质点到转动轴的距离。
转动惯量的性质
转动惯量只与刚体的质量分布和转动轴的位置有关，与刚体的运动状态无关。
对于同一刚体，不同的转动轴位置，其转动惯量可能不同。
力矩转动定律转动惯量解析课件
contents
目录
• 力矩转动定律概述 • 转动惯量基础概念 • 力矩与转动惯量的关系 • 转动惯量的计算方法 • 转动惯量的应用实例
01
CATALOGUE
力矩转动定律概述
力矩的定义
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂的乘积。
力矩是一个向量，其大小等于力和力臂的乘积。力臂是从转动轴到力的垂直距离。在二维平面中，力矩可以表示为M=F×r，其中F是力，r是力臂。
CATALOGUE
转动惯量的应用实例
飞轮的设计与优化
飞轮的设计
飞轮是利用转动惯量储存能量的重要装置，其设计需要考虑转动惯量的大小、质量分布、转速等因素。
飞轮的优化
为了提高飞轮的储能效率和稳定性，需要对飞轮进行优化设计，如采用轻质高强度的材料、优化飞轮的形状和尺寸等。
陀螺仪的设计与优化
陀螺仪的设计
陀螺仪是利用角动量守恒原理工作的惯性导航和姿态测量器件，其设计需要考虑转动轴的稳定性、转动惯量的大小和分布等因素。
陀螺仪的优化
为了提高陀螺仪的测量精度和稳定性，需要对陀螺仪进行优化设计，如采用高性能的轴承材料、减小摩擦力矩等。
电机转子的设计与优化

定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量

Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体，绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
0
M
绕圆环质心轴的转动惯量为
dm
oR
I MR2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。
解：由转动惯量的定义
I
2
mi ri 2
2mb 2
m
(3b)2
11mb 2
i 1
9
例3：如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱
体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
4
二、定轴转动刚体的角动量
1 .质点对点的角动量
L
r
P
r
mv
作圆周运动的质点的角动量L＝rmv;
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A

4-2 力矩转动定律转动惯量

R
R
T
m1
m2
h
Mf
T
mg
yLeabharlann h第四章刚体转动
4 – 2 力矩转动定律转动惯量已知：R 50cm h 2.0m
T
m1 8.0kg m2 4.0kg
Mf C
求：J
t2 25s
t1 16s
Mf
m1 g T1 m1a1
a1 T1 R M f J R
1 m1 m2 m r 2
m1 m2 gt
1 m1 m2 m r 2
第四章刚体转动
4 – 2 力矩转动定律转动惯量例如图所示, A、B 为两个相同的定滑轮, A 滑 A 轮挂一质量为M的物体, B 滑轮受力F = Mg, 设 A、B 两滑轮的角加速度分别为 M αA和αB ,不计轴的摩擦,这两个滑轮的角加速度的大小关系为:
垂直于转轴方向的两个分量
F Fz F
方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，与轴承受到的约束力矩平衡。第二项 M z r F 方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为力对轴的矩，表为代数量：
第一项 M r F 1 z
1.06103 kg m2
m1 g T1 m1a1 m2 g T2 m2a2
a1 T1 R M f J R a2 T2 R M f J R
2
4 – 2 力矩转动定律转动惯量例.长为L质量为m的匀质细杆，在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为，求摩擦力矩。解1):
N
+

4-2 力矩转动定律转动惯量

19
物理学第六版
4-2 力矩转动定律转动惯量
解 (1) 用隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系．
A
mA

FN
mA FT1
PA
O
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB

PB y
第四章刚体转动与流体运动
20
物理学第六版
4-2 力矩转动定律转动惯量
第四章刚体转动与流体运动
1
物理学第六版
4-2 力矩转动定律转动惯量
讨论
（1）若力
F
不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
F

Fz

F
其中 Fz对转轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk

r

F
z

F
k
O rFz
F

M z rF sin
索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖直悬挂．滑轮与绳索间无滑动，且滑轮与
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？
第四章刚体转动与流体运动
4
物理学第六版
4-2 力矩转动定律转动惯量
解设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 dA Ldy ，作用在此面积元上的力
dF pdA pLdy

刚体定轴转动的力矩转动定律转动惯量资料重点

L L/ 2
12
例2、均质细圆环的转动惯量
任取线元dl ， dm=dl，距离轴 r
I r2dm r2 dm mr2
例3、质量为m，半径为R 的均质圆盘的转动惯量
可看作由半径不同的圆环构成，盘面
单位面积的质量为 m R2
任取面元ds（离r 远处dr 宽细环）
R
dm 2rdr
对转动惯量的贡献为: dI r2dm 2 r3dr
5）假想将物体的质量集中在半径为 rc 的细圆环
上，而保持转动惯量不变，称这圆环半径为物体的回转半径.
I mrc2
注意
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .
说明：
（1）实际上只有对于形状简单、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分的方法算出它们的转动惯量。
（2）对于任意刚体的转动惯量，通常是用实验的方法测定出来的。
2、M 符号 ——使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正；
确定了转轴方向时， M 方向与转轴方向相同取为正;
M 方向与转轴方向相反取为负.
§ 转动惯量的计算
1、定义（对轴）:
I miri2
i
（ri 为质元相对于转轴的垂直距离）
dm ➢ 物理意义：描述刚体对轴转动惯
性大小的物理量.
m
r
理论计算:
JC
J
Cdm
平行
1）对同一轴 I 具有可叠加性
I Ii
2）平行轴定理
I Ic md 2 d --两平行轴距离
2）平行轴定理
质量为m 的刚体，如果对
其质心轴的转动惯量为 JC ，则
对任一与该轴平行，相距为 d
的转轴的转动惯量
IO IC md 2

转动定律、转动惯量讲解

Fit*ri+Fit'*ri= Δmi*(ri^2)*α
这是一个质点的规律，如果把所有的质点加起来，即∑Fit*ri+∑Fit'*ri= ∑Δmi*(ri^2)*α，因为刚体内部质点间的合力对转轴的力矩为零，即∑Fit'*ri= 0，于是就有∑Fit*ri = ∑Δmi*(ri^2)*α，等式左边表示刚体所有质点所受外力对转轴的力矩，也就是合力矩M；
《地球能平稳转动而不受外界干扰，全靠转动定律与转动惯量》
上一章讲了刚体的定轴转动与角速度和角加速度的概念，如果有外力作用在刚体上，那么刚体会发生什么变化呢？这就是本章要讲到的力矩、转动定律以及转动惯量等概念。
首先来说力矩，在如图1所示的坐标系中，有一外力F作用在刚体内的P点，刚体相对于原点的位置矢量为r，显然力F不经过原点O，于是把从O点到力F延长线的垂直距离d叫做力F对转轴的力臂，其大小d=rsinθ ，而力F的大小和力臂d的乘积 Frsinθ 就叫做F对转轴的力矩，用大写字母M表示，力矩除了有小外，也有方向，
为了深刻理解转动惯量，以地球的转动惯量公式Je = (2mR^2)/5为例子，将地球质量和半径带入式子可知，地球在转动时转动惯量非常大，根据转动定律可知，需要非常大的力矩才能使地球加速或者减速，对于地球表面的所有物体而言，没有哪个物体可以提供这样的力矩，这也就是地球平稳转动的原因。
讲完了转动定律，下一章《芭蕾舞演员的旋转加速秘诀-角动量守恒》将继续讲解角动量。
而等式右边表示的量只与刚体的形状、质量、刚体的转轴有关。这个量就叫做转动惯量，用大写字母J表示。于是等式可以表示为：M=J *α。这就是刚体的转动定律，它的形式对应牛顿第二定律，其物理意义就是在同一力矩下，转动惯量大的刚体，获得的角加速度就小，转动惯量小的刚体获得的角加速度就大。

大学物理-力矩、转动定律、转动惯量

gh
yLdy
1 2
p0 Lh 2
1 6
gLh2
h
y
o
L
dA
x
dy
y
Q
dy
x
二、转动定律
质点的动力学问题刚体的动力学问题
F ma
M
设刚体有n个质点组成，
先取任一质点i来研究
mi ri
外力：Fi 内力：Fi
由牛顿第二定律得： Fi Fi miai
切线方向：Fit Fit miait
X
dV r2dZ (R2 Z 2 )dZ
其质量：dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
Z r dZ
O
R
Y
J dJ
X
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ
比较
牛顿第二定律 F m a
转动定律
M J
三、转动惯量 J miri2 (4 9)
对质量连续分布的刚体 J r 2dm (4 11)
转动惯量的单位：kg m2
影响转动惯量得因素
注意：
（1）、刚体的质量（材料）（2）、刚体质量的分布
质点也有转动惯量
J mr2
（3）、转轴的位置
对质量不连续分布的刚体 J m 2
R 2
8 R5 2 mR2
m 4 R3
3
15
5
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z x
解：方法二在球上取一体积元
dV
dV dxdydz

15-3-2力矩转动定律转动惯量

杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成角时
的角加速度和角速度．
31
物理学
第五版
2.6.3 力矩转动定律转动惯量
解细杆受重力和铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m,l
θ mg
O
式中 J 1 ml2 3
得 3g sin
2l
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
Mij M ji
3
物理学
第五版
2.6.3 力矩转动定律转动惯量
例一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已
知细棒与桌面的摩擦因素为,求棒转动时受到的
摩擦力矩的大小．
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止下降距离 y 时，其速率是多少？
24
物理学
第五版
2.6.3 力3-矩2 力转矩动、定转动律惯量转、动转惯动量定律
解 (1) 用隔离法物体分别对各物作受力分析，取坐标如图．
A
mA
dx
m L
1 3
x3
2 L
2
m L
1 3
L3 8
L3 8
1 12
mL 2
9
物理学
第五版
2.6.3 力矩转动定律转动惯量
(2) 轴过一端端点
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2

§4.2 力矩转动惯量转动定律

Fi
3. Mz、J、皆对同一轴而言。
fi
n
ri Fi ri fi ( miri2)
i
i
i 1
o ri
f
i
mi
Fi
n
ri Fi J i1
Mz J ( 转动定律 )
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
P. 27 / 18 .
1. Mz J 反映了力矩 Mz与角加速度间的瞬时关系。
P. 29 / 18 .
例已知细杆长l、质量 m，初角速度为0，细杆与桌面
间有摩擦，经 t0 时间后杆静止，求摩擦力矩 M阻。
解：细杆只受摩擦力矩，且为恒力矩，由 Mz J 可
知，细杆作匀变速转动：
m, l
而 J 1 ml 2 3
0 t
0 t0 0
0
t0
M阻 J
ml 2 3t 0
i 1
二、转动惯量
n
J miri2 i 1
mi
m3
ri
r3
r2
r1 m1
m2
1 2
(
n i1
mi ri2
) 2
Ek
1( 2
n i1
mi ri2
) 2
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量
P. 9 / 18 .
n
可知：一定时， miri2越大，刚体转动动能亦越大。
i 1
n
ri Fi J i1
Mz J
Fi fi
o ri
F ma
f
i
mi
Fi
( 转动定律 )
Chapte作r 4者. 刚：体杨的茂转田作动者：§杨4.茂2 田刚体的转动惯量