大学物理— 力矩 转动定律
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大学物理.第三章.刚体的转动
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
大学物理公式大全
大学物理公式大全大学物理公式大全物理学是一门探索自然现象的科学，它研究宇宙的运动、力的作用、物质的组成和性质等。
在大学物理学学习中，我们会接触到众多的物理公式。
下面是一份大学物理公式大全，供大家参考。
1. 运动学公式：速度（v）= 位移（s）/ 时间（t）加速度（a）= （末速度（v）- 初速度（u））/ 时间（t）位移（s）= 初速度（u）* 时间（t） + 1/2 * 加速度（a）* 时间（t）^22. 牛顿第一定律（惯性定律）：一个物体在没有受到外力作用时，保持静止或匀速直线运动。
3. 牛顿第二定律（力与加速度的关系）：力（F）= 质量（m）* 加速度（a）4. 牛顿第三定律（作用与反作用定律）：两个物体之间的相互作用力，两个力的大小相等、方向相反。
5. 动能公式：动能（K）= 1/2 * 质量（m）* 速度^26. 动量公式：动量（p）= 质量（m）* 速度（v）7. 转动力矩（扭矩）公式：转动力矩（τ）= 力（F）* 力臂（r）8. 转动惯量公式：转动惯量（I）= 质量（m）* 半径（r）^29. 动量守恒定律：在一个封闭系统中，如果没有外力作用，系统的总动量保持不变。
10. 能量守恒定律：在一个封闭系统中，能量的总量保持不变。
11. 功公式：功（W）= 力（F）* 位移（s）12. 弹性势能公式：弹性势能（E）= 1/2 * 弹性系数（k）* 弹性变形^213. 引力公式：引力（F）= 万有引力常数（G）* （质量1（m1）* 质量2（m2））/ 距离^214. 等离子体温度公式：等离子体温度（T）= 等离子体内电子能量总量（Ee）/ 等离子体内电子数目（Ne）* Boltzmann常数（k）15. 麦克斯韦速度分布公式：概率密度（f）= （质量（m）/ (2 * π * Boltzmann常数（k） * 温度（T）））^(3/2) * e^(-（速度（v）^2）/ (2 * Boltzmann常数（k） * 温度（T）))16. 电场强度公式：电场强度（E）= 电力（F）/ 电荷量（q）17. 电能公式：电能（W）= 电流（I） * 电压（V） * 时间（t）18. 磁场强度公式：磁场强度（B）= 电流（I）* μ0 / (2 *π * r)19. 磁感应强度公式：磁感应强度（B）= 磁场强度（μ0） * 磁化强度（M）20. 麦克斯韦电磁场微分方程组：∇·E = ρ / ε0∇·B = 0∇×E = - ∂B / ∂t∇×B = μ0J + μ0ε0 ∂E / ∂t以上仅是大学物理中的一小部分公式，物理学的知识非常广泛且深入。
《大学物理》3.2转动定理
3.2 转动定理
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义：
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R
m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示，一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体，且m1<m2,设滑轮的质量为M，半径为R，绳与 轮之间无相对滑动，求物体的加速度和绳中张力。
解：将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等，但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所 受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义：
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R
m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示，一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体，且m1<m2,设滑轮的质量为M，半径为R，绳与 轮之间无相对滑动，求物体的加速度和绳中张力。
解：将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等，但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所 受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i
大学物理-力矩、转动定律、转动惯量
gh
yLdy
1 2
p0 Lh 2
1 6
gLh2
h
y
o
L
dA
x
dy
y
Q
dy
x
二、转动定律
质点的动力学问题 刚体的动力学问题
F ma
M
设刚体有n个质点组成，
先取任一质点i来研究
mi ri
外力：Fi 内力：Fi
由牛 顿第二定律得： Fi Fi miai
切线方向：Fit Fit miait
X
dV r2dZ (R2 Z 2 )dZ
其质量：dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
Z r dZ
O
R
Y
J dJ
X
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ
比较
牛顿第二定律 F m a
转动定律
M J
三、转动惯量 J miri2 (4 9)
对质量连续分布的刚体 J r 2dm (4 11)
转动惯量的单位：kg m2
影响转动惯量得因素
注意：
（1）、刚体的质量（材料） （2）、刚体质量的分布
质点也有转动惯量
J mr2
（3）、转轴的位置
对质量不连续分布的刚体 J m 2
R 2
8 R5 2 mR2
m 4 R3
3
15
5
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z x
解：方法二 在球上取一体积元
dV
dV dxdydz
广石化大学物理3.1 3.2 刚体 力矩 刚体定轴转动的转动定律
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中 M J 与平动中F ma 地位相同．
动画
第三章 刚体力学基础
17
物理学
第五版
3-1(2) 力矩
转动定律
转动惯量
例2.20 如图2.37(a)所示，质量均为m的两物体A，B. A放在倾角 为α的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连.定滑轮是半 径为R的圆盘，其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中 张力 T1 和 T2 及物体的加速度a(轮轴光滑).
3-1(2) 力矩
aA aB R
转动定律
⑤
转动惯量
由于绳不可伸长，所以
又
J
1 mR 2 2
联立式①，②，③，④，⑤得
2+3sin mg 5
T1＝ T2＝
3+2sin mg 5 2(1-sin ) a A aB g 5
第三章
刚体力学基础
19
物理学
第五版
3-1(2) 力矩
l 2
刚体力学基础
12
第三章
物理学
第五版
3-1(2) 力矩
转动定律
转动惯量
例2 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量. 解 设圆盘面密度为 在盘上取半径为 ，宽为 的圆环 dr
r
， R R O
圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
r dr
圆环的转动惯量
d dt
分离变量，并考虑到t＝0时， 0 ，两边积分
1 0 3
0
d
k dt 2 0 J
t
大学物理上册、转动定律、转动能量
M 或 M I
I
说明：1）定律是瞬时对应关系；
2）M , J , 应是对同
一轴而言的
Z
如何求力对轴的矩呢？ 如图可将力分解为两个
MZ
F r
F F
力，只求那个垂直于轴
的力的力矩就可以了。
3）转动定律说明了I是物体转动惯性大小的量
度。因为： M一定时I I
mg
L
sin
2
mg
LБайду номын сангаас
0
2
2
0
2
A
1 2
mgL
(Ep )
Ep2
E p1
二、刚体的重力势能 Ep mgZC
mgL ZC－质心距0势能面的距离
mg(L L cos )
2
三、刚体转动动能定理
力矩的功定义式 dA Md dA Md Id I d d Id
J
1 2
m2 r 2…(3)
a = r…(4)
T=T’ …(5)
T= a=
m1m2g 2m1+m2
r
注意: =m1g
a等于常数且初速为零! h 1 at 2 2
=
2m1g 2m1+m2
=
m1gt2 2m1+m2
r 例2）质量分别为m1，m2的物体通过轻绳挂在质
量为m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体m1，m2
－力矩的功
θ 是刚体在力矩的作用下转过的角度
重力矩的功
设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢轴 而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：
大学物理—力矩
2、 力矩对刚体做功： 刚体在外力矩作用下，发生角位移 mi : p 点质量 ri : p 点对 o 点位矢 (o p) 已知：
Fi : p 点所受外力 d : p点绕轴转过的角位移
Z
dsi : p 点元位移 : dsi 与 Fi 的夹角
O
d
dsi
Fi
i
i : ri 与 Fi 的夹角
( M
0
ri
i
)d
P
类比法
dsi rd i
i 900
5
§3-4
二、定轴转动的动能定理 1、 公式： 2、 证：
合外力（外力矩） 对刚体做功
定轴转动的动能定理
1 2 A 1 Jw2 Jw12 2 2
2
1
A dA Md
1
2
dw J d dt
M z r F2
M z 正方向的规定： 促进转动的力矩为正
1
§3-3
二、定轴转动定律
力矩 刚体定轴转动定律
dp F= dt
牛二
类比法
dv F =ma m dt
J
dw 转动定律 M z dLz dt dt （转动刚体的第二定律） 已知： mi : p 点质量 Z ri : p 点对 o 点位矢 (o p) 都在与轴 p 点所受合外力 F : i 垂直的平
§3-3
一、 力矩 1、力对定点的力矩：
F 对O点的力矩
力矩 刚体定轴转动定律
rF
Z
MO
F
P对O点的位矢
O
r
d
F1
P
F2
2、力对于转轴
oz 的力矩
大学物理力矩+转动定律+转动惯量-省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
26
例题
解 (1) 用隔离法分别 对各物体作受力分析，取 如图所示坐标系。
A
mA
FN
PmA AO
FT1
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB
PB y
27
例题
FT1 mAa mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
FN
PmA AO
FT1
x
FT1
FC
32
例题
由角加速度旳定义
dω dω dθ ω dω
dt dθ dt dθ ωdω 3g sin θdθ
2l 代入初始条件积分得 ω
m,l FN θ mg
O
3g (1 cos θ) l
33
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
(2) B由静止出发作匀加速直线运动，下 落旳速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
30
例题
例2 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．因为 此竖直放置旳细杆处于非
m,l
θ mg
力矩为零，故 F 对转 轴旳力矩
M zk r F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
点击进入动画
2
讨论
(2) 合力矩等于各分力矩 旳矢量和 M M1 M2 M3
(3) 刚体内作用力和反作用力旳力 矩相互抵消。
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
例题
解 (1) 用隔离法分别 对各物体作受力分析，取 如图所示坐标系。
A
mA
FN
PmA AO
FT1
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB
PB y
27
例题
FT1 mAa mB g FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
FN
PmA AO
FT1
x
FT1
FC
32
例题
由角加速度旳定义
dω dω dθ ω dω
dt dθ dt dθ ωdω 3g sin θdθ
2l 代入初始条件积分得 ω
m,l FN θ mg
O
3g (1 cos θ) l
33
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
(2) B由静止出发作匀加速直线运动，下 落旳速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
30
例题
例2 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．因为 此竖直放置旳细杆处于非
m,l
θ mg
力矩为零，故 F 对转 轴旳力矩
M zk r F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
点击进入动画
2
讨论
(2) 合力矩等于各分力矩 旳矢量和 M M1 M2 M3
(3) 刚体内作用力和反作用力旳力 矩相互抵消。
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
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例1：求质量为 m ,半径为 R 的均匀薄圆环的 转动惯量，轴与圆环平面垂直并且通过其圆心。
例2：求质量为 m ,半径为 R ，厚度为 l 的均 匀圆盘的转动惯量，轴与盘面垂直并通过圆心。
第二章 刚体的定轴转动
12
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
例3：求质量为 m ,半径为 R 的均匀薄球壳的 转动惯量，转轴通过球心。
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
第二章 刚体的定轴转动
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
16
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
转动定律应用 说明
M J
1. 与 M 方向相同。 2.为瞬时关系。
3.转动中
M J
与平动中 F
ma
地位相同。
第二章 刚体的定轴转动
17
物理学
ji
O
M
d
ji
i ri
F ij
第二章 刚体的定轴转动
3
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
例1：有一大型水坝高110 m、长1000m ,水深 100m，水面与大坝表面垂直，如图所示。求作用 在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点Q 且 与x 轴平行的力矩。
y
y
x
h
x
O Q O
L
4
第二章 刚体的定轴转动
第五版
2.2 力矩 转动定律
例6 一个飞轮的质量 m 60 kg ，半径 R 0 . 25 m ， 正在以 0 1000 r/min 的转速转动。现在要制动飞轮， 要求在 t 5 . 0 s 内使它均匀减速而最后停下来。求 闸瓦对轮子的压力 N 为多大？假定闸瓦与飞轮间 的滑动摩擦系数为 k 0 . 8 ，而飞轮的质量可以看 作全部均匀分布在轮的外周上。
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
二 转动定律 (law of rotation)
1.单个质点与转轴刚性连接
F t ma t mr
z
M
Ft
M rF sin θ
M rF t mr
2
F
M mr
2
O r
m
Fn
第二章 刚体的定轴转动
5
物理学
第五版
z
k
F
rF sin
O
r
Fz
F
第二章 刚体的定轴转动
2
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律 2.合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M3
3.刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消。
M ij
rj
j
F ji
M ij M
i
i
Mi 0
1
第二章 刚体的定轴转动
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
讨论
1.若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和 垂直于转轴方向的两个分量 F F z F 其中 F z 对转轴的力 z 矩为零，故 F 对转轴
的力矩
M
M z k r F
第五版
2.2 力矩 转动定律
j
M
ej
( m j r j )α
2
z rj
Fej
m j
j
m jrj
2
J
r dm
2
F ij
转动定律 M J 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力 矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第二章 刚体的定轴转动
7
物理学
第二章 刚体的定轴转动
18
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
例7 一个质量为 M ，半径为 R 的定滑轮（当 作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮 边上，另一端挂一质量为 m 的物体而下垂。忽略轴 处摩擦，求物体由静止下落 h 高度时的速度和此时 滑轮的角速度。
第二章 刚体的定轴转动
19
物理学
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律 质量为 m 的刚体，如果 对其质心轴的转动惯量为 J ， 则对任一与该轴平行，相距 为 d 的转轴的转动惯量
C
四 平行轴定理 (parallel axis theorem)
d
C
m
O
J O J C md
2
第二章 刚体的定轴转动
15
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
2
转动惯量的单位：kg· 2 m
J 的意义：转动惯性的量度。
第二章 刚体的定轴转动
9
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
J 的计算方法
质量离散分布
J
j
m j r j m 1 r1 m 2 r2 m j r j
2 2 2
2
质量连续分布
J m jrj r dm
2.2 力矩 转动定律 质元受外力
M
ej
2.刚体
Fej
，内力
2 j
F ij
z
O
M ij m j r
rj
Fej
m j
外力矩
内力矩
F ij
j
M
ej
j
M
ij
j
m jrj
2
M ij M
ji
M ij 0
第二章 刚体的定轴转动
6
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律 转动定律 M J
讨论 1. M
J
2. 3.
M J J
d dt
M 0， ω =常量
第二章 刚体的定轴转动
8
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
三 转动惯量 (moment of inertia)
J
j
m jrj , J
2
r dm ,
例4：求质量为 m ,半径为 R 的均匀实球体的 转动惯量，转轴通过球心。
第二章 刚体的定轴转动
13
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律
例5：求长度为 L ，质量为 m 的均匀细棒AB的 转动惯量： (1)对于通过棒的一端且与棒垂直的轴； (2)对于通过棒的中点与棒垂直的轴。
第二章 刚体的定轴转动
14
物理学
第五版
2.2 力矩 转动定律 用来描述力对刚体的转 动作用。
M Fr sin Fd
一 力矩 (torque)
z
M
F
d
F 对转轴z 的力矩 M rF
: 力臂
r
O
*
d
P
F
i
F
i
Fi 0 ,
Mi 0
F
F
Fi 0 ,
2 2 2
dm
：质量元
r dV
dV
V
：体积元
第二章 刚体的定轴转动
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物理学
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2.2 力矩 转动定律
说明
刚体的转动惯量与以下三个因素有关: 1.与刚体的体密度 有关。 2.与刚体的几何形状(及体密度 的分布)有关。 3.与转轴的位置有关。
第二章 刚体的定轴转动
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2.2 力矩 转动定律
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2.2 力矩 转动定律
例8 一根长 l ,质量为 m 的均匀直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转 动。最初棒静步在水平位置，求它由此下摆 角时 的角加速度和角速度，这时棒受轴的力的大小、方 向各如何？
第二章 刚体的定轴转动
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