湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学(文)试题(含答案)
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三(上)期中数学试卷(文科)
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知复数z＝i3(3−i)，则z＝（）A.1+3iB.1−3iC.−1+3iD.−1−3i【答案】D【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】z＝i3(3−i)＝−i(3−i)＝−1−3i，2. 已知集合A＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B＝{x|x2−4≤0}，则A∩B＝（）A.{−1, 0, 1, 2}B.{ 0, 1, 2}C.{−1, 0, 1}D.{−2, −1, 0, 1, 2}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{−2, −1, 0, 1, 2}，B＝{x|−2≤x≤2}，∴A∩B＝{−2, −1, 0, 1, 2}．3. 产品质检实验室有5件样品，其中只有2件检测过某成分含量．若从这5件样品中随机取出3件，则恰有2件检测过该成分含量的概率为（）A.3 5B.310C.25D.23【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】利用古典概率的定义，求出样本总数，基本事件所含个数，利用古典概率公式即可求．【解答】列举从5个产品中2件检测过某成分含量的叫A，B，其它分别级为a，b，c，则利用组合的定义可得到从5个任选3的所有组合有可能C53=10个，所以基本事件总数有10种，恰有2件检测过该成分含量的事件共有C31=3种，所以所求概率为310．4. 已知向量a →,b →满足a →⋅b →=1,|b →|=2，则(3a →−2b →)⋅b →=( )A.5B.−5C.6D.6【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】展开直接求解即可． 【解答】∵ a →⋅b →=1,|b →|=2，∴ (3a →−2b →)⋅b →=3a →⋅b →−2b →2=3−2×22=−5，5. 函数y ＝|x|+1的图象与圆x 2+(y −1)2＝4所围成图形较小部分的面积是（ ） A.π4B.π2C.4π3D.π 【答案】D【考点】直线与圆的位置关系 【解析】由题意画出图形，再由圆的面积公式求解． 【解答】函数y ＝|x|+1的图象与圆x 2+(y −1)2＝4所围成图形如下图，所围成的图形的面积S =14×π×22=π，6. 已知方程x 26+2m+y 2m+2=1表示焦点在x 轴的双曲线，则m 的取值范围是（ ）A.−2<m <−1B.−3<m <−2C.1<m <2D.2<m <3【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】根据双曲线的定义可得{6+2m >0m +2<0 ，求出解集即可． 【解答】根据条件可得{6+2m >0m +2<0，即−3<m <−2．7. 已知l，m，n是三条不重合的直线，其中命题“若l // m且l⊥n则m⊥n”是真命题．若把l，m，n中的任意两条直线换成平面，另一条保持不变，则所得到的所有新命题中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据线面平行，和面面平行，线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】①l不变，有l // α且l⊥β⇒α⊥β；②m不变，有m // α且α⊥β⇒m⊥β；③n不变，有α // β且n⊥α⇒n⊥β；分析知①，③正确．8. 如图所示的程序框图，若输入x的数值是19，则输出的y值为（）A.−124B.124C.26D.0【答案】A【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得x＝19x＝13满足判断框内的条件x≥0，执行循环体，x＝7满足判断框内的条件x≥0，执行循环体，x＝1满足判断框内的条件x≥0，执行循环体，x＝−5不满足判断框内的条件x≥0，退出循环，y＝(−5)3+1＝−124，输出y的值为−124．9. 已知f(x)＝lnx+1，10<a<b，若l=f(√ab),m=f(a+b2),n=12(f(a)+f(b))，则关于l，m，n的关系式中，正确的是（）A.m＝n<lB.m＝n>lC.l＝n<mD.l＝n>m 【答案】C【考点】对数的运算性质【解析】结合对数的运算性质及函数单调性即可进行比较大小．【解答】由对数运算的性质知l=f(√ab)=ln√ab+1=12lna+12lnb+1，n=12(f(a)+f(b))=12(lna+1+lnb+1)=12lna+12lnb+1，所以l＝n，又f(x)为增函数，0<a<b时，a+b2>√ab，所以m>l，所以有l＝n<m．10. 已知非零实数a，b，c不全相等，则下列说法正确的个数是（）（1）如a，b，c成等差数列，则1a ,1b,1c能构成等差数列（2）如a，b，c成等差数列，则1a ,1b,1c不可能构成等比数列（3）如果a，b，c成等比数列，则1a ,1b,1c能构成等比数列（4）如a，b，c成等比数列，则1a ,1b,1c不可能构成等差数列A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【考点】等比数列的性质【解析】由题意利用等差数列、等比数列的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】若a，b，c成等差数列，则2b＝a+c，∴1b2=1(a+c2)2=4(a+c)2，要使4(a+c)=1ac，需a＝c＝b，这不可能，故1a ,1b,1c不可能构成等比数列，故（2）正确（1）若a，b，c成等比数列，则1a,1b,1c能构成等比数列，例如：a＝2，b＝4，c＝8时，故（3）正确，若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，1b2=1ac，则1a,1b,1c不可能构成等差数列，故（4）正确．综上可得，（1）错，（2）（3）（4）对， 故选：C ．11. 在△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“cosC ＝2sinAsinB ”的（ ） A.必要不充分 B.充要C.充分不必要D.既不充分也不必要 【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分必要条件的定义，先由条件“△ABC 是钝角三角形”推理，看是否推出结论“cosC ＝2sinAsinB ”；反之，由内角和定理得C ＝π−(A +B)，利用两角和差的余弦公式、诱导公式化简式子，根据特殊角的余弦值判断出角之间的关系，即可得三角形的形状，即可得出结论． 【解答】在△ABC 中，已知“△ABC 是钝角三角形”，假设C 为钝角，则cosC <0，2sinAsinB >0，显然“cosC ＝2sinAsinB ”不成立； 在△ABC 中，又由cosC ＝2sinAsinB ，可知−cos(A +B)＝2sinAsinB ，即cos(A −B)＝0，此时有A −B =±π2，即A 为钝角或B 为钝角，从而△ABC 为钝角三角形． ∴ “△ABC 是钝角三角形”推不出“cosC ＝2sinAsinB ”； “cosC ＝2sinAsinB ”⇒“△ABC 是钝角三角形”∴ “△ABC 是钝角三角形”是“cosC ＝2sinAsinB ”的必要不充分条件．12. 已知函数f(x)={4−|x|,x ≤4(x −4)2,x >4 ，且函数g(x)满足g(x)+f(4−x)＝5，则函数y＝f(x)−g(x)的零点个数为（ ） A.0 B.4 C.3 D.2 【答案】 D【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】根据题意画出函数y ＝f(x)−g(x)的图象，就可得出结论． 【解答】由g(x)＝5−f(4−x)，知y ＝f(x)−g(x)＝f(x)+f(4−x)−5的零点就是 方程f(x)+f(4−x)＝5的根， 令F(x)＝f(x)+f(4−x)，则F(4−x)＝f(4−x)+f(x)所以有F(4−x)＝F(x)， 即F(x)的图象关于直线x ＝2对称．当0≤x ≤2时，F(x)＝f(x)+f(4−x)＝4−x +4−(4−x)＝4；当x<0时，F(x)=f(x)+f(4−x)=4+x+(4−x−4)2=x2+x+4=(x+12)2+154．作出F(x)的图象可知，当F(x)＝5时，有两个零点．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）某金属零件的三视图，如图所示（单位：m），则该零件的体积为________．【答案】643π【考点】由三视图求体积【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为2，高为4，圆锥底面圆的半径为2，高为2；∴该几何体的体积为V几何体＝2×13π⋅22×2+π⋅22⋅4=643π．已知实数m是区间[0, 4]上的随机数，则方程x2+3x+3m−3＝0有异号两根的概率为________14．【答案】14【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意，本题是几何概型，利用变量对应事件的区间长度比求概率．【解答】由题意，实数m是[0, 4]上的随机数，区间长度为4，而在此条件下，满足关于x的方程x2+3x+3m−3＝0有异号两根，则△＝32−4(3m−3)>0且3m−3<0；解得：m<1，区间长度为1；由几何概型的公式得到所求概率为：14；已知函数f(x)=12sin 2x +12sinxcosx +1，则f(x)的最小正周期是________，最小值是________． 【答案】 π,5−√24【考点】三角函数的周期性及其求法 三角函数的最值 【解析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式求周期，再由正弦函数的有界性求最小值． 【解答】∵ f(x)=12sin 2x +12sinxcosx +1 =12⋅1−cos2x 2+14sin2x +1 =14sin2x −14cos2x +54 =√24sin(2x −π4)+54．∴ f(x)的最小正周期是2π2=π，最小值为5−√24．某制药厂生产A ，B 两种药品均需用甲，乙两种原料．已知生产1吨每种药品所需原料及每天原料的可用限额，如表所示．如果生产1吨A ，B 产品可获利润分别为4万元，5万元，则该制药厂每天可获最大利润为________万元．553【考点】 简单线性规划 【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为x ，y 吨，利润为z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值． 【解答】设每天生产A 药品x 吨，B 药品y 吨，利润z ＝4x +5y ，则有{x >0y >04x +3y ≤152x +3y ≤10作出可行域知，由{4x +3y =152x +3y =10 解得A(52,53)．z在点A(52,53)处取得最大值553．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生必须作答，第22，23题为选做题，考生根据要求作答.）（一）必做题：共60分某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价．每人月用流量中不超过kGB（一种流量计算单位）的部分按2元/GB收费；超出kGB的部分按4元/GB收费．从用户群中随机调查了10 000位用户，获得了他们某月的流量使用数据．整理得到如下的频率分布直方图：(Ⅰ)若k为整数，依据本次调查，为使80%以上用户在该月的流量价格为2元/GB，k至少定为多少？(Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当k＝3时，试估计用户该月的人均流量费．【答案】（I）由直方图可知，用户所用流量在区间[0.5, 1]，(1, 1.5]，(1.5, 2]，(2, 2.5]，(2.5, 3]内的频率依次是0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．所以该月所用流量不超过3GB的用户占85%，所用流量不超过2GB的用户占45%，故k 至少定为3；(II)由所用流量的频率分布图及题意，用户该月的人均流量费用估计为：2×1×0.1+2×1.5×0.15+2×2×0.2+2×2.5×0.25+3×2×0.15+(3×2+ 0.5×4)×0.05+(3×2+1×4)×0.05+(3×2+1.5×4)×0.05＝5.1元．【考点】频率分布直方图【解析】根据图形找出各个区间的频率，在进行解答．【解答】（I）由直方图可知，用户所用流量在区间[0.5, 1]，(1, 1.5]，(1.5, 2]，(2, 2.5]，(2.5, 3]内的频率依次是0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．所以该月所用流量不超过3GB的用户占85%，所用流量不超过2GB的用户占45%，故k 至少定为3；(II)由所用流量的频率分布图及题意，用户该月的人均流量费用估计为：2×1×0.1+2×1.5×0.15+2×2×0.2+2×2.5×0.25+3×2×0.15+(3×2+ 0.5×4)×0.05+(3×2+1×4)×0.05+(3×2+1.5×4)×0.05＝5.1元．已知等差数列{a n}和正项等比数列{b n}满足a1＝b1＝2，a2+a3＝10，b2b4＝a18．(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式．(Ⅱ)设数列{c n}中c n＝a n+b n，求和：c1+c3+c5+...+c2n−1．【答案】（I）设等差数列{a n}的公差为d，因为a2+a3＝10，所以2a1+3d＝10，又a1＝2，所以d＝2，即a n＝2+(n−1)×2＝2n，设正项等比数列{b n}的公比为q，q>0，因为b2b4＝a18＝36，即b12⋅q4=36，由b1＝2，q>0知q=√3，所以b n=2⋅(√3)n−1；(II)c n=a n+b n=2n+2⋅(√3)n−1，设S2n−1＝c1+c3+c5+...+c2n−1，则S2n−1＝(2+2)+(6+2×3)+...+[2(2n−1)+2×3n−1]＝(2+6+...+2(2n−1)]+(2+2×3+...+2×3n−1)=12n(2+4n−2)+2(1−3n)1−3=2n2+3n−1．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，设正项等比数列{b n}的公比为q，q>0，分别运用通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；(II)c n=a n+b n=2n+2⋅(√3)n−1，设S2n−1＝c1+c3+c5+...+c2n−1，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】（I）设等差数列{a n}的公差为d，因为a2+a3＝10，所以2a1+3d＝10，又a1＝2，所以d＝2，即a n＝2+(n−1)×2＝2n，设正项等比数列{b n}的公比为q，q>0，因为b2b4＝a18＝36，即b12⋅q4=36，由b1＝2，q>0知q=√3，所以b n=2⋅(√3)n−1；(II)c n=a n+b n=2n+2⋅(√3)n−1，设S2n−1＝c1+c3+c5+...+c2n−1，则S2n−1＝(2+2)+(6+2×3)+...+[2(2n−1)+2×3n−1]＝(2+6+...+2(2n−1)]+(2+2×3+...+2×3n−1)=12n(2+4n−2)+2(1−3n)1−3=2n2+3n−1．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，M，N分别是BC，CC1的中点．(Ⅰ)证明：平面AMN⊥平面B1BCC1；(Ⅱ)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为30∘，试求三棱锥M−ANC的体积．【答案】（I）证明：如图所示，由直三棱柱ABC−A1B1C1知AM⊥BB1，又M为BC的中点知AM⊥BC，且BB1∩BC＝B，所以AM⊥面B1BCC1；又AM⊂平面AMN，所以平面AMN⊥平面B1BCC1；(II)设AB的中点为D，连接A1D，CD；因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB；由直三棱柱ABC−A1B1C1知CD⊥AA1，所以CD⊥平面A1ABB1，所以∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，即∠CA1D＝30∘；所以A1C＝2CD＝2×√32×4=4√3，所以A1D＝6；在Rt△AA1D中，AA1=√A1D2−AD2=√36−4=4√2，NC=12AA1=12×4√2=2√2；则三棱锥M−ANC的体积即为三棱锥N−AMC的体积，所以V=13S△AMC⋅NC=13×(√34×42×12)×2√2=4√63．【考点】平面与平面垂直柱体、锥体、台体的体积计算【解析】（I）由题意知AM⊥BB1，AM⊥BC，得出AM⊥面B1BCC1，从而证明平面AMN⊥平面B1BCC1；(II)取AB的中点D，连接A1D，CD；证明CD⊥平面A1ABB1，得出∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，利用三棱锥M−ANC的体积＝三棱锥N−AMC的体积，计算即可得出结论．【解答】（I）证明：如图所示，由直三棱柱ABC−A1B1C1知AM⊥BB1，又M为BC的中点知AM⊥BC，且BB1∩BC＝B，所以AM⊥面B1BCC1；又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面B 1BCC 1； (II)设AB 的中点为D ，连接A 1D ，CD ； 因为△ABC 是正三角形，所以CD ⊥AB ； 由直三棱柱ABC −A 1B 1C 1知CD ⊥AA 1， 所以CD ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角，即∠CA 1D ＝30∘； 所以A 1C ＝2CD ＝2×√32×4=4√3，所以A 1D ＝6；在Rt △AA 1D 中，AA 1=√A 1D 2−AD 2=√36−4=4√2， NC =12AA 1=12×4√2=2√2；则三棱锥M −ANC 的体积即为三棱锥N −AMC 的体积， 所以V =13S △AMC ⋅NC =13×(√34×42×12)×2√2=4√63．设椭圆与两坐标轴的交点分别为A(a, 0)，B (0, b)(a >b >0)，点O 为坐标原点，点M 满足BM →=2MA →，OM 所在直线的斜率为√510．(Ⅰ)试求椭圆的离心率e ；(Ⅱ)设点C 的坐标为(0, −b)，N 为线段AC 的中点，证明MN ⊥AB ． 【答案】（I ）设M(x, y)，因为BM →=2MA →，即(x, y −b)＝2(a −x, −y)，则x =23a ，y =13b ，即M(23a,13b)，由k OM =√510知b2a =√510，所以a =√5b ，c =√a 2−b 2=2b ，所以e =ca =2√55； (II)证明：由N 是AC 的中点知，点N(a2,−b2)，所以NM →=(a 6,5b6)，又AB →=(−a,b)，所以AB →⋅NM →=−16a 2+56b 2=16(5b 2−a 2)，由(I)知a =√5b ，即5b 2−a 2＝0，所以AB →⋅NM →=0， 即MN ⊥AB ．【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)根据BM →=2MA →表示出M 的坐标，进而可表示出直线OM 的斜率，求出a ，b ，c 之间的关系，即可的离心率； (Ⅱ)计算出AB →⋅NM →的值为0，得证． 【解答】（I ）设M(x, y)，因为BM →=2MA →，即(x, y −b)＝2(a −x, −y)，则x =23a ，y =13b ，即M(23a,13b)， 由k OM =√510知b 2a=√510，所以a =√5b ，c =√a 2−b 2=2b ，所以e =c a=2√55； (II)证明：由N 是AC 的中点知，点N(a2,−b2)，所以NM →=(a 6,5b 6)，又AB →=(−a,b)，所以AB →⋅NM →=−16a 2+56b 2=16(5b 2−a 2)，由(I)知a =√5b ，即5b 2−a 2＝0，所以AB →⋅NM →=0，即MN ⊥AB ．已知函数f(x)＝(x +a)lnx ，曲线y ＝f(x)在点（1, f(1)）处的切线与直线x +2y ＝0垂直．(Ⅰ)求a 的值． (Ⅱ)令g(x)=x 2e x，是否存在自然数n ，使得方程f(x)＝g(x)在(n, n +1)内存在唯一的根？如果存在，求出n ，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）由题意知切线的斜率为2，即f′(1)＝2， 又f ′(x)=lnx +ax +1，∴ a ＝1； （2）设ℎ(x)=f(x)−g(x)=(x +1)lnx −x 2e x，当x ∈(0, 1]时，ℎ(x)<0，又ℎ(2)=31n2−4e 2=ln8−4e 2>0， ∴ 存在x 0∈(1, 2)，使得ℎ(x 0)＝0． 又ℎ(x)=lnx +1x +1+x(x−2)e x，∴ 当x ∈(1, 2)时，ℎ(x)=lnx +1x+1+(x−1)2e x−1ex >1−1e>0， 当x ∈[2, +∞)时，ℎ′(x)>0．即x ∈(1, +∞)时，ℎ(x)为增函数，∴ n ＝1时，方程f(x)＝g(x)在(n, n +1)内存在唯一的根． 【考点】函数与方程的综合运用利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(Ⅰ)由已知可得切线的斜率为2，求出原函数的导函数，再由f′(1)＝2求解a 值； (Ⅱ)设ℎ(x)=f(x)−g(x)=(x +1)lnx −x 2e x，得当x ∈(0, 1]时，ℎ(x)<0，ℎ(2)>0，再利用导数判断x ∈(1, +∞)时，ℎ(x)为增函数，即可得到n ＝1时，方程f(x)＝g(x)在(n, n +1)内存在唯一的根． 【解答】（1）由题意知切线的斜率为2，即f′(1)＝2， 又f ′(x)=lnx +ax +1，∴ a ＝1；（2）设ℎ(x)=f(x)−g(x)=(x +1)lnx −x 2e x，当x ∈(0, 1]时，ℎ(x)<0，又ℎ(2)=31n2−4e 2=ln8−4e 2>0， ∴ 存在x 0∈(1, 2)，使得ℎ(x 0)＝0． 又ℎ(x)=lnx +1x +1+x(x−2)e x，∴ 当x ∈(1, 2)时，ℎ(x)=lnx +1x+1+(x−1)2e x−1e x>1−1e>0，当x ∈[2, +∞)时，ℎ′(x)>0． 即x ∈(1, +∞)时，ℎ(x)为增函数，∴ n ＝1时，方程f(x)＝g(x)在(n, n +1)内存在唯一的根．（二）选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =6+12ty =√32t（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=4√3sinθ． (Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线（上的一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I ）由ρ=4√3sinθ知ρ2=4√3ρsinθ， 所以x 2+y 2=4√3y ，所以⊙C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4√3y =0．(II)由(I)知⊙C 的标准方程为x 2+(y −2√3)2=12，即圆心C(0,2√3)，设P 点坐标为(6+12t,√32t)， 则|PC|=√(6+12t)2+(√32t −2√3)2=√t 2+48，所以当t ＝0时，|PC|有最小值，此时P 点坐标为(6, 0)．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用两点间的距离公式的应用和二次函数的最值的应用求出结果． 【解答】（I ）由ρ=4√3sinθ知ρ2=4√3ρsinθ， 所以x 2+y 2=4√3y ，所以⊙C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4√3y =0．(II)由(I)知⊙C 的标准方程为x 2+(y −2√3)2=12，即圆心C(0,2√3)，设P 点坐标为(6+12t,√32t)， 则|PC|=√(6+12t)2+(√32t −2√3)2=√t 2+48，所以当t ＝0时，|PC|有最小值，此时P 点坐标为(6, 0)．[选修4-5：不等式选讲]已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|4<x<6}．（1）求实数a，b的值；（2）求√at+10+√bt的最大值．【答案】由|x+a|<b知−b−a<x<b−a，∴{−b−a=4b−a=6，解得{a=−5b=1．依题意，知：√at+10+√bt=√−5t+10+√t =√5⋅√2−t+1⋅√t≤√[(√5)2+12]⋅[(√2−t)2+(√t)2] =√6(2−t+t)=2√3．当且仅当√52−t =√t即t=13时等号成立．故所求式子的最大值为2√3．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】本题第（1）题先去掉绝对值符号，然后与解集进行比较即可得到a、b的值；第（2）题根据根式的特点运用柯西不等式即可得到最大值．【解答】由|x+a|<b知−b−a<x<b−a，∴{−b−a=4b−a=6，解得{a=−5b=1．依题意，知：√at+10+√bt=√−5t+10+√t =√5⋅√2−t+1⋅√t≤√[(√5)2+12]⋅[(√2−t)2+(√t)2] =√6(2−t+t)=2√3．当且仅当√52−t =√t即t=13时等号成立．故所求式子的最大值为2√3．。
2019-2020学年湖北省重点高中联考协作体高三（上）期中数学试卷1（含答案解析）
2019-2020学年湖北省重点⾼中联考协作体⾼三（上）期中数学试卷1（含答案解析）2019-2020学年湖北省重点⾼中联考协作体⾼三（上）期中数学试卷1⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知复数z满⾜(z?1)i=1+i，则z=()A. ?2?iB. ?2+iC. 2?iD. 2+i2.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2?7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}3.已知3件次品和2件正品放在⼀起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测⼀件产品，检测后不放回，则第⼀次检测出的是次品且第⼆次检测出的是正品的概率为()A. 16B. 310C. 35D. 564.已知向量a?=(?2,?1)，b? =(2,?2)，则(a??b? )?(a?+2b? )等于()A. 7B. ?6C. ?10D. ?135.由曲线y=|x?1|与(x?1)2+y2=4所围成较⼩扇形的⾯积是()A. π4B. 3π4C. πD. 3π26.若曲线x2m +y21?m=1表⽰焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为()A. m<1B. m<0C. ?1227.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平⾯α、β的四个命题：①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共⾯；②若m、l是异⾯直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l//α，m//β，α//β，则l//m；④若l?α，m?α，l∩m=A，l//β，m//β，则α//β，其中为真命题的是()A. ①③④B. ②③④C. ①②④D. ①②③8.根据如图程序框图，当输⼊5时，输出的是()A. 6B. 4.6C. 1.9D. ?3.99.已知函数，若a≠b,f(a)=f(b)，则ab等于()A. e?1B. 1C. eD. e210.有下列4个说法：①等⽐数列的某⼀项可以为0②等⽐数列的公⽐取值范围是R③若b2=ac，则a,b,c成等⽐数列④若⼀个常数列是等⽐数列，则这个数列的公⽐是1其中正确说法的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 311.在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的()A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12.若函数f(x)={ln (x+1)?x,x≥0,2x2+2x,x<0,则函数f(x)的零点个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.某⼯⼚零件模型的三视图如图所⽰，则该零件的体积为______ mm3．14.在区间[1,5]上任取⼀个数m，则函数y=x2?4x?2(0≤x≤m)的值域为[?6,?2]的概率是______ ．15.函数f(x)=2sin(2x+π6)在[?π6,π2]上取最⼩值时x的值为______．16.某农户计划种植莴笋和西红柿，种植⾯积不超过30亩，投⼊资⾦不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价莴笋5吨1万元0.5万元西红柿4.5吨0.5万元0.4万元那么，该农户⼀年种植总利润(总利润=总销售收⼊?总种植成本)的最⼤值为__________．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.某快递公司收取快递费⽤的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg(不⾜1kg，按1kg计算)需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直⽅图如下图所⽰(同⼀组数据⽤该区间的中点值作代表)．(1)求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；(2)该公司从收取的每件快递的费⽤中抽取5元作为前台⼯作⼈员的⼯资和公司利润，剩余的作为其他费⽤．已知公司前台有⼯作⼈员3⼈，每⼈每天⼯资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？(3)⼩明打算将A(0.9kg)，B(1.3kg)，C(1.8kg)，D(2.5kg)四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg，求他⽀付的快递费为45元的概率．18.已知等差数列{a n}满⾜a3=7，a5+a7=26．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=(?1)n a n a n+1，求数列{b n}的前2n项的和S2n．19.如图，在四棱锥P?ABCD中，底⾯ABCD为平⾏四边形，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平⾯PAB⊥平⾯PAD；(2)若AD=√2PA=√2PD=√2AB.且四棱锥的侧⾯积为6+2√3，求该四棱锥P?ABCD的体积．20. 已知从椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上⼀点P 向x 轴作垂线，垂⾜恰为左焦点F 1.⼜点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB//OP ，|F 1A|=√10+√5． (Ⅰ)求椭圆C 的⽅程；(Ⅱ)在椭圆C 中，求以点D(?2,1)为中点的弦MN 所在的直线⽅程．21. 已知函数．(1)求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线⽅程;(2)若⽅程f (x )=g (x )+m 有唯⼀解，试求实数m 的值．22. 在直⾓坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ，直线l 的极坐标⽅程为ρcos(θ+π4)=2√2，两线交于A ，B 两点．(1)求A ，B 两点的极坐标；(2)P 为曲线C 2：{x =2cosφy =sinφ(φ为参数)上的动点，求△PAB 的⾯积的最⼩值．23. 已知a >0，b >0，函数f(x)=|x +a|+|x ?b|的最⼩值为4．(1)求a +b 的值；(2)求a 2+14b 2的最⼩值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数的四则运算，属于基础题．设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代⼊(z ?1)i =1+i ，根据复数相等即可．【解答】设复数z =a +bi(a,b ∈R)，代⼊(z ?1)i =1+i得(a ?1+bi)i =1+i ，即?b +(a ?1)i =1+i ．根据复数相等可得{?b =1a ?1=1得a =2,b =?1，所以复数z =2?i ．故选C ．2.答案：B解析：解：B ={x|2≤x ≤5}；∴A ∩B ={3,5}．故选：B ．可解出集合B ，然后进⾏交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，⼀元⼆次不等式的解法，交集的运算．3.答案：B解析：【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独⽴事件概率乘法公式的合理运⽤．利⽤相互独⽴事件概率乘法公式求解．【解答】解：∵3件次品和2件正品放在⼀起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测⼀件产品，检测后不放回，∴第⼀次检测出的是次品且第⼆次检测出的是正品的概率为：p =35×24=310．故选B ．4.答案：D解析：解：向量a ? =(?2,?1)，b ? =(2,?2)，a ? ?b ? =(?4,1)，a ? +2b ? =(2,?5)，则(a ? ?b ? )?(a ? +2b ? )=?8?5=?13．故选：D ．求出相关向量，利⽤向量的数量积运算法则求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积，考查计算能⼒，属于基础题．5.答案：C解析：解：(x?1)2+y2=4的圆⼼坐标为(1,0)，半径为2，由曲线y=|x?1|与(x?1)2+y2=4所围成较⼩扇形的⾯积是圆的⾯积的四分之⼀，∴⾯积是14×π×22=π．故选：C．根据所给的⽅程可以看出两个图形⼀个是半径为2的圆⼀个是⼀条折线，围成较⼩的⾯积是圆的⾯积的四分之⼀，得到结果．本题考查扇形的⾯积公式，解题的关键是从图形中看出要求的函数的图形是圆的四分之⼀，是⼀个基础题．6.答案：B解析：解：∵曲线x2m +y21?m=1表⽰焦点在y轴上的双曲线，∴将曲线化成标准⽅程，得y21?m ?x2m=1，由此可得1?m>0且?m>0，解得m<0．故选：B将曲线化成焦点在y轴上双曲线的标准⽅程，得y21?m ?x2m=1，由此建⽴关于m的不等式组，解之可得m<0．本题已知曲线表⽰焦点在y轴上的双曲线，求参数m的范围．着重考查了圆锥曲线与⽅程、双曲线的标准⽅程等知识，属于基础题．7.答案：C解析：解：①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共⾯，正确；②若m、l是异⾯直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，利⽤线⾯垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l//α，α//β，α//β，则l与m不⼀定平⾏，不正确；④若l?α，m?α，l∩m=A，l//β，m//β，利⽤⾯⾯平⾏的判定定理可得：α//β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．①利⽤异⾯直线的定义即可判断出正误；②利⽤线⾯垂直的判定定理即可判断出正误；③由已知可得l与m不⼀定平⾏，即可判断出正误；④利⽤⾯⾯平⾏的判定定理可得：α//β，即可判断出正误．本题考查了线⾯平⾏与垂直的判定定理、异⾯直线的定义，考查了推理能⼒，属于中档题．8.答案：A解析：解：模拟执⾏程序框图，可得程序的功能是计算y={1.2x x≤71.9x?4.9x>7的值．∵当输⼊5<7，满⾜条件x≤7，∴y=1.2×5=6．故选：A．当输⼊5<7，满⾜条件x≤7，执⾏y=1.2x运算，可得答案．本题考查条件结构的程序框图，根据条件要求计算可得答案，属于基础题．9.答案：A解析：【分析】本题考查对数的运算．【解答】解：函数，若a≠b,f(a)=f(b)，所以．故选A．10.答案：B解析：【分析】本题考查等⽐数列的定义，根据定义即可求解，属于基础题．【解答】解：对于①，等⽐数列的各项都不为0，故①错误；对于②，等⽐数列的公⽐不为0，故②错误；对于③，若b2=ac，只有当a、b、c都不为0时，a，b，c才成等⽐数列，故③错误；对于④，若⼀个常数列是等⽐数列，⽽等⽐数列的公⽐不为0，则这个常数列的公⽐为1，故④正确；综上可知，正确的说法有1个．故选B．11.答案：B解析：解：若C=90°，则A+B=90°，则B=90°?A，，即必要性成⽴．若A=B=30°，满⾜cosA+sinA=cosB+sinB，但C=90°不成⽴，即充分性不成⽴，故“cosA+sinA=cosB+sinB”是“∠C=90°”的必要不充分条件，故选：B．根据三⾓函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三⾓函数的诱导公式是解决本题的关键．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的零点与⽅程根的关系，利⽤导数求出函数单调性进⽽求出函数零点，属于基础题．【解答】解：根据函数可做出如下图像：当x≥0时，f(x)=ln(x+1)?x，f′(x)=1x+11，令f′(x)=0，得x=0，且f′(x)在x≥0恒⼩于零，∴f(x)在(0,+∞)单调递减，可知f(x)在x=0处取得最⼤值，最⼤值为f(0)=0，x=0是⼀个零点；当x<0时，f(x)=2x2+2x，是简单的⼀元⼆次⽅程，令f(x)=0，解得x=?1或x=0(舍去)，综上可知f(x)的零点有x=?1和x=0两个零点，故选C．13.答案：11003解析：解：由三视图可知⼏何体是下部为长⽅体底⾯边长为10的正⽅形，⾼为2，上部是4个四棱锥，底⾯边长为5的正⽅形，⼀条侧棱垂直底⾯的⼀个顶点，⾼为：5，⼏何体的体积为：10×10×2+4×13×5×5×5=11003.(mm3).故答案为：11003．判断⼏何体的形状，利⽤三视图的数据，求解⼏何体的体积即可．本题考查⼏何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能⼒以及计算能⼒．14.答案：12解析：解：当x=2时，y=?6；当x=0或4时，y=?2．即m∈[2,4]时，函数y=x2?4x?2(0≤x≤m)的值域为[?6,?2]，则所求概率为P=4?25?1=12，故答案为：12．找出函数y=x2?4x?2(0≤x≤m)的值域为[?6,?2]时对应的区域长度的⼤⼩，再代⼊⼏何概型的计算公式进⾏解答．本题主要考查了⼏何概型、⼆次函数的性质．⼏何概型的概率估算公式中的“⼏何度量”只与“⼤⼩”有关，⽽与形状和位置⽆关解．15.答案：?π6或π2解析：【分析】本题考查利⽤正弦函数的图象与性质求闭区间上的最值，属于基础题．求出的范围，结合正弦函数的图象和性质即可求解．【解答】解：因为x∈[?π6,π2 ]，所以，可得，所以当，即时，取最⼩值?1，故答案为?π6或π2．16.答案：43万元解析：【分析】本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和⽬标函数，同时考查了作图的能⼒，属于基础题．设种植莴笋和西红柿的种植⾯积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建⽴关于x与y的约束条件，得到⽬标函数，利⽤线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可．【解答】解：设种植莴笋和西红柿的种植⾯积分别为x ，y 亩，种植总利润为z 万元，由题意可知{x +y ≤30x +0.5y ≤25x ≥0,y ≥0，⼀年的种植总利润为z =0.5×5x +0.4×4.5y ?x ?0.5y =1.5x +1.3y ，作出约束条件如下图阴影部分，由{x +y =30x +0.5y =25，解得A(20,10)，平移直线1.5x +1.3y =0，当过点A(20,10)时，⼀年的种植总利润为z 取最⼤值43万元．故答案为43万元．17.答案：解：(1)每天包裹数量的平均数为0.1×50+0.1×150+0.5×250+0.2×350+0.1×450=260；--------------------------------------------(2分)【或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为160×(50×6+150×6+250×30+350×12+450×6)=260】设中位数为x ，易知x ∈(200,300)，则0.001×100×2+0.005×(x ?200)=0.5，解得x =260．所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件．-----------------------------------------(4分)(2)由(1)可知平均每天的揽件数为260，利润为260×5?3×100=1000(元)，所以该公司平均每天的利润有1000元．-------------------------------------------------(7分)(3)设四件礼物分为⼆个包裹E 、F ，因为礼物A 、C 、D 共重0.9+1.8+2.5=5.2(千克)，礼物B 、C 、D 共重1.3+1.8+2.5=5.6(千克)，都超过5千克，------------------(8分)故E 和F 的重量数分别有1.8和4.7，2.5和4.0，2.2和4.3，2.7和3.8，3.1和3.4共5种，对应的快递费分别为45、45、50，45，50(单位：元)------------------------------(10分)故所求概率为35.----------------------------------------------------------------------------------(12分)解析：(1)根据频率分布直⽅图，将每⼀组的中点作为改组数据的代表值，对应的频率作为权重，取加权平均即可．(2)根据(1)中得到的平均值，求出每天的费⽤，减去300元的前台⼯作⼈员⼯资即可．(3)将4件礼物分成2个包裹，且每个包裹重量都不超过5kg ，共有5种分法，其中快递费⽤为45的有3种，可得概率．本题考查了⽤频率分布直⽅图估计平均值，考查频率公式，频率分布直⽅图的应⽤，古典概型的概率求法．属于基础题．18.答案：解：(1)等差数列{a n }满⾜a 3=7，a 5+a 7=26．设⾸项为a 1，公差为d ，则：{a 3=7a 5+a 7=26， {a 1+2d =72a 1+10d =26，解得：a 1=3，d =2．所以：a n =a 1+(n ?1)d =2n +1．(2)由于：b n =(?1)n a n a n+1=(?1)n (2n +1)(2n +3)，则：S 2n =b 1+b 2+b 3+?+b 2n ，=(?3)×5+5×7?7×9+??(4n ?1)(4n +1)+(4n +1)(4n +3)，=4[5+9+13+?+4n +1]，=4×[5n +n(n?1)2×4]， =8n 2+12n ．解析：(1)直接利⽤等差数列建⽴⽅程组，求出数列的通项公式．(2)利⽤数列的通项公式，进⼀步利⽤分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应⽤，分组求和在数列中的应⽤．19.答案：(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90°．∴AB ⊥AP ，CD ⊥PD ，∵四边形ABCD 是平⾏四边形，∴AB//CD ，∴AB ⊥PD ，⼜PA ∩PD =P ，PA ?平⾯PAD ，PD ?平⾯PAD ，∴AB ⊥平⾯PAD ，⼜AB ?平⾯PAB ，∴平⾯PAB ⊥平⾯PAD ．(2)解：取AD ，BC 的中点M ，N ，连接PM ，MN ，PN ，由(1)知AB ⊥平⾯PAD ，故AB ⊥AD ，AB ⊥PM ，∴MN =AB ，MN//AB ，∴BC ⊥MN ，∵PA =PD ，M 是AD 的中点，∴PM ⊥AD ，∵平⾯PAD ∩平⾯ABCD =AD ，PM ?平⾯PAD ．∴PM ⊥平⾯ABCD ，⼜∵BC ?平⾯ABCD ，∴PM ⊥BC ．⼜∵PM ∩MN =M ．∴BC ⊥平⾯PMN ，且PN ?平⾯PMN ，故BC ⊥PN ．设AB =PA =PD =x ，则AD =√2x ，PM =√22x ，MN =x ，∴PN =√MN 2+PM 2=√62x ，∴四棱锥P ?ABCD 的侧⾯积为12x 2×2+12×√2x ×√22x +12×√2x ×√62x =6+2√3，解得x =2，即AB =2，∴AD =2√2，PM =√2，∴四棱锥的体积V=13S矩形ABCDPM=13×2×2√2×√2=83．解析：本题考查了⾯⾯垂直的判定，棱锥的表⾯积与体积计算，属于中档题．(1)根据AB⊥AP，AB⊥PD可得AB⊥平⾯PAD，于是平⾯PAB⊥平⾯PAD；(2)根据侧⾯积计算AB的长和棱锥的⾼，再计算棱锥的体积．20.答案：解：(Ⅰ)由题意知：P(?c,b2a),A(a,0),B(0,b)，故k AB=?ba ,k OP=?b2ac，即?ba=?b2ac，解得b=c，⼜a+c=√10+√5,a2=b2+c2，解得a=√10,b=c=√5，故椭圆C的⽅程为C：x210+y25=1；(Ⅱ)因为点D(?2,1)在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，故设直线MN的⽅程为y=k(x+2)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，代⼊椭圆⽅程得(2k2+1)x2+(8k2+4k)x+8k2+8k?8=0，故x1+x2=?8k2+4k2k2+1=?4，解得k=1，故直线MN的⽅程为y=x+3．解析：本题考查椭圆的标准⽅程，直线与椭圆的位置关系，直线⽅程，考查计算能⼒，属于中档题．(Ⅰ)易求点P坐标，由k OP=k AB，由斜率公式可得b，c关系，进⽽可得a，c关系，由|F1A|=√10+√5，可求得c，进⽽可得a，b；(Ⅱ)故设直线MN的⽅程为y=k(x+2)+1，代⼊椭圆⽅程，根据韦达定理即可求出．21.答案：解：(1)因为f′(x)=2x?8x，所以切线的斜率k=f′(1)=?6，⼜f(1)=1，故所求切线⽅程为y?1=?6(x?1)，即y=?6x+7．(2)原⽅程等价于，令，则原⽅程即为?(x)=m.因为当x>0时原⽅程有唯⼀解，所以函数y=?(x)与的图象在y轴右侧有唯⼀的交点，?′(x)=4x?8x ?14=2(x?4)(2x+1)x且x>0，所以当x>4时，?′(x)>0；当0即?(x)在(4,+∞)上递增，在(0,4)上递减．故?(x)在x=4处取得最⼩值，从⽽当x>0时原⽅程有唯⼀解的充要条件是．解析：本题主要考查切线⽅程、⽅程的解，解答本题的关键是掌握相关知识，逐⼀分析解答即可．(1)因为f′(x)=2x?8x，所以切线的斜率k=f′(1)=?6，⼜f(1)=1，故所求切线⽅程为y?1=?6(x?1)，即y=?6x+7．(2)原⽅程等价于，令，则原⽅程即为?(x)=m.根据当x >0时原⽅程有唯⼀解，求实数m 的值22.答案：解：(1)由曲线C 1的极坐标⽅程为ρ=4cosθ，转化为直⾓坐标⽅程为：x 2+y 2=4x ，直线l 的极坐标⽅程为ρcos(θ+π4)=2√2，即，转化为直⾓坐标⽅程为：x ?y ?4=0，联⽴{x 2+y 2=4x x ?y =4，解得：{x =2y =?2或{x =4y =0，直线l 与曲线C 1交点的为(2,?2)或(4,0)，所以直线l 与曲线C 1交点的极坐标为(2√2,7π4)或(4,0)．(2)由(1)知直线l 与曲线C 1交点的直⾓坐标为(2,?2)，(4,0)，|AB|=√(2?4)2+(?2)2=2√2，因此，△PAB 的⾯积取得最⼩时也就是P 到直线l 的距离最⼩的时候，设点P(2cosθ,sinθ)，则点P 到直线l 的距离为：d =√2=√5sin(θ?α)+4|√2，当sin(θ?α)=?1时，d min =√5√2，所以S △PAB =12|AB|d min =12×2√2×√5√2=4?√5．解析：本题考查的知识要点：参数⽅程和极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的转化，三⾓函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应⽤．(1)直接把参数⽅程和极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程进⾏转化．(2)利⽤点到直线的距离公式和三⾓函数的关系式的恒等变换求出三⾓形的⾯积．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x +a|+|x ?b|≥|(x +a)?(x ?b)|=a +b ，当且仅当?a ≤x ≤b 时，等号成⽴，所以f(x)的最⼩值为a +b =4．(2)由(1)知a +b =4，由柯西不等式得(a 2+14b 2)(12+22)≥(1?a +2?12b)2=16．即a 2+14b 2≥165，当且仅当a 1=12b 2，即a =45，b =165时，等号成⽴．所以a 2+14b 2的最⼩值为165．解析：本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运⽤，属于中档题．(1)利⽤绝对值不等式，结合条件求a +b 的值；(2)由(1)知a +b =4，由柯西不等式求a 2+14b 2的最⼩值．。
湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三上学期期中考试数学试题(文)
湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三上学期期中考试数学试题（文）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1，2}，B ={1，m ，3}，如果A ∩B =A ，那么实数m 等于（ ） A ．﹣1B ．0C ．2D ．42.设θ为第二象限的角，53sin =θ，则=θ2sin ( ) A ．257 B ．2524 C ．257- D ．2524-3.设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b4．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋c ，a －b )，n ＝(b ，a －c )，若m ∥n ，则∠C ＝( ) A ．π6 B ．π3 C ．π2D ．2π35． “p 且q 是真命题”是“非p 为假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数y ＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π127．设全集U ＝R ，A ＝{x |－x 2－3x >0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x >0}B ．{x |－3<x <－1}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－1}8. 要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π6个单位9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．310．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形11．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)， f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b )12．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数f (x )的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”．点对(A ，B )与(B ，A )可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x x 2e x x，则f (x )的“姊妹点对”有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北宜昌示范高中协作体2019届高三上学期期中考试数学(文)试题含答案
宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考高三（文科）数学（全卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={1，2}，B={1，m ，3}，如果A ∩B=A ，那么实数m 等于（ ） A ．﹣1 B ．0C ．2D ．42.设θ为第二象限的角，53sin =θ，则=θ2sin ( ) A ．257 B ．2524 C ．257- D ．2524-3.设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b4．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋c ，a －b )，n ＝(b ，a －c )，若m ∥n ，则∠C ＝( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π35． “p 且q 是真命题”是“非p 为假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．函数y ＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π127．设全集U ＝R ，A ＝{x |－x －3x >0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x >0}B ．{x |－3<x <－1}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－1}8. 要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π6个单位9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．310．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形11．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)， f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b )12．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数f (x )的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”．点对(A ，B )与(B ，A )可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x <0)2e x (x ≥0)，则f (x )的“姊妹点对”有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上。
2019年春季湖北省重点高中联考协作体期中考试-高三文数答案
2019年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学(文科)参考答案一、选择题：每题5分，共50分.1~5 BDCAA 6~10 BBCDA 11~12 DC 二、填空题：每小题4分，共20分，请将答案填入相应栏内.13.2314.4 15.16.[2，+∞）1. B 【解析】易知{},0,1,2,3A =与{}1,2,3,B =,∴集合{}1,2,3A B =.选B .2.D 【解析】1(1)(1)3332,1(1)(1)i i i z i i i i i i i i ---=+=+=-+=++-所以2z =.故选D. 3. C 【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱，其体积312(4--1)=5cm 2⨯.选C .4. A 【解析】22222(2)444412cos120412a b a b a a b b -=-=-∙+=-⨯⨯+=，223a b -=.选A .5. A 【解析】由题意0a >，对于24y ax =，当1x =时，y =±由于l 被抛物线24y ax =截得的线段长为8，所以8=，所以4a =.所以抛物线的焦点坐标为(4,0).选A .6. B 【解析】由题意2,c e a ===所以223,b a =所以b a =所以双曲线的渐近线方程为.y =选B .7. B 【解析】()cos sin ),4f x x x x π=-=-最小正周期是2π，对称轴由,42x k πππ-=+得3,.4x k k Z ππ=+∈对称中心由,4x k ππ-=得,.4x k k Z ππ=+∈对 称中心是(,0),.4k k Z ππ+∈当1k =-时，一条对称轴是4x π=-．选B .8.C 【解析】函数为偶函数,所以只研究(0,2)上图像;因为2x =时ln 210,4y +=>所以去掉A,D;因为223ln 112ln (),x xy x x x--''=+=所以120x e -<<时0,y '>所以去掉B,选C .9. D 【解析】连接1BC ，因为AB ⊥平面11BB C C .所以130AC B ∠=，1AB BC ⊥，所以1ABC ∆是直角三角形，又2AB =，所以1BC =，14,AC =外接球半径122AC R ==，外接球体积314322.33V ππ=⨯=选D . 10. A 【解析】因为()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，所以()f x 的周期是4T =.所以1((2019))((1))()2cos 24f f f f f π=-===选A .11. D 【解析】因为sin sin (sin cos )0B A C C -+=，所以sin()sin (sin cos )A C A C C +-+0=，即cos sin sin sin 0A C A C -=，即sin (cos sin )0C A A -=，又sin 0C ≠，cos sin 0A A -=，即t a n 1,4A A π==.由正弦定理si n si n 14si n ,22c A C a π===又c a <，所以6C π=.选D .12. C 【解析】设E 是AC 的中点，M 是ABC ∆的重心，O 为球心，连接,BE DM ，,.OD BO 因为2,ABC S AB ∆==所以26,3AB BM BE ====易知DM ⊥平面ABC .所以在Rt ABC ∆中，2,OM ==所以当,,D O M 三点共线且DM DO OM =+426=+=时，三棱锥D ABC -的体积最大.三角形ABC 所在圆的半径r BM ==l 所以122S r π=圆锥侧（）l = 24π．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.23【解析】将2名男同学分别记为,x y ，1名女同学分别记为.a 所有可能情况有：{}{}{},,,,,x y x a y a ，共3种.合题意的有{}{},,,x a y a ，2种．所以2.3p =14. 4【解析】画出可行域，作出直线230x y +=并平移，结合图象可知，当平移的直线经过(2,0)B 时，直线23z x y =+在y 轴上截距最大，max 220 4.z =⨯+=22(1)4,x y ++=所以圆心坐标为( 1.0)-，半径2R =，圆心到直线y x =的距离d ==所以AB ===16.12b ≥【解析】由题意应有1min2min ()()f x g x ≥.2224343()1x x f x x x x-+'=--=- 2(1)(3)x x x--=-，(0,1)x ∈时，()0,f x '<()f x 单调递减，(1,2)x ∈时，()0,f x '>()f x 单调递增，所以1()f x 的最小值是(1)13 2.f =-+=22()2()1848b b g x x =-+-，对称轴4b x =，①当1,4b<即4b <时，()g x 的最小值是(1)20,g b =-由202,b -≤得18b ≥，舍;②当12,4b≤≤即48b ≤≤时，()g x 的最小值是2()18,48b b g =-由2182,8b -≤得b b ≤-≥,舍；③当2,4b≥即8b ≥时，()g x 的最小值是(2)262,g b =-由2622,b -≤得12.b ≥三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.考点：等差等比数列的基本知识与基本运算．专题：等差与等比数列的通项公式，前n 项和公式．【命题意图】等差与等比数列的通项公式，前n 项和公式；考查运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则1(1)n a a n d =+-1(1)n d =+-，111n n n b b q q --==，由225a b +=得，(1)5,d q ++=即4,d q += ……………2分（1） 由339a b +=可得，2(12)9,d q ++= ……………4分于是联立方程组得，24(12)9d q d q +=⎧⎨++=⎩，解得22d q =⎧⎨=⎩ 或40d q =⎧⎨=⎩（舍） ……………6分 所以21n a n =-，12.n n b -= ……………7分 （2）由题意可得2113,q q ++=得2120q q +-=3q =或4q =- ……………9分 ①当3q =，1d =，3, 6.n a n S ==②当4q =-，8d =，387,27.n a n S =-= ……………12分 点评：本题已知两个数列的几项和，求通项，搞清首项与公差是等差数列的“基本量”，首项与公比是等比数列的“基本量”，再列方程组解题．考查化归与转化思想、函数与方程思想．本题属于容易题．18. 考点：线面平行，几何体的体积计算，等积转换．专题：线线平行与线面平行的相互转化，线线垂直、线面垂直及面面垂直的相互转化，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．（1）证明：取AC 的中点G ，连接,MG DG ， ……………1分 ,,AG GC BM MC ==,G M A B ∴且12GM AB =A BD E 且11,24AB DE DN DE ==， ,D NA B ∴且12DN AB =，,GM DN GM DN ∴=∴四边形DGMN 是平行四边形.DG MN ∴ ……………4分 又GD ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ，MN ∴平面ACD ； ……………6分（2）解：连接,ME 由（1）知,DE AB 从而DE 平面ABC所以N 到平面ABC 的距离等于E 到平面ABC 的距离， ……………8分 又26,BE CE AB ===所以BCE ∆是等腰直角三角形，所以BC =ME =ME BC ⊥…①又已知平面ABED ⊥平面,BCE AB BE ⊥，AB ∴⊥平面BCE AB ME ∴⊥…② 由①②及,BCAB B =得ME ⊥平面ABC∴ME 是三棱锥N ABM -的高且ME = ……………10分111(39332A BMN N ABM ABM V V S ME --∆==⋅=⋅⨯⨯=. ……………12分 点评：本题难度适中，主要考查线面平行的判定，几何体的体积计算，考查空间想象能力、推理论证能力、转化归能力、运算求解能力，意在让多数考生得分.19. 考点：茎叶图，频率分布直方图及线性回归方程的求解.专题：直方图及线性回归方程，考查的核心素养是数据分析、数学建模、数学运算． 解：（1）语文、历史成绩的茎叶图如图： ……………3分(说明：历史成绩同一行的个位数字的顺序也可从小到大排列)（2）语文成绩的频率分布表 ……………5分语文成绩的頻数分布表语文成绩的频率分布直方图 ……………7分（3）由已知得ˆˆ0.85,640.85869.1ba ==-⨯=- y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.859.1yx =-， ……………11分 当110x =时，ˆ93.59.184.484y=-=≈ ……………12分 ∴当该考生的语文成绩为110分时，预测该生的历史成绩为84分.点评：本题难度适中，主要考查茎叶图，频率分布直方图及线性回归方程的求解. 考查识图与读图能力、数据处理能力、运算求解能力，意在让大多数考生得分. 20. 考点：求圆的方程;斜率的计算．专题：平面几何综合题，直线和圆锥曲线的位置关系，角度的相等证明．解：（1）设圆C 的半径(0)r r >，依题意，圆心坐标为),r 2,MN =22214,r ∴=+=24r =所以圆C的方程是22((2)4x y +-= ……………5分 （2）在圆22((2)4x y +-=中，令0x =得1y =或3，即点(0,1),(0,3)M N ， ……………6分 ①当AB ⊥x 轴时，0.ANM BNM ∠=∠= ……………7分 ②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 方程为 1.y kx =+联立方程有221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2234(1)12x kx ++=，化简得22(34)880k x kx ++-= ……………9分 设直线AB 与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，则122122834834k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ……………10分 于是12121212121212332222()AN BN y y kx kx kx x x x k k x x x x x x -----++=+=+=2212161634340k kk k x x -+++== ANM BNM ∴∠=∠. ……………12分点评：求圆的方程有两种方法：（1）代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，可用标准方程222()()x a y b r -+-=，或一般方程220x y Dx Ey F ++++=求解.（2）几何法，通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，从而写出圆的方程.本题难度较大，主要考查圆的方程求解，直线和圆锥曲线的位置关系，直线的斜率，考查运算求解能力、数形结合思想、转化与化归能力，意在让少部分考生得分. 21.考点：利用导数求解函数单调区间,最值问题求解．专题：求函数单调区间，分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想;最值问题利用图象求解．解：（1）1()4ln 3,h x x x x=+-定义域是(0,)+∞22221341(31)(1)()43x x x x h x x x x x -+--'=-+-=-=- ……………2分令()0h x '<，得()h x 的单调递减区间是1(0,)3和(1,)+∞； ……………5分 （2）问题等价于12ln a x x=有唯一实根，显然0a ≠ 即关于的方程12ln x x a=有唯一实根， ……………6分 构造函数()2ln ,x x x ϕ=则()2(1ln )x x ϕ'=+ 令()0x ϕ'=得，2(1ln )0x +=，1x e∴=当1(0,)x e∈时，()0,x ϕ'<()x ϕ单调递减；当1(,)x e∈+∞时，()0,x ϕ'>()x ϕ单调递增. ……………8分 所以()x ϕ的极小值为12(),e eϕ=-作出函数()x ϕ的图象，则要使方程12ln x x a=有唯一实根， ……………10分只需要1y a=与曲线()y x ϕ=有唯一的交点，则 12a e =-或10a >，解得2ea =-或0.a > ……………12分 点评：本题难度较大，主要考查导数与函数的单调性及最值，函数的零点.考查转化与化归能力、运算求解能力、数形结合思想. 意在让少部分考生得分. 22. 考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程． 专题：坐标系和参数方程．【解析】（1）l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程为.122=+y x 联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩解得l 与1C 的交点为)0,1(A,1(,2B -,则AB = ……5分 （2）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线l的距离是13cos sin 122θθ--=,由此当sin()1θϕ-=时,d 取得最大值,且最大值为142+. …………10分点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，属于容易题．23. 考点：带绝对值的函数；绝对值不等式． 专题：．计算题；不等式的解法及参数的求法；考查分类讨论能力,数形结合能力，转化与化归能力及运算求解能力，考查的数学核心是数学运算． 【解析】（1）当1a =时，由题意，得7(1)(2)1261()4124122827(1)(2)2x x x x x f x x x x x x x x ⎧+++-≤-+≤-⎧⎪⎪=-<≤=-<≤⎨⎨⎪⎪-+>-+-->⎩⎩ ……………2分可得求不等式错误！未找到引用源。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学(文)试卷及解析
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试数学（文）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集的概念得到结果即可.【详解】根据集合的交集的概念易知与的公共元素是.集合. 故选C【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.复数，则（）A. 0B.C. 1D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】所以.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到等价于，再由函数的单调性得到，进而得到结果.【详解】因为为奇函数，所以，于是等价于,又在单调递减,.故选C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，较为简单,和奇偶性有关的题目常见的有判断奇偶性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.4.记为等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. 10 D.【答案】D【解析】【分析】将题干中的条件化为基本量，可得到，进而得到d，通过等差数列的通项公式可得到结果.【详解】设等差数列的公差为,解得,.故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，。
湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
2019年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学文科试卷★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整？吉.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数()33z ii =-，则z =（ ） A. 13i +B. 13i -C. 13i -+D. 13i -- 【答案】D【解析】【分析】根据3i i =-，利用复数运算，即可求得结果 【详解】因为3i i =-，故可得()313z i i i =--=--.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算，属基础题.2.已知集合{}2,1,0,1A =--，{}2|40B x x =-≤，则A B =I （ ） A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}1,0,1-D. {}2,1,0,1--【答案】D【解析】【分析】 .求解一元二次不等式解得集合B ，再求交集即可.详解】集合{}2B x x =|-2≤≤，故{}2,1,0,1A B ⋂=--故选：D.【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.3.产品质检实验室有5件样品，其中只有2件检测过某成分含量.若从这5件样品中随机取出3件，则恰有2件检测过该成分含量的概率为（ ） A. 35 B. 310 C. 25 D. 23【答案】B【解析】【分析】列举出所有抽取的可能性，以及满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【详解】不妨设5件样品为12312,,,,A A A B B ，其中12,B B 为检测过某成分含量的2件样品. 故从5件样品抽取3件样品的所有可能有如下10种：123121122131132112231232212312,,,,,,,,,A A A A A B A A B A A B A A B A B B A A B A A B A B B A B B ,其中满足题意的可能有如下3种：112212312,,A B B A B B A B B . 故满足题意的概率310P =. 故选：B.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，属基础题. 4.已知向量a r ，b r 满足1a b ⋅=r r ，2b =r ，则()32a b b -⋅=r r r （ ） A. 5B. -5C. 6D. 6【答案】B【解析】【分析】 根据向量的数量积运算，即可容易求得结果.【详解】根据题意可得：()23232385a b b a b b -⋅=⋅-=-=-r r r r r r . 【故选：B.【点睛】本题考查向量的数量积运算，属基础题.5.函数1y x =+的图象与圆()2214x y +-=所围成图形较小部分的面积是（ ） A. 4π B. 2π C. 43π D. π【答案】D【解析】【分析】求得圆心角，根据扇形的面积公式即可容易求得. 【详解】画出函数1y x =+的图象与圆()2214x y +-=的图像，如下所示：容易知90CAB ∠=︒，半径2r =， 故可得小扇形面积1422S ππ=⨯⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查扇形的面积计算，涉及由圆方程求圆心和半径，属综合基础题. 6.已知方程221622x y m m +=++表示焦点在x 轴的双曲线，则m 的取值范围是（ ） A. 21m -<<-B. 32m -<<-C. 12m <<D. 23m <<【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程的特点，即可列出不等式，从而求得参数范围. 【详解】因为方程221622x y m m +=++表示焦点在x 轴的双曲线，故可得620,20m m +>+<，解得32m -<<-.故选：B .【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数范围的问题，属基础题.7.已知l ，m ，n 是三条不重合的直线，其中命题“若//l m 且l n ⊥则m n ⊥”是真命题.若把l ，m ，n 中的任意两条直线换成平面，另一条保持不变，则所得到的所有新命题中，真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可容易判断命题的真假.【详解】①l 不变，由//l α且l βαβ⊥⇒⊥；②m 不变，由//m α且m αββ⊥⇒⊥；③n 不变，由//αβ且n n αβ⊥⇒⊥；分析知①，③正确.故选：C .【点睛】本题考查线性，线面，面面的位置关系，以及命题真假的判断，属综合基础题.8.如图所示的程序框图，若输入x 的数值是19，则输出的y 值为（ ）A. -124B. 124C. 26D. 0【答案】A【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】模拟执行程序框图如下： 19,13x x ==，满足0x ≥，7x =，满足0x ≥，1x =，满足0x ≥，5x =-，不满足0x ≥，()351124y =-+=-.故选：A.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.9.已知()ln 1f x x =+，0a b <<，若l f =，2a b m f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()12n f a f b =+，则关于l ，m ，n 的关系式中，正确的是（ ）A. 1m n =<B. 1m n =>C. 1n m =<D. 1n m => 【答案】C【解析】【分析】利用对数运算以及均值不等式，即可容易判断.【详解】由对数运算的性质知111ln ln 122l f a b ===++， ()()()()11ln 1ln 122n f a f b a b =+=+++11ln ln 122a b =++， 所以l n =，又()f x 为增函数，0a b <<时，2a b +>m l >， 所以有l n m =<.故选：C .【点睛】本题考查利用对数运算，均值不等式比较大小，属综合基础题.10.已知非零实数a ，b ，c 不全相等，则下列说法正确的个数是（ ）（1）如果a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c 能构成等差数列 （2）如果a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c 不可能构成等比数列 （3）如果a ，b ，c 成等比数列，则1a ，1b ，1c 能构成等比数列 （4）如果a ，b ，c 成等比数列，则1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【答案】C【解析】【分析】用列举法判断命题（1）（3），通过等比中项和等差中项的性质判断（2）（4）命题.【详解】对（1）若1,2,3a b c ===，则111,,23不能够成等差数列，故（1）错误； 对（3）若1,2,4a b c ===，则111,,24成等比数列，故（3）正确； 对（2）若,,a b c 成等差数列，故可得2a c b +=，若111,,a b c 成等比，则222()()21141b a c c a a c ⎛⎫== ⎪⎝+⎭=+， 则a c b ==，与已知矛盾，∴2111a c b ⎛⎫⨯≠ ⎪⎝⎭，故（2）正确； 对（4），若,,a b c 成等比数列，故可得2ac b =，则112a c a c ac b++=>==，即112a c b +≠，故（4）正确. 故正确的选项是（2）（3）（4）.故选：C.【点睛】本题考查等差中项和等比中项的性质，考查了推理证明的能力，属基础题.11.在ABC V 中，“ABC V 是钝角三角形”是“cos 2sin sin C A B =”的（ ）A. 必要不充分B. 充要C. 充分不必要D. 既不充分也不必要 【答案】A【解析】【分析】从充分性和必要性，结合余弦的和角公式，即可容易判断.【详解】假设C 为钝角，则cos 0C <，2sin sin 0A B >，显然充分性不成立，又由cos 2sin sin C A B =可知()cos 2sin sin A B A B -+=，即()cos 0A B -=，此时有2A B π-=±，即A 为钝角或B 为钝角，从而ABC V 为钝角三角形，必要性成立.故选：A .【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及余弦的和角公式，属综合基础题. 12.已知函数()()24,44,4x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，且函数()g x 满足()()45g x f x +-=，则函数()()y f x g x =-的零点个数为（ ）A. 0B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】构造函数()()()4F x f x f x =+-，根据其对称性，以及函数图像，根据图像交点判断函数零点个数.【详解】由()()54g x f x =--知()()()()45y f x g x f x f x =-=+--，令()()()4F x f x f x =+-，则()()()44F x f x f x -=-+所以有()()4F x F x -=，即()F x 的图像关于直线2x =对称.当02x ≤≤时，()()()()44444F x f x f x x x =+-=-+--=；当0x <时，()()()()24444F x f x f x x x =+-=++-- 22115424x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. 作出()F x 的图像可知，当()5F x =时，有两个零点.故选：D.【点睛】本题考查函数零点个数的求解，涉及数形结合，函数对称性的判断，属综合中档题.第Ⅱ卷选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某金属零件的三视图，如图所示（单位：m ），则该零件的体积为______.【答案】643π 【解析】【分析】根据题意，还原几何体，根据圆锥和圆柱的体积计算公式即可容易求得.【详解】根据三视图，可得该零件是由两个底面半径为2，高为2的圆锥，如图：以及1个底面半径为2，高为4的圆柱构成. 故其体积为221222243ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=643π. 故答案为：643π. 【点睛】本题考查由三视图还原几何体，以及圆锥和圆柱的体积求解，属综合基础题.14.已知实数m 是区间[]0,4上的随机数，则方程23330x x m ++-=有异号两根的概率为______. 【答案】14【解析】【分析】先求得方程有异号两根的参数范围，根据几何概型的概率计算公式即可容易求得.【详解】若要保证23330x x m ++-=有异号两根，则()94330m =-->n ，330m -<，解得1m <，故满足题意的[)0,1m ∈， 由几何概型的概率计算公式可得其概率为14P =. 故答案为：14. 【点睛】本题考查由一元二次方程根的个数求参数范围，以及几何概型的概率求解，属综合中档题. 15.已知函数()211sin sin cos 122f x x x x =++，则()f x 的最小正周期是_____，最小值是______.【答案】 (1). π (2).【解析】【分析】利用降幂扩角公式以及辅助角公式化简()f x 至最简形式，即可求得其函数性质.【详解】由题意有：()2111cos 2sin 2sin sin cos 112244x x f x x x x -=++=++ ()155sin 2cos 224444x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 故最小正周期为π，最小值为54-. 故答案为：π，54. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，以及求三角函数的最值和周期，属综合基础题.16.某制药厂生产A ，B 两种药品均需用甲，乙两种原料.已知生产1吨每种药品所需原料及每天原料的可用限额，如下表所示.如果生产1吨A ，B 产品可获利润分别为4万元，5万元，则该制药厂每天可获最大利润为__万元.【答案】553【解析】【分析】根据题意，列出不等式组，数形结合即可求得目标函数的最值.【详解】设每天生产A 药品x 吨，B 药品y 吨，利润45z x y =+，则有0043152310x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩作出可行域如下图所示：数形结合可知，目标函数z在点A55,23⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值553.故答案为：55 3.【点睛】本题考查利用线性规划解决实际问题，属中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17—21题为必做题，每个试题考生必须作答，第22，23题为选做题，考生根据要求作答.）（一）必做题：共60分17.某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价.每人月用流量中不超过GBk（一种流量计算单位）的部分按2元/GB收费；超出GBk的部分按4元/GB收费.从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据.整理得到如下的频率分布直方图：（1）若k为整数，依据本次调查，为使80%以上用户在该月流量价格为2元/GB，k至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3k=时，试估计用户该月的人均流量费.【答案】（1）k至少定为3（2）5.1元【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算概率，即可容易求得结果；（2）由频率分布直方图计算平均数即可容易求得.【详解】（1）由直方图可知，用户所用流量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3 内的频率依次是0.1，0.15，0.2，0.25，0.15，所以该月所用流量不超过3GB 的用户占85%，所用流量不超过2GB 的用户占45%，故k 至少定为3；（2）由所用流量的频率分布图及题意，用户该月的人均流量费用估计为： 210.12 1.50.15220.22 2.50.25⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()()320.15320.540.0532140.05+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯()32 1.540.05 5.1+⨯+⨯⨯=元.【点睛】本题考查频率分布直方图的概率计算，以及由频率分布直方图计算平均数，属综合基础题. 18.已知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足112a b ==，2310a a +=，2418b b a =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）设数列{}n c 中n n n c a b =+，求和：13521n c c c c -+++⋅⋅⋅+.【答案】（1）2n a n =；12n n b -=⋅（2）2231n n +- 【解析】【分析】（1）根据基本量，即可容易求得等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用分组求和以及等差数列和等比数列前n 项和的求和公式，即可容易求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2310a a +=，所以12310a d +=，又12a =，所以2d =，即()2122n a n n =+-⨯=，设正项等比数列{}n b 的公比为q ，因为241836b b a ==即24136b q ⋅=，由12b =，0q >知q =所以12n n b -=⋅.（2）122n n n n c a b n -=+=+⋅，设2113521n n S c c c c --=++++L ，则()()()()212122623102322123n n S n --⎡⎤=+++⨯++⨯+⋅⋅⋅+-+⨯⎣⎦()()2126102212232323n n -=+++⋅⋅⋅+-++⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯⎡⎤⎣⎦()()()2221213213n n n ⎡⎤+--⎣⎦=+- 2231n n =+-.【点睛】本题考查利用基本量求等差数列和等比数列的通项公式，以及用基本量求解等差和等比数列的前n 项和，涉及分组求和，属综合基础题.19.如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.（1）证明：平面AMN ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为30°，试求三棱锥M ANC -的体积.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明AM ⊥平面11BB C C ，即可由线面垂直推证面面垂直；（2）根据线面角求得棱柱的高，即可由棱锥的体积公式求得结果.【详解】（1）证明：如图，由直三棱柱111ABC A B C -知1AM BB ⊥，又M 为BC 的中点知AM BC ⊥，又1BB BC B =I ，所以AM ⊥面11B BCC ，又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面11B BCC .（2）如图：设AB 的中点为D ，连接1A D ，CD .因为ABC V 是正三角形，所以CD AB ⊥.由直三棱柱111ABC A B C -知1CD AA ⊥.所以CD ⊥平面11A ABB ，所以1CA D ∠为直线1A C 与平面11A ABB 所成的角.即130CA D ∠=︒，所以12242A C CD ==⨯=，所以16A D =， 在1Rt AA D △中，1AA ===11122AA NC =⨯== 三棱锥M ANC -的体积即为三棱锥N AMC -的体积，所以2111433423AMC S V NC ⎛⎫⋅=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭=△. 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及由线面角求线段长，涉及棱锥的体积求解，属综合中档题.20.设椭圆与两坐标轴的交点分别为(),0A a ，()0,B b ()0a b >>，点O 为坐标原点，点M 满足2BM MA =uuu r uuu r ，OM 所在直线的斜率为10. （1）试求椭圆的离心率e ；（2）设点C 的坐标为()0,b -，N 为线段AC 的中点，证明MN AB ⊥.【答案】（1）5e =（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由2BM MA =uuu r uuu r ，用,a b 表示出M 点的坐标，利用OM 的斜率即可容易求得离心率；（2）根据N 是AC 中点，求得N 点坐标，由数量积的坐标运算，求得AB NM ⋅u u u r u u u u r ，根据（1）中所求，即可求得结果.【详解】（1）由(),0A a ，()()0,0B b a b >>，2BM MA =uuu r uuu r ，知21,33M a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由10OM k =知210b a =.所以a =，2c b ==，所以5c e a ==. （2）证明：由N 是AC 的中点知，点,22a b N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5,66a b NM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ， 又(),AB a b =-u u u r ，所以()22221515666AB NM a b b a ⋅=-+=-u u u r u u u u r ， 由（1）知a =，即2250b a -=，所以0AB NM ⋅=u u u r u u u u r ， 即MN AB ⊥.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，以及由椭圆中垂直问题的证明，涉及向量的数量积运算，属综合基础题.21.已知函数()()ln f x x a x =+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线20x y +=垂直. （1）求a 的值. （2）令()2x x g x e=，是否存在自然数n ，使得方程()()f x g x =在(),1n n +内存在唯一的根？如果存在，求出n ，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =（2）存在；1n =【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，由切线斜率即可容易求得参数值；（2）构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数判断函数单调性，根据函数值零点分布，即可求得对应的参数.【详解】（1）易知切线的斜率为2，即()'12f =，又()'ln 1a f x x x=++，所以1a =； （2）设()()()()21ln x x h x f x g x x x e=-=+-， 当(]0,1x ∈时，()0h x <.又()224423ln 2ln80h e e =-=-> 所以存在()01,2x ∈，使得()00h x =.又()()21'ln 1x x x h x x x e-=+++， 所以当()1,2x ∈时，()()21111'ln 110x x x h x x x e e e-=+++->->， 当[)2,x ∈+∞时，()'0h x >即()1,x ∈+∞时，()h x 为增函数，所以1n =时，方程()()f x g x =在(),1n n +内存在唯一的根.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数由方程根的个数求参数值，属综合中档题. （二）选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1622x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，C e的极坐标方程为ρθ=.（1）写出C e 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上的一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.【答案】（1）220x y +-=（2）()6,0【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的转化公式，即可求得结果；（2）利用点P 的参数坐标，结合（1）中所求，求得PC 关于t 的函数，根据函数的最值，即可容易求得结果.【详解】（1）由ρθ=知2sin ρθ=所以22x y +=，所以C e的直角坐标方程为220x y +-=.（2）由（1）知C e的标准方程为(2212x y +-=，即圆心(0,C ，设P点坐标为162t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，则PC == 所以当0t =时，PC 有最小值，此时P 点坐标为()6,0.【点睛】本题考查极坐标和直角方程之间的转化，以及利用直线的参数方程，求得点距的最值，属中档题. 选修4—5：不等式选讲23.已知关于x 不等式x a b +<的解集为{}|46x x <<.（1）求实数a ，b 的值；（2.【答案】（1）51a b =-⎧⎨=⎩； （2）【解析】【分析】 （1）解不等式x a b +<可得b a x b a --<<-，即46b a b a --=⎧⎨-=⎩，然后解方程即可；（2）利用柯西不等式求最值即可.【详解】（1）由x a b +<知b a x b a --<<-，所以46b a b a --=⎧⎨-=⎩即51a b =-⎧⎨=⎩. （2）依题意知：==≤的===即13t =时等号成立，所以所求式子的最大值为【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法及柯西不等式的应用，属基础题.。
2019届湖北黄冈联考协作体期中考试高三数学文科试卷(解析版)
2019届湖北黄冈联考协作体期中考试高三文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由集合2，3，，，则．故选：A．用列举法表示出集合U，求解一元二次方程化简集合M，则答案可求．本题考查了集合的表示法，考查了一元二次方程的解法，考查了补集的概念，是基础题．2.复数是虚数单位，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知条件p：两个三角形全等，条件q：两个三角形的面积相等，则q是p的A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：由若两个三角形全等，则两个三角形大小，形状一样，则这两个三角形的面积相等，即q是p的必要条件，不妨取两直角边长分别为4，1与2，2的两直角三角形，其面积均为2，但两三角形不全等，即q是p的不充分条件，故q是p的必要不充分条件，故选：C．由三角形全等的性质，若两个三角形全等，则两三角形面积相等，但两三角形面积相等，三角形不一定全等，可举实例：取两直角边长分别为4，1与2，2的两直角三角形，其面积均为2，但两三角形不全等，说明故可得解．本题考查了三角形全等的性质及住房条件、必要条件，充要条件，属简单题．4.已知函数，若，则实数a的值等于A. B. C. 1 D. 3【答案】A【解析】解：函数，，，，当时，，解得，不成立，当时，，解得．实数a的值等于．故选：A．先求出，从而，当时，，当时，，由此能求出实数a的值．本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5.若x，y满足，若，则z的最大值是A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】解：x，y满足不等式组表示平面区域如阴影部分所示：，z为斜率为的直线的纵截距，如图作直线，平移该直线，当平移到经过该阴影部分的P点时，纵截距z最大，联立，解得点，此时取得最大值是12．故选：D．由不等式的意义可得不等式组表示平面区域；变形目标函数，平移直线，由截距的意义可得．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6.已知x，y满足，则的最小值是A. 3B. 2C.D.【答案】D【解析】解：，，当且仅当时，取得等号，的最小值为，故选：D．运用1的代换，化简，利用基本不等式，即可得出答案，但应当注意取等的条件．本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．7.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，，第二步：将数列的各项乘以n，得到数列记为，，，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：．时，．．故选：C．时，利用“裂项求和”方法即可得出．本题考查了“裂项求和”方法、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.函数的图象可能是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据函数的解析式 ，得到：函数的图象为奇函数， 故排除A 和B ．当时，函数的值也为0， 故排除C ． 故选：D ．直接利用函数的图象和性质求出结果．本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用．9. 已知函数的图象过点，则下面说法正确的是A. 函数 在 上单调递增B. 函数 在 上单调递减C. 函数 的图象关于点对称D. 函数 的图象关于直线对称【答案】A【解析】解：函数， ，，由于：函数的图象经过点所以：，即：，解得：，由于：，当时，．故：．对于选项：A，令，解得：，当时，函数的单调递增区间为：故：A、B误．对于选项C：令：，解得：，当时，，故：的图象关于点对称，对于选项：D当时，，故错误：故选：A．首先利用已知条件求出三角函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.设圆锥曲线r的两个焦点分别为，，若曲线r上存在点P满足：：：3：2，则曲线r的离心率等于A. 或B. 或2C. 或D. 或【答案】A【解析】解：依题意设，，，若曲线为椭圆则，则，若曲线为双曲线则，，，故选：A．根据题意可设出，和，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征关键是利用圆锥曲线的定义来解决．11.已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，其中是的导函数若，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位长度得到，由函数的图象关于直线对称，可得函数的图象关于y轴对称，即函数是偶函数．，令可得，所以当时，x，．当时，，，此时；当时，，此时．故时，，又的图象连续不断，即函数在上单调递增．由于，所以，又，所以．故选：D．利用函数的图象的变换以及函数的奇偶性，通过函数的导数求出化简函数的解析式，利用单调性判断三个数的大小．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断门课程转化思想以及计算能力．12.已知，，若存在，，使得，则称函数与互为“n度零点函数”若，与为自然对数的底数互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，解得，由，解得，设其解为，与互为“1度零点函数“，，解得，，，设，则，，当时，，是增函数，当时，，是减函数，，，，实数a的取值范围为，故选：B．由，解得，由，解得，设其解为，由与互为“1度零点函数“，得，设，则，，当时，，是增函数，当时，，是减函数，由此能求出实数a的取值范围．本题考查实数取值范围的求法，考查函数性质、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知角终边上的一点，则的值为______．【答案】【解析】解：角终边上的一点，，，则，故答案为：．利用任意角的三角函数的定义求得和的值，再利用二倍角公式求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式，属于基础题．14.对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如；，函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，则的值为______．【答案】42【解析】解：由题意可知：，，，个1，18个．故答案为：42．直接利用新定义，化简求解即可．本题考查新定义的应用，函数值的求法，数列求和，考查计算能力．15.如图，在半径为r的定圆C中为圆心，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，那么的值可由下列哪些量唯一确定请写出所有满足题意的选项的序号______．；弦AB的长；；．【答案】【解析】解：由向量数量积的定义可知，，故正确；而，故正确；中，由余弦定理可得，，故正确．故答案为：由向量数量积的定义，三角函数的定义及余弦定理分别可判断．本题以向量数量积的定义为载体，综合考查了三角函数的定义，余弦定理等知识的综合应用．三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16.若直线与圆有公共点，则实数a取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即，化简得，故有，求得，故答案为：．由题意可得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即，解绝对值不等式求得实数a取值范围．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.已知命题p：函数为定义在R上的单调递减函数，实数m满足不等式命题q：当时，方程有解．求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．【答案】解：对于命题p：由函数为R上的单调递减函数得：，解得分对于命题q：当时，，，分综上，要使“p且q”为真命题，只需p真q真，即解得实数m的取值范围是分【解析】分别判断出p，q为真时的m的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．本题考查了复合命题的真假，考查函数的单调性以及三角函数的性质，是一道基础题．18.在数列中，是与的等差中项，设，且满足．求数列的通项公式；记数列的前n项的和为，若数列满足，试求数列的前n项的和．【答案】解：因为，，所以，数列是等比数列，公比为2，又是与的等差中项，，即，解得，数列的通项公式；数列的前n项的和为，数列满足，，得，得，，数列的前n项的和．【解析】通过向量平行，判断数列是等比数列，然后求数列的通项公式；求出的前n项的和为，然后求出的表达式，利用错位相减法求数列的前n项的和．本题考查数列的判断，通项公式的求法，错位相减法求和的方法，考查计算能力．19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求B；若a，b，c成等差数列，且的周长为，求的面积．【答案】解：，由正弦定理得，即，，为的内角，．，b，c成等差数列，，又的周长为，即，，由余弦定理知，，．【解析】由正弦定理得，可得．利用a，b，c成等差数列及的周长可得，由余弦定理知，即可求出得的面积．此题考查了余弦定理，等差数列的性质，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20.已知函数．证明在定义域上是奇函数；当时，求的值；对于，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】证明：函数．则：，解得：或，．由得：在定义域上是奇函数．解：当时，所以：，，，．解：由于，所以：，即：，整理得：，即对于，恒成立，故：，令，所以当时，，故：，由于：在关系式中，得知：，所以：．【解析】直接利用函数的奇偶性的定义进行证明．利用裂项相消法进行运算．利用对数函数的性质和单调性，转换成二次函数的恒成立问题进行应用．本题考查的知识要点：函数的性质奇偶性的应用，裂项相消法的应用，函数的恒成立问题的应用，二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21.工厂生产某种产品，次品率p与日产量万件间的关系为为常数，且，已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损元．将日盈利额万元表示为日产量万件的函数；为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？注：次品率次品数产品总数【答案】解：当时，，分当时，分日盈利额万元与日产量万件的函数关系式为分由知，当时，日盈利额为0．当时，令得：或舍去分当时，0'/>，在区间上单调递增，，最大值此时分当时，在上，0'/>，在上最大值综上，若，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若，则当日产量为3万件时，日盈利额最大分【解析】要求日盈利额万元，只要找出日产量万件中正品与次品的数量，根据分段函数分段研究，针对不同的次品率得到不同的正品与次品数即可；利用函数的导数求函数的最大值．本题考查分段函数的应用与计算以及函数的导数求函数最值，要求熟练掌握求导法则以及导数法判断函数的单调性解决问题，是中等题．22.已知函数e为自然对数的底数．若曲线在点处的切线平行于x轴，求a的值；求函数的极值；当时，若直线l：与曲线没有公共点，求k的最大值．【答案】解：由，得，又曲线在点处的切线平行于x轴，，即，解得；，当时，，为上的增函数，所以无极值；当时，令，得，，，；，；在上单调递减，在上单调递增，故在处取到极小值，且极小值为，无极大值．综上，当时，无极值；当时，在处取到极小值，无极大值．当时，，令，则直线l：与曲线没有公共点，等价于方程在R上没有实数解．假设，此时，，又函数的图象连续不断，由零点存在定理可知在R上至少有一解，与“方程在R上没有实数解”矛盾，故．又时，，知方程在R上没有实数解，所以k的最大值为1．【解析】求出的导数，依题意，，从而可求得a的值；，分时讨论，可知在上单调递减，在上单调递增，从而可求其极值；令，则直线l：与曲线没有公共点方程在R上没有实数解，分与讨论即可得答案．本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，突出分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．。
湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1 (含答案解析)
湖北省重点高中联考协作体2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,2}，B ={x ∈Z|0≤x ≤2}，则A ∩B 等于( )A. {0}B. {2}C. {0,1，2}D. ⌀2. 若复数z =1+i3−4i ，则|z −|=( )A. 25B. √25C. √105D. 2253. 设f(x)为奇函数，且在(−∞,0)上递减，f(−2)=0，则xf(x)<0的解集为( )A. (−∞,−2)B. (2,+∞)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,2)4. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=4，S 9=72，则a 10=( )A. 20B. 23C. 24D. 285. 已知ab >0，则ba +ab 的最小值为( )A. 1B. √2C. 2D. 2√26. 设a =ln3,b =log 312,c =0.21.1，则( )A. b <c <aB. b <a <cC. a <b <cD. c <b <a7. 平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μDB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= A. 43B. 53C. 2D. 38. 函数f(x)=sin2(x −π3)在[0,π]上的图象大致是( )A.B.C.D.9. 函数的图象大致为( )A.B.C.D.10. 设定义在(0,+∞)上的函数f(x)={−12x −2x,0<x ≤1x 2−2x −32,x >1，g(x)=f(x)+a ，则当实数a 满足2<a <52时，函数y =g(x)的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 若(a +b +c)(b +c −a)=3bc 且sinA =2sinBcosC ，则△ABC 是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形12. 若函数f(x)=x 2+2x +a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A. a <1B. a >1C. a ≤1D. a ≥1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1log 2x,x >1，则 f(4)= ______ ．14. 若平面向量b ⃗ 与向量a ⃗ =(1,−2)的夹角为180°，且|b ⃗ |=3√5，则b ⃗ =________． 15. 已知α∈(π,2π)，cosα=35，则tan(α+π4)等于______ ．16. 把数对(x,y)(x,y ∈N +)按一定规律排列成如图所示的三角形数表，令a ij 表示数表中第i 行第j个数对．(1)a64表示的数对为______ ．(2)已知a ij对应的数对为(2m,n)(m,n为正整数)，则i+j=______ (结果用含m，n的式子表示)．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，已知∠A=30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a=4，b=4√3，求边c的长．18.已知函数，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间[−π4,π4]上的最大值和最小值．19.已知数列{b n}与等差数列{a n}满足：a1+a2+a3+⋯+a n=log2b n(n∈N∗)，且a1=2，b3=64b2．(Ⅰ)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(Ⅱ)设c n =a n ·√b n n ，n ∈N ∗，求数列{c n }的前n 项和T n ．20. 某企业在科研部门的支持下，启动减缓气候变化的技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物(PM2.5)转化为一种可利用的化工产品．已知该企业处理成本P(x)(亿元)与处理量x(万吨)之间的函数关系可近似地表示为P(x)={x +4x−3320,x >10x 216+x4,0≤x≤10另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元．(1)当0≤x ≤10时，若计划在A 国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量x 的取值范围是多少？(2)该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？ 附：投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费，平均成本=投入总成本处理量．21. 眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．(1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？是否做操不做操做操是否近视近视4432不近视618(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)22. 如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：万吨)的折线图．注：年份代码1∼7分别表示对应年份2012∼2018．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r(|r |>0.75线性相关较强)加以说明；(2)建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量．(参考数据)∑y i =9.327i=1，∑(t i −t)(y i −y )7i=1≈2.89，√∑(y i −y )27i=1≈0.55，√∑(t i −t)27i=1≈2×2.646，∑(t i −t)27i=1≈28， 2.892×2.646×0.55≈0.99，2.8928≈0.103． (参考公式)相关系数r =i −t)i −y )n i=1√∑(t i −t)∑(y i −y )n i=1n i=1y ̂=b ̂t +a ̂中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=i −t)i −y )ni=1∑(t −t)2ni=1，a ̂=y −b ̂t ．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：集合A 和集合B 的公共元素构成集合A ∩B ，由此利用集合A ={−1,2}，B ={x ∈Z|0≤x ≤2}={0,1，2}，能求出A ∩B ．本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 解：∵集合A ={−1,2}，B ={x ∈Z|0≤x ≤2}={0,1，2}， ∴A ∩B ={2}． 故选B ．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：C解析：解：∵f(x)为奇函数，且在(−∞,0)内是减函数，f(−2)=0， ∴f(−2)=−f(2)=0，在(0,+∞)内是减函数 ∴x f(x)<0，则{x >0f(x)<0=f(2)或{x <0f(x)>0=f(−2) 根据在(−∞,0)内是减函数，在(0,+∞)内是减函数 解得：x ∈(−∞,−2)∪(2,+∞) 故选：C ．根据函数的奇偶性求出f(2)=0，x f(x)<0分成两类，分别利用函数的单调性进行求解．本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．4.答案：D解析：本题主要考查，数列的等差数列中的等差数列的通项公式，等差数列的概念，属于基础题．解：设公差为d，由题可知{a4=a1+3d=4S9=9a1+9×82d=72，解得{a1=−8d=4，∴a10=a1+9d=28故选D．5.答案：C解析：解：∵ab>0，∴ba +ab≥2√ba⋅ab=2，当且仅当a=b时取等号．∴ba +ab的最小值是2．故选：C．利用基本不等式的性质即可得出．本题查克拉基本不等式的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵a=ln3>1，b=log312<log31=0，0<c=0.21.1<0.20=1．∴b<c<a．故选：A．利用有理指数幂与对数的运算性质比较a，b，c与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．7.答案：A解析：。
湖北宜昌部分示范高中教学协作体高三上学期期中考试数学(文)试题 含答案
宜昌市部分示范高中教学协作体2019年秋期中联考高三（文科）数学（全卷满分：150分考试用时：120分钟）一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1、若,则集合的子集个数是( )A.3个B.5个C.7个D.8个2、已知,则的值等于( )A. 2-- B.4 C.2 D.43、已知,,则与垂直的向量是( )A. B.C. D.4、幂函数的图象经过点,则是( )A.偶函数,且在上是增函数B.偶函数,且在上是减函数C.奇函数,且在上是减函数D.非奇非偶函数,且在上是增函数5、下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )A. B. C. D.6、已知,则( )A. B. C. D.7、已知向量,夹角为,且,,则( )A. B. C. D.8、定义在上的函数对任意的正实数,，恒成立，则不等式的解集是( )A. B. C. D.9、函数的图象的一条对称轴方程是( )A. B. C. D.10、设在内单调递增，，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11、函数的零点个数是( )A.2B.3C.4D.512、已知函数是定义在上的奇函数,,当时,有成立,则不等式的解集是( )A. B. C. D.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13、已知函数,且函数在点处的切线的斜率是,则__________.14、已知两向量，，若，则__________．15、已知向量，，则向量在上的投影为__________.16、给出下列四个命题：① 的对称轴为，；② 函数的最大值为2；③ ∀； ④ 函数在区间上单调递增．其中正确命题的序号为__________．三、解答题(第17题10分,其余每题12分,共6小题70分) 17、已知)6,2(=，)2,(m =，3(,2)2c =,且⊥-)6(. (1)求实数m 的值; (2)求向量a 与b 的夹角θ.18、已知全集{}|0U x x =>，集合{}|26A x x =<≤,{}|310B x x =≤<,{}|32C x a x a =-≤≤+(1)求B A ,B A C U )(; (2)若C B A ⊆)( ,求a 的取值范围.19、已知函数()2cos 2f x x x =+,.(1)求该函数的最小正周期、单调增区间; (2)若6()25f α=,求cos(2)3πα+的值.20、已知0,1c c >≠且，设：指数函数(21)xy c =-在上为减函数，：不等式2(2)1x x c +->的解集为.若和有且仅有一个正确，求的取值范围.21、某公司为了变废为宝,节约资源,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目经测算,该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈+-=500,144,8000020021144,120,50408031223x x x x x x x y ,且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值为200元,若该项目不获利,政府将给予补贴．（1）当[]300,200∈x 时,判断该项目能否获利？如果获利,求出最大利润；如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低？22、已知函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f（1）当4=a 时,求曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程； （2）若当),1(+∞∈x 时,0)(>x f ,求a 的取值范围．宜昌市部分示范高中教学协作体2019年秋期中联考高三（文科）数学答案一、选择题1、答案D 解析：根据补集的定义可知,所以子集个数为.2、答案B 解析：∴.,∴,∴.3、答案C：,C选项中,∵,∴与垂直.4、答案D 解析：设幂函数的解析式为:,将代入解析式得:,解得,∴.5、答案A 解析：由题意,选项A中的函数既是奇函数又是增函数;选项B中函数是偶函数,且在上是增函数,在上是减函数; 选项C中函数是奇函数,且在是减函数,在上是减函数;选项D中函数是既不是奇函数也不是偶函数,且在上是增函数.6、答案D 解析：∵,故选D.7、答案C 解析：依题可得8、答案D 解析：∵函数是定义在上的函数,且对任意的正实数,均有,∴是定义在上的增函数,∴不等式,即,可转化为,∴所求不等式的解集是.原式,∴,故选C.9、答案B 解析：令,,得,,当时,故选B.10、答案B 解析：对函数求导可得，，∵在内单调递增，则在上恒成立．即恒成立，从而，∴，当，∴在内单调递增．11、答案D 解析：由已知,令,即,在同一坐标系中作函数与的图象如图所示,可知两个函数图象有个交点.12、答案A 解析：设,则,即时是增函数,当时,此时;时,,此时.又是奇函数,所以时,;时.则不等式等价为或,即或,则不等式的解集是.13、答案解析：,∴,∴.14、答案 解析：∵两向量，，若，则，即，∴.15、答案 解析：,则向量在上的投影为.16、答案①② 解析：的对称轴为，故的对称轴为，，故①正确；，故该函数的最大值为，故②正确；当时，，故③错误；17、解析：,.............2分(1) ∵,∴,即, ............4分解得. .............5分(2),,∴, .........8分∴. ..........10分在区间上单调递减，故④错误． 18、解析：(1)全集,集合,∴, .............2分或, .............4分∴. .............6分(2), .............7分,若,则, .............10分解得. .............12分∴的取值范围是.19、解析：,, .............3分∴的最小正周期, .............4分令,可得,,即得单调递增区间为:,..............6分(2)由,得,可得:,.............8分得:............. 12分20、解析：当正确时，函数在上为减函数，∴，∴当正确时，； .............2分当正确时，∵不等式的解集为，∴当时，恒成立.∴，∴.∴当正确时，且 ............5分由题设，若和有且只有一个正确，则（1）正确不正确，∴. .............8分（2）正确不正确，∴. .............11分综上所述，若和有且仅有一个正确，的取值范围是. (12)分21、解析： 1当时,该项目获利为S,则,.............3分当时,,因此,该项目不会获利当时,S取得最大值,所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；.............5分2由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为：．.............8分当时,所以当时,取得最小值240；.............10分当时,当且仅当,即时,取得最小值200．因为,所以当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低． (12)分22、解析：当时,．,即点为, (1)分函数的导数, .............2分则, 即函数的切线斜率, .............3分则曲线在处的切线方程为即；.............4分,,令,,,在上单调递增,． (7)分,,在上单调递增,,满足题意；.............9分,存在,,函数在上单调递减,在上单调递增,由,可得存在,,不合题意．.............11分综上所述,．.............12分。
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2018年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学(文科)参考答案一、选择题：每题5分，共50分.1~5 CDBDA 6~10 BCAAD 11~12 CB二、填空题：每小题4分，共20分，请将答案填入相应栏内.13.6- 14.015. 16.81 1.C 【解析】易知A 与B 的公共元素是1,2.∴集合{}1,2A B =.选C.2.D 【解析】12(12)(1)13111(1)(1)2222i i i z i i i i i i i i ---=+=+=--+=--++-所以2z =.故选D. 3.B 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()11f x -≤≤等价于()()()11f f x f -≤≤,又()f x 在()-∞+∞，单调递减,11x ∴-≤≤ 1x ∴-≤≤1. 故选B.4.D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,3243,S S S =+ 11323(3)22a d a ⨯∴+= 1434,2d a d ⨯+++解得132d a =-,1612,3,513a d a a d =∴=-∴=+=-.故选D. 5.A 【解析】由题意1111()()224b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号.故选A. 6. B 【解析】337log log 312a =>=,(0,1)b =,1133log 5log 10c =<=,所以a b c >>.故选B. 7.C 【解析】∵BD →＝2BO →，BE →＝λBA →＋μBD →，∴BE →＝λBA →＋2μBO →.∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ-μ＝14.故选C. 8.A 【解析】∵f （x ）=sin2x=cos （2x﹣）=cos2（x ﹣），则函数g （x ）=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣） 的图象可由函数f （x ）的图象向左平移个单位得到的，C,D 错;由26x k ππ-=,得,122k x ππ=+1k =-时,512x π=-,B 错.()03g π=，A 正确.故选A ．9.A 【解析】()(),()(),f x f x f x f x -≠-≠-排出B,C. 21()0,f e e e =-> 211()0,f e e e =+> 211()0f e e e-=-<.故选A ． 10.D 【解析】由已知()2f x x a =-+有两个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线2y x a =-+有两个交点，作图可得22,1a a ≤∴≤.选D.11.C 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；②A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得 22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确. 故选C. 12.B 【解析】作出函数的图象，不妨令，由图可知关于直线对称，所以，当时，的最小值为；当时，由333x +=-得2x =-，所以120,x -<<，故而()1234,6x x x ++∈.选B.13.6-【解析】23(3)(3)1f log a =+=,193,a ∴+=6a =-．14. 0 【解析】(3,0),a b +=由()c a b +得，0λ=．15. -(0,),tan 3,sin 2παααα∈=∴==cos()42παα∴+=2α-2== 16.81【解析】从所给的部分数表可看出，所有奇数都在奇数行，所有偶数都在偶数行.2018ij a =是偶数，所以它位于偶数行，将奇数除外，前行偶数共有个， 由22018n =得1009n =，所以2018ij a =是第1009个偶数，因为3132992100932331056⨯=<<⨯=， 所以2018ij a =位于第32偶数行，即第行，， 前行偶数共有个偶数，所以第偶数行的最后一个数为， 第偶数行的第一个数为，2018ij a =是第201819861172-+=个数， 即17j =.所以641781i j +=+=.三、解答题:本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 考点：同角三角函数关系,正、余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求角；解三角形及三角形面积的计算．【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等．解：（1）由已知得2221cos 222c a b ac B ac ac +-=== ..................................................................................... 2分 由()0,πB ∈，得π=3B . .................................................................................................... 5分（2）由cos A =()0,πA ∈得，6A π=， 在ABC △中，2C AB ππ=--=............................................................................................................... 7分由正弦定理sin sin a b A B=得，sin 2sin a b B A =⋅==...................... 8分 所以1sin ABC S ab C =△.......................................................... 10分 点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A 的大小，已知三角形面积求三角形的另两边长．着重考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属于容易题．18. 考点：三角函数的诱导公式,和差倍角公式;辅助角公式,化简三角函数式子．专题：求三角函数的周期、最值,求单调区间．解：（1）1()4sin (cos )22f x x x x =-22sin cos sin 2cos2)x x x x x =-=-sin 222sin(2)3x x x π==+ …………………. 3分 所以()f x 的最小正周期是2.2T ππ== …………………. 4分 当22,32x k πππ+=+即,()12x k k Z ππ=+∈,()f x 的最大值为2; ………………. 6分(2)令23z x π=+,易知2sin y z =的单调递增区间是2,2,,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由222,232k x k πππππ-+≤+≤+得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设,33A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,5,1212B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭, 易知,.312A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦…………………. 10分 所以,当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. …………………. 12分点评：本题利用两角和的余弦公式及降幂公式,辅助角公式把三角函数化为一个复角的形式,再求周期、最值及单调区间．本题属于容易题．19. 考点：等差等比数列的定义及通项公式的求法;错位相减法．专题：数列综合题,数列求和问题．解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， 即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．．．．．．6分（2）由（Ⅰ）知n n n b 2)1(⋅+= 它的前n 项和为n T 1231T 2333433(1)3(1)n n n n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅23413T 2333433(1)3(2)n n n n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅12341(1)(2):2T 233333(1)3n n n n +--=⋅+++++-+⋅ ．．．．．．．．8分 13(13)333(1)3(3)31322n n n n n +-=+-+⋅=--⋅+- 333T ()3244n n n ∴=+⋅-. ．．．．．．．．．12分 点评：数列的通项公式及错位相减法是解决数列问题的基础; 本题属于容易题．20.考点：函数的应用题,列式,运用重要不等式;二次函数的配方.专题：数学建模,分析问题解决问题的能力,数学运算能力.解:由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为1200001002y x x x=+- …………………. 3分100100x x≥-=，当且仅当1200002x x =，即200x =时取等号， ………………….6分 故该公司每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为100元.（2）设该公司月获利为S 元，则2211120(10020000)2202000022S x x x x x =--+=-+-…………………. 9分 21(220)42002x =--+ …………………. 10分又50220x ≤≤，所以220x =（吨），公司月获利max 4200S =（元）. ……….12分点评：本题第(1)问先求出每吨的平均处理成本; 第(2)问是二次函数的配方,求最值.21. 考点：考查学生对直方图、列联表的理解，独立性检验公式． 专题：认识图形，22⨯列联表数据，以及22()()()()()n ad bc a b c d a c b d -K =++++，考察运算求解能力． 解：(1)设各组的频率为， 由图可知，第一组有人，第二组人，第三组人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为， ……………………………2分 所以视力在4.8以下的频率为37272461+++=人. ……………………………4分 故全年级视力在4.8以下的人数约为611000610100⨯=人. ……………………………6分 （2）由已知得，222()100(4520530)()()()()50507525n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯K ==++++⨯⨯⨯ 90012 3.84175==> ……………………………10分 因此在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系．…………………12分点评：数据分析主要表现为收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论.将实际问题转化为数学问题，并加以解决．22. 考点：计算相关系数r ，及求解回归方程．专题：概率题型，认识折线图等图形.熟悉图形特点，会根据题中所给数据简便求解．【解析】解:(1)由题意得,7()()i it t y y r ----=∑∴0.75> ……………………………4分 所以与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系. ………6分（2）由已知得， ……………………………8分所以，关于的回归方程为：. ……………………………10分 将2019年对应的8t =代入回归方程得：ˆ0.920.1038 1.744y=+⨯=. ………………………12分 所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.744万吨.点评：经典题型,学生要熟悉相关系数()()n i ix x x y r ----=∑，线性回归方程ˆy =ˆˆbx a +中121()()ˆ()n i i i n ii x x y y b x x --=-=--=-∑∑，也可写成1221ˆ()n i i i n i i x y n x y b x n x --=-=-=-∑∑两种形式，ˆˆa y b x --=-; 属于中档题．。