数学二次根式的专项培优易错试卷练习题附解析
一、选择题
1．下列计算正确的为（ ）．
A 5=-
B =
C =+
D 2
=
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A B C D
3．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A B C D 4．下列各式计算正确的是（ ）
A =
B =
C ．23=
D 2=-
5． ） A ．－3
B ．3或－3
C ．9
D ．3
6．x 的取值范围是（ ）
A ．1
3
x ≥
B ．13
x >
C ．13
x ≤
D ．13
x <
7．下列运算正确的是（ ）
A ．32-=﹣6
B 1
2
-
C =±2
D ．=
8．若
2
x -有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1
B ．x≠2
C ．x≥1且x ＝2
D ．.x≥-1且x ≠2
9．若化简1682+-x x -1x -的结果为5-2x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数
B ．1≤x≤4
C ．x≥1
D ．x≤4
10．已知a ( )
A ．0
B ．3
C ．
D ．9
二、填空题
11．将(0)a a -<化简的结果是___________________.
12．化简并计算：
...
+=_____
___．（结果中分母不含根式）
13．==________． 14．设12211112S =+
+，22211123S =++，32211134
S =++，设
...S =S=________________ (用含有n 的代数式表示，其中n 为
正整数)．
15．观察下列等式：
第1个等式：a 11
=，
第2个等式：a 2
=，
第3个等式：a 3
，
第4个等式：a 42
=， …
按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________
16．把
17．已知，n=1的值________．
18．函数y ＝
2
x -中，自变量x 的取值范围是____________．
19．已知2x =243x x --的值为_______．
20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记
2
a b c
p ++=，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题
21．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积
的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：
1S =
同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：
2S =
2
a b c
p ++=
（1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积．
（2）请证明：12S S
【答案】（12） 证明见解析 【分析】
（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出22
12S S =，即可得出1
2S S ．
【详解】
解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：
S =
=
（2）2222
222
1
1[()]24a b a S c b +-=-
=222222
)1(22(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =2222()2(2
1)4c a c a b b +?---? =
()(1
()()16
)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =---
∵2
a b c
p ++=
， ∴2
2()(2)(222
)S a a b c a b c a b c a b c
b c +++++++-+=
-- =2222
a b c b c a a c b a b c +++-+-+-???
=
1
()()()()16
a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴2212S S =
∵10S >，20S >， ∴1
2S S ．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．
22．计算
(1)2213113
a a a a a a +--+-
+-;
(2)已知a 、b +b ＝0.求a 、b 的值 (3)已知abc ＝1，求111
a b c
ab a bc b ac c ++++++++的值
【答案】（1）222
23
a a a ----；（2）a =－3，
b ；（3）1.
【分析】
（1）先将式子进行变形得到
()()1131
13
a a a a a a +--+-
+-，此时可以将其化简为1113a a a a ?
???--+ ? ?+-????
，然后根据异分母的加减法法则进行化简即可；
（2）根据二次根式及绝对值的非负性得到2a +6=0，b =0，从而可求出a 、b ； （3）根据abc ＝1先将所求代数式转化：
11
b ab ab
bc b abc ab a ab a ==++++++，
21
11c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，然后再进行分式的加减计算即可.
【详解】
解：（1）原式=()()1131
13
a a a a a a +--+-
+- =1113a a a a ?
???
--+ ? ?+-????
=1113
a a -
-+- =()()()()
3113a a a a -++-+-
=222
23
a a a --
--；
（20b =，
∴2a +6=0，b =0，
∴a =－3，b ； （3）∵abc ＝1， ∴
11b ab ab bc b abc ab a ab a ==++++++，21
11
c abc ac c a bc abc ab ab a ==++++++，
∴原式=1
111
a a
b ab a ab a ab a ++++++++
=
1
1a ab ab a ++++
=1.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值和二次根式、绝对值的非负性，分式中一些特殊求值题并非一味的化简，代入，求值，熟练掌握转化、整体思想等解题技巧是解答这类题目的关键.
23．先化简，再求值：24211326x x x x -+?
?-÷
?++??
，其中1x =.
. 【分析】
根据分式的运算法则进行化简，再代入求解. 【详解】
原式=2
2
1(1)12(3)
232(3)3(1)
1x x x x x x x x x ---+????÷=?= ? ?+++--????.
将1x =
= 【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
24．
解：设x
222x =++2334x =+，
x 2=10 ∴x =
10．
0．
【分析】
根据题意给出的解法即可求出答案即可．
【详解】
设x
两边平方得：x2=2+2+
即x2=4+4+6，
x2=14
∴x=．
0，∴x．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
25．已知x=2，求代数式（7+x2+（2）x
【答案】2
【解析】
试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x2=（2）2=7﹣
则原式=（7﹣+（2
=49﹣
26．阅读下列材料，然后回答问题：
1
== .以上这种化简过程叫做分母有理化.
1
===.
（1）请用其中一种方法化简1511
-；
（2）化简：
++++
3+15+37+5
99+97
.
【答案】(1) 15＋11；(2) 311－1. 【分析】
(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为1511－；
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案. 【详解】 （1）原式==
；
（2）原式=+
++…
=﹣1+﹣
+﹣
+…
﹣
=
﹣1
=3
﹣1
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.
27．先化简，再求值：(()3
369x x x x --+，其中21x =
.
【答案】化简得6x+6，代入得2 【分析】
根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】
(()3369x x x x +--+
=22369x x x --++ =6x+6 把21x =
代入原式=621）2
【点睛】
此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.
28．计算
123- (2)2
63；
2121
21335
(4)1(123)622
【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）
【分析】
（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
2
(2)
-
=22
=63
-
=9-
=1；
(4)
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可． 【详解】
A 5=，故A 选项错误；
B B 选项错误；
C ．
++=
2
2
2
，故C 选项错误；
D 2
=
，正确， 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
2．C
解析：C 【分析】
化简得到结果，即可做出判断． 【详解】
解：A 2
，不是最简二次根式；
B 3
，不是最简二次根式；
C 是最简二次根式；
D 故选：C ． 【点睛】
本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解题关键．
3．C
解析：C 【分析】
根据最简二次根式的定义，可得答案． 【详解】
A 、被开方数含分母，故选项A 不符合题意；
B 、被开方数是小数，故选项B 不符合题意；
C 、被开方数不含开的尽的因数，被开方数不含分母，故C 符合题意；
D 、被开方数含开得尽的因数，故D 错误不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了最简二次根式，被开方数不含开的尽的因数或因式，被开方数不含分母．4．C
解析：C
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
2
，故选项A错误；
=
2
，故选项B错误；
C.
2
3
=，故选项C正确；
2
=，故选项D错误；
故选C.
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．5．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
|3|3
=．
故选：D．
【点睛】
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
＞
＜
?
?
===
?
?-
?
．
6．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解．
【详解】
解：依题意有
当130
x
-≥时，原二次根式有意义；
解得：
1
3
x≤；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的基本性质（被开方数大于或等于0）；解一元一次不等式，在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质（1．不等式两边同时加上或同时减去一个数，不等号的方向不变；2．不等式两边同时乘以或同时除以一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边同时乘以或同时除以一个负数，不等号的方向改变．）熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键．
7．B
解析：B 【分析】
分别根据负整数指数幂的运算、立方根和算术平方根的定义及二次根式的乘法法则逐一计算可得． 【详解】 A 、3
311
2
28
-=
=，此选项计算错误；
B 1
2
=-，此选项计算正确；
C 2=，此选项计算错误；
D 、，此选项计算错误； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了负整数指数幂、立方根和算术平方根及二次根式的乘法，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
8．D
解析：D 【分析】
直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案． 【详解】
有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x 的取值范围分别
讨论，求出符合题意的x的值即可．
【详解】
-=|x-4|-|1-x|，
解：原式1x
当x≤1时，
此时1-x≥0，x-4＜0，
∴（4-x）-（1-x）=3，不符合题意，
当1≤x≤4时，
此时1-x≤0，x-4≤0，
∴（4-x）-（x-1）=5-2x，符合题意，
当x≥4时，
此时x-4≥0，1-x＜0，
∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意，
∴x的取值范围为：1≤x≤4
故选B．
【点睛】
本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
10．B
解析：B
【解析】
=，可知当（a﹣3）
2=0，即a=3
故选B．
二、填空题
11．．
【分析】
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．
解析：
【分析】
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
∵a ＜0．∴a －3＜0，∴(a -=-=
故答案为： 【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．
12．【分析】
根据=，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】 解：原式= =． 故答案为． 【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观
【分析】
-，将原式进行拆分，然后合并可得出答案． 【详解】 解：原式=
==
=
2
20400x
x x
-．
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是将原式进行拆分，有一定的技巧性，注意仔细观察．
13．3 【解析】
设，则 可化为：， ∴，
两边同时平方得：，即：，
∴，解得：， ∴.
故答案为：.
点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形
解析： 【解析】
设24x a -===
=
两边同时平方得：128a a +=++4=， ∴3216a =，解得：12
a =
，
===
故答案为：
点睛：本题的解题要点是：设原式中的24x a -=，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得a 的值，使问题得到解决.
14．【分析】
先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可． 【详解】 解：∵，∴； ∵，∴； ∵，∴； …… ∵， ∴； ∴
．
故答案为： 【点睛】 本题
解析：
221
n n
n ++ 【分析】
n 的式子表示其规律，再计算S 的值即可． 【详解】 解：∵1221191=124S =++
311122
===+-； ∵222114912336S =++=
7111116623
===+=+-； ∵32211169134144S =++=
1311111121234
===+=+-； …… ∵()()
()
2
222
22
111
111n n n S n n n n ++=+
+=++，
()()2111111111
n n n n n n n n ++===+=+-
+
++；
∴...S =
11111
11112231
n n =+-++-++-+…+
1
11
n n =+-
+． 221n n
n +=
+ 故答案为：221
n n
n ++
【点睛】
本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，
同时要注意对于式子()111
11
n n n n =-++的理解．
15．【分析】
（1）由题意，找出规律，即可得到答案；
（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】
解：∵第1个等式：a1=，
第2个等式：a2=， 第3个等式：
=1-
【分析】
（1）由题意，找出规律，即可得到答案；
（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案． 【详解】
解：∵第1个等式：a 11
=，
第2个等式：a 2
=，
第3个等式：a 3
，
第4个等式：a 42
=， ……
∴第n
=
=
（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+
++-
=121n +++
=1-；
1-． 【点睛】
本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题
16．﹣ 【解析】
解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣． 故答案为：．
点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．
解析：
【解析】
解：通过a≤0，，所以
故答案为：
点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．17．【解析】
根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得====．
故答案是：．
【解析】
根据题意，把被开方数配方为完全平方，然后代入求解，可得
．
18．x≤4且x≠2
【分析】
根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．
【详解】
解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0．
解得x≤4且x≠2．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方
解析：x≤4且x≠2
【分析】
根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．
【详解】
解：由，得4-x≥0且x-2≠0．
解得x≤4且x≠2．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键．
19．-4
【分析】
把代入计算即可求解．
【详解】
解：当时， =-4
故答案为：-4 【点睛】
本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题
解析：-4 【分析】
把2x =243x x --计算即可求解． 【详解】
解：当2x =
243x x --
((2
2423=---
4383=--+
=-4 故答案为：-4 【点睛】
本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．
20．【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝，然后将其代入三角形的面积S ＝求值即可． 【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝＝＝8． 所以三角形的面积S ＝＝＝4． 故答案为：4． 【点睛】 本题主
解析：
【分析】
根据a ，b ，c 的值求得p ＝
2
a b c
++，然后将其代入三角形的面积S ＝
【详解】
解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝2a b c ++＝4572
++＝8．
所以三角形的面积S ．
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．
三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无 25．无 26．无 27．无 28．无