七年级数学整式的乘法(教师讲义带答案)

第2章：整式的乘除与因式分解

一、基础知识

1.同底数幂的乘法：m n m n

=，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数

a a a+

不变，指数相加。

2.幂的乘方：()m n mn

=，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相

a a

乘。

3.积的乘方：()n n n

=，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式ab a b

分别乘方，再把所得的幂相乘。

4.整式的乘法：

（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)

（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

5.乘法公式：

（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.

（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x (y－2)+ (y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.

（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。

乘法公式的几种常见的恒等变形有：

（1）．a 2+b 2＝(a +b )2－2ab ＝(a －b )2+2ab .

（2）．ab ＝

21［(a +b )2－（a 2+b 2）］＝41［(a +b )2－(a －b )2］＝2222⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a . （3）．(a +b )2+(a －b )2＝2a 2+2b 2.

（4）．(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca .

利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.

6.整式的除法：m n m n a a a -÷=，（0a ≠，m ，n 都是正整数，并且m n >），即同底数幂相除，底数不变，指数相减。

（1）01(0)a a =≠，任何不等于0的数的0次幂都等于1.

（2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

8．常用的因式分解方法：

（1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；

②字母：各项都含有的相同字母；

③指数：相同字母的最低次幂。

（2）公式法：

（1）常用公式 平 方 差： )b a )(b a (b a 22-+=-

完全平方： 222)b a (b 2ab a ±=+±

（2）常见的两个二项式幂的变号规律：

①22()()n n a b b a -=-；②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）

（3）十字相乘法

ⅰ 二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成

两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成

()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a

分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

（4）分组分解法

ⅰ 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有

公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

ⅱ 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

ⅲ 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

二、经典例题

第一部分 整式的乘除

【例1】例题下列运算正确的是（ ）

A. a 5+a 5=a 10

B. a 5 ·a 5 = a 10 C ．a 4·a 5=a 20 D ．（a 4）5=a 9

【思路点拨】选支A 是整式的加法运算，合并得2a 5；选支B 正确；选支C 为同底数幂运算应指数相加，而不是相乘，故为a 4·a 5=a 9 ；选支D 为幂的乘方运算，应底数不变，指数相乘，为（a 4）5=a 20．

【解析】本题应选Ｂ．

【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础，一定要学好，学习它时注意体会从特殊到一般、从具体到抽象，有层次的进行概括抽象，归纳原理．

【例2】下列运算正确的是（ ）