初中七年级数学整式的乘法
七年级下册数学整式的乘除
七年级下册数学整式的乘除
在七年级下册数学中，学习了一些关于整式的乘除运算。
下面是一些相关的知识点：
1. 整式的乘法：整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
乘法的运算法则包括：同底数幂相乘、同底数幂相除、乘法分配律等。
例如，(2x + 3)(4x - 5) = 8x^2 - 10x + 12x - 15 = 8x^2 + 2x - 15。
2. 整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式
的运算。
在整式除法中，除数不能为零。
除法的运算法则包括：整式除整式、整式除单项式、整式除多项式等。
例如，(6x^2 + 3x) ÷ 3x = 2x + 1。
3. 整式的约分：整式的约分是指将一个整式的各项的公因式
提取出来并约去的运算。
约分可以简化整式的形式，使其更简洁。
例如，6x^2 + 9x可以约分为3x(2x + 3)。
这些是七年级下册数学中关于整式的乘除运算的一些基本知识点。
希望对你有帮助！。
七年级数学整式的乘除
06 练习题与自测
基础知识巩固练习
整式的乘法运算
通过练习不同类型的整式乘法，如单项式乘单项式、单项 式乘多项式、多项式乘多项式等，巩固乘法分配律和结合 律的应用。
整式的除法运算
通过练习整式的除法，如单项式除以单项式、多项式除以 单项式等，掌握除法的基本法则和运算技巧。
幂的运算性质
通过练习幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、除法以 及零指数幂和负整数指数幂的运算，加深对幂运算性质的 理解。
负数底数幂运算注意事项
负数底数定义
负数底数幂表示的是负数的乘方运算，如(-2)^3表示-2的三次方。
运算规则
负数底数幂的运算需遵循乘方运算的基本法则，同时需注意负数的 奇次幂和偶次幂的结果符号不同。
注意事项
在计算过程中，需特别注意底数为负数的情况，避免出现计算错误 或遗漏。
复杂根式化简技巧
根式化简基本方法
将多项式拆分为多个单项 式的和或差。
分别相除
将拆分后的每个单项式分 别除以给定的单项式。
合并同类项
将除法运算后的结果进行 合并同类项。
带余除法及应用
带余除法定理
对于多项式f(x)和g(x)，存在唯一的多项式q(x)和r(x)，使得f(x) = g(x)q(x) + r(x)，其中r(x)的次数小于g(x)的次数。
。
求解方程或表达式
利用数学运算和推理，求解出 未知量的值。
检验答案
将求解出的未知量值代入题目 条件进行检验，确保答案正确
。
计算题步骤规范及优化
明确计算目标
确定需要计算的目标和所需使 用的数学公式或方法。
列出计算步骤
按照数学运算的优先级和顺序 ，逐步列出计算步骤。
七年级数学下册《整式的乘法》教案、教学设计
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的代数运算和简单的方程求解方法。在此基础上，学习整式的乘法，对学生来说既是对已有知识的巩固，也是对数学思维能力的进一步提升。学生在此阶段好奇心强，求知欲旺盛，但注意力容易分散，对抽象概念的理解和运用尚需加强。此外，学生的个体差异较大，部分学生对数学学习存在恐惧心理，需要教师在教学过程中给予关注和指导。因此，在教学整式乘法时，教师应结合学生的实际情况，设计富有启发性和趣味性的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度，帮助学生在实践中掌握整式乘法的运算规则和应用技巧。同时，注重培养学生的数学思维能力，引导学生主动探索、发现、解决问题，使学生在轻松愉快的学习氛围中不断提高。
师：现在，请同学们完成以下练习题，检验一下自己对整式乘法的掌握程度。
2.教师巡回指导，针对学生的疑问和错误进行解答和纠正。
师：大家做题时要注意运算符号的处理，以及每一步的计算顺序。如果有问题，可以随时向我提问。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结整式乘法的运算规则和技巧。
3.应用阶段：设计具有实际背景的练习题，让学生将所学的整式乘法知识应用于解决具体问题。例如，可以让学生计算不同形状的图形面积，或者解决与速度、距离等相关的实际问题。
4.巩固阶段：通过变式练习和拓展训练，巩固学生对整式乘法的理解和运用能力。同时，教师应关注学生的反馈，对学生的错误进行及时纠正和指导。
5.评价阶段：采用多元化的评价方式，包括课堂提问、小组讨论表现、课后作业和阶段测试等，全面评估学生对整式乘法的掌握程度。
-对于学习困难的学生，教师应给予个别指导，帮助他们克服难点，建立信心。
-对于学习优秀的学生，可以提供更高难度的挑战题，激发他们的学习兴趣和潜能。
七年级数学-第02讲 整式的乘法(解析版)
2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第02讲整式的乘法【考点梳理】考点1：单项式、多项式及整式的概念1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221yy x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 考点2：单项式及多项式的乘法法则1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：=∙-xy z y x 32322.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
14.1 整式的乘法(七年级数学)
例：若把一张厚度为1mm的纸对折40次后，这张纸的厚度将达到240mm. 1 099 511 627 776 mm ≈ 1 099 511 627 m ≈ 1 099 511 km（110万公里） 地球到月球的距离为38.4万公里
同底数幂：底数相同的幂.
x3
x5
底数：x
例：下列各对幂种子，不是同底幂的是
多项式 由有限个单项式的代数和组成的代数式.
项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数. 3x2y+2xy-5：项数3，次数3，三项三次多项式
运算
整数： 加、减、乘、除、乘方 整式： 加、减、乘、除、乘方
初中数学 第14章
14.1 整式的乘法
A. a3 a3 a6 B. 2x 3y 5xy C. a3 a a4
D. (2a2 )3 6a5
【例7】用简便方法计算：
（1）48 0.258 (4 0.25)8 18 1
（2）32011 ( 1)2012 3
=32011 ( 1)2011 ( 1) =(1)2011 ( 1)
学霸兔 制作
初中数学 第14章
14.1.1 同底数幂的乘法
学霸兔 制作
幂：乘方的结果.
底数
210
指数
幂
210 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
210 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
210 1，024 240 1,099 ,511,627 ,776
你知道 210 有多大吗？ 240 呢？
【练习】计算： （1）1 x2 (2x 1) 2
x3 1 x2 2
（2）( 5 xy)2 (2 xy2 2xy 4 y)
初中数学整式的乘法与因式分解例题解析
初中数学整式的乘法与因式分解例题解析一、整式的乘法例题例1：计算：a2·(－a)3·(－a)；x n·x n＋1·x n－1·x；(x－2y)2·(2y－x)3解：原式＝a2·(－a)3·a1＝－a2·a3·a4＝－a9；原式＝x n＋n＋1＋n－1＋1＝x3n＋1；方法一：原式＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3＝－(x－2y)5方法二：原式＝(2y－x)2·(2y－x)3＝(2y－x)5例2：下列运算中正确的是（）A.a2＋a3＝a5B.a2·a3＝a6C.a2＋a3＝aD.(a2)3＝a6解析：a2与a3不是同类项,不能合并,A错误；a2·a3＝a2＋3＝a5≠a6,B错误；a3与a2不是同类项,不能合并,C错误；D正确；(a2)3＝a2×3＝a6。
答案：D例3：已知a m＝4,a n＝10,求a2m＋n的值。
解析：将代数式a2m＋n变形为含a m、a n的代数式,依据是幂的运算法则。
解：a2m＋n＝a2m·a n＝(a m)2·a n＝42×10＝160.例4：计算：(－x2y)3·3xy2·(2xy2)2；－6m2n·(x－y)3·mn2(y－x)2.解：原式＝－x6y3×3xy2×4x2y4＝－x9y9.原式＝－6×m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5.例5：计算：(－2ab)(3a2－2ab－4b2)；5ax(a2＋2a＋1)－(2a ＋3)(a－5)解：原式＝－6a3b＋4a2b2＋8ab3原式＝5a3x＋10a2x＋5ax－(2a2－10a＋3a－15)＝5a3x＋10a2x＋5ax－2a2＋7a＋15例6：计算：(5mn2－4m2n)(－2mn)；(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)解：原式＝－10m2n3＋8m3n2.原式＝x2－6x＋7x－42－x2－x＋2x＋2＝2x－40二、因式分解例题例7：下列式子中,从左到右变形属于因式分解的是（）A.a2＋4a－21＝a(a＋4)－21B.a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)C.(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21D.a2＋4a－21＝(a＋2)2－25解析：根据因式分解的概念,只有B选项满足：等号左边是多项式,等号右边是几个整式的积的形式,并且经检验运算过程正确,故选B.答案 B例8：若代数式x2＋ax可以分解因式,则常数a不可以取( )解析：因为代数式x2＋ax可以分解因式,所以常数a不可以取0.例9：下面分解因式正确的是（）A.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1B.(x2－4)x＝x3－4xC．ax＋bx＝（a＋b）xD.m2－2mn＋n2＝(m＋n)2解析：根据因式分解的概念,A项、B项不是分解因式；C项是提公因式法分解因式；D项虽是分解因式,但错误,应是m2－2m ＋n2＝(m－n)2答案：C例10：把下列各式分解因式：－16x4y6＋24x3y5－9x2y4；4(x＋y)2－4(x＋y) ·z＋z2；(a－b)3－2(b－a)2＋(a－b)；9(x＋a)2＋30(x＋a)(x＋b)＋25(x＋b)2解：原式＝－x2y4(16x2y2－24xy＋9)＝－x2y4(4xy－3)2；原式＝[2(x＋y)]2－2×2(x＋y)·z＋z2＝[2(x＋y)－z]2＝（2x＋2y－z）2；原式＝(a－b)[(a－b)2－2(a－b)＋1]＝(a－b)[(a－b)－1]2＝(a－b)(a－b－1)2；原式＝[3(x＋a)]2＋2·3(x＋a)·5(x＋b)＋[5(x＋b)]2＝[3(x＋a)＋5(x＋b)]2＝(3x＋3a＋5x＋5b)2＝(8x＋3a＋5b)2.关键提醒：因式分解的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有公因式,则先提取公因式.(2)再看能否使用公式法.(3)用分组分解法,即通过分组后再提出公因式或运用公式法来达到分解的目的.(4)因式分解的最后结果,必须是几个整式的积.(5)因式分解的结果必须进行到每个因式不能再分解为止。
初中数学教学课例《七年级下册整式的乘法(第1课时)单项式乘以单项式》教学设计及总结反思
和语言表达能力.
情感与态度：体验探求数学问题的过程，体验转化
的思想方法，获得成功的体验.
学生学习能
学生的知识技能基础分析，在七年级上册的学习
力分析 中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类
项、去括号等内容，了解有关运算律和法则，同时在前
面几节课又学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘
方法则，具备了类比有理数运算进行整式运算的知识基
目标的预设与课堂的实际情况不可能完全吻合，这就需 要教师在教学的过程中对教学目标作出适时调整，最大 限度地面向全体学生，使其更好地体现教学目标的适切 性。
二是教学的过程必须是学生主动参与的过程。这种 主动参与主要体现在教师能否采取灵活机动的教学策 略调动学生学习的积极性，能否积极引导学生积极思 维，能否给予学生更多的时间和机会进行必要的合作和 展示，使全班学生分享彼此的学习成果。
问题 2：如何进行单项式乘单项式的运算？ 组织学生先独立思考，再以四人为小组讨论，鼓励 学生大胆发表自己的见解，全班共同交流，得出单项式 乘法的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相 同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作 为积的因式. 得出法则后，教师再提出有思维价值的问题，引导 学生对探究的过程进行反思，明确算理，体会数学知识 之间的联系. 问题 3：在你探索单项式乘法运算法则的过程中， 运用了哪些运算律和运算法则？ 学生回答：运用了乘法的交换律、结合律和同底数 幂乘法的运算性质. 活动目的：实际教学中，视学生情况而定，以上三 个问题可同时给出，也可以逐一给出.教师通过问题 1， 让学生独立思考自主探究，经历知识形成的过程，在探 究中发现和总结出规律，获得体验.教师应鼓励学生灵 活运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知
14.1.4整式的乘法同底数幂的除法(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解整式的乘法同底数幂的除法的基本概念。整式的乘法是指将两个或多个整式相乘，而同底数幂的除法是指将相同底数的幂相除。这些运算是代数表达式中非常重要的一部分，它们帮助我们简化计算，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算4个边长为2米的正方形拼成的长方形的面积。这里，我们可以将正方形的边长表示为2^1，面积就是(2^1)^2，长方形的面积就是4个这样的正方形面积相加，即4×(2^1)^2。通过整式的乘法，我们可以得到答案16平方米。
-在处理多项式乘法时，学生可能难以识别和运用同底数幂的乘法法则，需要引导他们逐步分解和组合。
-例如：对于表达式(3x^2y^3) × (2x^3y)，学生需要先分别对x和y的同底数幂进行乘法运算，即3×2=6（系数乘法），x^(2+3)=x^5，y^(3+1)=y^4，然后将结果组合起来得到6x^5y^4。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我深刻地感受到了同学们对整式的乘法同底数幂的除法这一知识点的学习热情。从导入新课到总结回顾，大家积极参与，课堂氛围良好。但在教学过程中，我也发现了一些需要改进的地方。
首先，理论讲授部分，我尽量用生动的语言和例子解释整式的乘法同底数幂的除法法则，但仍有部分同学在理解上存在困难。这说明我在讲解时可能需要更加简洁明了，用更多贴近生活的例子来帮助他们理解。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，使用代数表达式计算实际物体的面积或体积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式的乘法同底数幂的除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
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●方法点拨
［例1］计算
(1)(-3.5x2y2)·(0.6xy4z)
(2)(-ab3)2·(-a2b)
点拨：先确定运算顺序，再利用单项式乘单项式的法则进行计算.(1)直接作乘法即可，（2）先作乘方运算，再作乘法运算.
解：(1)(-3.5x2y2)·(0.6xy4z)
（系数相乘）（相同字母相乘）（不同字母相乘）（在x2·x中，x的指数是1，不要漏掉）
=-2.1x3y6z
(2)(-ab3)2·(-a2b)
=a2b6·(-a2b)——先算乘方
=-(a2·a2)(b6·b)——再算乘法
=-a4b7
［例2］计算
(1)a m(a m-a3+9)
(2)(4x3)2·［x3-x·(2x2-1)］
点拨：先确定运算顺序，再运用相应的公式进行计算.(2)中用到了幂的乘方，单乘多及去括号几种运算公式及方法，要一步步进行.
解：
［例3］计算
(1)(2a+3b)(3a+2b) (2)(3m-n)2
点拨：这两题都需运用多项式相乘的法则进行计算，能合并同类项的要将结果化到最简的形式.注意第（2）题要化为多乘多的形式.
解：
(2)(3m-n)2注意乘方的意义
=(3m-n)(3m-n)
=3m·3m-3m·n-n·3m+n·n
=9m 2-3mn -3mn +n 2
=9m 2-6mn +n 2
［例4］（1）(-3
1xy 2)2·［xy (2x -y )+xy 2］ (2)(-3x )2-2(x -5)(x -2)
点拨：对于混合运算，一定要注意运算顺序，尤其是乘方运算，每次运算后的结果要打上括号才能进行下一步运算.
解：(1)(-
31xy 2)2·［xy (2x -y )+xy 2］ =9
1x 2y 4·［2x 2y -xy 2+xy 2］ =9
1x 2y 4·(2x 2y ) =9
2x 4y 5 (2)(-3x )2-2(x -5)(x -2)
=9x 2-2(x 2-2x -5x +10)
=9x 2-2(x 2-7x +10)
=9x 2-2x 2+14x -20
=7x 2+14x -20
说明：一般来说，为了简化运算，能合并同类项的可先合并同类项，减少项数，再进行下一步的运算.
［例5］解下列方程
8x 2-(2x -3)(4x +2)=14
点拨：利用多乘多法则将方程左边部分化简，再运用解方程的方法求出x .
解：8x 2-(2x -3)(4x +2)=14
8x 2-(8x 2+4x -12x -6)=14
8x 2-(8x 2-8x -6)=14
8x 2-8x 2+8x +6=14
8x =8
x =1
［例6］长方形的一边长3m +2n ,另一边比它大m -n ,求长方形的面积.
点拨：先分别求出长和宽，再根据“长方形的面积=长×宽”求出面积.列式的时候，表示每条边的多项式都要用括号括起来.
解：长方形的宽：3m +2n
长方形的长=(3m +2n )+(m -n )=4m +n
长方形的面积：(3m +2n )·(4m +n )
=3m ·4m +3m ·n +2n ·4m +2n ·n
=12m 2+3mn +8mn +2n 2
=12m 2+11mn +2n 2
答：长方形的面积是12m 2+11mn +2n 2.。