2018年四川省成都外国语学校自主招生数学试卷

2018年四川省成都外国语学校自主招生数学试卷

一．选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列各数中，比﹣3大的数是（）

A．﹣πB．﹣3.1C．﹣4D．﹣2

2．（3分）在下列计算中，正确的是（）

A．b3?b3＝b6B．x4?x4＝x16

C．（﹣2x2）2＝﹣4x4D．3x2?4x2＝12x2

3．（3分）亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000科学记数法表示为（）A．4.4×106B．4.4×107C．0.44×107D．4.4×103

4．（3分）下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

5．（3分）如果方程ax2+2x+1＝0有两个实根，则实数a的取值范围是（）A．a＜1B．a＜1且a≠0C．a≤1且a≠0D．a≤1

6．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）

A．11B．5.5C．7D．3.5

7．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，且EF＝2DF，BF的延长线交AC于点H，CF的延长线交AB于点G，则S四边形AGFH：S△BFC＝（）

A．1：10B．1：5C．3：10D．2：5

8．（3分）如图，四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，则对角线AC的长为（）

A．B．C．D．

9．（3分）如图，以O为圆心的圆与直线y＝﹣x+交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）

A．πB．πC．πD．π

10．（3分）如图，抛物线y1＝（x+1）2+1与y2＝a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：

①a＝；②AC＝AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2

其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二．填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）若3x3﹣x＝1，则9x4+12x3﹣3x2﹣7x+2001＝．

12．（3分）如果样本x1，x2，x3，…，x n的平均数为5，那么样本x1+2，x2+2，x3+2，…x n+2

的平均数是

13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝6，Rt△AB′C′可以看作是由Rt△ABC绕点A逆时针方向旋转60°得到的，则线段B′C的长为．

14．（3分）学生要测算某建筑的高度，他们先从视角仪安装处对准建筑物顶部上的点A，再把标杆放在视线OA的反向延长线与地面的交点C处．然后把视线对准建筑物底部的点B（AB垂直于地面地面），再找到视线OB的反向延长与标杆的交点D，量得O点到地面的高OO1＝1.5（米），CD＝1.53（米），则建筑物高AB＝米．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的半径的⊙O与AD、AC 分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．若tan∠ACB＝，BC＝2，则⊙O的半径为．

三．解答题（共5小题，计55分）

16．（18分）计算：（1）﹣12018+（﹣6）2×（）

（2）﹣|﹣3|

（3）关于x的不等式组恰好有三个整数解，求a的取值范围．

17．（7分）在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：

（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；

（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m；

（3）量出测倾器的高度AC＝h．

根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN．如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图2）的方案：

（1）在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当的字母）；

（2）写出你的设计方案．

18．（10分）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0…①

（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；

（2）如果a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根，其中x1，x2是方程①的两个实数根，求代数式（﹣1）÷?的值．19．（10分）如图，已知直线l：y＝ax+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A（﹣4，1）、B （m，﹣4），且直线l与y轴交于点C．

（1）求直线l的解析式；

（2）若不等式ax+b＞﹣成立，则x的取值范围是；

（3）若直线x＝n（n＜0）与y轴平行，且与双曲线交于点D，与直线l交于点H，连接OD、OH、OA，当△ODH的面积是△OAC面积的一半时，求n的值．

20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC，垂足为H，连接OB．（1）如图1，求证：∠DAC＝∠ABO；

（2）如图2，在弧AC上取点F，使∠CAF＝∠BAD，在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC＝60°，求证：GF＝GD；

（3）如图3，在（2）的条件下，AF、BC的延长线相交于点E，若AF：FE＝1：9，求sin∠ADG的值．

一．填空题（每题4分，共20分）

21．（4分）已知m，n是方程x2﹣2017x+2018＝0的两根，则（n2﹣2018n+2 019）（m2﹣2018m+2019）＝．

22．（4分）在一个口袋中有七个大小和形状完全相同的小球，分别标有数字﹣6，﹣5，﹣4．﹣3，﹣2，2，1．现从袋中抽出一个小球记上面的数字为a，则使得二次函数y＝（x+1）2+a+1的顶点落在第三象限且使得分式方程＝2﹣有整数解的概率是．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则当OC为最大值时，点C的坐标是．

24．（4分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠F AC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH，使∠HAE＝60°，…，按此规律所作的第n个菱形的边长是．

25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E 的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG＝CH；②GH＝；③直线GH的函数关系式y＝﹣；④梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为．其中正确的有．

二．解答题（26题8分，27题10分，28题12分）

26．（8分）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长24千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工0.4千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的．

（1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？

（2）若甲工程队每天的施工费用为0.8万元，乙工程队每天的施工费用为0.5万元，要使两个工程队施工的总费用不超过7万元，则甲工程队至多施工多少天？

27．（10分）在菱形ABCD中，∠BAD＝60°．

（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE、若AB＝4，求线段EC的长；

（2）如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，若AC＝，请你直接写出DM+CN的最小值．

28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB＝4，与y轴交于点C，E为抛物线的顶点，且tan ∠ABE＝2．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）已知P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，若S△EAP＝3S△EMN，求点P的坐标；

（3）如图2，将原抛物线沿y轴翻折得到一个新抛物线，A点的对应点为点F，过点C 作直线l与新抛物线交于另一点M，与原抛物线交于另一点N，是否存在这样一条直线，使得△FMN的内心在直线EF上？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．