立体几何中的轨迹问答(归纳讲义理解练习)
立体几何中的轨迹问题
在立体几何中,某些点、线、面依一定的规则运动,构成各式各样的轨迹,探求空间轨迹与求平面轨迹类似,应注意几何条件,善于基本轨迹转化.对于较为复杂的轨迹,常常要分段考虑,注意特定情况下的动点的位置,然后对任意情形加以分析判定,也可转化为平面问题.对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.
立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题.其一般方法有: 1、 几何法:通过证明或几何作图,确定图形中取得最值的特殊位置,再计算它的值;
2、 代数方法:分析给定图形中的数量关系,选取适当的自变量及目标函数,确定函数解析式,利用函数的单调性、有界性,以及不等式的均值定理等,求出最值.
轨迹问题
【例1】 如图,在正四棱锥S -ABCD 中,E 是BC 的中点,P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动,并且总是保持PE ⊥AC .则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )
解析:如图,分别取CD 、SC 的中点F 、G ,连结EF 、EG 、FG 、BD .设AC 与BD 的交点为O ,连结SO ,
则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG .由正四棱锥可得SB ⊥AC ,EF ⊥AC .又∵EG ∥SB
∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG , ∵P ∈FG ,E ∈平面EFG , ∴AC ⊥PE .
另解:本题可用排除法快速求解.B 中P 在D 点这个特殊位置,显然不满足PE ⊥AC ;C 中P 点所在的轨迹与CD 平行,它与CF 成π
4角,显然不满足PE ⊥AC ;D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行,它与CF 所成的角为
锐角,显然也不满足PE ⊥AC .
评析:动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式,它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形.不但考查了立体几何点线面之间的位置关系,而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法,是表现最为活跃的一种创新题型.这类立体几何中的相关轨迹问题,如“线线垂直”问题,很在程度上是找与定直线垂直的平面,而平面间的交线往往就是动点轨迹.
【例2】 (1)如图,在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点,
N 是BC 的中点,点M 在四边形EFGH 及其内部运动,则M 满足 时,有MN ∥平面B 1BDD 1.
(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动,且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 的轨迹是 线段B 1C .
(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是棱A 1B 1,BC 上的动点,且A 1E =BF ,P 为EF 的中点,则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心).
(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合
形成一条曲线,那么这条曲线的形状是 ,它的长度是 .
D
D
A .
B .
C .
D .
A
若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为
23
3 的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ,它的长度又是 .
【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面BB 1C 1C 内一动点,若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )
A . A 直线
B .圆
C .双曲线
D .抛物线
变式:若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1
的距离之比为1:2(或2:1)”, 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线).
(2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ,过定点A 的动直线l 与AB 垂直,且交α于点C ,则动点C 的轨迹是 (A )
A .一条直线
B .一个圆
C .一个椭圆
D .双曲线的一支
解:设l 与l 是其中的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面,且斜线AB 垂直这个平面,由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内,故动点C 都在这个平面与平面α的交线上,故选A .
(3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,M 在棱AB 上,且AM =13,点P
到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1,则点P 的轨迹为 抛物线 .
(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3,长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动,另一个端点N 在底面ABCD 上运动,则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π
6
.
【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等,则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是:( D )
【例5】 四棱锥P -ABCD ,AD ⊥面PAB ,BC ⊥面PAB ,底面ABCD 为梯形,AD =4,BC =8,AB =6,∠
APD =∠CPB ,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是(
)
A .圆
B .不完整的圆
C .抛物线
D .抛物线的一部分
分析:∵AD ⊥面PAB ,BC ⊥平面PAB ∴AD ∥BC 且AD ⊥PA ,CB ⊥PB
B
A
B
C
D
1
A
C C 1
A
E C C 1
A A
B
1
A 1
(1)
(2)
(3)
(4)
C C 1
A l
A
B C
α A B C D D 1
C 1
B 1
A 1
M P
A
B
C
D
D 1 C 1
B 1
A 1
M
N 3
3
2
3
P
A
B
C
D
∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB ∴
AD PA =
CB PB
∴PB =2PA
在平面APB 内,以AB 的中点为原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则A (-3,0)、B (3,0),设P (x ,y )(y ≠0),则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)
即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )
立体几何中的轨迹问题(教师版)
1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等,则动点P 所在曲线的形状为(D ).
A .线段
B .一段椭圆弧
C .双曲线的一部分
D .抛物线的一部分 简析
本题主要考查点到直线距离的概念,线面垂直及抛物线的定义.因为B 1C 1
面AB 1,所以PB 1
就是P 到直线B 1C 1的距离,故由抛物线的定义知:动点的轨迹为抛物线的一段,从而选D .
2.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2:1,则动点P 所在曲线的形状为(B ).
A .线段
B .一段椭圆弧
C .双曲线的一部分
D .抛物线的一部分
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1:2,则动点P所在曲线的形状为(C).
A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,点P在其对角面BB1D1D内运动,若EP总与直线AC成等角,则点P的轨迹有可能是(A).
A.圆或圆的一部分B.抛物线或其一部分C.双曲线或其一部分D.椭圆或其一部分
简析由条件易知:AC是平面BB1D1D的法向量,所以EP与直线AC成等角,得到EP与平面BB1D1D 所成的角都相等,故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.
5.已知正方体的棱长为a,定点M在棱AB上(但不在端点A,B上),点P是平面ABCD 内的动点,且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2,则点P的轨迹所在曲线为(A).A.抛物线B.双曲线C.直线D.圆
简析在正方体中,过P作PF AD,过F作FE A1D1,垂足分别为F、E,连结PE.则PE2=a2+PF2,又PE2-PM2=a2,所以PM2=PF2,从而PM=PF,故点P到直线AD与到点M的距离相等,故点P的轨迹是以M为焦点,AD为准线的抛物线.
6.在正方体中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,总有AP BD1,则动点P的轨迹为__________.
简析在解题中,我们要找到运动变化中的不变因素,通常将动点聚焦到某一个平面.易证BD1面ACB1,所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上.而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动,因此,符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上,故所求的轨迹为线段B1C.本题的解题基本思路是:利用升维,化“动”为“静”,即先找出所有点的轨迹,然后缩小到符合条件的点的轨迹.
7.在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,点P在侧面SCD内及其边界上运动,总有PE AC,则动点P 的轨迹为_______________.
答案线段MN(M、N分别为SC、CD的中点)
8.若A、B为平面的两个定点,点P在外,PB,动点C(不同于A、B)在内,且PC AC,则动点C在平面内的轨迹是________.(除去两点的圆)
9.若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是:(D)
A A A
B C B C B C B C
A B C D
简析动点P在侧面ABC内,若点P到AB的距离等于到棱BC的距离,则点P在的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离,而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离,于是,P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离,故动点P只能在的内角平分线与AB之间的区域内.只能选D.10.已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点,P到面ABC的距离与到点S的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是(B).
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
解题的要领就是化空间问题为平面问题,把一些重要元素集中在某一个平面内,利
用相关的知识去解答,象平面几何知识、解析几何知识等.
11.已知正方体的棱长为1,在正方体的侧面上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线,那么这条曲线的形状是_________,它的长度为__________.
简析以B为圆心,半径为且圆心角为的圆弧,长度为.
12.已知长方体中,,在线段BD、上各有一点P、Q,PQ上有一点M,且,则M点轨迹图形的面积是.
提示轨迹的图形是一个平行四边形.
13.已知棱长为3的正方体中,长为2的线段MN的一个端点在上运动,另一个端点
N 在底面ABCD 上运动,求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积. 简析
由于M 、N 都是运动的,所以求的轨迹必须化“动”为“静”,结合动点P 的几何性质,连结
DP ,因为MN=2,所以PD=1,因此点P 的轨迹是一个以D 为球心,1为半径的球面在正方体内的部分,所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的,即
.
14.已知平面//α平面β,直线l α?,点l P ∈,平面α、β间的距离为4,则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为
2
9
的点的轨迹是( ) A .一个圆
B .两条平行直线
C .四个点
D .两个点
简析:如图,设点P 在平面β内的射影是O ,则OP 是α、β的公垂线,OP=4.在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3,可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心,3为半径的圆上.又在β内到直线l 的距离等于
2
9
的点的集合是两条平行直线m 、n ,它们到点O 的距离都等于32
17
4)29(22<=
-,所以直线m 、n 与这个圆均相交,共有四个交点.因此所求点的轨迹是四个点,故选C .
16.在四棱锥ABCD P -中,⊥AD 面PAB ,⊥BC 面PAB ,底面ABCD 为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,
CPB APD ∠=∠,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )
A .圆
B .不完整的圆
C .抛物线
D .抛物线的一部分
简析:因为⊥AD 面PAB ,⊥BC 面PAB ,所以AD//BC ,且?=∠=∠90CBP DAP . 又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠, 可得CPB tan PB CB
PA AD APD tan ∠===
∠,即得
2AD
CB PA PB == 在平面PAB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 中点O 为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A (-3,0)、B
(3,0).设点P (x ,y ),则有
2y )3x (y )3x (|
PA ||
PB |2
222=+++-=,整理得09x 10y x 22=+++
由于点P 不在直线AB 上,故此轨迹为一个不完整的圆,选B .
17.如图,定点A 和B 都在平面α内,定点P ,PB ,α⊥α?C 是α内异于A 和B 的动点.且AC PC ⊥,那么动点C 在平面α内的轨迹是( )
A .一条线段,但要去掉两个点
B .一个圆,但要去掉两个点
C .一个椭圆,但要去掉两个点
D .半圆,但要去掉两个点
简析:因为PC AC ⊥,且PC 在α内的射影为BC ,所以BC AC ⊥,即?=∠90ACB .所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点,故选B .
18.如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,P 是侧面1BC 内一动点,若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是( )
A .直线
B .圆
C .双曲线
D .抛物线
简析:因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离,所以在面1BC 内,P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等.由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线,故选D .
19.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,点P 是平面AC 内的动点,若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离,则动点P 的轨迹所在的曲线是( )
A .抛物线
B .双曲线
C .椭圆
D .直线
简析:如图4,以A 为原点,AB 为x 轴、AD 为y 轴,建立平面直角坐标系.设
P (x ,y ),作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ,连结EF ,易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=
又作CD PN ⊥于N ,则|1y ||PN |-=.依题意|PN ||PF |=,
即|1y |1x 2-=+,化简得0y 2y x 22=+- 故动点P 的轨迹为双曲线,选B .
20.如图,AB 是平面a 的斜线段,A 为斜足,若点P 在平面a 内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是( )
(A )圆 (B )椭圆 (C )一条直线 (D )两条平行直线
分析:由于线段AB 是定长线段,而△ABP 的面积为定值,所以动点P 到线段AB 的距离也是定值.由此可知空间点P 在以AB 为轴的圆柱侧面上.又P 在平面内运动,所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段),得到的切痕是椭圆.P 的轨迹就是圆柱侧面与平面a 的交线 .
21.如图,动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上.过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于M N ,.设BP x =,MN y =,则函数()y f x =的图象大致是( )
分析:将线段MN 投影到平面ABCD 内,易得y 为x 一次函数.
22.已知异面直线a ,b 成?60角,公垂线段MN 的长等于2,线段AB 两个端点A 、B 分别在a ,b 上移动,且线段AB 长等于4,求线段AB 中点的轨迹方程.
A
B
C D M
N
P A 1
B 1
C 1
D 1 y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x O
图5
简析:如图5,易知线段AB 的中点P 在公垂线段MN 的中垂面α上,直线'a 、'b 为平面α内过MN 的中点O 分别平行于a 、b 的直线,'a 'AA ⊥于'A ,'b 'BB ⊥于'B ,则P 'B 'A AB =?,且P 也为'B 'A 的中点.
由已知MN=2,AB=4,易知,2AP ,1'AA ==得32'B 'A =.
则问题转化为求长等于32的线段'B 'A 的两个端点'A 、'B 分别在'a 、'b 上移动时其中点P 的轨迹.现以
'OB 'A ∠的角平分线为x 轴,O 为原点建立如图6所示的平面直角坐标系.
图6
设)y ,x (P ,n |'OB |,m |'OA |==, 则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23(
'A - )n m (41y ),n m (43x -=+=
222)32()n m (4
1
)n m (43=++- 消去m 、n ,得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆,其方程为1y 9
x 22=+.
点评:例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起,相互交汇和渗透,有利于培养运用多学科知识解决问题的能力.
立体几何中的轨迹问题
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等,则动点P所在曲线的形状为
()
A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2:1,则动点P所在曲线的形状为()A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1:2,则动点P所在曲线的形状为()A.线段B.一段椭圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,点P在其对角面BB1D1D内运动,若EP总与直线AC成等角,则点P的轨迹有可能是()A.圆或圆的一部分B.抛物线或其一部分C.双曲线或其一部分D.椭圆或其一部分
5.已知正方体的棱长为a,定点M在棱AB上(但不在端点A,B上),点P是平面ABCD 内的动点,且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2,则点P的轨迹所在曲线为()A.抛物线B.双曲线C.直线D.圆
6.若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是
()
A A A
B C B C B C B C
A B C D
A B C D
7.已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点,P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是
( )
A .圆
B .椭圆
C .双曲线
D .抛物线
8.已知平面//α平面β,直线l α?,点l P ∈,平面α、β间的距离为4,则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为2
9
的点的轨迹是
( ) A .一个圆
B .两条平行直线
C .四个点
D .两个点
9.在四棱锥ABCD P -中,⊥AD 面PAB ,⊥BC 面PAB ,底面ABCD 为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,
CPB APD ∠=∠,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是
( )
A .圆
B .不完整的圆
C .抛物线
D .抛物线的一部分
10.如图,定点A 和B 都在平面α内,定点P ,PB ,α⊥α?C 是α内异于A 和B 的动点.且AC PC ⊥,那么动点C 在平面α内的轨迹是( )
A .一条线段,但要去掉两个点
B .一个圆,但要去掉两个点
C .一个椭圆,但要去掉两个点
D .半圆,但要去掉两个点
11.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,点P 是平面AC 内的动点,若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离,则动点P 的轨迹所在的曲线是
( ) A .抛物线
B .双曲线
C .椭圆
D .直线
12.如图,AB 是平面a 的斜线段,A 为斜足,若点P 在平面a 内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是( )
A .圆
B .椭圆
C .一条直线
D .两条平行直线
13.如图,动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上.过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,与正方体表面相交于M N ,.设BP x =,MN y =,则函数()y f x =的图象大致是
( )
14.在正方体中,点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动,总有AP
BD 1,则动点P 的轨迹
为________.
15.在正四棱锥S-ABCD 中,E 是BC 的中点,点P 在侧面SCD 内及其边界上运动,总有PE AC ,则动点
P 的轨迹为_______________. 16.若A 、B 为平面
的两个定点,点P 在
外,PB
,动点C (不同于A 、B )在内,且PC AC ,则
动点C 在平面内的轨迹是________. 17.已知正方体
的棱长为1,在正方体的侧面
上到点A 距离为
的点的轨迹形
成一条曲线,那么这条曲线的形状是_________,它的长度为__________. 18.已知长方体中,
,在线段BD 、
上各有一点P 、Q ,PQ 上有一点
M ,且
,则M 点轨迹图形的面积是 .
19.已知棱长为3的正方体
中,长为2的线段MN 的一个端点在
上运动,另一个端点
N 在底面ABCD 上运动,则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 .
20.已知异面直线a ,b 成?60角,公垂线段MN 的长等于2,线段AB 两个端点A 、B 分别在a ,b 上移动,且线段AB 长等于4,求线段AB
A
B
C D M
N
P A 1
B 1
C 1
D 1 y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x O
中点的轨迹方程.