重庆大学通信工程信号与系统第三章

第三章 傅里叶变换 目录 3.1 周期信号表示为傅里叶级数 一、正交函数与正交函数集 二、三角函数形式的傅里叶级数 三、虚指数形式的傅里叶级数 四、傅里叶级数的主要性质 五、函数的对称性与傅里叶系数的关系 六、周期信号的平均功率 七、有限项傅里叶级数的方均误差 3.2 周期信号的频谱 一、周期信号频谱及其特点 二、典型周期信号的傅里叶级数 3.3 傅里叶变换 一、傅里叶变换的定义 二、傅里叶变换的物理意义 三、傅里叶变换存在的条件 3.4 典型信号的傅里叶变换 一、典型信号的傅里叶变换 二、奇异函数的傅里叶变换 三、典型信号的傅里叶变换对 3.5 傅里叶变换的基本性质 一、对称性 二、线性 三、奇偶虚实性 四、尺度变换特性 五、时移特性 六、频移特性 七、时域微分和积分特性 八、频域微分和积分特性

1九、时域卷积定理 十、频域卷积定理 十一、时域冲激抽样 十二、频域冲激抽样 3.6 周期信号的傅里叶变换 一、正弦、余弦信号的傅里叶变换 二、一般周期信号的傅里叶变换 3.7 抽样信号的傅里叶变换 一、抽样的定义及抽样的系统模型 二、时域抽样 三、频域抽样 3.8 抽样定理 一、时域抽样定理 二、频域抽样定理

2第三章 傅里叶变换 3.1 周期信号表示为傅里叶级数 一、正交函数与正交函数集 1、函数正交 如果两个函数、在区间（，）满足，则称()tf1()tf21t2t()()02121=∫dttftftt()tf

1

和在（，）内正交。 ()tf21t2t

2、正交函数集 假设有n个函数，()tg1()tg2，L，()tgn构成一个函数集，这些函数在区间

（，）内满足如下正交特性： 1t2t

()()()⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=≠=∫∫ittittjiKdttgjidttgtg212120

，为一常数。 iK

则函数集称为正交函数集。也称()tg1，()tg2，L，()tgn构成一个维的正交信号空间。 n

当时，称为归一化正交函数集。 1=iK任一函数在区间（，）内，可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似地表示为： ()tf1t2t

()()()()()()∑

==+++++≈nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211LL

完备正交函数集： 如果在正交函数，()tg1()tg2，L，()tgn之外，不存在函数 ()tx

（），满足等式（i为任意正整数），则称此函数集为完备正交函数集。 ()∞<<∫dttxtt2120()()021=∫dttgtx

t

ti

一般说，完备正交函数集中将包含有无限多个相互正交的函数。 这样()()()()LL++++=tgctgctgctfrr2211 3、复变函数的正交特性 设和()tf1()tf2是实变量的复变函数，两个函数t()tf1和()tf2在区间（，）1t2t

3内相互正交的条件是： ()()()()0212

12121==∫∫∗∗ttttdttftfdttftf

复变函数正交函数集： 如果在区间（，）内，复变函数集1t2t()tg1，()tg2，L，满足如下关系式： ()tgn

()()()()⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=≠=∫∫∗∗ittiittjiKdttgtgjidttgtg21210

则称此复变函数集为正交函数集。 对于一个完备的正交复变函数集，任意（实或复）函数()tf在区间（，）可以表示为： 1t2t

()()()()LL++++=tgctgctgctf

rr2211

4、两个常用的完备正交函数集 （1）三角函数集 三角函数集 {}LLLL,sin,,2sin,sin,,cos,,2cos,cos,1111111tntttnttωωωωωω在区间

组成完备的正交函数集。(100,Ttt+)112Tπω= 这是因为它在区间(内满足： )100,Ttt+

()()⎪⎩

⎪⎨

⎧

==≠=≠=∫+0020coscos1111100nmTnmTnmdttntmTttωω

()()⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠=≠

=∫+020sinsin111100nmTnmdttntmTt

tωω

()()0cossin10011=∫+Tttdttntmωω，对于所有的和 mn

（2）虚指数函数集 虚指数函数集{}tjne1ω()L,2,1,0±±=n在区间()100,Ttt+组成完备的正交函数集。

4这是因为它在区间()内满足 100,Ttt+()∫+∗⎩⎨⎧=≠=1001110Tt

ttjntjm

nmT

nmdteeωω

二、三角函数形式的傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数的第一种形式（基本形式） 设周期信号为()ft，周期为，角频率为1T111T=ω，当满足“狄利克雷条件”时，它可以展开成三角函数形式的傅里叶级数： ()()011()cossinnnn1ftaantbntωω∞==++⎡⎤

⎣⎦

∑

根据三角函数集的正交特性得： ()()()()()⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨

⎧

=====

∫∫∫

+++LL,3,2,1sin2,3,2,1cos21100100100111110ndttntfTbndttntfTadttfTaTttn

Tttn

Ttt

ωω

0a，，称为傅里叶系数，它们是或nanbn1ωn的函数。 注意： （1）是0a()ft在区间（，0t10Tt+）内的平均值，亦即直流分量。为余弦分量的幅度，为正弦分量的幅度。 na

nb

（2）当n为1时，()ta11cosω和()tb11sinω合成一角频率为111T=ω的正弦分量，称为基波分量，1ω称为基波频率。 当n大于1时，()tnannωcos和()tnbnnωsin合成一角频率为nnω的正弦分量，称为n次谐波分量，1ωn称为次谐波频率。 n（3）任何周期信号只要满足“狄利克雷条件”，就可以用一直流分量和一系列谐波分量之和来表示。

例3.1.1 将下图所示的方波信号()tf展开为傅里叶级数。

5)(tft21T

1

021T

−1

T

1−

解： 00=a()()∫

−=221111cos2TTndttntfTaω

()()

0coscos2201021111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=∫∫−TTdttndttn

Tωω

()()∫

−=221111sin2TTndttntfTbω

()()⎥⎦⎤⎢

⎣

⎡+−=∫∫

−2010211

11sinsin2TTdttndttn

Tωω

()()||

2

0111021

11

11cos12cos12TTtnnTtnnTωωωω−=−

()[]π

πnncos12−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===LL,6,4,20,5,3,14nn

nπ

故 方波信号的傅里叶级数展开式为 ()tf

()()()()⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++=Lttttf1115sin513sin31sin

4ωωω

π

它只含有一、三、五、LL等奇次谐波分量。 2、三角函数形式傅里叶级数的另外两种形式

（1）()011()cosnnnftccntωϕ∞==++∑

6