2018届高考数学理科二轮复习跟踪强化训练：28(含解析)
2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(一) 集合、常用逻辑用语 Word版含解析
课时跟踪检测（一）集合、常用逻辑用语1．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3}B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：选C因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．2．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝()A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：选D由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．3．(2017·合肥模拟)已知命题q：∀x∈R，x2＞0，则()A．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为假命题B．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为真命题C．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为假命题D．命题綈q：∃x0∈R，x20≤0为真命题解析：选D全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题．4．(2018届高三·郑州四校联考)命题“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题是() A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c＞b＋c，则a＞b D．若a＞b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.5．(2017·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．6．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选D 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，即m ∈A ，得m 2≥4，所以m ≥2或m ≤－2.7.(2017·唐山模拟)已知集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}解析：选C 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x <1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ，因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁U B )∩A ＝{x |0≤x <6}．8．(2018届高三·河北五校联考)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选C 根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，綈p 是真命题；∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan x ＝sin x cos x， ∴0<cos x <1，tan x >sin x ，∴q 为真命题，选C.9．(2017·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q ，则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.10．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，若P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，则P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}．由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．11．(2018届高三·广西五校联考)命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m ＋5＜0”，命题q ：“关于x 的方程2x －m ＝0有正实数解”，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是( )A ．[1,10]B ．(－∞，－2)∪(1,10]C ．[－2,10]D ．(－∞，－2]∪(0,10]解析：选B 若命题p ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m ＋5＜0”为真命题，则Δ＝m 2－8m －20＞0，∴m ＜－2或m ＞10；若命题q 为真命题，则关于x 的方程m ＝2x 有正实数解，因为当x ＞0时，2x ＞1，所以m ＞1.因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，故p 真q 假或p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜－2或m ＞10，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤10，m ＞1， 所以m ＜－2或1＜m ≤10.12．(2017·石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是( )A ．若a ＞b ＞0，则ln a ＜ln bB ．向量a ＝(1，m )与b ＝(m,2m －1)(m ∈R)垂直的充要条件是m ＝1C ．命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∀n ∈N *,3n ≥(n ＋2)·2n －1” D ．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的，则命题“若f (a )·f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D A 中，因为函数y ＝ln x (x ＞0)是增函数，所以若a ＞b ＞0，则ln a ＞ln b ，故A 错；B 中，若a ⊥b ，则m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0，故B 错；C 中，命题“∀n ∈N *,3n ＞(n ＋2)·2n －1”的否定是“∃n 0∈N *，3n 0≤(n 0＋2)·2n 0－1”，故C 错；D 中，原命题的逆命题是“若f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，则f (a )·f (b )＜0”，是假命题，如函数f (x )＝x 2－2x －3在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间(－2,4)内有两个零点，但f (－2)·f (4)＞0，故D 正确．13．(2018届高三·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18. 答案：1或－1814．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.答案：(2，＋∞)15．(2017·广东中山一中模拟)已知非空集合A ，B 满足下列四个条件：①A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7}；②A ∩B ＝∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素．(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A ＝________；(2)有序集合对(A ，B )的个数是________．解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A ＝{6}．(2)当集合A 中有1个元素时，A ＝{6}，B ＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B )有1个；当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B )有10个；当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B )有5个；当集合A 中有6个元素时，A ＝{1,2,3,4,5,7}，B ＝{6}，此时有序集合对(A ，B )有1个． 综上可知，有序集合对(A ，B )的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.答案：(1){6} (2)3216．(2017·张掖模拟)下列说法中不正确的是________．(填序号)①若a ∈R ，则“1a ＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件；②“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件；③若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则p 是真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0”．解析：由1a ＜1，得a ＜0或a ＞1，反之，由a ＞1，得1a ＜1，∴“1a＜1”是“a ＞1”的必要不充分条件，故①正确；由p ∧q 为真命题，知p ，q 均为真命题，所以p ∨q 为真命题，反之，由p ∨q 为真命题，得p ，q 至少有一个为真命题，所以p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，故②不正确；∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， ∴命题p 为真命题，③正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故④不正确．答案：②④。
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练15 含解析 精
跟踪强化训练(十五)一、选择题1．(2017·昆明模拟)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝( )A.13a ＋512b B .13a －1312b C ．－13a －512b D ．－13a ＋1312b[解析]DE →＝DC →＋CE → ＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC →＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C. [答案] C2．(2017·吉林白城模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝( )A.12 B ．2 C ．－12 D ．－2[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n－1，所以m n ＝－12，故选C.[答案] C3．(2017·广东深圳第二次调研)如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )A.43 B .53 C.158 D ．2[解析] 因为M 是BC 的中点，所以BM →＝12BC →，所以AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(AD →－AB →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12BC →＋μ(BC →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋⎝⎛⎭⎪⎫12λ＋μBC →＝AB →＋BC →，即⎩⎨⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.[答案] B4．(2017·陕西省宝鸡市高三一检)已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [解析] 依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)，选A.[答案] A5．(2017·云南省高三调研考试)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A ．13＋6 2B ．2 5 C.30 D.34[解析] 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos45°＝2，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，选D. [答案] D6．(2017·西安模拟)在△ABC 中，A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．6[解析] 因为AB →·AC →＝－1，所以bc cos120°＝－1，即bc ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos120°＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，所以a ≥6，即|BC →|的最小值是 6.[答案] C7．(2017·西安质量检测)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →[解析] 由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b ，则|b |＝2，故A 错误；|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a ·b ＝2×2cos60°＝2，所以a ·b ＝－1，故B ，C 错误．故应选D.[答案] D8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫－13，0 [解析] 依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有 AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，43，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. [答案] D 9.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若OC →＝mOA →＋nOB →(m >0，n >0)，m ＋n ＝2，则∠AOB 的最小值为( )A.π6 B .π3 C.π2 D .2π3[解析] 解法一：由题意mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝1，将OC →＝mOA →＋nOB →平方得1＝m 2＋n 2＋2mn cos ∠AOB ，cos ∠AOB＝1－m 2－n 22mn ＝1－(m ＋n )2＋2mn 2mn ＝－32mn ＋1≤－12(当且仅当m ＝n ＝1时等号成立)，∵0<∠AOB <π，∴∠AOB 的最小值为2π3.解法二：已知AB 与OC 的交点为M ，设λOM →＝OC →＝mOA →＋nOB →，A ，B ，M 三点共线，则λ＝m ＋n ＝2，说明M 是OC 的中点，在同一圆中相等弦所对的圆心角相等，且较短弦所对的圆心角也较小，可知AB ⊥OC 且互相平分，由平行四边形法则，四边形OACB 是菱形，且∠AOB ＝2π3，故选D.[答案] D10．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22[解析] 解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则(a －c )·(b －c )＝0，即(1－x ，－y )·(－x,1－y )＝0，整理得⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝12，这是一个圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，12，半径为22的圆，所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离．根据图形可知，这个最大距离是2，即所求的最大值为 2.解法二：直接把(a －c )·(b －c )＝0按照数量积的运算法则展开，利用|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0化简后解决．∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，∴由(a －c )·(b －c )＝0可得|c |2＝c ·(a ＋b )，由于a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故|a ＋b |＝ 2.设a ＋b 与c 的夹角为θ，则|c |2＝c ·(a ＋b )＝|c |·|a ＋b |cos θ，即|c |＝|a ＋b |cos θ＝2cos θ≤2，所以|c |的最大值是 2. [答案] C11．(2017·郑州适应性测试)已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋(y ＋2)2＝1，∴动点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义为动点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|CN →|＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1，故选A. [答案] A12．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21[解析] 依题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图．因为AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，所以点P (1,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )．所以PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝⎝⎛⎭⎪⎫1t －1×(－1)－4×(t －4)＝17－1t －4t .因为1t ＋4t ≥21t ·4t ＝4⎝⎛当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12 )时取等号，所以17－1t －4t ≤17－4＝13，所以PB →·PC →的最大值为13，故选A.[答案] A 二、填空题13．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.[解析] 由题意知a ·b ＝|a |·|b |cos60°＝2×1×12＝1，则|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝4＋4＋4＝12.所以|a ＋2b |＝2 3. [答案] 2 314．(2017·南昌一模)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．[解析] ∵|AB →|＝5，|AC →|＝3，AB →·AC →＝2＋6， ∴cos ∠BAC ＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝2＋615.∴sin ∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2＋6152＝ 7－4315＝2－315.∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin ∠BAC ＝12×5×3×2－315＝2－32.[答案] 2－3215．(2017·西宁模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．[解析] ∵AP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AD →－34AB →，∴AP →·BP →＝AD →2－12AB →·AD →－316AB →2＝2，又AB ＝8，AD ＝5，解得AB →·AD →＝22.[答案] 2216．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．[解析]如图，由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB →·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4，所以AD →·AE→＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又BD →＝2DC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，而AE →＝λAC →－AB →＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD →·AE →＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. [答案]311。
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：25 Word版含解析
跟踪强化训练(二十五)一、选择题1．与圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( )A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上C ．一条抛物线上D ．一个圆上[解析] 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．故选B.[答案] B2．(2017·重庆模拟)设A ，P 是椭圆x 22＋y 2＝1上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交x 轴于点M ，N ，则OM →·ON →＝( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2[解析] 依题意，将点P 特殊化为点(2，0)，于是点M ，N 均与点(2，0)重合，于是有OM →·ON →＝2，故选D.[答案] D3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式作差并化简变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)，而y 1－y 2x 1－x 2＝0－(－1)3－1＝12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以a 2＝2b 2，又a 2－b 2＝c 2＝9，于是a 2＝18，b 2＝9.故选D.[答案] D4．(2017·广东珠海模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] 因为抛物线y 2＝2px (p >0)，所以它的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为直线l 的倾斜角为60°，所以直线l 的方程为y －0＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，即y ＝3x －32p .设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3x －3p2，消去y 并整理，得12x 2－20px ＋3p 2＝0，解得x 1＝3p 2，x 2＝p 6，∴|AF |＝x 1＋p2＝2p ，|BF |＝x 2＋p 2＝2p 3，∴|AF |∶|BF |＝3∶1，∴|AF ||BF |的值为3.[答案] C5．(2017·河北石家庄二模)已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4[解析] 由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，又直线l 与两条渐近线交于A ，B 两点，故可设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，且|OA |＝2|x 1|，|OB |＝2|x 2|，∴AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22. 又点A ，B 的中点在双曲线x 2－y 2＝2上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2⇒x 1x 2＝2. 显然△AOB 是直角三角形，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12×2|x 1|·2|x 2|＝x 1x 2＝2.故选C. [答案] C6．(2017·南昌联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1 [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 21＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. [答案] D 二、填空题7．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是－14，则直线PM 的斜率为________．[解析] 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，直线PM 的斜率k PM ＝y 0x 0＋2，直线PN 的斜率k PN ＝y 0x 0－2，可得k PM ·k PN ＝y 20x 20－4＝－34，故k PM ＝－34·1k PN ＝3.[答案] 38．(2017·郑州一模)如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两个分支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．[解析] ∵△ABF 2为等边三角形，∴|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°.由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＝2a . 又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|BF 2|＝4a .∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a . 在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos60°，∴(2c )2＝(4a )2＋(6a )2－2×4a ×6a ×12，整理得c 2＝7a 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝7. [答案]79．(2016·四川卷)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为________．[解析] 解法一：设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则y 20＝2px 0，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.根据题意，PM →＝2MF →，PM →＝(x －x 0，y －y 0)，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫p 2－x ，－y ，所以⎩⎨⎧x ＝x 0＋p 3，y ＝y3，所以k OM ＝y 0x 0＋p ＝y 0y 202p ＋p ＝1y 02p ＋p y 0≤1212＝22 (当且仅当y 20＝2p 2时，等号成立)． 解法二：如图，在x 轴上取点N (－p,0)，连接PN ，OM ， 则k PN ＝k OM .设P (x ，y )，则k OM ＝k PN ＝y －0x －(－p )＝y y 22p ＋p ＝2py y 2＋2p 2＝2p y ＋2p 2y ≤2p 22p 2＝22，当且仅当y 2＝2p 2时等号成立． [答案] 22 三、解答题10．(2017·唐山统考)已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，设AB 的中点为D ，求|QD ||AB |的取值范围．[解] (1)由已知得，圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )． 将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12，D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝23(1＋m 2)(3m 2＋4)， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋34(3m 2＋4)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13m 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫316，14，故|QD ||AB |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，12.11．(2017·宝鸡市高三质量检测)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.(1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．[解] (1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2的面积取得最大值，此时S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|OP |＝bc ，∴bc ＝43，因为e ＝12，所以b ＝23，a ＝4， 所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)由(1)得，F 1的坐标为(－2,0)， 因为AC →·BD →＝0，所以AC ⊥BD ，①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14.②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，设其方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2.|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24(k 2＋1)3＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k (x ＋2)． 同理由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k (x ＋2)，x 216＋y 212＝1可得|BD →|＝24(k 2＋1)4＋3k 2，|AC →|＋|BD →|＝24(k 2＋1)4＋3k 2＋24(k 2＋1)3＋4k2＝168(k 2＋1)2(4＋3k 2)(3＋4k 2)， 令t ＝k 2＋1，则|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t 2(t >1)， 因为t >1,0<t －1t 2≤14，所以|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14，综上，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.12．(2017·石家庄市一模)如图，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为坐标原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF ⊥NF ，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．(1)求△MFN 的面积的最小值； (2)证明：E ，O ，D 三点共线．[解] (1)解法一：如题图，设M (0，m )，N (0，n )， ∵MF ⊥NF ，∴m ·n ＝－1. ∵S △MFN ＝12|MF |·|FN |＝12 1＋m 2·1＋n 2. ＝12 1＋m 2＋n 2＋(mn )2 ＝122＋m 2＋n 2≥122＋2|mn |＝1.当且仅当|m |＝1，|n |＝1且mn ＝－1时等号成立． ∴△MFN 的面积的最小值为1.解法二：设M (0，m )，N (0，n )，∵MF ⊥NF ，∴m ·n ＝－1， ∵S △MFN ＝12|MN |·|OF |＝12|MN |，且|MN |2＝|m －n |2＝m 2＋n 2－2mn ＝m 2＋n 2＋2≥2|mn |＋2＝4，当且仅当|m |＝1，|n |＝1且mn ＝－1时等号成立，∴|MN |min ＝2，∴(S △MFN )min ＝12|MN |＝1. 故△MFN 的面积的最小值为1. (2)∵A (－2，0)，M (0，m )， ∴直线AM 的方程为y ＝m2x ＋m ，由⎩⎨⎧y ＝m2x ＋m ，x22＋y 2＝1，得(1＋m 2)x 2＋22m 2x ＋2(m 2－1)＝0，设E (x E ，y E )，D (x D ，y D )，由－2·x E ＝2(m 2－1)1＋m 2，得x E ＝－2(m 2－1)1＋m 2，①同理可得x D ＝－2(n 2－1)1＋n 2，∵m·n＝－1，∴x D＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫－1m2－11＋⎝⎛⎭⎪⎫－1m2＝－2(1－m2)m2＋1.②由①②可知x E＝－x D，代入椭圆方程可得y2E＝y2D.∵MF⊥NF，∴N，M分别在x轴两侧，∴y E＝－y D，∴y Ex E＝y Dx D，故E，O，D三点共线．11。
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：14Word版含解析
则 cosA＝( )
3 10
10
10
3 10
A. 10 B. 10 C．－ 10 D．－ 10
[ 解析 ] 设△ ABC 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，由题意
可得
1 3a＝
csinπ4＝
2 2 c，则
32 a＝ 2 c.在△ ABC 中，由余弦定理可得
b2
＝ a2＋ c2－
2ac＝92c2＋ c2－ 3c2＝ 52c2，则
7sinα－ 2＝0，
解得 sinα＝－ 2(舍去 )或 sinα＝14，
15 又由 α为锐角，可得 cosα＝ 4 ，
∴ sin α＋π3 ＝21sinα＋ 23cosα＝1＋83 5，故选 A.
[ 答案 ] A
2．(2017 ·湖北武汉模拟 )在△ ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝π3，则
A 等于 ( )
由正弦定理得
AC sin60
＝°siAn4M5
，°因此
AM＝
200 3
2 m.
在Rt△MBiblioteka A中，AM＝
200 3
2 m，∠ MAN＝45°，得
200 MN＝ 3 m.
200 [ 答案 ] 3
三、解答题
10．(2017 ·天津卷 )在△ ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为
a2－b2＝ 3bc，得 a＝ 7b，再由余弦定理可得 cosA＝ 23，所以 A＝π6.
故选 A.
[ 答案 ] A
6．(2017 ·福建漳州二模 )在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别
为
a，b， c，且
2ccosB＝2a＋b，若△ ABC
的面积为
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：32 Word版含解析
跟踪强化训练(三十二)1．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－ 32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.2．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)设直线l 与曲线C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标缩短为原来的32，得到曲线C 2，设点P 是曲线C 2上的一个动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．[解] (1)直线l 的普通方程为y ＝3(x －1)，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，得直线l 与曲线C 1的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则|AB |＝1.(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，设点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ，32sin θ，从而点P 到直线l 的距离为d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋2，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，且最小值为23－64. 3．(2017·沧州二模)在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝55cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.l 与C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (0，－2)，求|P A |＋|PB |的值．[解](1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝55cos α，y ＝sin α(α为参数)，普通方程为C ：5x 2＋y 2＝1；直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρcos θ－ρsin θ＝2，l ：y ＝x －2.(2)点P (0，－2)在l 上，l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝－2＋22t(t 为参数)，代入5x 2＋y 2＝1整理得，3t 2－22t ＋3＝0，由题意可得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝223.4．(2017·陕西咸阳一模)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝－4cos θ.(1)求曲线C 1与C 2的交点的极坐标；(2)A ，B 两点分别为曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△OAB 的面积(O 为坐标原点)．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ，两式平方相加，得 x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－4y ＝0.① 由ρ＝－4cos θ，得ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＝－4x .②①－②得x ＋y ＝0，代入①得交点为(0,0)，(－2,2)．其极坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4.(2)如图．由平面几何知识可知，A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，点O 到AB 的距离为 2.∴△OAB 的面积为S ＝12×(22＋4)×2＝2＋2 2.。
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练12 Word版含解析
跟踪强化训练(十二)．已知函数()＝＋(≠，∈)．()若＝，求函数()的极值和单调区间；()若在区间(，]上至少存在一点，使得()<成立，求实数的取值范围．[解]()当＝时，′()＝－＋＝，令′()＝，得＝，又()的定义域为(，＋∞)，由′()<得<<，由′()>得>，所以当＝时，()有极小值，()的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为()．()′()＝－＋＝，且≠，令′()＝，得到＝，若在区间(，]上存在一点，使得()<成立，即()在区间(，]上的最小值小于.当<，即<时，′()<在(，]上恒成立，即()在区间(，]上单调递减，故()在区间(，]上的最小值为()＝＋＝＋，由＋<，得<－，即∈.当>，即>时，①若≤，则′()≤对∈(，]成立，所以()在区间(，]上单调递减，则()在区间(，]上的最小值为()＝＋＝＋>，显然()在区间(，]上的最小值小于不成立．②若<<，即>时，则由＝＋＝(－)<，得－<，解得>，即∈(，＋∞)．综上可知，∈∪(，＋∞)．．(·北京西城区模拟)已知函数()＝－＋(∈)．()当＝时，求()的图象在＝处的切线方程；()若函数()＝()－＋在上有两个零点，求实数的取值范围．[解]()当＝时，()＝－＋，′()＝－＋，切点坐标为()，切线的斜率＝′()＝，则切线方程为－＝(－)，即＝－.()()＝－＋，则′()＝－＝.因为∈，所以当′()＝时，＝.当<<时，′()>；当<<时，′()<.所以()在上单调递增，在[，]上单调递减．故()在＝处取得极大值()＝－.又＝－－，()＝＋－，()－＝－＋<，则()<，所以()在上的最小值是()．()在上有两个零点的条件是，解得<≤＋，所以实数的取值范围是.．已知函数()＝＋(>)．()当>时，求证：()－≥；()在区间(，)上()>恒成立，求实数的取值范围．[解]()证明：设φ()＝()－－＝－(>)，则φ′()＝－.令φ′()＝，则＝，当<<时，φ′()<，所以φ()在()上单调递减；当>时，φ′()>，所以φ()在(，＋∞)上单调递增，故φ()在＝处取到极小值。
【高三英语试题精选】2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练6(带答案和解释)
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练6（带答案和解
释）
跟踪强化训练(六)
1．[直接法]对于锐角α，若sinα－π12＝35，则cos2α＋π3＝________
[解析] 由α为锐角，且sinα－π12＝35，可得cosα－π12＝45，则cosα＋π6＝cosα－π12＋π4＝cosα－π12cosπ4－sinα－π12sinπ4＝45×22－35×22＝210，于是cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－1＝2×2102－1＝－2425
[答案] －2425
2．[直接法]已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为________．
[解析] 因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x的系数为C15×(－2)＝－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为C14a＝4a，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x的系数为1×4a＋1×(－10)＝2，所以a＝3
[答案] 3
3．[特例法]已知等差数列{an}的差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值是________．
[解析] 令an＝n，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝1＋3＋92＋4＋10＝1316
[答案] 1316
4．[特例法]如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA OB OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．
[解析] 要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分。
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：33 Word版含解析
跟踪强化训练(三十三)1．(2017·四川乐山一模)已知函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，求实数a 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x >12令f (x )＝0，求得x ＝－13或x ＝3， 故不等式f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13或x >3. (2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，即f (x 0)<4a －2a 2有解，由(1)可得f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3×12－1 ＝－52，故－52<4a －2a 2，求得－12<a <52.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52. 2．设函数f (x )＝|x －a |＋x .(1)当a ＝2时，求函数f (x )的值域；(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立时a 的取值范围．[解] (1)由题意得，当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥2，2，x <2. ∵f (x )在[2，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2，∴f (x )的值域为[2，＋∞)．(2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立， 得|x ＋1|＋|x －a |>2恒成立，即(|x ＋1|＋|x －a |)min >2.而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |，∴|1＋a |>2，解得a >1或a <－3，故a 的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．3．(2017·江西南昌一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|.(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；(2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．[解] (1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1，即0≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是[0,4]．(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点为a 2和1，当a <2时知a 2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1，x <a 2x －a ＋1，a 2≤x ≤13x －a －1，x >1由图可知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝3， 得a ＝－4<2(合题意)，即a ＝－4.4．(2017·江西赣州一模)设a 、b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．[解] (1)由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当a ＝b ＝22时取等号．故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22时取等号． 所以a 2＋b 2的最小值是1.(2)由1a ＋1b ＝22可得a ＋b ＝22ab ，∵(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝8a 2b 2－4ab ≥4(ab )3， ∴(ab )2－2ab ＋1≤0，即(ab －1)2≤0，∴ab －1＝0，即ab ＝1.。
2018届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：13Word版含解析
若 f 58π＝ 2，f 181π＝0，且 f(x)的最小正周期大于 2π，则 (
)
A ．ω＝23，φ＝1π2
B．
ω＝
23，
φ＝－
11π 12
C．
1 ω＝3，
φ＝－
11π 24
D．ω＝
1 3，φ＝
7π 24
[ 解析 ]
∵f 58π＝2，f 181π＝0，f(x)的最小正周期大于
T 2π，∴4＝
181π－58π＝34π，得 T＝ 3π，则 ω＝ 2Tπ＝23，
4
4
44
A ．－ 3或 0 B.3或 0 C．－ 3 D.3
[ 解析 ] 把 2sinθ＝1＋cosθ两边平方，整理得，5cos2θ＋2cosθ－3
＝0，分解因式得 (5cosθ－3)(cosθ＋1)＝0，∴cosθ＝－ 1 或35.当 cosθ＝
－1 时，θ＝2kπ＋ π，k∈Z ，∴tanθ＝0；当 cosθ＝35时，sinθ＝45，∴tanθ
＝ ________.
[ 解析 ] 设点 P(a,2a)(a≠0)为角 θ终边上任意一点，根据三角函
y 数的定义有 tanθ＝x＝2，再根据诱导公式，得
sin 32π＋θ＋cos π－θ －cosθ－ cosθ sin π2－θ－sin π－ θ ＝ cosθ－sinθ
－2 ＝ 1－tanθ＝2.
[ 答案 ] 2
B
错误；因为
f －712π＝
sin
2×
－712π＋π3 ＝－
1 2≠
±1，所以
C
错误；由－ π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋
2kπ，k∈Z 得－ 512π＋kπ≤x≤1π2＋ kπ，k∈Z ，即函数 f(x)的单调递增区
2018学高考理科数学练酷专题二轮复习课时跟踪检测二 平面向量与复数 含解析 精品
课时跟踪检测（二） 平面向量与复数1．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选C z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限．2．(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2解析：选C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i(1－i)＝1＋i ， 所以|z |＝ 2.3．(2017·沈阳模拟)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝⎛⎭⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 的值为( ) A ．－23 B.23 C.38 D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38.4．(2018届高三·西安摸底)已知非零单位向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则a 与b －a 的夹角是( )A.π6B.π3C.π4D.3π4解析：选D 由|a ＋b |＝|a －b |可得(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，而a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝－|a |2＜0，即a 与b －a 的夹角为钝角，结合选项知选D.5．(2017·湘中模拟)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2解析：选D 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝(±1)2＋(3)2＝2.6．(2017·广西五校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB ―→＝2DC ―→，则( ) A ．BD ―→＝AC ―→－32AB ―→B ．BD ―→＝32AC ―→－AB ―→C ．BD ―→＝12AC ―→－AB ―→D ．BD ―→＝AC ―→－12AB ―→解析：选A BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝BC ―→－DC ―→＝AC ―→－AB ―→－12AB ―→＝AC ―→－32AB ―→.7．(2018届高三·云南调研)在▱ABCD 中，|AB ―→|＝8，|AD ―→|＝6，N 为DC 的中点，BM ―→＝2MC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12解析：选C AM ―→·NM ―→＝(AB ―→＋BM ―→)·(NC ―→＋CM ―→)＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋23 AD ―→ ·⎝⎛⎭⎫12 AB ―→－13AD ―→ ＝12AB ―→2－29AD ―→2＝12×82－29×62＝24. 8．(2018届高三·广西五校联考)已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i＝( )A ．1B ．0C ．iD ．1－i解析：选C 因为z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i 2 0171－i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1＋i )(1－i )＝i.9．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→ 在BA ―→方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.322解析：选A 依题意得，BA ―→＝(－2，－1)，CD ―→＝(5,5)，BA ―→ ·CD ―→＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA ―→|＝5，因此向量CD ―→在BA ―→方向上的投影是BA ―→·CD ―→|BA ―→|＝－155＝－3 5.10．(2018届高三·湖南五校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC ―→|＝|b |＝2，|AB ―→|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC ―→2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.法二：BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.11．(2017·长春模拟)在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD ―→＝13AB ―→＋12AC ―→，则S △BCD S △ABD＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：选B 如图，由已知得，点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，所以S △BCD S △ABD ＝13. 12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2 解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.13．(2017·成都模拟)若复数z ＝a i1＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的虚部为－1，则a ＝________.解析：因为z ＝a i 1＋i ＝a i·(1－i )(1＋i )(1－i )＝a 2＋a 2i 的虚部为－1，所以a 2＝－1，解得a ＝－2.答案：－214．(2017·兰州诊断)已知向量OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC ―→|的最小值为________．解析：由OA ―→＝(3,1)，OB ―→＝(－1,3)，得OC ―→＝m OA ―→－n OB ―→＝(3m ＋n ，m －3n )，因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以n ＝1－m 且0＜m ＜1，所以OC ―→＝(1＋2m,4m －3)，则|OC ―→|＝(1＋2m )2＋(4m －3)2＝20m 2－20m ＋10＝20⎝⎛⎭⎫m －122＋5(0＜m ＜1)，所以当m ＝12时，|OC ―→|min ＝ 5.答案： 515．(2018届高三·石家庄调研)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ＞0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意：x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m ·n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cos π3＋λ2m 2＝⎝⎛⎭⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m ·n ＋m ·n ＋m ·n ＝3λ|m ||m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ－122＋34＞0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83. 答案：8316.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，点E 从点D 出发，按字母顺序D →A →B →C 沿线段DA ，AB ，BC 运动到点C ，在此过程中DE ―→·CD ―→的取值范围为________．解析：以BC ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，可得A (0,1)，B (0,0)，C (1,0)，D (1,1)．当E 在DA 上时，设E (x,1)，其中0≤x ≤1，∵DE ―→＝(x －1,0)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝0；当E 在AB 上时，设E (0，y )， 其中0≤y ≤1，∵DE ―→＝(－1，y －1)，CD ―→＝(0,1)，∴DE ―→·CD ―→＝y －1(0≤y ≤1)，此时DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]； 当E 在BC 上时，设E (x,0)，其中0≤x ≤1， ∵DE ―→＝(x －1，－1)，CD ―→＝(0,1)， ∴DE ―→·CD ―→＝－1.综上所述，DE ―→·CD ―→的取值范围为[－1,0]． 答案：[－1,0]。
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跟踪强化训练(二十八) 一、选择题 1．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)某种电路开关闭合后会
出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.110 B.15 C.25 D.12 [解析] 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝12，P(AB)＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P(B|A)＝
PABPA＝1512＝25.故选C.
[答案] C 2．(2017·邯郸一模)口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则2次取出的球的颜色不相同的概率是( )
A.29 B.13 C.23 D.89 [解析] 解法一：由题意知，基本事件总数n＝3×3＝9，记事件 M为“2次取出的球的颜色不相同”，则事件M所包含的基本事件个数m＝3×2＝6，所以2次取出的球的颜色不相同的概率P(M)＝mn＝69＝23，故选C.
解法二：由题意知，所有的基本事件为：红红、红白、红黑、白红、白白、白黑、黑红、黑白、黑黑，共9个，其中2次取出的球的颜色相同的基本事件有3个，所以2次取出的球的颜色不相同的概率
为1－39＝23. [答案] C 3．(2017·四川省成都市高三二诊)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开．则这两位同学能够见面的概率是( )
A.1136 B.14 C.12 D.34
[解析] 如图所示，以5：30作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，设事件A表示两位同学能够见 面，所构成的区域为A＝{(x，y)||x－y|≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P(A)＝30×30－2×12×15×1530×30＝34. [答案] D 4．(2017·金华十校模拟)下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，如果没有2位同学一块走，则第二次走的是男同学的概率是( )
A.12 B.13 C.14 D.15 [解析] C12·A33A44＝12，故选A. [答案] A 5．(2017·南宁模拟)从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( )
A.225 B.13125 C.18125 D.9125 [解析] 从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53＝125个，但要使各位数字之和等于12且没有重复数字时，则该数只能含有3,4,5三个数字，它们有A33＝6种；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3种．因此，所求
概率为P＝6＋1＋3125＝225，故选A. [答案] A 6．(2017·山东青岛模拟)为了庆祝2016年元旦，某食品厂制作了 3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为( )
A.3181 B.3381 C.4881 D.5081 [解析] 获奖可能情况分两类：①12311；12322；12333； ②12312；12313；12323.
①P1＝3×A55A3335，②P2＝3×A55A22·A2235， ∴P＝P1＋P2＝3A551A33＋1A22A2235＝5081，故选D. [答案] D 二、填空题 7．(2017·湖北武汉模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为________． [解析] 由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了20 组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有： 5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，
∴所求概率P＝1520＝0.75. [答案] 0.75 8．(2017·青岛模拟)如图所示的阴影部分是由x轴，直线x＝1及曲线y＝ex－1围成的，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是__________．
[解析] 由几何概型的概率计算公式可知，所求概率为01ex－1dx
1×e－1＝e－2e－1.
[答案] e－2e－1 9．(2017·皖南八校联考)某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差D(ξ)＝________. [解析] 从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，选
出的男生人数ξ可能为1,2,3，其中，P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15，P(ξ＝2)＝C24C12
C36 ＝35，P(ξ＝3)＝C34C02C36＝15.所以ξ的数学期望E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D(ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25. [答案] 25 三、解答题 10．(2017·山东临沂一模)为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛．经过层层选拔，最终甲乙两人进入总决赛，争夺冠军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得
1分；④先得3分者获胜．已知甲、乙答对每道题的概率分别为23和34，且每次答题的结果相互独立． (1)若乙先答题，求甲3∶0获胜的概率； (2)若甲先答题，记乙所得分数为X，求X的分布列和数学期望E(X)． [解] (1)分别记“甲、乙回答正确”为事件A、B，“甲3∶0获
胜”为事件C，则P(A)＝23，P(B)＝34.由事件的独立性和互斥性得：
P(C)＝P(B－AB－)＝P(B－)P(A)P(B－)， ＝14×23×14＝124. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝232×14＝19， P(X＝1)＝232×34×14＋C12×13×23×142＝19， P(X＝2)＝232×342＋C12×13×C12×14×232×34＋132×142×23＝61216，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝107216. X的分布列为： X 0 1 2 3
P 19 19 61216 107216
E(X)＝0×19＋1×19＋2×61216＋3×107216＝467216. 11．(2017·广州综合测试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)． (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． [解] (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件
A，则P(A)＝C13·C27＋C03·C37C310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3. P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0,1,2,3)． 所以P(X＝0)＝C04·C36C310＝16，P(X＝1)＝C14·C26C310＝12， P(X＝2)＝C24·C16C310＝310，P(X＝3)＝C34·C06C310＝130. 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3
P 16 12 310 130
随机变量X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65. 12．(2017·石家庄质检)交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 浮动因素 浮动比率 A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%
A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0%
A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%
A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30% 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的