丰台区2011年高三年级第二学期统一练习(二)

丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（文科） 2011.5 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若2∈{1，a，a2-a}，则a=

(A) -1(B) 0(C) 2(D) 2或-12．下列四个命题中，假命题为(A) ，(B) ，(C) ，(D) ，．已知a>0且a≠1，函数，在同一坐标系中的图象可能是

(A)(B)(C)(D)4．已知数列中，，，则(A)(B)(C)(D)

5．如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是ABCO(A)(B)(C)(D) 6．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是xyO21-1

(A)

(B)(C)(D)

7．已知x，y的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为，则(A) 3.25(B) 2.6(C) 2.2(D) 0

8．用表示a，b两个数中的最大数，设，若函数有2个零点，则k的取值范围是(A)(B)(C)(D)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数对应的点位于第 象限．10．圆C：的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是 ．11．若，则函数的单调递增区间是 ．12．已知签字笔2元一只，练习本1元一本．某学生欲购买的签字笔不少于3只，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是___元．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．

11正视图侧视图2

0.62.4俯视图0.6ABCADP1

P2

P3

P4

P5

14．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径

画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是___，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为___．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求函数的最小值及取得最小值时的x值．16.（本小题共13分）已知梯形ABCD中，，，，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且，沿CG将△CDG翻折到△．（Ⅰ）求证：EF//平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面．

ABCEDFGFGEABC17.（本小题共13分）

某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．18.（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时函数取得极小值，求a的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．19.（本小题共14分） 已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值．20.（本小题共13分）已知数列的前项和为，且．数列为等比数列，且，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，数列中是否存在三项，使得这三项成等差数列？若存在，求出此三项；若不存在，说明理由．丰台区2011年高三年级第二学期统一练习（二）数 学（文科）参考答案2011.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案ABDCAABC

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．Ⅲ 10．3 11．写成闭区间也给满分12．15 13．12 14． 8，注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小值，及取得最小值时的x的值．解：（Ⅰ）∵， ………………5分∴ ． ………………7分（Ⅱ）∵ ∴．∴． ………………9分∴， 即． ………………11分∴ 此时 ∴． ………………12分∴当时，． ………………13分

16.（本小题共13分）已知梯形ABCD中，，，，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且，沿直线CG将△CDG翻折成△．（Ⅰ）求证：EF//平面；（Ⅱ）求证：平面⊥平面．

ABCEDFGFGEABC证明：（Ⅰ）∵E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，C的中点， ∴EF为△的中位线． ∴EF//． ………………2分又∵平面，平面， ………………4分∴EF // 平面． ………………6分 （Ⅱ）∵G是AD的中点，，即， ∴． 又∵，，∴在中， ∴． ………………9分∴，．∵∩=，∴平面． ………………12分又∵平面，∴平面⊥平面． ………………13分

17.（本小题共13分）某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）求分数在内的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计该校高一年级学生期中考试数学成绩的平均分；（Ⅲ）用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率．解：（Ⅰ）分数在内的频率为：． ………………3分（Ⅱ）平均分为：． ………………6分（Ⅲ）由题意，分数段的人数为：人； ………………7分分数段的人数为：人； ………………8分∵用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E；分数段抽取1人，记为M． ………………9分因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分，则另一人的分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人．设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件， ………………10分则基本事件空间包含的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)共15种．事件包含的基本事件有(A，M)，(B，M)，(C，M)，(D，M)，(E，M)5种．………………12分∴恰有1人的分数不低于90分的概率为． ………………13分

18.（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时函数取得极小值，求a的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．解：（Ⅰ）函数的定义域为∪， ………………1分． ………………3分∵时函数取得极小值，∴． ………………4分∴． ………………5分当时，在内，在内， ………………6分∴是函数的极小值点．∴有意义． ………………7分（Ⅱ）的定义域为∪，． 令，得． ………………9分（ⅰ）当时，

0极小值

11分（ⅱ）当时，

0极小值综上所述： ………………13分当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．

14分19.（本小题共14分） 已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值．（实际上，P是不同于A，B的任一点，结论都成立．）解：（Ⅰ）依题意椭圆的焦点在x轴上，且，， ………………1分∴， ． ………………2分∴椭圆C的标准方程为． ………………4分（Ⅱ）（ⅰ） ………………5分∴ 或 ， ………………7分即，， ．所以． ………………9分（ⅱ）证明：设，．椭圆的右顶点为 ， 消y整理得 ，不妨设x1>0>x2，∴ ，；，．……………12分 ………………13分

∴ 为定值． ………………14分20.（本小题共13分）已知数列的前项和为，且．数列为等比数列，且首项，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和为；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问数列中是否存在三项，使得这三项成等差数列．若存在，求出此三项，若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∵ 数列的前项和为，且，∴ 当时，．当时，亦满足上式，故，． ………………3分 又 数列为等比数列，设公比为，∵ ，， ∴．