江西省师大附中2014-2015学年度高二上学期期末考试数学理试题

江西省师大附中2014-2015学年度高二上学期期末考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1.设复数711z i i=+-，则=||z ( ) A.21B.22 C.23 D.22.函数33y x x =-的单调递减区间是( ) A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.(1,1)-D.(,1)(1,)-∞-+∞3.如图，函数221y x x =-++与1y =相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( ) A.1B.43C. 3D.24.下列说法中正确的是( )A.命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥” B.命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件 C.设,x y R ∈，“若4x y +≠，则1x ≠或3y ≠”是假命题 D.设,,a b m R ∈，“若22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真 5.函数()ln f x a x x =+在1x =处取到极值，则a 的值为( ) A.1-B.12-C.0D.126.若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )A.),31(+∞B.]31,(-∞C.),31[+∞D.)31,(-∞7. 设,,,a b c n 均是实数，下面使用类比推理，得出正确结论的是( ) A.“若33a b ⋅=⋅，则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C. “()n n n ab a b =” 类推出“()n n n a b a b +=+” D.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+（c ≠0）”8. 当0a >时，函数2()(2)x f x x ax e =-的图象大致是( )9.在用数学归纳法证明*111()1(,3)12f n n N n n n n=++⋅⋅⋅+<∈≥+的过程中：假设当 n k =(*,3k N k ∈≥)时，不等式()1f k <成立，则需证当1n k =+时，(1)1f k +<也成立. 若(1)()()f k f k g k +=+，则g (k )＝( ) A.112122k k +++ B.1112122k k k+-++ C.1122k k-+ D.11222k k-+ 10.设抛物线212x y =的焦点为F ，经过点(2,1)P 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且 点P 恰为AB 的中点，则||||AF BF +=( ) A.10B.8C.6D.411.对任意x R ∈，函数()f x 的导数存在，若'()()f x f x >，则以下正确的是( ) A. (2015)(0)f f >B.(2015)(0)f f <C. 2015(2015)(0)f e f >⋅D.2015(2015)(0)f e f <⋅12.已知函数21(),()ln 2xf x eg x x ==+,对,(0,)a R b ∀∈∃∈+∞,使得()()f a g b =,则 b a -的最小值是( )A.11ln 22+B. 11ln 22-C.1D. 212e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.计算定积分11)dx ⎰=______________.14.曲线21x y e -=+在点(0，2)处的切线方程为________.15.已知1F 和2F 是两个定点，椭圆1C 与等轴．．双曲线2C (实轴长等于虚轴长)都以1F 、2F 为 焦点，点P 是1C 与2C 的一个交点，且1290F PF ∠=，则椭圆1C 的离心率是__________.16.已知函数321()232x f x ax bx c =+++(,,)a b c R ∈，函数()f x 的两个极值点分别在区间(0,1)与(1,2)内，则1b a -+的取值范围是_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)． 17. (本题满分10分)设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，q ：实数x 满足302x x -≤-. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.（2）由直线l 上的点向圆C 引切线, 求切线长的最小值.19. (本题满分12分) 已知函数()ln f x x =. （1）若2()()f x F x x=，求()F x 的单调区间； （2）若2()[()]G x f x kx =-在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.20. (本题满分12分)如图，已知圆E :22(16x y +=，点F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交于A 、B 两点, 直线OB l OA ,,的斜率分别为12,,k k k (其中0k >)．若12,,k k k 恰好构成公比不为1的等比数列，求k 的值．21. (本题满分12分)已知函数()sin cos x f x e x x =-，()cos x g x x x =，其中e 是自然对数的底数.（1）判断函数()y f x =在π(0,)2内的零点的个数，并说明理由；（2）1[0,]2x π∀∈，2[0,]2x π∃∈，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，求实数m 的取值范围.22. (本题满分12分)设函数2()()()x f x x a x b e =-+，a 、b R ∈，x =a 是()f x 的一个极大值．．．点． （1）若0a =，求b 的取值范围；（2）当a 是给定的实常数．．．，设123,,x x x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x R ∈，使得1234,,,x x x x 的某种排列1234,,,i i i i x x x x （其中1234{,,,}{1,2,3,4}i i i i =）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，请说明理由.江西师大附中高二年级数学（理）期末试卷参考答案命题人：张延良 廖涂凡 2015.2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1.设复数711z i i=+-，则=||z ( B )A.21C.23 D.22.函数33y x x =-的单调递减区间是( C ) A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.(1,1)-D.(,1)(1,)-∞-+∞3.如图，函数221y x x =-++与1y =相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( BA.1C. 3D.24.下列说法中正确的是)A.命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥” B.命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件 C.设,x y R ∈，“若4x y +≠，则1x ≠或3y ≠”是假命题 D.设,,a b m R ∈，“若22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真 5.函数()ln f x a x x =+在1x =处取到极值，则a 的值为( A ) A.1-B.12-C.0D.126.若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( C )A.),31(+∞B.]31,(-∞D.)31,(-∞7. 设,,,a b c n 均是实数，下面使用类比推理，得出正确结论的是( D ) A.“若33a b ⋅=⋅，则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅” C. “()n n n ab a b =” 类推出“()n n n a b a b +=+”8. 当0a >时，函数2()(2)x f x x ax e =-的图象大致是( B )9.在用数学归纳法证明*111()1(,3)12f n n N n n n n=++⋅⋅⋅+<∈≥+的过程中：假设当 n k =(*,3k N k ∈≥)时，不等式()1f k <成立，则需证当1n k =+时，(1)1f k +<也成立. 若(1)()()f k f k g k +=+，则g (k )＝( B )A.112122k k +++ C.1122k k-+ D.11222k k-+ 10.设抛物线212x y =的焦点为F ，经过点(2,1)P 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且 点P 恰为AB 的中点，则||||AF BF +=( B ) A.10B.8C.6D.411.对任意x R ∈，函数()f x 的导数存在，若'()()f x f x >，则以下正确的是( C ) A. (2015)(0)f f >B.(2015)(0)f f <C. 2015(2015)(0)f e f >⋅D.2015(2015)(0)f e f <⋅解：令()1f x =-或()()x f x F x e=12.已知函数21(),()ln 2xf x eg x x ==+,对,(0,)a R b ∀∈∃∈+∞,使得()()f a g b =,则 b a -的最小值是( A )B. 11ln 22-C.1D. 212e -[解析]令2()af a e y ==得2ln a y =，令1()l n 2g b b y =+=，得12y b e-=，121[2ln ]2y b a e y -∴-=-，则121()'(2)y b a ey --=，易知()'b a -递增，观察得知当12y =时，()'0b a -=，故()b a -有唯一零点，b a∴-在1(0,)2↓，1(,)2+∞↑.min 1111()()[2ln ]1ln22222b a ϕ∴-==-=+.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.计算定积分101)dx ⎰14.曲线21x y e -=+在点(0，2)15.已知1F 和2F 是两个定点，椭圆1C 与等轴．．双曲线2C (实轴长等于虚轴长)都以1F 、2F 为焦点，点P 是1C 与2C 的一个交点，且1290F PF ∠=，则椭圆1C16.已知函数321()232x f x ax bx c =+++(,,)a b c R ∈，函数()f x 的两个极值点分别在区间(0,1)与(1,2)内，则1b a-+三、解答题：本大题共6小题，共70分(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)． 17. (本题满分10分)设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，q ：实数x 满足302x x -≤-. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.（2）由直线l 上的点向圆C 引切线, 求切线长的最小值. 解析： (1) 直线l 的普通方程为y x =+又2cos()4πρθ=+，2cos sin ρθθ=∴圆C 的普通方程为22x y +=，即220x y += 圆心C 的直角坐标为 ()22- ； (2) 圆C 的半径1r =，圆心到直线的距离|5d ++====19. (本题满分12分) 已知函数()ln f x x =. （1）若2()()f x F x x=，求()F x 的单调区间； （2）若2()[()]G x f x kx =-在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围. 解析：⑴22(1ln )'()x F x x -=，由'()0F x =得x e =.………………………2分 ∵当),0(e x ∈时'()0F x >，()F x 为增函数，当),(+∞∈e x 时'()0F x <，()F x 为减函数，………6分⑵kx x x G -=2)(ln )( 的定义域为(0，+∞)，k xxx G -='∴ln 2)( 依题意0ln 2)(<-='k xxx G 在(0，+∞)内恒成立………………………8分 只需2ln xk x>恒成立 由(1)知2ln ()x F x x = ，max ()()F x F e =2e=，………………………10分 e k 2>∴，又当e k 2=时，只有一点x = e 使得'()0G x =不影响其单调性.2e k ≥∴ ………………………………………12分20. (本题满分12分)如图，已知圆E :22(16x y +=，点F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Γ相交于A 、B 两点, 直线OB l OA ,,的斜率分别为12,,k k k (其中0k >)．若12,,k k k 恰好构成公比不为1的等比数列，求k 的值． 解析：（1）连结QF ，根据题意，|QP |=|QF |，则|QE |＋|QF |=|QE |＋|QP |=4||EF >=故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．………………2分设其方程为22221(0)x x a b a b+=>>，可知2a =，c 1b =，……4分所以点Q 的轨迹Γ的方程为2214x y +=. ………………………6分(2)设直线l 的方程为m kx y +=，),(11y x A ，),(22y x B 因为12,,k k k 恰好构成公比不为1的等比数列，所以0m ≠由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 可得0)1(48)41(222=-+++m kmx x k ， 由韦达定理有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)1(4418k m x x k km x x 且0)41(1622>-+=∆m k ………………8分 ∵21,,k k k 构成等比数列，∴212k k k ==2121))((x x m kx m kx ++，即0)(221=++m x x km ………………………………………………10分 由韦达定理代入化简得：412=k ．∵ 0>k ，∴21=k . ………12分 21. (本题满分12分)已知函数()sin cos x f x e x x =-，()cos x g x x x =，其中e 是自然对数的底数.（1）判断函数()y f x =在π(0,)2内的零点的个数，并说明理由；（2）1[0,]2x π∀∈，2[0,]2x π∃∈，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，求实数m 的取值范围.解析：（1）函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1．………1分理由如下：因为()e sin cos x f x x x =-，所以()e sin e cos sin x x f x x x x '=++．………2分因为π02x <<，所以()0f x '>， 所以函数()f x 在π(0,)2上是单调递增函数．………3分因为(0)10f =-<，π2π()e 02f =>，由零点存在性定理得所求零点的个数为1．……4分（2）因为不等式12()()f x g x m +≥等价于12()()f x m g x ≥-， 题意等价于()1min 2min ()()f x m g x ≥-，即1min 2max ()()f x m g x ≥-．………6分当π[0,]2x ∈时，由（1）知min ()(0)1f x f ==-．………8分又()cos sin x g x x x x '=-，由于0cos 1,sin x x x x ≤≤≥ 所以()g x '0<，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，()g x取得最大值 10分所以(1m -≥-，所以1m ≤．故实数m的取值范围是(,1-∞-．………12分 22. (本题满分12分)设函数2()()()xf x x a x b e =-+，a 、b R ∈，x =a 是()f x 的一个极大值．．．点．（1）若0a =，求b 的取值范围；（2）当a 是给定的实常数．．．，设123,,x x x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x R ∈，使得1234,,,x x x x 的某种排列1234,,,i i i i x x x x （其中1234{,,,}{1,2,3,4}i i i i =）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，请说明理由. 解析：（1）0a =时，()()2x f x xx b e =+，()()()()()22232x x x f x x x b e x x b e e x x b x b '''⎡⎤⎡⎤∴=+++=+++⎣⎦⎣⎦，……1分 令()()232g x x b x b =+++，()()2238180b b b ∆=+-=-+>，可设12x x <是()0g x =的两个根，……………………………………2分 ①当10x =或20x =时，则0x =不是极值点，不合题意； ②当10x ≠且20x ≠时，由于0x =是()f x 的极大值点，故120x x .<<()00g ∴<，即20b <，0b .∴<故b 的取值范围是(,0)-∞. ……4分 (2)()()xf x ex a '=-2(3)2x a b x b ab a ⎡⎤+-++--⎣⎦，令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--，则2(1)80a b ∆=+-+>，于是，假设12x x ，是()0g x =的两个实根，且12x x .< 由（1）可知，必有12x a x <<，且12x a x 、、是()f x 的三个极值点，则1x =，2x =. ……6分 假设存在b 及4x 满足题意，不妨只考虑公差大于零的情形，即：①当排列为412,,,x x a x 或124,,,x a x x ，则1223a x x a b =+=--，即3b a =--时，于是422x x a =-或412x x a =-即4223x x a a b =-=--+a a =+或4123x x a a b =-=--a a =-……………………8分 ②当排列为142,,,x a x x 或142,,,x x a x ，则212()x a a x -=-或12()2()a x x a -=- (i)若()122x a a x -=-，于是()()2813323221+-+---=+=b a b a x x a ，即()().33812++-=+-+b a b a 两边平方得()()2191170a b a b +-++-+=，30a b ++<，于是1a b +-=，从而b a =--此时242(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=+………10分(ii)若12()2()a x x a -=-，于是2132a x x =+=，()33a b .=++两边平方得()()2191170a b a b +-++-+=，30a b ++>，于是1a b +-=b a =--第11页 共11页此时142(3)3(3)324a x a a b a b x b a ++---++===--=综上所述，存在b 满足题意，当b=－a －3时，4x a =±b a =-时，4x a =+；b a =-4x a =. ………12分。