广东省华南师大附中2010届高三上学期综合测试数学理科试题
20-20学年广东省华南师大附中高三上学期期末数学复习卷 (有解析)
20-20学年广东省华南师大附中高三上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−2x≤0}，则A∩B=()A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2.设复数z满足条件|z−(2−2i)|=1,那么z对应的点的轨迹是()A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线3.若a=log21.5,b=log20.1 , c=20.2，则()A. c<b<aB. b<c<aC. a<b<cD. b<a<c4.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲，乙，丙，丁，戊，己，庚，辛，壬，癸被称为“十天干”，子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子，乙丑，丙寅，…癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…癸未，甲申，乙酉，丙戌，…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽．2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的()A. 甲辰年B. 乙巳年C. 丙午年D. 丁未年5.函数f(x)=|x|cosx的部分图象为()A. B.C. D.6. 在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是( )A. 16B. 12C. 23D. 567. 已知|a ⃗ |=√2，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=1，则向量a ⃗ 与向量b ⃗ 的夹角为( )A. 2π3B. π3C. π4D. π68. 执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为0.99，则判断框内可填入的条件是( )A. i <100B. i ≤100C. i <99D. i ≤989. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 8=15−a 5，则S 9等于( )A. 18B. 36C. 45D. 6010. 对于函数f(x)={sinx,sinx ≥cosxcosx,sinx <cosx，则下列正确的是( )A. 该函数的值域是[−1,1]B. 当且仅当x =2kπ+π2(k ∈Z)时，该函数取得最大值1 C. 当且仅当2kπ+π<x <2kπ+3π2(k ∈Z)时f(x)<0D. 该函数是以π为最小正周期的周期函数11. 在三棱锥 P −ABC 中，PA =PB =AC =BC =2，AB =2√3，PC =1，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为( )A. 4π3B. 4πC. 12πD.52π312. 已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|=2|F 2B|，|AB|=|BF 1|，则C 的方程为( )A. x 22+y 2=1B. x 23+y 22=1C. x 24+y 23=1D. x 25+y 24=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________14.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的方差为______．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为点F1(−c,0)，F2(c,0)(c>0)，抛物线y2=4cx与双曲线在第一象限内相交于点P，若|PF2|=|F1F2|，则双曲线的离心率为______．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=4，a=4√2sinA，且角C为锐角，则△ABC面积的最大值为_________三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．(1)求{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)已知{b n}是等差数列，且b1=a1，b3=a3，T n为{a n b n}的前n项和，求T n．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．(1)求证：B1C//平面A1BD；(2)若∠A1AB=∠ACB=60°，AB=BB1，AC=2，BC=1，求三棱锥C1−ABD的体积．19.如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为1：1：2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．(Ⅰ)求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；(Ⅱ)设x表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求x的分布列及数学期望；(Ⅲ)若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．21. 已知函数f(x)=x 2−2ax +2(a +1)lnx ．(1)若函数f(x)有两个极值点，求a 的取值范围；(2)证明：若−1<a <3，则对于任意的x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：{x =−12ty =3+√32t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴娃立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p =4sin(θ+π3). (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ))设点M 的直角坐标为(0,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|+|MB|的值．23. 已知函数f (x )=|x −1|+|2x +4|．(1)求不等式f (x )≥5的解集；(2)若m >1，n >1，求证：f (mn )−|2mn +4|>|n −m |．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：A解析：本题考查复数的模、点的轨迹，属于基础题．设复数z=x+yi，x，y∈R，由模长公式化简可得．解：设复数z=x+yi，x，y∈R，∵|z−(2−2i)|=1，∴|z−(2−2i)|=|x+yi−2+2i|=|(x−2)+(y+2)i|=1，∴(x−2)2+(y+2)2=1，∴z对应的点的轨迹是圆，故选A ．3.答案：D解析：解：log20.1<log21.5<log22=1，20.2>20=1；∴b<a<c．故选：D．容易得出log20.1<log21.5<1,20.2>1，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数的定义．4.答案：C解析：由简单的合情推理结合阅读，理解“干支纪年法”，通过运算可得解．本题考查了简单的合情推理及阅读能力，属基础题．解：因为公元元年是辛酉年，再过3年就是甲子年，而2026−3=2023，2023除以10余数是3，2023除以12余数是7，所以是丙午年，故选：C．5.答案：C解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，属于基础题．判断函数的奇偶性和对称性，结合特殊点的函数值是否对应进行排除即可．解：∵f(−x)=|−x|cos(−x)=|x|cosx=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，B，∵f(π3)=π3cosπ3=π6>12，故排除D，故选：C．6.答案：D解析：解：设A={两门至少有一门被选中}，则A−={两门都没被选中}，A−包含1个基本事件，则p(A−)=1 C42=16，∴P(A)=1−16=56．故选：D．本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没被选中．两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率公式，即可得到两门都没被选中的概率，则两门至少有一门被选中的概率可得．本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．7.答案：C解析：本题主要考查向量的应用，熟悉向量求夹角的方法是解答本题的关键，属于基础题．由已知条件求出a⃗⋅b⃗ =1，再由平面向量的夹角公式求出即可．解：∵a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−a⃗⋅b⃗ =2−a⃗⋅b⃗ =1，∴a⃗⋅b⃗ =1，记向量a⃗与向量b⃗ 的夹角为θ，∴cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=√22，θ=π4．故选C．8.答案：A解析：解：由程序框图知：算法的功能是求S=11×2+12×3+⋯+1i(i+1)=1−1i+1的值，∵输出的结果为0.99，即S=1−1i+1=0.99，∴跳出循环的i=100，∴判断框内应填i≤99或i<100．故选：A．由程序框图知：算法的功能是求S=11×2+12×3+⋯+1i(i+1)=1−1i+1的值，确定跳出循环的i值，从而得判断框应填的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．9.答案：C解析：本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，是基础题．由等差数列的通项公式知a2+a8=15−a5⇒a5=5，再由等差数列的前n项和公式知S9=92×2a5．解：∵a2+a8=15−a5，∵a2+a8=2a5，∴a5=5，∴S9=9×(a1+a9)2=9×2×a52=45．故选C．10.答案：C解析：解：∵当sinx=−1时，cosx=0；当cosx=−1时，sinx=0，∴A×；∵当x=0时，f(0)=cos0=1，∴B×；∵f(x)={sinx, 2kπ+π4≤x ≤2kπ+5π4cosx 2kπ≤x ≤2kπ+π4,2kπ5π4≤x ≤2kπ+2πk ∈z ，∴C√； ∵函数的最小正周期是2π.∴D ×； 故选C根据题意分段函数f(x)是取正弦、余弦函数的大值，可利用图形求解．在同一坐标系中画出正弦函数与余弦函数的图象，标出交点的坐标，可求得分段函数的值域、 最值及最小正周期．本题考查了三角分段函数的性质，利用正弦、余弦函数的图象解决直观、形象．11.答案：D解析：本题考查了三棱锥的外接球表面积，考查了空间想象能力，属于中档题．取AB 中点F ，PC 中点E.设△ABC 的外心为O 1，外接圆半径为r ，三棱锥P −ABC 的外接球的球心为O ，即可求出结果．解：取AB 中点F ，PC 中点E ．∵PA =PB =AC =BC =2，∴PF =CF =1，PF ⊥AB ，CF ⊥AB ， ∴面PEF ⊥面ABC ，设△ABC 的外心为O 1，外接圆半径为r ，三棱锥P −ABC 的外接球的球心为O ， 则OO 1⊥面ABC ，OE ⊥PC ．由r 2=(√3)2+(r −1)2，可得r =2，在四边形OO 1CE 中，设∠OCE =α，外接球的半径为R ，则12cosα=2cos(π3−α)，可得7cosα=√3sinα⇒cosα=√352， ∴R =12×√52√3=√133，∴则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为4πR 2=52π3．故选：D ． 12.答案：B解析：本题考查了椭圆的概念及标准方程还有椭圆的性质，属中档题．根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a =√3，b =√2，可得椭圆的方程．解：∵|AF 2|=2|BF 2|，∴|AB|=3|BF 2|，又|AB|=|BF 1|，∴|BF 1|=3|BF 2|，又|BF 1|+|BF 2|=2a ，∴|BF 2|=a 2，∴|AF 2|=a ，|BF 1|=32a ，在Rt △AF 2O 中，cos∠AF 2O =1a ，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos∠BF 2F 1=4+(a 2)2−(32a)22×2×a 2， 根据cos∠AF 2O +cos∠BF 2F 1=0，可得1a+4−2a 22a =0，解得a 2=3，∴a =√3． b 2=a 2−c 2=3−1=2． 所以椭圆C 的方程为：x 23+y 22=1．故选B ． 13.答案：y =4x −3解析：本题考查导数的几何意义，根据导数与切线方程的关系即可求解．解析：解：函数的导数为f′(x)=3lnx+1+x×3x=3lnx+4，所以在(1,1)的切线斜率为k=4，所以切线方程为y−1=4(x−1)，即y=4x−3．故答案为y=4x−3．14.答案：32解析：本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．利用方差的性质直接求解．解：∵样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，∴数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的方差为：22×8=32．故答案为：32．15.答案：1+√2解析：本题考查双曲线与抛物线的定义，考查双曲线的几何性质，解题的关键是确定关于几何量的等式．画出图形，利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点坐标相同，结合抛物线定义，求出P的坐标，然后求解双曲线的离心率即可．解：抛物线y2=4cx与双曲线的右焦点F2(c,0)相同，|PF2|=|F1F2|，由抛物线定义可知，P(c,2c)，P在双曲线上，∴c2a2−4c2b2=1，∴e2−4e2e2−1=1，∴e4−6e2+1=0，∵e>1，∴e=1+√2．故答案为1+√2．16.答案：4+4√2解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．解：因为c=4，又csinC =asinA=4√2，所以sinC=√22，又C为锐角，所以C=π4．因为c2=a2+b2−2abcosC=a2+b2−√2ab≥(2−√2)ab，所以ab≤2−√2=8(2+√2)，当且仅当a=b=√8(2+√2)时等号成立，即S△ABC=12absinC=√24ab≤4+4√2，即当a=b=√8(2+√2)时，△ABC面积的最大值为4+4√2．故答案为4+4√2．17.答案：解：(1)∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．∴{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n=3n−1．S n=1−3n1−3=3n−12．(2)∵{b n}是等差数列，且b1=a1，b3=a3，∴b1=a1=1，b3=a3=32=9，∴d=b3−b13−1=9−13−1=4，∴b n=1+(n−1)×4=4n−3，∵由(1)可得a n b n=(4n−3)3n−1，∴S n=30+5×31+9×32+⋯+(4n−7)×3n−2+(4n−3)×3n−1，3S n=31+5×32+9×33+⋯+(4n−7)×3n−1+(4n−3)×3n，两式相减得：−2S n=1+4×3+4×32+4×33+⋯+4×3n−1−(4n−3)×3n=1+4(3+32+33+⋯+3n−1)−(4n−3)×3n=1+4×3×(1−3n−1)1−3−(4n−3)×3n=(5−4n)×3n−5，∴S n=(4n−5)3n+52．解析：(1)由已知得{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，由此能求出{a n}的通项公式及前n项和S n．(2)由已知得b1=a1=1，b3=a3=32=9，从而d=b3−b13−1=9−13−1=4，进而b n=1+(n−1)×4=4n−3，由此得到a n b n=(4n−3)3n−1，再利用错位相减法能求出{a n b n}的前n项和．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．18.答案：证明：(1)连结AB1，交A1B于点O，连结OD，由题知O为AB1中点，又D为AC中点，∴B1C//OD，又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C//平面A1BD．解：(2)∵∠A1AB=∠ACB=60°，AB=BB1，AC=2，BC=1，∴AB=√AC2+BC2−2×AC×BC×cos60°=√3，∴AC2=AB2+BC2，∴BC⊥AB，∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，∴BC⊥平面AA1B1B，∵∠A1AB=60°，AB=BB1=AA1，∴AA1=√3，∴S△A1AB =12×AB×AA1×sin∠A1AB=3√34，∴三棱锥C 1−ABD 的体积：V C 1−ABD =V A 1−ABD =V D−A 1AB =12V C−A 1AB =12×13×S △A 1AB ×BC =√38．解析：(1)连结AB 1，交A 1B 于点O ，连结OD ，推导出B 1C//OD ，由此能证明B 1C//平面A 1BD ．(2)三棱锥C 1−ABD 的体积V C 1−ABD =V A 1−ABD =V D−A 1AB =12V C−A 1AB ，由此能求出三棱锥C 1−ABD 的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为P(A)，依题意，P(A)=14．(Ⅱ)依题意知，X ～B(3,14)，P(X =k)=C n k (14)k (1−14)n−k (k =0,1，2，3) 从而X 的分布列为：EX =np =34(Ⅲ)设B i 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”，C i 表示事件“第i 次击中目标时，击中C 区域”，i =1，2，3．依题意知P =P(B 1C 2C 3)+P(C 1B 2C 3)+P(C 1C 2B 3)=3×14×12×12=316．解析：(1)题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足条件A 的区域面积和总面积之间的关系，再根据几何概型计算公式给出答案；(2)根据(1)中投中A 区域的概率，不难列出x 的分布列并进行数学期望；(3)考查的是古典概型，我们可以列举出三次投掷总的基本事件个数及恰得4分的事件个数，代入古典概型计算公式求解．求古典概型的概率的基本步骤为：(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A 包含的所有基本事件数m.(3)代入公式，求出P(A).几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积，在解题时要准确把握，要把问题向它们作合理地转化，要注意古典概型与几何概型的区别(基本事件的有限性和无限性)，正确选用几何概型解题．20.答案：解：(Ⅰ)由题意得a =2，e =c a =√32，所以c =√3． 因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)若四边形PAMN 是平行四边形，则 PA//MN ，且|PA|=|MN|．所以 直线PA 的方程为y =k(x −2)，所以 P(3,k)，|PA| =√k 2+1．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).由{y =kx +√3x 2+4y 2=4得 (4k 2+1)x 2+8√3kx +8=0，由Δ>0，得 k 2>12，且x 1+x 2=−8√3k 4k 2+1，x 1x 2=84k 2+1． 所以|MN|=√(k 2+1)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2． 因为|PA|=|MN|，所以 √(k 2+1)64k 2−32(4k 2+1)2=√k 2+1．整理得 16k 4−56k 2+33=0，解得 k =±√32，或 k =±√112． 经检验均符合Δ>0，但k =− √32时不满足PAMN 是平行四边形，舍去． 所以 k =√32，或 k =±√112．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用已知条件求出a ，b ，即可得到椭圆的方程；(Ⅱ)直线PA 的方程为y =k(x −2)，得到 P(3,k)，求出|PA| =√k 2+1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)由题意知，f ′(x)=2·x 2−ax+a+1x (x >0)， 因为函数f(x)有两个极值点，所以x 2−ax+a+1x =0有两个不等的正根，即x 2−ax +a +1=0有两个不等的正根，所以{a 2−4(a +1)>0a >0a +1>0，解得a >2+2√2，所以a 的取值范围是(2+2√2,+∞)；(2)证明：构造函数g(x)=f(x)−2x =x 2−2ax +2(a +1)lnx −2x ，则g ′(x)=2x −2(a +1)+2⋅a+1x≥4√x ⋅a +1x−2(a +1) =4√a +1−2(a +1)=2√a +1(2−√a +1)，当且仅当x =√a +1时等号成立，由于−1<a <3，0<√a +1<2，故g ′(x)>0，即g(x)在(0,+∞)上单调递增，从而当0<x 2<x 1时，有g(x 1)−g(x 2)>0，即f(x 1)−f(x 2)−2x 1+2x 2>0，故f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2， 当0<x 1<x 2时，同理可证f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2．综上，对于任意的x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>2．解析：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．(1)求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可；(2)构造函数g(x)=f(x)−2x ，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．22.答案：1解：(Ⅰ)已知直线l ：{x =−12t y =3+√32t(t 为参数)． 转换为直角坐标方程为：√3x −y −3=0．(Ⅱ)曲线C 的极坐标方程为p =4sin(θ+π3).整理得：ρ2=4ρsinθ⋅12+4ρcosθ⋅√32， 转换为直角坐标方程为：x 2+y 2−2y −2√3x =0，把直线的参数方程{x =−12t y =3+√32t(t 为参数) 代入圆的直角坐标方程x 2+y 2−2y −2√3x =0，得到：t 2+3√3t −6=0(t 1和t 2为A 、B 对应的参数)，所以：t 1+t 2=−3√3，t 1⋅t 2=−6，|MA|+|MB =|t 1+t 2|=3√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的参数方程和直角坐标方程，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)|x −1|+|2x +4|≥5等价于{x <−21−x −2x −4≥5或{−2≤x ≤11−x +2x +4≥5或{x >1x −1+2x +4≥5， 解得x ≤−83或0≤x ≤1或x >1，所以原不等式的解集为(−∞,−83]∪[0,+∞)．(2)要证：f(mn)−|2mn +4|>|n −m|，只要证|mn −1|>|n −m|，只需证(mn −1)2>(n −m)2，而(mn −1)2−(n −m)2=m 2n 2−m 2−n 2+1=(m 2−1)(n 2−1)>0，从而原不等式成立．解析：考查绝对值不等式的解法，分类讨论思想，中档题．(1)分类讨论求出即可；(2)运用分析法证明结果．。
2021届广州市华南师大附中高三上学期综合测试(二)数学试题及答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知集合},04|{)},1ln(|{2≤-=-==x x B x y x A 则B A =( )A ．}2|{-≥x xB ．}21|{<<x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{≥x x2．己知i 是虚数单位，复数|i |i1-=z ，下列说法正确的是( ) A ．z 的虚部为-i B ．z 对应的点在第一象限 C ．z 的实部为-1D ．z 的共轭复数为l+i3．“0sin =α”是“1cos =α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．己知向量21,e e 是两个不共线的向量，若21212e e b e e a λ+=-=与共线，则=λ( )A ．2B ．2-C ．21-D ．21 5．己知函数)sin()(2π-⋅=x x x f ，则其在区间],[ππ-上的大致图象是( )6．若数列}{n a 满足nn a a 111-=+，且21=a ，则a 2021=( ) A ．-1 B ．2C ．2D ．21 7．f (x )是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足0)()('<+x f x xf ，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( ) A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．bf (b )<af (a )D ．af (a )<bf (b )8．己知α是第四象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+为( )A ．αtan 2-B ．αtan 2C ．αtanD ．αtan -二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -3) = -f (x )，当]3,0[∈x 时，x x x f 3)(2-=，下列等式成立的是( )A ．f (2019)+ f (2020)= f (2021)B ．f (2019)+ f (2021)= f (2020)C ．2f (2019)+ f (2020)= f (2021)D ．f (2019)= f (2020)+ f (2021)10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，若b =10，A =45°，则使此三角形有两解的a 的值可以是( ) A ．5B ．26C ．8D ．21011．己知数列}{n a 的首项为4，且满足*)(0)1(21N n na a n n n ∈=-++，则( )A ．}{nan为等比数列B ．}{n a 为递增数列C ．}{n a 的前n 项和42)1(1+⋅-=+n n n SD ．}2{1+n na 的前n 项和22n n T n +=12．设函数)0(1||ln 2)(2>+-=a ax eax x f ，若f (x )有4个零点，则a 的可能取值有（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知向量a =(1，m )，b =（3，-2），且⊥+)(，则m = ．14．若}{},{n n b a 满足n n a b a n n n +==2,1，则}{n b 的前2020项和为 ．15．甲船在A 处观察到乙船在它北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ= （填角度）． 16．函数x x x x x x f ln 2131)(223--+=在],21[e 上的最小值是 ，最大值是（第一空3分，第二空2分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①26,7753=+=a a a ；②63,371==S a ；③n n S n 22+=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知S n 为等差数列}{n a 的前n 项和，若 ． (1)求a n ； (2)令*)(112N n a b n n ∈-=，求数列}{n b 的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，己知bc C a A 1cos cos =+，且b =2，a >b >c ． (1)求ac 的值； (2)若△ABC 的面积27=S ，求a 和c 的值． 19．（12分）如图，在四棱锥S - ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，SA =AB =3，BC =2，AD =1． (1)若M 为棱SB 的中点，求证：AM //平面SCD ; (2)当SM =MB ，DN =3NC 时，求平面AMN 与 平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）己知定点A (-2，0)，F (l ，0)，定直线l ：x =4，动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的21．设点P 的轨迹为C ，过点F 的直线交C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交于M 、N 两点． (1)求C 的方程；(2)若x 轴上点Q 满足0=⋅QN QM ，求点Q 的坐标．21．（12分）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．(I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率，为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望； 点球数 20 30 30 25 20 25 进球数101720161314(II)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为P n ，即P 1 =1．(i )求P 2，P 3（直接写出结果即可）；(ii )证明：数列}31P {-n 为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．22．(12分) 己知函数)(ln )(1R a ax x ex f x ∈-+=-,)('x f 是)(x f 的导函数，且)('x f 有两个零点)(,2121x x x x <．( I)讨论)('x f 的单调性； (II)若4121>x x ，求证：.6)()(1212a x x x f x f -<-- 数学参考答案一、选择题： 1．C2．D3．B4．C5．D6．D7．C 8．B二、选择题： 9．ABC10．BC11．ABD12．BCD三、填空题： 13．814．2021202015．30°16．61-，e e e --232131四、解答题：17．（10分）解：(1)若选择条件(1)，在等差数列}{n a 中⎩⎨⎧=+=267753a a a ，⎩⎨⎧=+=+∴261027211d a d a ，解得⎩⎨⎧==231d a 122)1(3)1(1+=-+=-+=∴n n d n a a n若选择条件(2)，在等差数列}{n a 中⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==6326773171d a S a ，解得⎩⎨⎧==231d a 122)1(3)1(1+=-+=-+=∴n n d n a a n ；若选择条件(3)，在等差数列}{n a 中a l =S l =3，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n 2+2n -[(n -l)2 +2(n -1)]= 2n +l ，a 1也符合， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得)111(41)1(411)12(11122+-=+=-+=-=n n n n n a b n n ，)1(4)111(41)1113121211(4121+=+-=+-++-+-=+++=∴n n n n n b b b T n n 18．（12分）(1)解法一、由己知及正弦定理，得BC C A A sin 1sin cos sin cos =+ 因为cA B cA C A CA AC C A CC AA sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos =+=+=+所以C A B Bc A B sin sin sin ,sin 1sin sin sin 2==由正弦定理得b 2= ac ，即ac =4．解法二、由己知及余弦定理，得babc c b a abc a c b 12222222=-++-+，得ac = b 2 =4， (2)27sin 2sin 21===∆B B ac S ABC ，得47sin =B ．又ac =4且b =2，a >b >c ，∴B 为锐角，⋅-+=-+==-=∴812)(243sin 1cos 22222c a ac b c a B B .2,22,,23==∴>=+∴c a c a c a 又19．（12分）(1)证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ． 在△SBC 中，ME 为中位线，∴ME / /BC 且ME =21BC ， ∵ AD //BC 且AD =21BC ，∴ME //AD 且ME = AD ， ∴四边形AMED 为平行四边形．∴AM / /DE ．∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ， ∴AM / /平面SCD .(2)解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)3,0,0(),0,0,1(),0,3,2(),0,3,0(),0,0,0(S D C B A ,于是),23,23,0(21=+=BS AB AM).0,433,47()0,3,1(43)0,0,1(43=+=+=DC AD AN设平面AMN 的一个法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AN n AM将坐标代入并取y =7，得)7,7,33(--=n ．另外易知平面SAB 的一个法向量为)0,0,1(=m 所以平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为25153=nm n m 20．（12分）(1)F (1，0)，设P (x ，y )为C 上任意一点，依题意有21|4|)1(22=-+-x y x13422=+∴y x (2)易知直线DE 斜率不为0，设DE 方程为x =ty +1由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x ty x ，得096)43(22=-++ty y t设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则436221+-=+t t y y ，439221+-=t y y 由A (-2，0)，知AD 方程为)2(20011++-=-x x y y ，点M 坐标为)26,4(11+x yM同理，点N 坐标为)26,4(22+x y N ， 设点Q (m ，0)， 则)2)(2(36)4()26,4()26,4(212122211+++-=+-⋅+-=⋅x x y y m x y m x y m 9)(336)4()3)(3(36)4(2121221221212++++-=+++-=y y t y y t y y m iy y y y m 因为9)43(9)6(39)9(3622-=++-+--⨯t t t t ，所以m=l 或m=7∴点Q 坐标为(1，0)和(7，0)。
2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试(一)数学试题解析
2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试（一）数学试题一、单选题1．已知集合{12},{1}A x x B x x =-<<=>∣∣，则A B =（ ） A ．[)1,2 B ．()1,2C ．()1,-+∞D ．()1,2-答案：B根据集合的交集运算可得选项.解：解：因为集合{12},{1}A x x B x x =-<<=>∣∣，所以A B =()1,2， 故选：B.2．函数()2ln 1x f x x x =+-的定义域是（ ）A ．0,B ．[)0,+∞C ．[)()0,11,⋃+∞D ．()()0,11,+∞答案：D列出使函数()f x 有意义的不等式组，进而可解得结果.解：要使函数()f x 有意义，则010x x >⎧⎨-≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以函数()f x 的定义域是()()0,11,+∞.故选：D.3．已知0a ≠，则“12a <”是“12a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B根据充分必要条件的定义判断． 解：2a =-满足12a <，但不满足12a >，因此不充分，但12a >时，一定有102a <<，即12a <成立，必要的，因此题中应是必要不充分条件． 故选：B ．4．命题“1x ∀>，sin 21x x x <-”的否定是（ ） A ．1x ∀>，sin 21x x x - B ．1x ∀，sin 21x x x <-C ．01x ∃，0x 100sin 2x x -D ．01x ∃>，000sin 21xx x -答案：D由全称命题的否定是特称命题，即可求解.解：解命题为全称命题，则命题的否定为01x ∃>，000sin 21xx x -.故选：D ．5．函数1()cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C由函数的奇偶性的定义求得函数()f x 为奇函数，排除A 、B ，再结合()0f π>，即可求解.解：由题意，函数1()cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为(,0)(0,)-∞+∞关于原地对称，可得11()cos()cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A 、B ； 又由11()cos 0f ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 不符合题意.故选：C.6．已知函数()231,03,0x x f x x x a x ⎧+≥=⎨-++<⎩的值域为[)1,+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()3,+∞D ．[)3,+∞答案：D求出函数21y x =+在0x ≥时值的集合， 函数33y x x a =-++在0x <时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.解：当0x ≥时，2()1f x x =+在[0,)+∞上单调递增，[0,)x ∀∈+∞，()(0)1f x f ≥=，则()f x 在[0,)+∞上值的集合是[)1,+∞，当0x <时，3()3f x x x a =-++，2()333(1)(1)f x x x x '=-+=-+-，当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，即()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增，0x ∀<，()(1)2f x f a ≥-=-，则()f x 在(,0)-∞上值的集合为[2,)a -+∞，因函数()231,03,0x x f x x x a x ⎧+≥=⎨-++<⎩的值域为[)1,+∞，于是得[2,)[1,)a -+∞+∞⊆，则21a -≥，解得3a ≥，所以实数a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D7．已知0.5log 0.2a =，0.20.5b =，0.50.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>答案：A通过指、对、幂函数的单调性即可得到结论. 解：0.50.5log 0.2log 0.51>=，1a ∴>，又0.50.200.20.20.21c =<<=，00.20.210.50.50.2b =>=>，a b c ∴>>.故选：A ．8．已知函数sin ,022()24xx f x x π⎧⎪=⎨⎪<⎩，若函数()()1g x f x kx =--恰有三个零点，则实数k 的取值范围为( )A ．31,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．41,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．41,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦答案：B作出函数()y f x =的图象，则函数()y g x =有三个不同的零点，等价于直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点，考查直线1y kx =+与圆22(3)1x y -+=相切，且切点位于第三象限时以及直线1y kx =+过点(4,0)时，对应的k 值，数形结合可得出实数k 的取值范围． 解：解：当24x <<时，268y x x =--+-，则0y ，等式两边平方得2268y x x =-+-， 整理得22(3)1x y -+=，所以曲线268(24)y x x x =--+-<表示圆22(3)1x y -+=的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数()y g x =有三个不同的零点，等价于直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点，直线1y kx =+过定点(0,1)P ，当直线1y kx =+过点(4,0)A 时，则410k +=，可得14k =-；当直线1y kx =+与圆22(3)1x y -+=相切，且切点位于第三象限时，0k <， 211k =+，解得34k =-．由图象可知，当3144k -<-时，直线1y kx =+与曲线()y f x =的图象有三个不同交点．因此，实数k 取值范围是31,44⎛⎤-- ⎥⎝⎦．故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了直线与圆的位置关系以及正弦型函数图象的应用，考查数形结合思想的应用，属于难题． 二、多选题9．给定下列命题，其中真命题为（ ） A ．若0xy =，则0x y += B ．若,a b c R >∈，则a c b c +>+ C ．若1x >，则11x>D ．x R ∀∈，不等式2243x x x +>-成立 答案：BD利用特殊值法可判断A 选项；利用不等式的性质可判断B 选项；利用作差法可判断CD 选项. 解：对于A 选项，若0xy =，取0x =，1y =，则0x y +>，A 错； 对于B 选项，若,a b c R >∈，由不等式的性质可得a c b c +>+，B 对； 对于C 选项，若1x >，则1110xx x --=<，即11x<，C 错； 对于B 选项，x R ∀∈，()()22224323120x x x x x x +--=-+=-+>，即2243x x x +>-，D 对. 故选：BD.10．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[],a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为（ ）A ．在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D ．甲企业在[]10,t ，[]12,t t ，[]23,t t 这三段时间中，在[]10,t 内的污水治理能力最强答案：ABC根据题意可知，该题是函数与导数的实际应用问题，把实际问题翻译成数学问题，再逐一对四个结论分析即可得出答案. 解：解：()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的相反数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，A 正确；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强，B 正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，C 正确； 甲企业在[]10,t ，[]12,t t ，[]23,t t 这三段时间中，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 内的污水治理能力最强，D 错误．故选：ABC11．已知函数()3210323x x f x bx =-++，b R ∈，下列说法正确的是（ ）A ．当0b <时，函数()f x 有两个极值点B ．当0b <时，函数()f x 在()0,∞+上有最小值C ．当2b =-时，函数()f x 有三个零点D ．当0b >时，函数()f x 在(),0∞-上单调递增 答案：ABD利用判别式和函数极值点的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断C 选项的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断D 选项的正误.解：因为()3210323x x f x bx =-++，则()2f x x x b '=-+.对于A 选项，当0b <时，140b ∆=->，即方程()0f x '=有两个不等的实根， 此时，函数()f x 有两个极值点，A 对；对于B 选项，当0b <时，设()0f x '=的两个不等的实根分别为1x 、2x ，且12x x <， 由韦达定理可得120x x b =<，必有120x x <<， 当20x x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 当2x x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 故函数()f x 在()0,∞+上有最小值，B 对；对于C 选项，当2b =-时，()32102323x x f x x =--+，()()()2221f x x x x x '=--=-+，当1x <-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增，当12x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 当2x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增. 所以，函数()f x 的极大值为()912f -=，极小值为()20f =，作出函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 只有两个零点，C 错.对于D 选项，当0b >且0x <时，()0f x '>，故函数()f x 在(),0∞-上单调递增，D 对. 故选：ABD.12．已知函数()ln f x x ax =-，若函数()f x 有两个零点12,x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．1221ln ln x x x x = B ．212e x x +<C ．212e x x >D ．12112ln ln x x +> 答案：ACD由已知得出1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，化简变形后可判断A 选项的正误；取22a e =可判断B 选项的正误；利用构造函数法证明CD 选项中的不等式，可判断CD 选项的正误. 解：解：由()0f x =可得ln xa x =，可知直线y a =与函数()ln x g x x=在()0,∞+上的图象有两个交点，()21ln xg x x -'=， 当0x e <<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，则()()max 1g x g e e==，且当1x >时，()0g x >，如下图所示：当10a e <<时，直线y a =与函数()ln x g x x=在()0,∞+上的图象有两个交点. 对于A 选项，由已知可得1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，消去a 可得2112ln ln x x x x =，故A 正确；对于B 选项，设21x x >，取22x e =，则2210,a e e ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以，11x e <<，故212x x e +>，故B 错； 对于C 选项，设()211x tx t =>，因为11ln x ax =，则()2111ln ln ln ln x tx t x atx ==+=，所以，1ln ln 1t x t =-，21ln ln ln ln 1t tx t x t =+=-，则()()21212121ln 21ln ln ln 2ln 11t t t x x e x x x x t t t +->⇔=+=>⇔>-+，构造函数()()21ln 1t h t t t -=-+，其中1t >，则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，所以，函数()h t 在()1,+∞上单调递增，故()()10h t h >=，故C 正确；对于D 选项，()21211111122ln 1ln ln ln ln ln t t t t t t x x t t t t t t---+=+=>⇔<->， 构造函数()12ln t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中1t >，则()()2212110t t t t tϕ-'=--=-<， 所以，函数()t ϕ在()1,+∞上单调递减，则()()10t ϕϕ<=，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 三、填空题13．已知直线l 与函数ln ()xf x x=的图象相切于()1,0P ，则直线l 的方程是___________. 答案：1y x =-求出函数()f x 的导数，借助导数的几何意义即可求出直线l 的方程. 解：函数ln ()x f x x =的定义域为(0,)+∞，求导得：21ln ()x f x x -'=，则()11f '=，直线l 的斜率为1， 所以直线l 的方程是：1y x =-. 故答案为：1y x =-14．若函数22y x x =-的定义域为[1,]m -，值域为[1,3]-，则实数m 的取值范围是______. 答案：[]1,3根据二次函数的图象与性质即可解出．解：因为()222=111y x x x =---≥-，当且仅当1x =时取等号，而函数()22f x x x =-的定义域为[1,]m -，值域为[1,3]-，所以m 1≥，又()13f -=，所以()223f m m m =-≤，解得13m -≤≤，综上可知13m ≤≤．故答案为：[]1,3．15．当0x >时，不等式2e x kx ≥成立，则实数k 的取值范围是___________. 答案：2e (,]4-∞根据给定条件可得2e xk x≤，构造函数2e ()(0)x f x x x =>，利用导数求出()f x 的最小值即可作答.解：当0x >时，22e e x xkx k x ⇔≤≥，令2e ()(0)xf x x x =>，则32())(e x x x x f -'=，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>，因此，()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， 当2x =时，2mine ()(2)4f x f ==，因当0x >时，不等式2e x kx ≥成立，则有2e 4k ≤，所以实数k 的取值范围是2e (,]4-∞.故答案为：2e (,]4-∞16．设函数1()ln 2x e f x t x x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是____.答案：[)1,+∞ 【解析】求导得21()[(21)]xx f x e x t x-'=-+有两个零点等价于函数()(21)x x e x t ϕ=-+有一个不等于1的零点，分离参数得()21x e t h x x ==+，令()(0)21xe h x x x =>+，221()(21)x x h x e x -'=+，利用()h x 的单调性可得：在12x =取得最小值2e，作()h x 的图象，并作y t =的图象，注意到(0)1h =，(1)13e h =<，对t 分类讨论即可得出．解：解：求导得21()[(21)]xx f x e x t x-'=-+有两个零点等价于函数()(21)x x e x t ϕ=-+有一个不等于1的零点，分离参数得()21xe t h x x ==+， 令()(0)21xe h x x x =>+，221()(21)x x h x e x -'=+， ()h x 在1(0,)2递减，在1(,)2+∞递增，显然在12x =取得最小值2e ，作()h x 的图象，并作y t =的图象，注意到(0)1h =，(1)13e h =<， （原定义域0x >，这里为方便讨论，考虑(0))h ， 当1t 时，直线y t =与()21xe h x x =+只有一个交点即()ϕx 只有一个零点（该零点值大于1)； 当2et =时21()[(21)]x x f x e x t x -'=-+在12x =两侧附近同号，12x =不是极值点；当3et =时函数()(21)x x e x t ϕ=-+有两个不同零点（其中一个零点等于1)，但此时21()[(21)]xx f x e x t x -'=-+在1x =两侧附近同号，使得1x =不是极值点不合． 故答案为：[)1,+∞．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 四、解答题17．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足*1222,4,2log ,.n n a b a b n N ===∈ (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设*,n n n c a b n N =⋅∈，求数列{}n c 的前n 项和n S . 答案：(1)an =2n ，bn =2n ，n ∈N . (2)2(1)24n n S n +=-⋅+.（1）设等差数列{an }的公差为d ，等比数列{bn }的公比为q ，根据对数运算求得b 1，a 2，从而由等差数列、等比数列的通项公式可求得答案；（2）由（1）求得12n n c n +=⋅，运用错位相减法可求得答案. (1)解：设等差数列{an }的公差为d ，等比数列{bn }的公比为q ， 由a 1=2，b 2=4，an =2log 2bn ，得b 1=2，a 2=4， 则d =2，q =2，an =2n ，bn =2n ，n ∈N ； (2)解：由（1）得1222,*n n n n n c a b n n n N +=⋅=⋅=⋅∈，则2341122232...(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， 341221222...(2)2(1)22n n n n S n n n ++=⨯+⨯++-⨯+-⨯+⨯， 23412222...222n n n n S n ++∴-=+++++-⋅，2222(21)2(1)2421n n n n n ++-=-⋅=--⋅--2(1)24n n S n +∴=-⋅+.18．在ABC 中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且3,sin a b A B ===(1)求sin sin AB和角A 的值； (2)求ABC 的面积.答案：(1)sin sin A B =，4A π=； (2)32或3. (1)在ABC 中利用正弦定理边化角，结合已知计算即可得解.(2)利用余弦定理结合(1)的结论求出边c ，再用三角形面积公式即可计算作答.(1)在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =得：sin sin A a B b ==3sin B A =，而sin A B =sin A =， 又a b <，即A 为锐角，于是得4A π=，所以sin sin A B =，4A π=. (2)在ABC 中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：222323cos4c c π=+-⨯，整理得：240c -+=，解得c =c =当c =113sin 32222ABCSbc A ==⨯=，当c =11sin 3322ABCSbc A ==⨯⨯=， 所以ABC 的面积为32或3.19．2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y 表示了解，N 表示不了解，统计结果如下表所示： （表一）（表二）（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），并判断是否有99％的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系;（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为1P ，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为2P ．试求出1P 与2P ，并比较1P 与2P 的大小． 附：临界值参考表的参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）答案：（1）表格见解析，有；（2）1256625P =，2216625P =，12P P >. （1）依据题中数据直接填写，然后根据公式计算即可.（2）先计算男性了解“云课堂”倡议的概率，女性了解“云课堂”倡议的概率，然后可得1P ，2P 进行比较即可. 解：（1）()22200804060202009.524 6.6351001001406021K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯． 对照临界值表知，有99％的把握认为对“云课堂”倡议了解情况与性别有关系． （2）用样本估计总体，将频率视为概率，根据22⨯列联表得出， 男性了解“云课堂”倡议的概率为8041005=， 女性了解“云课堂”倡议的概率为：6031005=， 故313144125655625P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，313243221655625P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然12P P >．20．如图所示多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，CF ⊥平面ABCD ，ADE 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，2AB =，CF =3BAD π∠=.(1)求证：//EF 平面ABCD ； (2)求二面角E AF C --的正弦值. 答案：(1)证明见解析； 10. （1）过点E 作⊥EO AD 交AD 于点O ，连接OB 、OC 、BD ，证明出四边形OCFE 为平行四边形，可得出//OC EF ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OE 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. (1)证明：过点E 作⊥EO AD 交AD 于点O ，连接OB 、OC 、BD ，平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，EO ⊂平面ADE ， 所以，EO ⊥平面ABCD ，又ADE 是正三角形，2AD =，则O 为AD 的中点，所以223EO AE AO -=CF ⊥平面ABCD ，3CF =//CF OE ∴且CF OE =， 所以，四边形OCFE 为平行四边形，//OC EF ∴， 又OC ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD .(2)解：因为四边形ABCD 是菱形，2AB =，3BAD π∠=，OB AD ⊥，且EO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OE 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()3,0B ，()3,0C -，()1,0,0D -，(3E ，(3,3F -. 则(3AE =-，()2,3,0EF =-，()3,3,0CA =-，(3CF =， 设平面AEF 的一个法向量为()111,,n x y z =，由00n AE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩得111130230x z x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令13x ()3,2,1n =，设平面ACF 的法向量为()222,,m x y z =，由00m CA m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩得22233030x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令21x =，可得()1,3,0m =， 3336cos cos ,222m n m n m nθ⋅=<>===⨯⋅ 所以，210sin 1cos θθ-. 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点(0,3)M ，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线:1l y kx =-与椭圆C 相交于A B 、两点，求MA MB ⋅的最大值. 答案：(1)221189x y +=. (2)32.（1）由已知得建立关于a ，b ，c 的方程组，求解即可；（2）直线:1l y kx =-与椭圆C 的方程联立整理得()22214160k x kx +--=，设()()1122,,,A x y B x y ，由向量的数量积运算求得0MA MB ⋅=，得三角形MAB 为直角三角形，运用等面积法求得21694k MA MB +=221k t +=，由二次函数的性质可求得其最大值. (1)解：由已知得222291,1,2b a b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得3a b ==，因此椭圆C 的方程为221189x y +=；(2)解：由221,1891,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得()22214160k x kx +--=，设()()1122,,,A x y B x y ，则121222416,2121k x x x x k k -+==++， 因为1212(3)(3)MA MB x x y y ⋅=+--()()121244x x kx kx =+--()()()221212221614141641602121k kk x x k x x k k k -+=+-++=-⨯+=++， 所以MA ⊥MB ，三角形MAB 为直角三角形， 设d 为点M 到直线l 的距离，故MA MB AB d =⋅，又因为d =AB ===，所以MA MB =，设221k t +=，则MA MB =(]10,1t ∈，所以32MA MB ≤，当11t =，即k =0时，等号成立.因此，MA MB 的最大值为32.22．已知函数()()()()21ln 122x f x a x a x a =-+-->．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()()1f m f =且1m ≠，证明：(]1,x m ∀∈，()1ln 1a x x ->-．答案：（1）单调递增区间为()0,1和()1,a -+∞；单调递减区间为()1,1-a ；（2）证明见解析.（1）首先求函数的导数，()()()11x x a f x x--+'=，比较导数的零点，求解函数的单调区间；（2）利用二次导数，可转化为证明11ln m a m -->恒成立，再利用()()1f m f =，可证明()()21121ln m a m m --=--，只需证()()()211121ln ln m m m m m m -->>--，化简后，构造函数()()21ln 1x H x x x -=-+，证明不等式. 解：解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+， ()1a f x x a x'-=-+()()11x x a x--+=∵2a >，∴11a ->∴由()0f x '>得1x a >-或01x << 由()0f x '<得11x a <<-；∴()f x 的单调递增区间为()0,1和()1,a -+∞；单调递减区间为()1,1-a ． （2）欲证(]1,x m ∀∈，()1ln 1a x x ->-，即证(]1,x m ∀∈，11ln x a x-->， 令()1ln x g x x -=，1x m <≤，则()()21ln 1ln x x g x x -+'=， 令()1ln 1x x xϕ=-+，则()22111x x x x xϕ-'=-=， 因为1x >，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(]1,m 上单调递增，所以()()10x ϕϕ>=， 所以()0g x '>，所以()1ln x g x x-=在(]1,m 上单调递增， 所以()()1ln m g x g m m-≤=， 所以欲证(]1,x m ∀∈，11ln x a x -->，只需证11ln m a m-->，① 因为()()1f m f =，所以()()2111ln 22m a m a m --+-=， 即()()()2111ln 2m a m m -=---，②令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=，当1x >时，()0h x '> 所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=，即1ln 0x x -->， 所以1ln 0m m -->，故②式可等价变形为：()()21121ln m a m m --=--所以，欲证①式成立，只需证()()()211121ln ln m m m m m m-->>--成立所以仅需证1ln 21m m m ->+， 令()()21ln 1x H x x x -=-+，（1x >），则()()()22101x H x x x -'=>+，∴()H x 在()1,+∞上单调递增， 故()()10H x H >=，即()21ln 1x x x ->+， ∴结论得证．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式恒成立，本题的关键是利用()()1f m f =，变形，计算求得()()21121ln m a m m --=--，从而转化为证明()()()211121ln ln m m m m m m-->>--成立.。
广东省华师附中高三高考备考全攻略(数学篇)
2011年高三数学备考策略华南师范大学附属中学刘景亮2010年起广东省开始新一轮的高考改革，实行“3+文科综合/理科综合”考试模式，其中高考数学试题要求体现符合新教材的理念：强化素养淡化专精；强化能力淡化知识；强化通性淡化技巧；强化思维淡化计算；强化应用淡化理论。
下面是对数学备考的一些思考和分析，及对华师附中高三数学备考模式的介绍。
一、2010年广东高考数学试题评价与未来展望1、2010高考数学试题的评价2010年广东高考数学试题，从理念的落实上看，还是不错的。
平均分文科81.64，理科94.25，难度系数达到了0.5～0.6，各方面评价好，特别是对文科数学评价颇高，可谓“皆大欢喜”！但理科数学存在两个明显问题：一是知识结构考查欠公平，数列与函数、导数这几大重点块在大题中竟然没考，无形中导致了数学科内部的“偏科”；二是区分度不好，中间偏上段人数过于集中，拉不开距离，不利于选拔。
2、2011高考数学试题的展望在今年的《2010年高考命题工作总结》会上，考试院数学科专家一开始就谈文数平均分很好，理数平均分偏高，而在大家讨论完，最后结束语上又说2011年高考数学命题，将保持原有（2010年）难度，他特别强调“维持”两个字。
我的解读是2011年高考，文科数学会比今年略往上靠，而理科数学肯定会比今年往下靠。
并尽量加大120±10区间的区分度。
而在试题考查的知识结构上，会考虑适当平衡，但对近年考的较多的部分，不排除弱化的可能。
（以上纯属个人见解，仅作参考！）二、华师附中的高三数学备考模式目前各地区高三数学复习备考有两种常见模式：三轮复习法：第一轮“基础复习”；第二轮“专题复习”；第三轮“模拟训练”。
（它是多年来全国各地总结出来的成功复习经验。
其优点是循序渐进，系统性强，对学生提高数学思维能力更有利。
）高考题型循环训练法：依高考题型，用近年高考与模拟题或自编试题，反复进行训练、讲评、拓展、总结。
（它通过一年的复习，学生对高考题型、方法非常熟悉，应试策略、技巧相对干练，是学生提高高考有效分的捷径。
上海市华师大二附中2010届高三上学期综合练习3(数学)
上海市华师大二附中2010届高三上学期综合练习高三年级数学综合练习[3]编辑：冯志勇一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．已知集合{|||2,M x x x =≤∈R },{|N x x =∈N ﹡}，那么M N = ． 2．在ABC ∆中，“3A π=”是“sin A =”的 条件．3．若函数x y a =在[1,0]-上的的最大值与最小值的和为3，则a = ．4．设函数2211()()log 221x x xf x x x--=++++的反函数为1()f x -，则函数1()y f x -=的图象与x 轴的交点坐标是 ．5. 设数列{}n a 是等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且32n n S t =-⋅，那么t = ． 6．若sin()24x ππ+(2,2)x ∈-，则x = ．7．若函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式()2x f x x ⋅+≤的解集是 ．8．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是 ． 9．若无穷等比数列{}n a 的所有项的和是2，则数列{}n a 的一个通项公式是n a = ．10．已知函数()y f x =是偶函数，当0x >时，4()f x x x=+；当[3,1]x ∈--时，记()f x 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -= ．11．已知函数()sin f x x =，()sin()2g x x π=-，直线x m =与()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 点，则||MN 的最大值是 ． 12．已知函数131()log (31)2xf x abx =++为偶函数，()22x x a b g x +=+为奇函数，其中a 、b 为常数，则2233100100()()()()a b a b a b a b ++++++++= ．二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。
2023届广东省华南师范大学附属中学高三第三次模拟考试数学试题及参考答案
2023届高三综合测试数 学2023年5月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,0,1M =−，2{|1,}N y y x x M ==−∈，则M N 等于A ．{}1,0−B ．{}0,1C ．{}1,1−D ．{}1,0,1−2. 已知复数z 满足(1)|2|z i i +=−，则复数z 对应的点在第（ ）象限 A ．一B ．二C ．三D ． 四3. 已知向量()()3,4,4,m ==a b ，且a b a b +=−，则b = A ．3B ．4C ．5D ．64. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数. 当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长. 当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散. 接种疫苗是预防病毒感染的有效手段.已知某病毒的基本传染数05R =，若1个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，这N 人中有V 个人接种过疫苗（VN称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为()0R N V N−，为了有效控制病毒传染（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为 A ．75%B ．80%C ．85%D ．90% 5. 设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为 A ．52B ．5C ．9D ．926. 已知π31cos1,2),a b c −+===，则 A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b7. 已知克列尔公式：对任意四面体，其体积V 和外接球半径R 满足6RV =1111(),2p aa bb cc =++ 111,,,,,a a b b c c分别为四面体的三组对棱的长.在四面体ABCD 中，若AB CD AC BD ====21AD BC ==,则该四面体的外接球的表面积为A ．52π B ．3π C ．73π D ．5π8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2:2C y px =的准线与圆22:(1)1M x y ++=相切于点A ，直线AB 与抛物线C 切于点B ，点N 在圆M 上，则AB AN ⋅的取值范围为A ． [0,8]B ． [2−+C ． [4−+D ． 4]二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届广东省广州市华南师大附中高三上学期综合测试(二)数学试题
华南师大附中2021届高三综合测试（二）数 学满分150分，考试时间120分钟 注意事项：1．答卷前，请务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡和 答卷上。
2．选择题在选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知集合},04|{)},1ln(|{2≤-=-==x x B x y x A 则B A =( )A ．}2|{-≥x xB ．}21|{<<x xC ．}21|{≤<x xD ．}2|{≥x x2．己知i 是虚数单位，复数|i |i1-=z ，下列说法正确的是( ) A ．z 的虚部为-i B ．z 对应的点在第一象限 C ．z 的实部为-1D ．z 的共轭复数为l+i3．“0sin =α”是“1cos =α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．己知向量21,e e 是两个不共线的向量，若21212e e b e e a λ+=-=与共线，则=λ( )A ．2B ．2-C ．21-D ．21 5．己知函数)sin()(2π-⋅=x x x f ，则其在区间],[ππ-上的大致图象是( )6．若数列}{n a 满足nn a a 111-=+，且21=a ，则a 2021=( )A ．-1B ．2C ．2D ．21 7．f (x )是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足0)()('<+x f x xf ，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．bf (b )<af (a )D ．af (a )<bf (b )8．己知α是第四象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+为( )A ．αtan 2-B ．αtan 2C ．αtanD ．αtan -二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -3) = -f (x )，当]3,0[∈x 时，x x x f 3)(2-=，下列等式成立的是( )A ．f (2019)+ f (2020)= f (2021)B ．f (2019)+ f (2021)= f (2020)C ．2f (2019)+ f (2020)= f (2021)D ．f (2019)= f (2020)+ f (2021)10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，若b =10，A =45°，则使此三角形有两解的a 的值可以是( ) A ．5B ．26C ．8D ．21011．己知数列}{n a 的首项为4，且满足*)(0)1(21N n na a n n n ∈=-++，则( )A ．}{nan为等比数列B ．}{n a 为递增数列C ．}{n a 的前n 项和42)1(1+⋅-=+n n n SD ．}2{1+n na 的前n 项和22n n T n +=12．设函数)0(1||ln 2)(2>+-=a ax eax x f ，若f (x )有4个零点，则a 的可能取值有（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知向量=(1，m )，=（3，-2），且b b a ⊥+)(，则m = ．14．若}{},{n n b a 满足n n a b a n n n +==2,1，则}{n b 的前2020项和为 ．15．甲船在A 处观察到乙船在它北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船应取北偏东θ方向前进，才能尽快追上乙船，此时θ= （填角度）． 16．函数x x x x x x f ln 2131)(223--+=在],21[e 上的最小值是 ，最大值是 （第一空3分，第二空2分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①26,7753=+=a a a ；②63,371==S a ；③n n S n 22+=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知S n 为等差数列}{n a 的前n 项和，若 ． (1)求a n ； (2)令*)(112N n a b n n ∈-=，求数列}{n b 的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，己知bc C a A 1cos cos =+，且b =2，a >b >c ． (1)求ac 的值； (2)若△ABC 的面积27=S ，求a 和c 的值． 19．（12分）如图，在四棱锥S - ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，SA =AB =3，BC =2，AD =1． (1)若M 为棱SB 的中点，求证：AM //平面SCD ; (2)当SM =MB ，DN =3NC 时，求平面AMN 与 平面SAB 所成的锐二面角的余弦值． 20．（12分）己知定点A (-2，0)，F (l ，0)，定直线l ：x =4，动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的21．设点P 的轨迹为C ，过点F 的直线交C 于D 、E 两点，直线AD 、AE 与直线l 分别相交于M 、N 两点． (1)求C 的方程；(2)若x 轴上点Q 满足0=⋅QN QM ，求点Q 的坐标． 21．（12分）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．(I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率，为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望； 点球数 20 30 30 25 20 25 进球数101720161314(II)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为P n ，即P 1 =1． (i )求P 2，P 3（直接写出结果即可）；(ii )证明：数列}31P {-n 为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大． 22．(12分) 己知函数)(ln )(1R a ax x ex f x ∈-+=-,)('x f 是)(x f 的导函数，且)('x f 有两个零点)(,2121x x x x <．( I)讨论)('x f 的单调性； (II)若4121>x x ，求证：.6)()(1212a x x x f x f -<-- 数学参考答案一、选择题： 1．C2．D3．B4．C5．D6．D7．C 8．B二、选择题： 9．ABC10．BC11．ABD12．BCD三、填空题： 13．814．2021202015．30°16．61-，e e e --232131四、解答题： 17．（10分）解：(1)若选择条件(1)，在等差数列}{n a 中⎩⎨⎧=+=267753a a a ，⎩⎨⎧=+=+∴261027211d a d a ，解得⎩⎨⎧==231d a122)1(3)1(1+=-+=-+=∴n n d n a a n若选择条件(2)，在等差数列}{n a 中⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+==6326773171d a S a ，解得⎩⎨⎧==231d a 122)1(3)1(1+=-+=-+=∴n n d n a a n ；若选择条件(3)，在等差数列}{n a 中a l =S l =3，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=n 2+2n -[(n -l)2 +2(n -1)]= 2n +l ，a 1也符合， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得)111(41)1(411)12(11122+-=+=-+=-=n n n n n a b n n ，)1(4)111(41)1113121211(4121+=+-=+-++-+-=+++=∴n n n n n b b b T n n 18．（12分）(1)解法一、由己知及正弦定理，得BC C A A sin 1sin cos sin cos =+ 因为cA B cA C A CA AC C A CC AA sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos =+=+=+所以C A B Bc A B sin sin sin ,sin 1sin sin sin 2==由正弦定理得b 2= ac ，即ac =4．解法二、由己知及余弦定理，得babc c b a abc a c b 12222222=-++-+，得ac = b 2 =4， (2)27sin 2sin 21===∆B B ac S ABC ，得47sin =B ．又ac =4且b =2，a >b >c ，∴B 为锐角，⋅-+=-+==-=∴812)(243sin 1cos 22222c a ac b c a B B .2,22,,23==∴>=+∴c a c a c a 又19．（12分）(1)证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ． 在△SBC 中，ME 为中位线，∴ME / /BC 且ME =21BC ， ∵ AD //BC 且AD =21BC ，∴ME //AD 且ME = AD ， ∴四边形AMED 为平行四边形．∴AM / /DE ．∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ， ∴AM / /平面SCD .(2)解：如图所示以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)3,0,0(),0,0,1(),0,3,2(),0,3,0(),0,0,0(S D C B A ,于是),23,23,0(21=+=BS AB AM).0,433,47()0,3,1(43)0,0,1(43=+=+=DC AD AN设平面AMN 的一个法向量为),,,(z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AN n AM将坐标代入并取y =7，得)7,7,33(--=n ．另外易知平面SAB 的一个法向量为)0,0,1(=m 所以平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为25153=nm n m 20．（12分）(1)F (1，0)，设P (x ，y )为C 上任意一点，依题意有21|4|)1(22=-+-x y x13422=+∴y x (2)易知直线DE 斜率不为0，设DE 方程为x =ty +1由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x ty x ，得096)43(22=-++ty y t设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则436221+-=+t t y y ，439221+-=t y y 由A (-2，0)，知AD 方程为)2(20011++-=-x x y y ，点M 坐标为)26,4(11+x yM同理，点N 坐标为)26,4(22+x y N ， 设点Q (m ，0)， 则)2)(2(36)4()26,4()26,4(212122211+++-=+-⋅+-=⋅x x y y m x y m x y m QN QM 9)(336)4()3)(3(36)4(2121221221212++++-=+++-=y y t y y t y y m iy y y y m。
广东省华南师大附中2011届高三5月综合测试(数学理)WORD版
华南师大附中2011届高三综合测试数 学 试 题（理）本试卷共21小题满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1．已知集合{(,)|2},{(,)|4}A x y x y B x y x y =+==-=，那么集合A B 为（ ）A ．3,1x y ==-B ．(3,1)-C ．{3,1}-D ．{(3,1)}-2．已知复数z 的实部为-1，虚部为2，则5iz = （ ）A ．2+iB ．2-iC ．-2-iD ．-2+i3．已知随机变量~(,)B n p ξ，且12, 2.4,E D ξξ==则n 与p 的值分别是（ ）A ．15与0.8B ．16与0.8C ．20与0.4D ．12与0.64．如图，该程序运行后输出的结果为 （ ）A ．5B ．6C ．9D ．105．为了得到函数3lg 10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度6．O 为平面内的动点，A 、B 、C 是平面内不共线的三点，满足0OA OB OC λ+=≠ ，则点O 轨迹必过ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则“()f x 是周期函数”的一个充要条件是 （ ）A ．()cos f x x =B ．,()()a R f a x f a x ∀∈+=-C ．(1)(1)f x f x +=-D ．(0),()()a R a f a x f a x ∃∈≠+=-8．函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)n n a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为*1()n a n N +∈，若116a =，则数列{}n a 的通项公式为 （ ）A ．*()n a n n N =∈B ．5*2()n n a n N -=∈C ．2*2()nn a n N -=∈ D ．52(2)nn a n -=≥二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9~13题）9．6的展开式中常数项是 。
广东省华南师范大学附属中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案
广东省华南师范大学附属中学2020届高三上学期第一次月考数学（理）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试勇士120分钟．1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知{}213A x x =+>，{}260B x x x =+-≤，则A B =I （ ） （A ）(]()3,21,--+∞U （B ）(][)3,21,2--U （C ）[)(]3,21,2--U（D ）(](],31,2-∞-U（2）设a ，b ∈R 且0ab ≠，则a b >是11a b<的（ ） （A ）充分但不必要条件（B ）必要但不充分条件 （C ）既不充分也不必要条件（D ）充要条件（3）函数()21log f x x =+与()12x g x -+=在同一直角坐标系下的图像大致是（ ）（A ） （B ）（C ）（D ）（4）设命题:P x ∀∈R ，使得20x ≥，则P -为（ ）（A ）x ∈R ∃，使得20x < （B ）x ∈R ∃，使得20x ≤ （C ）x ∀∈R ，使得20x <（D ）x ∀∈R ，使得20x ≤（5）把sin 2y x =的图像向左平移π3个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（ ）（A ）πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（B ）2πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ （C ）πsin 43y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（D ）2πsin 43y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（6）设πlog 3a =，0.32b =，3log sin 6c π=，则（ ）（A ）a b c >> （B ）c a b >> （C ）b a c >>（D ）b c a >>（7）函数()2ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3（8）已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数()()()21ln 1f x g x x -=-的定义域是（ ）（A ）[]0,1（B ）()0,1（C ）[)0,1（D ）(]0,1（9）给出下列命题：①正切函数图象的对称中心是唯一的； ②若函数()f x 的图像关于直线2x π=对称，则这样的函数()f x 是不唯一的；③若1x ，2x 是第一象限角，且12x x >，则12sin sin x x >； ④若()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期是T ，则02T f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（10）函数()f x 是定义域为R 的非常值函数，且对任意x ∈R ，有()()44f x f x +=-，()()11f x f x +=-，则()f x 是（ ）（A ）奇函数但非偶函数（B ）偶函数但非奇函数（C ）奇函数又是偶函数 （D ）非奇非偶函数（11）已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，若()f x y x=在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若()2f x y x=在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”。
2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考数学(理)试题(含答案解析)
2020届广东省华南师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N = B ．MN C ．N M D ．M N ⋂=∅【答案】B【解析】首先求出集合M 、N 中的元素，由集合的包含关系即可求解. 【详解】121|,,244k k M x x k Z x x k Z ⎧⎫-⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，12|,,424k k N x x k Z x k Z ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，2k Z +∈Q 可表示全体整数，21k -表示全体奇数，∴MN ，故选：B 【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题. 2．原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12=z z ”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A ．真，假，真 B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【答案】B【解析】试题分析：设复数1z a bi =+，则21z z a bi ==-，所以2212z z a b ==+，故原命题为真；逆命题：若12z z =，则12,z z 互为共轭复数；如134z i =+，243z i =+，且125z z ==，但此时12,z z 不互为共轭复，故逆命题为假；否命题：若12,z z 不互为共轭复数，则12z z ≠；如134z i =+，243z i =+，此时12,z z 不互为共轭复，但125z z ==，故否命题为假；原命题和逆否命题的真假相同，所以逆否命题为真；故选B.【考点】命题以及命题的真假.3．已知平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r ),则向量b r 在向量a r方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r=﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r),=0，即()2·20a a b +=vv v即a r g b r=﹣2∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=vv v =﹣1，故选：B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4．平面α∥β平面的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 【答案】D【解析】试题分析：对于A ，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A 不对；对于B ，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B 不对；对于C ，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C 不对；对于D ，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D 正确【考点】空间线面平行的判定与性质 5．函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】试题分析：令2()log 3sin()2f x x x π=-=0，可得2()log 3sin()2f x x x π=-=， 因为2()log 3sin()2f x x x π=-[3,3]∈-，所以在同一平面直角坐标系内，画出y=2()log 3sin()2f x x x π=-,y=2()log 3sin()2f x x x π=-在[0,8]的图象，观察交点个数即得，选C 。
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广东省华南师大附中2010届高三上学期综合测试 数学理科试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔成签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回． 第一部分 选择题（40分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．集合2{(,)|1}Mxyyx，{(,)|1,}NxyxyR，则MN等于 A．{(1,0)} B．{|01}yy C．{1,0} D． 2．等差数列{}na中，11a，5998aa，nS为其前n项和，则9S等于 A．291 B．294 C．297 D．300 3．设2tan()5，1tan()44，则tan()4 A．1318 B．1322 C．322 D．16 4．在下列图象中，二次函数2yaxbx与指数函数()xbya的图象只可能是
A． B． C． D． 5．己知()yfx是定义在R上的奇函数，当0x时，()2fxx，那么不等式1()2fx的解集是 A．5{|0}2xx B．3{|0}2xx C．3{|02xx或50}2x D．3{|2xx或50}2x 6．函数()cos2sin()2fxxx是 A．非奇非偶函数 B．仅有最小值的奇函数 C．仅有最大值的偶函数 D．既有最大值又有最小值的偶函数 7．等差数列{}na的前n项和为nS，已知8132S，690mS，8270(8)mSm，则m为 A．2l B．20 C．19 D．18 8．设M是△ABC内一点，且23ABAC，30oBAC，定义()(,,)fMmnp，
其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积，若1()(,,)2fPxy，则14xy
的最小值是 A．8 B．9 C．16 D．18
第二部分 非选择题（110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．若12x，则44sincosxx ． 10．已知函数34()log(2)fxx，则方程1()4fx的解是 11．在数列{}na中，12a，27a，2na等于1nnaa的个位数，则2008a 12．已知2sinsin3xy，2coscos3xy，且,xy为锐角，则sin()xy 13．已知数列{}na满足：13a，1221(*,2)nnnaanNn，且存在实数使得{}2n
n
a
为等差数列，则{}na的通项公式是na ．
14．设函数()fx的定义域为R，若存在正常数M使得|()|||fxMx对一切实数x均成立，则称()fx为F函数，给出下列函数：①2()fxx；②2()1xfxxx；③()2(sincos)fxxx；④()2sinfxx，其中是F函数的序号为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分12分） 已知数列{}na中，其前n项和为nS，满足21,*nnSanN，数列{}nb满足
121log,*nnbanN
（1）求数列{}na、{}nb的通项公式； （2）设数列{}nnab的n项和为nT，求nT．
16．（本小题满分12分） 设函数()2fxkx，不等式2[()]36fx的解集为(1,2)． （1）求k的值；
（2）求不等式6loglog(1)(01)()aaxafx的解集．
17．（本小题满分14分） ,,abc为△ABC的内角A、B、C的对边，(cos,sin)22CCm，(cos,sin)22CCn，且m与n的夹角为3 （1）求C；
（2）已知72c，△ABC的面积332S，求ab
18．（本小题满分14分） 已知321()2fxxxbxc （1）若()fx的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围； （2）若()fx在1x时取得极值，且2(1,2),()xfxc恒成立，求c的取值范围．
19．（本小题满分14分） 若(3cos,sin)axx，(sin,0)bx，其中15(,)22，函数1()()2fxabb
，且()fx的图象关于直线3x对称．
（1）求()fx的解析式及()fx的单调区间； （2）将()yfx的图象向左平移3个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的()ygx的图象；若函数()ygx，(,3)2x的图象与ya的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a的值．
20．（本小题满分14分） 已知11a，点1(,)nnaa在函数2()42fxxx的图象上，其中1,2,3,4,n （1）证明：数列{lg(2)}na是等比数列； （2）设数列{2}na的前n项积为nT，求nT及数列{}na的通项公式；
（3）已知nb是11na与13na的等差中项，数列{}nb的前n项和为nS，求证：3182nS． 参考答案 第一部分选择题（40分） A、C、C、A D、D、B、D 第二部分非选择题（110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．32 10．1 11．8 12．2149 13．21nn 14．②④ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分12分）（1）7分（2）5分 （1）解：当1n时，11121aSa，11a…………1分 当2n时，11(21)(21)nnnnnaSSaa，∴12nnaa……2分 ∴数列{}na是首项为11a，公比为2的等比数列， ∴数列{}na的通项公式是12nna……2分 1121log21(1)nnbnn，∴数列{}nb的通项公式是nbn……2分
（2）1{}2nnnabn ∴01221122232(1)22nnnTnn 12121222(1)22nnnTnn…………2分
∴12112222212nnnnnTnn………·2分 ∴(1)21nnTn……1分 16．（本小题满分12分）（1）5分（2）7分 解：（1）∵2(2)36kx，即224320kxkx………1分
由题设可得：224123212kkk，解得4k………4分 （2）()42fxx…………1分 由6loglog(1)(01)()aaxafx，得6loglog(1)42aaxx……1分 则420106142xxxx，即121(21)(2)11022122xxxxxxx或……4分 ∴原不等式的解集为11{|}22xx …………1分 17．（本小题满分14分）（1）5分，（2）9分 解：（1）∵(cos,sin)22CCm，(cos,sin)22CCn ∴22cossincos22CCmnC…………2分 又1||||coscos332mnmn…………2分 ∴1cos2C，∴3C…………1分 （2）∵2222coscababC，72c，1cos2C ∴22249()34abababab…………3分
∵11333sin2222SabCab，∴6ab…………4分 ∴24949121()318444abab，∴112ab…………2分 18．（本小题满分14分）（1）5分，（2）9分 解：（1）2'()3fxxxb…………2分 由己知'()0fx有实数解，∴1120b，故112b…………3分 （2）由题意1x是方程230xxb的一个根，设另一根为0x
则0011313xbx，∴0232xb…………2分 ∴321()22fxxxxc，2'()32fxxx 当2(1,)3x时，'()0fx；当2(,1)3x时，'()0fx；当(1,2)x时，'()0fx ∴当23x时，()fx有极大值2227c 又1(1)2fc，(2)2fc， 即当[1,2]x时，()fx的量大值为(2)2fc …………3分 ∵对(1,2)x时，2()fxc恒成立，∴22cc，∴1c或2c……3分 故c的取值范围是(,1][2,) …………1分 19．（本小题满分14分） 解：（1）∵(3cos,sin)axx，(sin,0)bx ∴(3cossin,sin)abxxx 1()(3cossin,sin)(sin,0)2fxxxxx
2131cos213sincossinsin22222xxxxx
31sin2cos2sin(2)226xxx
∵()fx的图象关于直线3x对称， ∴2,362kkZ，解得312k ∵15(,)22，∴1351222k，∴11()kkZ，∴0,1k ∴()sin(2)6fxx （2）将()sin(2)6fxx的图象向左平移3个单位后，得到()sin[2()]36fxxsin(2)cos22xx，再将得到的图象的横坐标变为原来的2
倍（纵坐标不变）后，得到()cosygxx 函数()cosygxx，(,3)2x的图象与ya的图象有三个交点坐标分别为