1044同角三角函数的关系与诱导公式
第四章 第二讲 同角基本关系及诱导公式
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答案：0
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第四章
三角函数
π sin( ＋α)· cos(3π－α)· tan(π＋α) 2 2. ＝________. π cos(2－α)· cos(－α－π)
答案：1
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第四章
三角函数
二、分类讨论失误． sin(kπ－α)· cos[(k－1)π－α] 3. ＝________.(k∈Z) sin[(k＋1)π＋α]· cos(kπ＋α)
答案：－1 4n＋1 4n－1 4 ． cos( 4 π ＋ α) ＋ cos( 4 π － α) ＝
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答案：C
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第四章
三角函数
2．(2010· 全国Ⅱ，13)已知 α 是第二象限的角，tanα 1 ＝－2，则 cosα＝________. 1 2 解析：由三角函数中同角公式：1＋tan α＝ 2 ， cos α
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导公式即可求之．
)
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第四章
三角函数
1 π 解析：∵cosα＝ ，且－ ＜α＜0， 3 2 2 2 2 ∴sinα＝－ 3 ，cotα＝－ 4 . cot(－α)·sinα ∴原式＝ cos(－α)·tanα －cotα· sinα 2 ＝ ＝－cotα＝ . sinα 4
同角三角函数的基本关系式及诱导公式预习学案
同角三角函数的基本关系式及诱导公式预习学案命题人:高玲 审核人:石金兰 时间：2011.09.29班级 姓名 学号 面批时间【考纲要求】1.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=. 【基础知识梳理】1.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为π+α.2.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为-α(或2π-α).3.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为π-α.4.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为2π-α.5.诱导公式 (1)公式一sin(α+k ·2π)=----------------------, cos(α+k ·2π)=----------------------, tan(α+k ·2π)=----------------------,其中k ∈Z. (2)公式二sin [(21)]k πα++=----------------------, cos [(21)]k πα++=----------------------, tan [(21)]k πα++=----------------------.(3)公式三sin(-α)=----------------,cos(-α)=----------------,tan(-α)=----------------. (4)公式四sin(π-α)=----------------------, cos(π-α)=----------------------, tan(π-α)=----------------------.口诀： (5) 公式五sin(2π-α)=---------------------,cos(2π-α)=---------------------.(6)公式六sin(2π+α)=---------------------,cos(2π+α)=---------------------.口诀：6.特殊角的三角函数值：06432ππππ、、、、7.平方关系： ；商数关系： ；倒数关系： . 【预习自测】1．cos300o 等于（ ）.A 1.2B - 1.2CD 2. α是第四象限角,tan α=-512,则sin α=( ) A.15 B.- 15 C.513 D.- 5133.若β[)0,2π∈,β-cos β,则β的取值范围是( )A.0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.已知sin()2m πα+=，则cos()πα-= .5.（2011年高考重庆卷文科12)若3cos 5a =-,且3(,)2a ππ∈，则tan a = .6.若sinA=45,且A 是三角形中的一个内角,则5sin 815cos 7A A +-的值为 .7.化简: (1)sin(2)tan()tan()cos()tan(3)πααπαππαπα-+----;(2)3sin()cos()tan()222ππααπα+⋅-⋅-。
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
解析：因为71π0
π －α＋(α－ 5
)＝π2 ，所以71π0 －α＝π2
π －( －α)＝cos(α－π5 )＝153.
11
同角三角函数的基本关系与诱导公式
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2．若θ是△ABC 的一个内角，且 sin θcos θ＝－18，则 sin θ－cos θ的值
4
同角三角函数的基本关系与诱导公式
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[梳知识·逐点清] 1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin 2α＋cos2α＝____1____. (2)商数关系：_t_a_n__α___＝csionsαα.
[注意] 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋π(k∈Z)． 2
202同4届角三角函数的基本关系与诱导公式
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第2讲 同角三角函数的基本关系 与诱导公式
1 1
同角三角函数的基本关系与诱导公式
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课程标准解读
命题方向
数学素养
1.理解同角三角函数的基本关系式： 1.同角三角函数基本关
sin 2α＋cos2α＝1， sin cos
(4)若 α∈R，则 tan
α＝sin
cos
α α恒成立．(
×
)
14
同角三角函数的基本关系与诱导公式
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2．[教材改编]已知 tan α＝34，α∈(π，32π)，则 cos α的值是(
)
A．±45
B．45
C．－4 5
D．3 5
答案：C
15
同角三角函数的基本关系与诱导公式
三角函数的基本关系及诱导公式
，
又∵ 3 2 ，
2
∴ =11π/6 ．
（四）巩固练习：
1．若 f (cos x) cos 2x ， f (sin15 ) （ D ）
( A) 1 2
(B)
1 2
(C )
3 (D) 3
2
2
2．已知 sin cos 1 (0 ) ，则 tan
5
3 4
．
五．课后作业：
1(必做)《三维设计》第四章第二节， 基础自测:1,3,5 同步检测:1,2, 5,7,9,12
5
所以 cot( 11 ) cot( 3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① c o s s in ；
cos sin ② 2 sin 2 sin cos cos2
解：①原式
1 1
sin cos ． sin cos
1 1
2 3 2 2
2
②∵ c o s 2
1
1 tan 2
1，
3
∴原式 cos 2 (2 tan 2 tan 1) 2 1
3
（三）例题分析： 例5．已知 s i n , c o s 是方程 4 x 2 4 m x 2 m 1 0
的两个根，3 2 ，求角 ．
形的中心角的弧度数是
.
回顾:任意角的正弦,余弦,正切,余切,正割,余割是如何定义的?
（一）知识点：
1．同角三角函数的基本关系式：
（1）倒数关系： tan cot 1
（2）商数关系： ta n
sin cos
, cot
cos sin
（3）平方关系：sin 2 cos 2 1
同角三角函数基本关系式及诱导公式
2 63'同角三角函数基本关系式及诱导公式必修四：（新课标）同角三角函数基本关系式及诱导公式（典型例题+习题+答案）1.同角三角函数的基本关系（1）平方关系： 2 2 才 sin a sin a +cos a = 1.(2)商数关系：cos a =tan a2.诱导公式答案…cosna =— cos —6解析 sin2nV =sin7t 7t1. (2011 -大纲全国）已知 3na € n, ~, tan a = 2，贝y cos 解析 T tan a = 2,. sin aCOST =2，. sina = 2C0S a .2. 3. 又sin2 2a + cos a = 1 ,2 2.(2cos a ) + cos 2a = 1，…cos a1 5.又••• a 若tan答案 解析已知 答案 解析 3nn, 2 ，…cos a2sin a — cos a=2,则 sin a +2cos a 的值为2tan a — 13原式=tan a + 2 = 4.a 是第二象限的角，tan1 小 2，贝U cos a又sin2..5 5a 是第二象限的角，.cos a <0. 2“，+ cos a =1, tan asin a cos a1 2,4. 4sin 3n3-cos 56n -tan 的值是答案3,3 4解析原式=sin-cos nn冗―7•tan —n — §5. —sin已知 7tn—cos -7t—tan-2x ( — 3)=—3 ,34 .7tcos22,则 sinn=—sin —+7t2题型分析深度剖析题型一同角三角函数基本关系式的应用 1 例 1 已知在△ ABC 中, sin A + cos A=-.5⑴求sin A cos A 的值；⑵ 判断△ ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值.12 2思维启迪：由 sin A + cos A = 及 sin A + cos A= 1，可求 sin51解(1) I sin A + cos A =①512••• sinA cosA — 方.12⑵由 sin A cos A =—<0,且 0<A < n, 25可知cosA 为钝角，•••△ ABC 是钝角三角形.2(3) v (sin A — cos A ) = 1— 2sin A cos A 24 49 =1 + =—25 25，又 sin A >0, cos A <0,「・ sin A — cos A>0,4 3由①，②可得 sin A = , cos A =—-,5 5题型二三角函数的诱导公式的应用例2n\[35 n ，亠(1)已知 cos — + a = -3，求 cos ~6 — a 的值;2• cos a = 3，即 cos8代cos A 的值.两边平方得 1+ 2sin A cos 1A = 25, • sin 7A — cosA = 5.• tansin A cos A4 3.探究提高 (1)对于 sin a + cos a , sin a cos a , sin a 知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为(sina cos a ; (2)关于sin a , COS a 的齐次式，往往化为关于cos a 这三个式子，已 a ± cos a ) = 1 ± 2sintan a 的式子._ 2(1)已知 tan a = 2，求 sin a + sin a cos2a — 2cos ⑵ 已知 sin a = 2sin 3 , tan a = 3tan22解 (1)sin a + sin a cos a — 2cos a 3，求 cos a .2 2sin a + sin a cos a — 2cos asin a +cos 2 ax ,题型三三角函数式的化简与求值 1例3 (1)已知tan a = 3，求的值.思维启迪： (1)将n + a 看作一个整体，观察 n + a 与5n a 的关系.6 6 6a =n,5 nna = n — -g + a .5 n•I COS — a = COS n —6n 6 +an一 cos y + a5 n 即 COS —6=」3(2) T COS ( a — 7 n ) = COS(7 n — a ) = COS( n — a ) =— COS35,…COS 3 ••• sin(3 n+ a ) • tan a5=Sin(7a ) • — tan n —=Sina • tan=Sinn sin — — a=sinnCOS — —aCOS sin a a—=COS3 5.探究提咼键•另外, 熟练运用诱导公式和基本关系式,切化弦是常用的规律技巧.并确定相应三角函数值的符号是解题的关(1)化简:3n 2COS( — a — 3 n )sin( — 3 n — a )tan( n+ a )COS( 2 n+ a )sin八sin( n — x )COS( 2 n — x )tan( — x +n ) 亠 ⑵已知f (x )=，求nCOS — — +xf —晋的值.n tan a COS a sin — 2 n+ a + ~ tan 解(1)原式=■=COS( 3 n+ a )[ — sin( 3 n+ a )]tan a COS a cos a tan a cos a sin a =(—COS a )sin a = Sin a = COS asin x • cos x • ( — tan x )⑵. na COS a Sin ~ + a(—COS a )sin a COS a T =— 1. sin asin x=—COS x • tan x =— sin 31 n• f —~^ = — sinn31 n 丁 =sin卫=逅 3 = 2 .31 n 3(2)已知 n< a <2 n, COS ( a — 7n =—求 sin(3 n+ a ) • tan⑵先化简已知，求出COS a 的值，然后化简结论并代入求值.片n解⑴T 石+a +分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：(12分)审题视角 (1)角中含有变量n ,因而需对n 的奇偶分类讨论.3n tan( n — a )COS ( 2 n — a )sin — a +⑵化简：COS ( — a — n )sin( 思维启迪：三角函数式的化简与求值， 式子的规律，使用恰当的公式.1解⑴因为tan a =2，所以L32sin a COS a + COS a Sin a + COS atan a +12 2sin a COS a + COS a 2tan a + 13'—n — a )都是按照从繁到简的形式进行转化, 要认真观察n—tan a • COS ( — a ) • si n — a ⑵原式=COS ( n — a ) • sin ( n — a )nsinatan a • COS a • si n a +• COS a2COS a—COS a • Sin a—sin a=-1.探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角, 弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简. 5，函数式子的特点和联系，可以切化已矢口 sin a + —=a € (0 ,n ),2n a 2n aCOS7 + 7 — COS 4—"2 求一 一^的值.Sin( n — a ) + COS ( 3 n+ a ).nQ 5解 ■/ sin a + —=—牙，.•. COS aa € (0 ,n ),/• sin 2n a 2n a_^5 COS A + — -COS N -兀a = 5 . Sin( n —a ) + COS( 3 n+ a )2CO Ssin a — COS a—sin asin — COs Sin — COs 2 3.化简: 4n — 1 sin " n — a 4 4n + 1+ COS ■ n — a4(n € Z).(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为 一个整体来看. 规范解答解当n 为偶数时，设n = 2k ( k € Z)，则［1分］8k —8k + 1原式=sin4 n —a+ cosn 4—ann=sin 2k n + — 4—a + cos 2k n + 4 — =sin —nn4a + COS -—a4nnn=—sin4 ■+a +COS -—-4 + ann分］=—sin4 ■+ a + sin~ + a 4=0.[5 当n 为奇数时，设n = 2k + 1 ( k € Z)，则温馨提醒 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论 的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想. (2)在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因 方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式. 1 •同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响， 尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：sin x主要利用公式tan x = 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin 0 ± coscos x0 )2 = 1±2sin 0 cos 0的关系进行变形、转化；(3)巧用“ 1 ”的变换：1 = sin 2 0 + 2 22 2“1ncos 0 = cos 0 (1 + tan 0 ) = sin 0 1 + 订 =tan =•••tan 0 4失误与防范1. 利用诱导公式进行化简求值时， 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱周一化锐.原式= sin 8k + 3Tt — a+ cos8k + 5Tt — a=sin 2k n + + cos 2k n + =sin 3n5 n + cos -4=sin7t7t故sinTt —+ cos4十 a —cos 4 an 4十a—cosnn _L 宀 2 1 a4n4十a —sin n a = 04十4n — 14n + 1Tt — a n — a = 0.7t7t=sin=sin =sin + cos44特别注意函数名称和符号的确定.2. 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.1. 2. 3. 4. A 组专项基础训练 、选择题（每小题5分，共20分）已知 A. 答案 解析 cos( ( 答案解析 已知 答案 解析 n a 和3的终边关于直线 y = x 对称，且3 =—3，贝U sin a3等于1C.— 2 因为a 和3的终边关于直线y = x 对称，所以a + n 5 n ，所以 a = 2k n + k (k € Z)，即得 sin a 3 6—2 013 n )的值为 )B.— 1 C 』 cos( — 2 013 n ) = cos( — 2 014 n + n ) = cosSin( n — a ) • cos (2 n — a ) 小 ---------------------------- 贝H f cos( — n — a ) • tan ( n — a ) ?f( a ) B.••• f(25n =cos 8 n + Sin a cos a —cos a • ( — tan=cos25n=cosn3 = cosn当 0<x 書时，函数 f(x) = cos x sin2cos xx — sinC. 2答案 解析f (x )n当 0<x <4时，0<tan x <1,2cos x2= 2cos x sin x — sin x tan x — tan x'n3 = 2k n + "2(k € Z).又卩D. 071=— 25 n"V｛的最小值是D. 41.的值为 D,1 设 t = tan x ，贝U 0<t <1, y = 72 =t — t t （1 — t ）1当且仅当t = 1 — t ，即t = 时等号成立. 二、填空题（每小题5分，共15分） 1 sin a =?且a 为第二象限角，则 sin5 2 .6 55. 如果 答案 1 解析 T Sin a =；,且a 为第二象限角， 53n+ a答案8. (10 分)已知 sin B + cos B =#(0< B <n )，求 tan B 的值.解 将已知等式两边平方，得sin B cos B =—丄,18n• —<B <n,B )2= 1 — 2sin B cos B = 3.3sin ••• ta n B =cos=纽6=5 .3n • sin ~2~ + a cos a 6.已知n 1 sin a +12 = 3,则 cos7n+ 72 的值为(12 分) 已知 sin(3 n COS ( n+ B )cos B [cos( n — B ) — 1] +cos( B 3 n 3 n sin B — ~^ cos( B —n ) — sin + B —2n ) 的值. 1 解 ■/ sin(3 n+ B ) = — sin B = 3,^ sin 1 3,—cos B••原式=cos B ( — cos B — 1)cos( 2 n — B )+ ------ 3~3 n—sin — B cos( n — B ) + cos Bcos B1+ 2 +1 + cos B — cos B + cos B 1 + cos B 1 — cos B解析 cos7n+ 12 = cos =—sin an 1 +12 =— 3.3 nsin a + —^ • tan ( a + n ) 7.sin( n — a )答案解析cos a • tan a原式=—一sin asin a =—1.sin a三、解答题 （共22分）二 sin B — cos=(sin B — cos sin解方程组+ cos B = -3, sin B =¥， sin4―cos B= 3，cos B =¥1解析 ■/ sin( n+ a ) —- sin a , • sin a —2 21 — cos2 0 sin 2 01 2，8.-3B 组专项能力提升一、选择题（每小题5分，共15分） n1 2 n1.右 sin - a —厅，贝y cos + 2a 等于6 3 3A. 答案 A 解析( )B.—12c. 2D.— 2答案 A2 2cos a 工 0 且 1 —sin解析 由同角二角函数关系式1 — sin a =cos a及题意可得 丰0,1 + sin acos acos a 1cos a 1 — sin a ，• 1 — sin a二-2，a —,cos a—cosn3+1—3'则cos 2n + 2 a — 2cos n一 d 3 3 1a 1 7t/•sin 6a = sin7t3+7 一9平方得(1 + 2tan, 2 ••• ta n 二、填空题 2 _____________a ) —2— 5(1 + tan' cos a ' a + 4 — 0,解得4. 若 sin( a — 4ta n （每小题5分，共15分） 1 2， n+ a )= 答案_3 ~2tan a = 2. n ，贝U cos B.I 1+ sin a2.已知 COS a COS sin a的值是即-a sin 1 a - 12.右 cos(a + 2sin5, 则 tan a等于B. 21 C - 2D.答案I 解析 由cos+ 2sin-■. 5可知, cos a 0,两边同时除以cos a 得 1+ 2tan=—3,2 2 sin e + sin e cos e — 2cos ee + sin 晋-e = 0.三、解答题求角A 」+ 2sin B cos B右 cos 2B —sin 2B =— 3 4 5 求 tan B -解 2 2又 sin A + cos A = 1,• sin 2A + ( 3sin A- 1)2= 1,即 4sin 2A — 2 3sin A = 0,得sin A = 0(舍去)或sin A = f • A =~3或或兀, n , 2 n , 2 , ,n将A ="3或丁代入①知 A= 3 n 时不成立，A =§.1 + 2sin B cos B2 2sin e + cos e2 tan e + tan e — 22tan e + 14+ 2 — 2 45. 5.已知 答案 n ------- € —, n , • cos a =— 1 — sin tan e = 2,贝U sin 2 e + sin e cos 4 a = --- . 2 e — 2cos e = 解析 sin5 2 2 sin e + sin e cos e — 2cos e 2 2 e + sin e cos e — 2cos e 1 6.已知cos n — e = a (| a | w 1) 则cos+ sin ¥—°的值是 答案解析 5 n cos + e = cos n — 6 n =—cos "6 9 =— a .2n sin —— e=cos =a , 7. (13 根.分）已知A 、BC 是三角形的内角， 3sin 2 A ,— cos A 是方程x - x + 2a = 0的两 (1)由已知可得，■ 3sin A — cos A = 1①2cos 2B—sin 2B2 2得sin B—sin B cos B—2cos B= 0, ■/ cos B M 0,二tan ?B—tan B— 2 = 0, • tan B= 2 或tan B=—1.2 2■/ tan B=—1 使cos B—sin B= 0,舍去, 故tan B= 2.=—3,。
同角三角函数的基本关系及诱导公式
同角三角函数的基本关系及诱导公式
山东金榜苑文化传媒集团
任意角与弧度制； 单位圆
任意角的三角函数
三 角 函 数
三角函数的图象
弧度制
任意角三角函数定义 同角三角函数的关系
诱导公式 二倍角公式 和差化积，积化和差 正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx
yA sin (x )b
(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，
∴sin2α＝4sin2β，① tan2α＝9tan2β， ②
由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，
③
①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，
∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝38，即
cos
α＝±
6 4.
解:(1)sin2α＋sin αcos α－2cos2α ＝sin2α＋ssinin2αα＋cocsoαs－ 2α 2cos2α＝tan2tαa＋n2tαa＋n 1α－2＝45.
cos2α
∵tan α＝－43，
∴cos2α－ 1 sin2α＝t1a－ n2tαa＋ n2α1＝1－ －43－2＋ 4312＝－275.
(2)
sin2α＋cos2α cos2α－ 1 sin2α＝scions22αα＋ －csoins22αα＝cos2cαo－ s2αsin2α＝t1a－ n2tαa＋ n2α1，
②图象也可以用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意的符号）；
④最小正周期
T
2 | |
；⑤对称轴
x(2k12 )2 ,对称中心为 (k,b),kZ
忆一忆知识要点
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：s_i_n __2_ __ __c_o _s__2_ __ _.1
同角三角函数关系式与诱导公式基础(教师用)
同角三角函数关系及诱导公式教学目标：1. 理解同角三角函数的基本关系式；2. 掌握正弦，余弦的诱导公式。
教学重点：同角三角函数基本关系及诱导公式的灵活运用 教学难点：诱导公式的灵活运用 一．知识梳理1.同角三角函数基本关系： （1）基本关系：①平方关系: sin 2α＋cos 2α＝1 2211tan cos αα+=②商数关系: tan α＝sin αcos α（α≠k π＋π2，k ∈Z ）；cot α＝cos αsin α（α≠k π，k ∈Z ）．③倒数关系: 1tan cot αα=（12k απ≠） （2）常用变换形式:①根据这三大关系，若已知一个角α的位置，及其一个三角函数值，则一定能求出其余的三角函数值． ②几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。
2.诱导公式： （1）基本关系（一）2k πα+ （二）πα+ （三） α- （四）πα- （五）2πα- （六）2πα+正弦sin α sin α- sin α- sin α cos α cos α 余弦cos α cos α- cos α cos α- sin α sin α- 正切tan α tan α tan α- tan α- / / （2）记忆及运用方法：①六组诱导公式统一为“()2k k Z πα±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正---→大化小---→小化锐，体现了化归思想。
(1)利用诱导公式（三）将负角的三角函数变为正角的三角函数. (2)利用诱导公式（一）化为0°到360°间的角的三角函数. (3)进一步转化成锐角三角函数. 二．典型例题考点一 诱导公式例1 化简：（1）化简)1050sin()600cot()420cos()210cos()150tan(︒-︒-︒-︒-︒-（2）cos(sin(2)sin()cos(πααπαππα+)⋅+--⋅--)解：（1）原式＝)1050sin )(600cot (420cos 210cos )150tan (︒-︒-︒︒︒-＝)]303603sin()][240360cot([)60360cos()30180cos()]30180tan([︒-︒⨯-︒+︒-︒+︒︒+︒︒-︒-＝)]30sin()[240cot (60cos )30cos (30tan ︒--︒-︒︒-︒＝︒︒+︒-︒︒-︒30sin )]60180cot([60cos )30cos (30tan＝︒︒-︒︒-︒30sin )60cot (60cos )30cos (30tan ＝︒︒-︒︒-︒30sin )30tan (30sin )30cos (30tan ＝cos300＝32（2）原式＝cos sin sin()cos()ααπαπα-⋅-+⋅+＝)cos (sin sin cos αααα-⋅⋅-＝1变式：已知cos(6π－α)＝33，求cos(65π＋α)＋sin 2(α－6π）的值.解：cos(65π＋α)＝cos ［π－（6π－α)］＝－cos(6π－α)＝－33.又sin 2(α－6π)＝1－cos 2(6π－α)＝32∴原式＝332-.例2 已知8cos()17πα-=，求sin(5)απ-，tan(3)πα+的值． 分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．解：由8cos()17πα-=，得8cos 017α=-<，α∴是第二，三象限角． 若α是第二象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=-，15tan(3)tan 8παα+==-；若α是第三象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=，15tan(3)tan 8παα+==．考点二 同角三角函数恒等式例3 已知α是三角形的内角，若1sin cos 5αα+=，求tan α的值． 分析：先求出sin cos αα-的值，联立方程组求解． 解：由1sin cos 5αα+=两边平方，得112sin cos 25αα+⋅=，即242sin cos 025αα∴⋅=-<． 又α是三角形的内角，cos 0α∴<，2παπ∴<<．由249(sin cos )25αα-=，又sin cos 0αα->，得7sin cos 5αα-=． 联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得4tan 3α=-．点评：由于2(sin cos )12sin cos αααα±=±⋅，因此式子sin cos αα-，sin cos αα+，sin cos αα⋅三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二．例4 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且，求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值.. 解：由sin cos ,x x m +=得212sin cos ,x x m +=即21sin cos ,2m x x -=（1）233313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22m m m x x x x x x m --+=+-=-=（2）24244222121sin cos 12sin cos 12()22m m m x x x x --+++=-=-=考点三 恒等式与诱导公式的综合例5 已知cos(75°＋α)＝13 ，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.分析：依据已知条件与所求结论，寻求它们的关系（75°＋α)＋(105°－α)＝180°，结合三角函数诱导公式求得.解：∵cos(105°－α)＝cos ［180°－(75°＋α)］＝－cos(75°＋α)＝－13sin(α－105°)＝－sin ［180°－(75°＋α)］＝－sin(75°＋α)∵cos(75°＋α)＝ 13 ＞0又∵α为第三象限角，∴75°＋α为第四象限角∴sin （75°＋α)＝－1－cos 2（750＋α） ＝－1－（13 ）2 ＝－223∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13 ＋223＝－1＋223变式1 设θ是第二象限角, 且,312sin2cos=-θθ求2sin 2cos θθ+的值. 解：θ 是第二象限角,2,224,222θππθππππθππ∴+<<+∴+<<+∴k k k k 位于第一、三象限, 即,22242ππθππ+<<+k k 或)1()(2322452 Z k k k ∈+<<+ππθππ又,2sin 2cos )2(0312sin 2cos θθθθ>∴>=- ),(2322452Z k k k ∈+<<+∴ππθππ)3(02sin ,02cos <<∴θθ对(2) 式两边平方得：,982sin 2cos 2912sin 2cos 21=∴=-θθθθ,9172sin 2cos 21)2sin 2(cos 2=+=+∴θθθθ由(3)式得.3172sin 2cos -=+θθ变式2 已知α是第三象限的角，且f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋32π）tan （―α―π）sin （－π－α）(1)化简f （α）； (2)若cos(α－32 π)＝15 ，求f (α)的值；(3)若α＝－1860°，求f （α）的值. 解：（1）f （α）＝)22sin()22cot()23tan()24cos()22sin(απαπαπαπαπ-⋅-⋅-⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅＝αααααsin )cot (cot cos sin ⋅-⋅⋅＝－cos α（2）由已知得sin α＝－51，cos α＝－526， ∴f (α)＝ 526（3）f (－1860°）＝－21例6 化简 (1)x x xx x x sin tan sin tan cos 1sin +-⋅-(2)12sincos 12sin cos (0)22222ααααπ-++<α< 解：(1) 原式＝1± (2)原式＝2cos2α变式 化简 (1)212sin10cos10sin101sin 10---=-1 (2)1cos 1cos (1cos 1cos -α+α+α+α-α是第三象限角)=2sin α-例7 证明(1)1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ ＝1＋tan θ1－tan θ(1)证明：左＝)s i n )(c o s s i n (c o s c o s s i n 2c o s s i n 22θθθθθθθθ-+++＝)sin )(cos sin (cos )cos (sin 2θθθθθθ-++＝θθθθsin cos sin cos -+＝θθθθθθcos sin cos cos sin cos -+ ＝1＋tan θ1－tan θ ＝右，证毕. (∵cos θ≠0，∴分子、分母可同除以cos θ) 变式 (1)求证:cos x1－sin x ＝1＋sin x cos x课后作业一、选择题：1.若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则( )A ．α＝βB ．α＝180°＋βC ．α＝k ·360°＋β，k ∈ZD ．α＝k ·360°＋180°＋β，k ∈Z 解析：借助图形可知，若角α与β的终边关于原点对称， 则α＝k ·360°＋180°＋β.答案：D 2．若－π2<α<0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵－π2<α<0，∴tan α<0，cos α>0，∴点P 在第二象限．答案：B3．已知扇形的面积为2 cm 2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋α·R ＝2＋4＝6.答案：C 4．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ解析：∵2k π＜θ＜2k π＋π2(k ∈Z)，∴k π＜θ2＜k π＋π4(k ∈Z)，4k π＜2θ＜4k π＋π(k ∈Z)．可知θ2是第一、第三象限角，sin θ2、cos θ2都可能取负值，只有tan θ2能确定为正值．2θ是第一、第二象限角，cos2θ可能取负值．答案：C5．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.答案：B 6．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：sin 2θ＋sin θ·cos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.答案：D 7．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4解析：解法一：r ＝sin 23π4＋cos 23π4＝1，由三角函数的定义，tan θ＝y x ＝cos3π4sin 3π4＝－1.又∵sin 3π4>0，cos 3π4<0，∴P 在第四象限，∴θ＝7π4，故选D.解法二：P⎝⎛⎭⎫22，－22，同上．答案：D8．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 解析：由题意，tan α＝3，α是第三象限角，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋n 2＝10，n ＝3m <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.答案：A 9．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 解析：由cos α＋2sin α＝－5,①,sin 2α＋cos 2α＝1,②) 将①代入②得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－55.故选B.10．已知sin α＝2m －5m ＋1，cos α＝－mm ＋1，且α为第二象限角，则m 的允许值为( ) A.52＜m ＜6 B ．－6＜m ＜52 C ．m ＝4 D ．m ＝4或m ＝32 解析：由sin 2α＋cos 2α＝1得， (2m －5m ＋1)2＋(－m m ＋1)2＝1， ∴m ＝4或32，又sin α＞0，cos α＜0，把m 的值代入检验得，m ＝4，故选C.11．点P (1,0)沿x 2＋y 2＝1逆时针转2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为 ( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12)解析：根据题意得Q (cos 23π，sin 23π)，即Q (－12，32)．答案：A12．(tan x ＋1tan x)cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D.1tan x解析：(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos x sin x )cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.答案：D二、填空题：13．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin(3π2－θ)＝________.解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin(3π2－θ)＝sin θcos θ＝310.答案：31014．1－2sin40°cos40°cos40°－1－sin 250°＝________.解析：1－2sin40°cos40°cos40°－1－sin 250°＝(sin40°－cos40°)2cos40°－sin40°＝cos40°－sin40°cos40°－sin40°＝1.答案：115．已知α∈(π2，3π2)，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为________．解析：tan(α－7π)＝tan α＝－34，∴α∈(π2，π)，sin α＝35，cos α＝－45，∴sin α＋cos α＝－15.16. 若f (cos x )＝cos3x ，则f (sin30°)的值为________．解析：∵f (cos x )＝cos3x ，∴f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos(3×60°)＝cos180°＝－1.答案：－1 17．已知tan α＝2，则(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________；(2) 4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. 解析：(1)将分子、分母同除以cos α(∵cos α≠0)，然后整体代入tan α＝2的值． 2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)注意到sin 2α＋cos 2α＝1， 4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.应填1. 答案：(1)－1 (2) 118. 化简cos(－θ)cos(360°－θ)·tan 2(180°－θ)－cos(90°＋θ)cos 2(270°＋θ)·sin(－θ)＝________. 解析：直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得原式＝－1.答案：－1 19. 已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：根据题意知tan α＝－6x ＝－35，所以x ＝10.答案：10。
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎪⎫α≠kπ＋π2，k∈Z.2．诱导公式3.(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(√)(2)对任意角α，sinα2cosα2＝tanα2都成立．(×)(3)对任意的角α，β有sin2α＋cos2β＝1.(×)(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√) (6)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(×)(7)若cos(nπ－θ)＝13(n∈Z)，则cos θ＝13.(×)(8)已知sin θ＝m－3m＋5，cos θ＝4－2mm＋5，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则m＜－5或m≥3.(×)(9)角π＋α和α终边关于y轴对称．(×)(10)若α＋β＝90°，则sin2α＋sin2β＝1.(√)考点一 同角三角函数关系式的应用[例1] (1)已知sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ的值是( ) A.229 B ．－229 C ．－19D.19解析：∵sin θ＝－13，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝223.∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ ＝－13×223＝－229. 答案：B(2)若sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则sin α－cos α的值为________． 解析：法一：由sin α＋cos α＝15，得(sin α＋cos α)2＝125， ∴sin αcos α＝－1225，∵α∈(0，π)，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝75. 法二：∵α∈(0，π)， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∴sin α－cos α＝45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝75.答案：75(3)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．±34解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos α＝－45，则tan α＝sin αcos α＝34. 答案：B(4)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 解析：∵tan θ＝2 ∴sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝21＋4＝25. 答案：25[方法引航] (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.1．若本例(1)中，去掉θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2条件，结果如何？解：由sin θ＝－13可得cos θ＝± 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝±223，(θ在一、四象限为正，θ在二、三象限为负) ∴原式＝sin θcos θ＝±229.2．若本例(2)改为sin α＋cos α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0求tan α.解：由sin α＋cos α＝15得(sin α＋cos α)2＝125.∴sin αcos α＝－1225＜0，又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＜0，cos α＞0.∴sin α－cos α＝－(sin α－cos α)2＝－1－2sin αcos α＝－75. 联立⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝－75得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.∴tan α＝sin αcos α＝－34.3．若本例(4)改为，tan θ＝2，求sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ的值． 解：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45.考点二 诱导公式的应用[例2] (1)sin 600°＋tan 240°＝________.解析：sin 600°＋tan 240°＝sin(540°＋60°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝32. 答案：32(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－33(3)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋x ，化简f (x )的表达式并求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π的值．解：∵f (x )＝sin x ·cos x ·(－tan x )sin x＝－cos x ·tan x ＝－sin x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝sin 31π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝sin π3＝32. [方法引航] 1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为去负—脱周—化锐． 2．(1)利用诱导公式化简三角函数的思路和要求①思路方法：a.分析结构特点，选择恰当公式；b.利用公式化成单角三角函数；c.整理得最简形式．②化简要求：a.化简过程是恒等变形；b.结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．(2)巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________．解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2. 答案： 22．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________. 解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：123．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________.解析：原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案：－2[方法探究] 小“1”能起大作用由于sin 2α＋cos 2α＝1恒成立，故在三角函数化简与求值中巧妙利用“1”的代换，sin 2α＋cos 2α即为1，看到“1”就联想到sin 2α＋cos 2α. [典例] (1)sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________.[解析] 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝＋12＝4412.[答案] 4412(2)若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( )A ．－210 B.210 C.5210D.7210[解析] sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，又cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 2α＋22cos 2α＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. [答案] －210[高考真题体验]1．(2015·高考福建卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125 C.512D ．－512解析：选D.因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512.2．(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2k π＜θ＜2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π＜θ－π4＜2k π－π4，k ∈Z ，所以sin⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－4535＝－43. 答案：－433．(2016·高考四川卷)sin 750°＝________.解析：sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案：124．(2016·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：sin α＋2cos α＝0⇔tan α＝－2，所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案：－15．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cosθ＝________.解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13. ∵θ为第二象限角，tan θ＝－13＞－1， ∴2k π＋3π4＜θ＜2k π＋π，∴(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ＋1tan 2θ＋1＝19－23＋119＋1＝25. sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－105. 答案：－105课时规范训练 A 组 基础演练1．已知α为第二象限角，且sin α＝35，则tan(π＋α)的值是( ) A.43 B.34 C ．－43D ．－34解析：选D.因为α为第二象限角，cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan(π＋α)＝tan α＝－34.2．sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0D ．2解析：选D.原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 3．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝( ) A ．－35 B.35 C.45D ．－45解析：选B.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35.4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( ) A ．－π6 B ．－π3 C.π6D.π3 解析：选D.∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值是( )A.12B.23 C ．－12D ．1解析：选C.由已知得cos α＝12，sin α＝－32， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 6．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ＝________.解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝2.答案：27．若cos(π－α)＝－13，则cos (2π－α)·sin (π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan (3π－α)的值为________．解析：由cos(π－α)＝－13，得cos α＝13. 则cos (2π－α)·sin (π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan (3π－α)＝cos α·(－sin α)cos α·(－tan α)＝cos α＝13. 答案：138．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝________.解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)， 故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310.答案：3109．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，求sin α的值________．解析：由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0， ①tan α－6sin β＝1， ②①②联立，解得tan α＝3，∴sin αcos α＝3，∴cos α＝13sin α，∴sin 2α＋19sin 2α＝1∴α为锐角，∴sin α＝31010. 答案：3101010．已知sin θ＝45，π2＜θ＜π.(1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值． 解：(1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925.又π2＜θ＜π.∴cos θ＝－35.∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. B 组 能力突破1．若cos θ＝35，sin θ＝－45，则角θ的终边所在的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＝0B ．4x ＋3y ＝0C ．3x －4y ＝0D ．4x －3y ＝0解析：选B.依题意得tan θ＝sin θcos θ＝－43，因此所求的直线的斜率是－43，其方程是y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.2．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.118B.1718C.89D.29解析：选B.∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝－89，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1718.3．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.34解析：选D.∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故cos 2θ≤0，∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3782＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ，∴sin 2θ＝1－cos 2θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－182＝916.又sin θ＞0，∴sin θ＝34，故选D.4．在△ABC 中，已知2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，则A ＝________. 解析：由2cos 2A －3cos(B ＋C )＝2，得2cos 2A －3cos(π－A )＝2， 即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，则在△ABC 中，A ＝π3.答案：π35．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ的值． 解：由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝a sin θcos θ＝a，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.。
4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
sin ������ · cos ������ si n 2 ������ +co s 2������
=
tan ������ ta n 2 ������ +1
=
2 22 +1
= .
5
关闭
2
解析
答案
-10-
1 2 3 4 5
自测点评 1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中 π α≠ 2 +kπ,k∈Z. 2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要 根据角α的范围确定. 3.公式化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角 函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
-11考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
考点1同角三角函数基本关系式的应用 2sin������-3cos������ 例1(1)已知tan α=2,则 4sin������-9cos������ = ,4sin2α-3sin αcos α5cos2α= .
关闭
2sin ������ -3cos ������ 4sin ������ -9cos ������
二 π+ α -sin α -cos α tan α
三 -α -sin α cos α -tan α
四 π-α sin α -cos α -tan α
五
π 2
六
π 2
-α
+α
cos α sin α
cos α -sin α
口诀 函数名不变,符号看象限
函数名改变, 符号看象限
-4-
3.特殊角的三角函数值
2
=
2tan ������ -3 2×2-3 4tan ������ -9 4×2-9
三角函数的基本关系及诱导公式
求 cot( 11 ) 的值
5
2
解： 因为
cos( ) cos( 9 ) 3
5
所以 cos 3
5
2 sin 4
5
所以 cot( 11 ) cot(3 ) tan 4
2
2
3
（三）例题分析：
例4．若 tan 2 ，求值① cos sin ； cos sin
同角三角函数的基本关系 与诱导公式
xxxx
小测验:
1.已知点 P(tan, cos) 在第三象限，则角 的终边
在第
象限.
2.若cos 0,sin 2 0 ，则角 的终边所在的象限是Βιβλιοθήκη .3.角 的终边过点
则X的值是
P(x,1)
.
，且 cos
2 5
5，
4.已知扇形的周长是6厘米，面积是2平方厘米，则扇
例2．化简: tan (cos sin ) sin tan
cot c s c
分析：切割化弦是解本题的出发点．
解：原式
sin
(cos cos
sin
)
sin cos
sin cos
1
sin
sin sin
（三）例题分析：
例3．已知: 2 ,cos( 9 ) 3
只有一次呢？因此，三棱镜：在失败与挫折面前，我这也有名堂，可是路途太远，人们驻足停留的机会少，什么消息？荷花是大朵大朵的，寒假的时候她到一家工厂去打工，落笔成文，永远走不出狭隘的天地。“柔”反映的则是人良好的涵养，我坐在-群妙 朝小径而去。又从容地用自己的尾巴
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1044同角三角函数的关系与诱导公式
一、知识回顾
1、同角三角函数的关系
平方关系：
商数关系：
倒数关系：
2、诱导公式
诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限
二、基本训练
1、若1cot1sintan1cos22，则是
A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四
象限角
2、若220x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是
A、)4,0( B、),43( C、)45,4( D、]4,0[],43[
3、已知53sinmm，)2(524cosmm，则tan＝
A、mm243 B、mm243 C、125 D、512
4、405cot300tan的值为＿＿＿＿。
5、已知54)540sin(，则)270cos(＿＿＿；若为第二象限角，
则)180tan()]360cos()180[sin(2＿＿＿＿。
三、例题分析
例1、已知是第三象限角，且)sin()cot()23tan()2cos()sin()(f。
（1）化简)(f；
（2）若51)23cos(，求)(f的值；
（3）若1860，求)(f的值。
例2、化简：（1）csccottansin)sin(costan；
（2）cossin2cotcostansin22；
（3）sin1sin1sin1sin1tan1cos12。
例3、已知11tantan，求下列各式的值：
（1）cossincos3sin；（2）2cossinsin2。
例4、已知sin和cos是方程052mxx的两实根，求：（1）m的值；（2）
当),0(时，求)3cot(的值；（3）33cossin的值。
四、作业同步练习1044同角三角函数的关系与诱导公式