回溯法迷宫求最优路径
《计算机算法设计与分析》习题及答案
《计算机算法设计与分析》习题及答案一．选择题1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。
A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。
A、找出最优解的性质B、构造最优解C、算出最优解D、定义最优解3、最大效益优先是（A ）的一搜索方式。
A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法4. 回溯法解旅行售货员问题时的解空间树是（ A ）。
A、子集树B、排列树C、深度优先生成树D、广度优先生成树5．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（B ）。
A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法6、衡量一个算法好坏的标准是（ C ）。
A 运行速度快B 占用空间少C 时间复杂度低D 代码短7、以下不可以使用分治法求解的是（ D ）。
A 棋盘覆盖问题B 选择问题C 归并排序D 0/1背包问题8. 实现循环赛日程表利用的算法是（A ）。
A、分治策略B、动态规划法C、贪心法D、回溯法9．下面不是分支界限法搜索方式的是（D ）。
A、广度优先B、最小耗费优先C、最大效益优先D、深度优先10．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（D ）。
A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法11.备忘录方法是那种算法的变形。
（ B ）A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法12．哈夫曼编码的贪心算法所需的计算时间为（B ）。
A、O（n2n）B、O（nlogn）C、O（2n）D、O（n）13．分支限界法解最大团问题时，活结点表的组织形式是（B ）。
A、最小堆B、最大堆C、栈D、数组14．最长公共子序列算法利用的算法是（B）。
A、分支界限法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法15．实现棋盘覆盖算法利用的算法是（A ）。
A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法16.下面是贪心算法的基本要素的是（C ）。
A、重叠子问题B、构造最优解C、贪心选择性质D、定义最优解17.回溯法的效率不依赖于下列哪些因素（ D ）A.满足显约束的值的个数B. 计算约束函数的时间C.计算限界函数的时间D. 确定解空间的时间18.下面哪种函数是回溯法中为避免无效搜索采取的策略（B ）A．递归函数 B.剪枝函数 C。
算法分析与设计
表中有些数字已经显露出来，还有些用?和*代替。 请你计算出? 和 * 所代表的数字。并把 * 所代表的数字作为本题答 案提交。
素数环问题
素数环是一个计算机程序问题，指的是将从1到n这n个整数围成一 个圆环，若其中任意2个相邻的数字相加，结果均为素数，那么这个环 就成为素数环。现在要求输入一个n，求n个数围成一圈有多少种素数 环，规定第一个数字是1。 143256 165234
例如当n=5，m=4时，面值为1，3，11，15，32的5种邮票可以贴 出邮资的最大连续区间是1到70。
➢ 通用的解题法 ➢ 核心在于构造解空间树：
➢ 子集树 ➢ 排列树 ➢ 回溯法是优化的暴力搜索： ➢ 不满足限制条件； ➢ 当前解与最优解进行预计算； ➢ 学习回溯法：心中有树
回溯法
总结
➢ 动态规划适合两个连续步骤之间有联系的问题； ➢ 回溯法几乎适用于所有的问题，但问题之间最好有明确的层次。
总结
➢ 构造心中的解空间树是关键； ➢ 回溯法与函数的局部变量； ➢ 访问解空间树的优化处理；
迷宫问题中的回溯法
➢ 四邻域 ➢ 八邻域
图论问题
无向图： ➢ 连通 ➢ 不连通
有向图： ➢ 弱连通 ➢ 单向连通 ➢ 强连通
最大团问题
连通子图（分支）
最大团问题
给定无向图G=(V,E)，如果UV，且对任意的u,vU， 都有(u,v)E，则称U是G的完全子图。G的完全子图U是G 的一个团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G中 的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
yes no yes
➢ 通用的解题法 ➢ 核心在于构造解空间树：
第一章回溯法(习题二
1.5 走迷宫(maze.pas)*【问题描述】有一个m * n格的迷宫（表示有m行、n列），其中有可走的也有不可走的，如果用1表示可以走，0表示不可以走，文件读入这m * n个数据和起始点、结束点（起始点和结束点都是用两个数据来描述的，分别表示这个点的行号和列号）。
现在要你编程找出所有可行的道路，要求所走的路中没有重复的点，走时只能是上下左右四个方向（搜索顺寻：左上右下）。
如果一条路都不可行，则输出相应信息（用-1表示无路）。
【输入】第一行是两个数据m，n（1<m，n<15），接下来是m行n列由1和0组成的数据，最后两行是起始点和结束点。
【输出】所有可行的路径，描述一个点时用（x，y）的形式，除开始点外，其它的都要用“->”表示方向。
如果没有一条可行的路则输出-1。
【样例】maze,in5 61 0 0 1 0 11 1 1 1 1 10 0 1 1 1 01 1 1 1 1 01 1 1 0 1 11 15 6Maze.out(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(3,4)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(4,5)->(5,5 )->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(3,4)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(2,4)->(3,4)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(3,4)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(3,4)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(3,4)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(3,4)->(2,4)->(2,5)->(3,5)->(4,5)->(5,5 )->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(3,4)->(3,5)->(4,5)->(5,5)->(5,6)(1,1)->(2,1)->(2,2)->(2,3)->(3,3)->(4,3)->(4,4)->(4,5)->(5,5)->(5,6)1.6 单向双轨道(track.pas)***【问题描述】如图1-1，某火车站有B，C两个调度站，左边入口A处有n辆火车等待进站（从左到右以a、b、c、d编号），右边是出口D，规定在这一段，火车从A进入经过B、C只能从左向右单向开，并且B、C调度站不限定所能停放的车辆数。
《算法设计与分析》课程中“回溯法”教学探讨
ｖｉ ａｋｒｃ ｉｔ ） ｏｄｂ ｃ ｔ ｋ（ｎ ａ ｔ
｛ ｉ ｔ ）ｏｔｕ（ ） ｆ（ ＞ｎ ｕｐ ｔｘ ；
２ １ 采 用传 统教 学方 法 ， ． 强化 习题 讨 论 实 验 的 目的是 让学 生 自己动 手完 成任 务 ， 同于课 堂教 学学生 是 实验课 的主人 ， 对学生 算法 中有 不 针
问题的部分 ， 教师应及时加以纠正 ， 并以此展开讨论 ， 传统教学方法的优点在于条理清楚 ， 思路清晰， 教 师在板书时学生可以思考 ， 而并非教师用课件直接将算法或程序演示 给学生。例如在做教材 ４ ９ ． 磁带
子树 ， 续按 深度 优 先策 略搜 索 。 继
由于回溯法在许多知识领域有广泛 的应用背景 ， 故从各级 中小学生信息学竞赛到 Ａ Ｍ ＩＰ Ｃ ／Ｃ Ｃ国际 大学生程序设计竞赛 中均能发现其踪迹 ＿ 。它可 以解决许多看上去无法处理的问题 ， ５ Ｊ 另外一些可用类 似于动态规划解决的问题也可用其处理 ， 因此掌握回溯法 的原理与编程技巧 ， 是程序设计的基本功 。与 动态规划法的状态转移方程因问题而异相比， 回溯法显得相对简单 ， 大多数学生经过一段时间的训练均
成 该题 。
对 一些 依 靠搜 索 而不是 直接 套用 子集 树及 排列 树 的 问题 ， 加 以启 发诱 导 ， 要 及 Ｏ Ｉ １ 木棍拼接问题。这两题不能完全按照前期所讲授 的子集树及排列树问题 的套路求 解， 启发 学 生这 两题 共 同点是 采用 深度 优先 搜 寻原则 ， 回溯 中加 人适 当 的剪枝 函数 ， 在 如买 鱼 问题 中鱼 互不冲突 ， 木棍拼接问题 中拼接后剩余长度为当前长度 ， 即可完成。当学生明白并非所有 的搜索均是照 以前的套路做时， 再让他们做书中 ５ １ ．５整数变换问题 ， ５２ 世界名画陈列馆问题。为了让学生拓展 及 ．５
贝贝和小聪走迷宫的奥数题
贝贝和小聪走迷宫的奥数题一个夏日，贝贝和小聪到了一个神秘迷宫，里面有各种难以解答的奥数题。
“今天我们来解一些这些难题，让我们有一个充实的夏日！”贝贝叫道。
他们看到有一个有趣的奥数题：给定一个4×4的格子，格子里有15个“□”，一个“○”，要求将15个“□”按照一定规则填入格子，使所有行、列和对角线都和15。
于是，贝贝和小聪开始思考，希望用最少的步骤解决这个难题。
“看起来很有趣，让我来试试吧！”聪心想。
他们发现，如果把每个“□”的值都按照1-9的规律排列，就可以达到目的了。
比如：1 2 11 1514 5 4 39 6 7 813 10 12他们把15个“□”的值排列在格子中，果然可以使行、列和对角线都等于15，这也就是“贝贝和小聪走迷宫的奥数题”的正确答案。
贝贝和小聪激动不已，他们继续解决其他类似的奥数题，并不断加深对算法的理解。
他们发现，在解决这类奥数难题上，可以采用贪心算法。
贪心算法可以帮助他们找到每一步最有利的操作，从而达到最优解。
此外，他们还发现，解决复杂的奥数题，常常需要做出反复试错，甚至需要采用回溯法。
回溯法的作用是，当前一步操作出现错误时，可以返回上一步继续重新操作，以确保找出最优解。
贝贝和小聪从那次夏日的神秘迷宫走出来时，就已经掌握了解决复杂数学题的能力。
他们发现，每次解决难题时，都不仅能得到一个正确的答案，而且还会因此获得丰富的知识和技巧。
当回顾走迷宫的过程时，贝贝和小聪发现，解决数学题不仅可以提高他们的智力，而且还可以锻炼他们的逻辑能力、计算能力以及临场反应能力。
也正是因为这些，贝贝和小聪能够在未来学习中发挥更大的作用！。
数据结构与算法课程的入门教学范例——迷宫问题
ｅ ｒｅ ｍｅ ｈｏｄ， ａｌ ｇ ｗｉ ｓ ｐａｒ ｅｌ ｂ ｅｄ ｏ ｓ ａｃ ａｎ ｑ ｘｐ ｓｓ ｔ ｏｎ ｔｈ ｅ ａｔ ｙ ａｓ ｎ ｔ ｋ ｄ ｕｅｕ ｏ ｅ ｆ ｄ ｔａ ｃｏ ｔｒ ｔｉ ｎ’ ｄ ｐｔ ａ ｎｓ ｕｃ ｏ ｓ ｅ ｈ ｆｉ ｔ ａ ｒｓ ｎｄ
访 问的节 点， 标记它， 并人栈 。 ②在不能执行 ①时， 若栈不空 ， 则出栈一个元 素。④如果不能执行 ①和 ②时， 则完成 了搜索 。
正如算法 名称那样， 深度优先搜索所遵 循的搜索策 略是
尽可能“ 地 搜索 。 深”
搜索算法， 从而快速入 门课程 学 习。这个典 型实例就是迷宫
摘
一
要： 完整地分 析 了作 为数据结构与算法课程入门教 学范例 的迷 宫问题 的求解 。迷宫问题包含 两个完备 的求解 问题 ， 求
个解 与求最优解。 问题 的求解过程包含 了问题的计算机表示方法， 以及分别基 于数据结构栈和 队列的深度 优先和广度 优先 关键词 ： 宫问题 ； 结构； 迷 数据 算法
ｂ ｅ ｄ ｈ ｆ ｒ ｔ ｓ ａ ｃ ｉ ｇ ａ ｇ ｒ ｔ ｍ． ｒ ａ ｔ ｉｓ ｅ ｒ ｈ ｎ ｌ ｏ ｉ ｈ Ｋｅ ｗｏ ｄ ｙ ｒｓ： Ｌ ｂ ｒ ｎ ｈ Ｑ ｅ ｔ ｏ ； Ｄ ｔ ｏ ｓ ｒ ｃ ｉ ｎ Ａ ｇ ｒ ｔ ｍ ａ ｙ ｉｔ ｕ ｓ ｉ ｎ ａ ａ Ｃ ｎ ｔ ｕｔ ｏ ： ｌｏ ｉｈ
（ 毕节学 院信息化管理 中心 ，贵州 毕节
５ １０） ５７０
（ｎ ｏ ｍ ｔ ｏ ａａ ｅｅ ｔＣ ｎ ｅ ｆ Ｂ ｊ ｅＣ ｌ ｅ ｅ ｕ ｚ ｏ ｉ ｉ ５ ７ ０ Ｉｆ ｒ ａ ｉｎ Ｍ ｎ ｇ ｍ ｎ ｅ ｔ ｒｏ ｉ ｉ ｏ ｌ ｇ ，Ｇ ｉ ｈ ｕ Ｂ ｊ ｅ ５ １ ０ ）
利用栈实现迷宫游戏的求解
Κ7 <
βΩ Ο
?
即)
2
Υ 〕二 , Τ
_
φ
Φ Φ
前 一 点并且 继 续从 下一 个 方 向 向前试 探
达 的各 点 的坐 标
+ , ,
我 们可 以使用 栈来 存放 所 能够 到
因此
,
达 的每 一 点的 下 标 及从 该 点 前进 的方 向
栈 中存 放 的不仅 是 顺序 到
。
Ν Η
& ) 叩
,
如 当 前点 的 坐 标
&见 图
娜, ? 径茸法实班
=
7 ΩΞ Μ Π; Ο Π 9
Α
。
与 其相 邻 的5 个 点 的坐标 都 可 根据 与 该点 的相 邻 方位 而 得 到
ΩΩ
ΠΜ& 7 Π Ν
7
9 6
: ;
0 < < Κ5ΚΝ Π ] &
_
,
7
6
,
7 Ν
Π
7
,
ΨΟ 9 Π
,
;
Ζ色
[
Β > & = Α
& 5
从
Δ Ω⊥ 7 Θ+ Η
Ε
Φ 搜索 5 个 方 向的邻 Φ
首先探 测 正 东方 向
, ,
没 有通 路
,
接点 [
7 ΩΟ
且 未 走过
即表示 某 处可 以到达
,
,
这样便 到达 新点 继 续 依次探测 此新 点
,
,
即
;
7
ΩΟ + β >
的5 个方 向
若 某 点的所 有 的方 向均 没有通 路
回溯法 八皇后
回溯法（8皇后问题）1.1算法原理回溯算法实际是一个类似枚举的搜索尝试方法，其基本思想是在搜索尝试中找问题的解，采用了一种“走不通就掉头”的思想，作为其控制结构。
从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。
八皇后问题就是回溯算法的典型，第一步按照顺序放一个皇后，然后第二步符合要求放第2个皇后，如果没有符合条件的位置符合要求，那么就要改变第一个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了。
回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。
回溯算法说白了就是穷举法。
不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成。
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
用回溯法搜索解空间树时，通常采用两种策略来避免无效搜索，提高回溯法的搜索效率。
其一是用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；其二是用限界函数剪去不能得到最优解的子树。
1.2算法适用性它适用于解一些组合数较大的问题，有条件限制的枚举，即优化的枚举.1.3算法描述8皇后回溯算法1.设Column[8]数组依次存储第一行到第八行的列位置，QUEEN_NUM=8，皇后个数2.从第一行第一列开始放置，开始放置下一行的皇后（当且仅当前行的皇后位置正确时）3.判断放置位置是否合理：Column[i]==Column[n]，判断是否在同一列，abs(Column[i]-Column[n])==(n-i))，判断时候在斜线上。
第5章 搜索与回溯算法(C 版)
【参考程序】
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> using namespace std; int a[10001]={1},n,total; int search(int,int); int print(int); int main() {
int print();
//输出方案
int main() {
cout<<"input n,r:"; cin>>n>>r; search(1); cout<<"number="<<num<<endl; }
//输出方案总数
int search(int k) {
int i; for (i=1;i<=n;i++) if (!b[i])
（r<n），试列出所有的排列。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int num=0,a[10001]={0},n,r;
bool b[10001]={0};
int search(int);
//回溯过程
{
for (int j=0;j<=3;j++)
//往4个方向跳
if (a[i-1][1]+x[j]>=0&&a[i-1][1]+x[j]<=4
&&a[i-1][2]+y[j]>=0&&a[i-1][2]+y[j]<=8)//判断马不越界
宽搜深搜
搜索算法搜索算法是利用计算机的高性能来有目的的穷举一个问题的部分或所有的可能情况，从而求出问题的解的一种方法。
搜索过程实际上是根据初始条件和扩展规则构造一棵解答树并寻找符合目标状态的节点的过程。
所有的搜索算法从其最终的算法实现上来看，都可以划分成两个部分──控制结构和产生系统，而所有的算法的优化和改进主要都是通过修改其控制结构来完成的。
现在主要对其控制结构进行讨论，因此对其产生系统作如下约定：FunctionExpendNode(Situation:Tsituation;ExpendWayNo:Integer):TSituation;表示对给出的节点状态Sitution采用第ExpendWayNo种扩展规则进行扩展，并且返回扩展后的状态。
（本文所采用的算法描述语言为类Pascal。
）第一部分基本搜索算法一、回溯算法回溯算法是所有搜索算法中最为基本的一种算法，其采用了一种“走不通就掉头”思想作为其控制结构，其相当于采用了先根遍历的方法来构造解答树，可用于找解或所有解以及最优解。
具体的算法描述如下：[非递归算法]<Type>Node(节点类型)＝RecordSitutation:TSituation（当前节点状态）;Way-NO:Integer（已使用过的扩展规则的数目）;End<Var>List(回溯表):Array[1..Max(最大深度)]of Node;pos(当前扩展节点编号):Integer;<Init>List<-0;pos<-1;List[1].Situation<-初始状态;<Main Program>While(pos>0(有路可走))and([未达到目标])doBeginIf pos>=Max then(数据溢出,跳出主程序);List[pos].Way-NO:=List[pos].Way-No+1;If(List[pos].Way-NO<=TotalExpendMethod)then(如果还有没用过的扩展规则)BeginIf(可以使用当前扩展规则)thenBegin(用第way条规则扩展当前节点)List[pos+1].Situation:=ExpendNode(List[pos].Situation,List[pos].Way-NO);List[pos+1].Way-NO:=0;pos:=pos+1;End-If;End-IfElse Beginpos:=pos-1;End-ElseEnd-While;[递归算法]Procedure BackTrack(Situation:TSituation;deepth:Integer);Var I:Integer;BeginIf deepth>Max then(空间达到极限,跳出本过程);If Situation=Target then(找到目标);For I:=1to TotalExpendMethod doBeginBackTrack(ExpendNode(Situation,I),deepth+1);End-For;End;范例：一个M*M的棋盘上某一点上有一个马，要求寻找一条从这一点出发不重复的跳完棋盘上所有的点的路线。