《概率统计》 试题试卷及答案

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《概率统计》 试题试卷及答案
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一、单项选择题（每小题3分，共30分）请将正确答案填入下面的答题框中！
1、设A，B相互独立,且0)(,0)(APBP，则下面结论中一定正确的是( )

(A)Ａ与Ｂ互不相容 (B))()(APBAP;
(C)Ａ与Ｂ相容 (D))()()(BPAPBAP
2、设随机变量X(2008,2010)N，且PXCPXC，则C
(A) 0 (B) 2008 (C) 2010 (D)2010
3、设),,,(21nXXX为来自总体Ｘ的一个样本，则
nXXX,,21


必然满足（ ）

(A)独立但分布不同 (B)分布相同但不相互独立
(C)独立同分布 (D)不能确定
4、设随机变量X的密度函数为()px，分布函数为()Fx，且()()pxpx，则对任意

实数a，有()()FaFa
(A) 1 (B) 12 (C) 13 (D) 32
5、下列函数中，可以作为随机变量分布函数的是
(A) 21()1Fxx (B) 31()arctan42Fxx

(C) 200()101xFxxx，， (D) 2()1arctanFxx
6、设随机变量X2(,)N，则概率1PX

题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 合计
得 分

评卷人
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(A) 随的增大而减小 (B) 随的增大而变大
(C) 随的增大而减小 (D) 随的增大而变大
7、投篮三次，设iA表示第i次投中的事件，则3次都没投中可表示为( )

(A)123AAA (B)123AAA (C) 123AAA (D) 123AAA
8、设),,,(21nXXX为来自总体),(~2NX的一个样本，其中2,未知，则下面不
是统计量的是 （ ）
(A)iX (B) niiXnX11 (C) niiXXn12)(1 (D)niiXn12)(1

9、任何一个连续型随机变量的概率密度()fx一定满足 .
(A)0()1fx； (B)在定义域内单调不减； (C)()1fxdx；(D)lim()1xfx.
10、设1234,,,XXXX为总体X的样本，则总体均值的较有效的估计量是：（ ）
(A)123411113663XXXX； (B)123411114444XXXX

(C) 123443119999XXXX； (D)123412115555XXXX
二、填空（每小题3分，共15分）
1、设8.0)(,4.0)(BAPAP，A,B互不相容，则)(BP＿＿＿＿
2、设)(~PX，且}4{}2{XPXP，则)(XD＿＿＿＿＿
3、设)3,1(~2NX，则(21)EX＿＿＿＿＿＿；(35)DX＿＿＿＿＿
4、设x1,x2,…x25是来自总体X～N(2，σ2)的一个样本，x为其样本均值，s为其标

准样本方差，则s10x5服从分布__________
5、设随机变量的概率分布为akaakPk则为常数,,2,1,,5)( .
三、计算题（每小题7分，共42分）
1．仓库中有10箱同一规格的产品，其中2箱由甲厂生产，3箱由乙厂生产，5箱由
丙厂生产，三厂产品的合格率分别为85%，80%和90%,求：
（1）这批产品的合格率；（2）从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件，若
此件产品为合格品，问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少？
2．一批产品共20件，其中5件是次品，其余为正品，现从这20件产品中不放回地
任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：
（1）在第一、第二次取到正品的条件下，第三次取到次品；
（2）第三次才取到次品；（3）第三次取到次品。
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3．设随机变量~(0,1)XN，求随机变量xye的概率密度。
4．设二维随机变量(,)XY的概率密度函数为：(2),01,0(,)0,Ayxxyxfxyothers，
（1）确定常数A；（2）求边缘概率密度函数(),()XYfxfy，判断X与Y是否相互独立。
5．设二维随机向量(,)XY的概率密度函数为：.0;10,2043),(2其它yxyxyxf，求
协方差(,)CovXY和相关系数XY。
6．设 12,,,nXXX为来自总体~()Xe的样本，求参数的极大似然估计．
四、综合应用题：(13分)

设连续型随机变量X的分布函数为：22,0()0,0xabexFxx,

（1）求常数,ab；（2）求随机变量X的概率密度函数；（3）求{ln4ln16}PX；
（4）求2YX的期望即求2()EX
《概率统计》参 考 答 案 与 评 分 标 准
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1~5:CBCAC;6~10:CCDCB

二、填空（每空格3分，共15分）
1、0.4；2、23；3、3，81；4、(0,1)N；5、4；

三、计算题（每小题7分，共42分）
1．解：设B表示这批产品为合格品，,1,2,3iAi分别表示抽取的
这一箱为甲、乙丙三厂所生产，则有：
(1)31235()()(|)85%80%90%86%101010iiiPBPAPBA（3分）

(2)由贝叶斯公式，在产品为合格品的条件下，产品由甲厂生产的

概率为：111285%()(|)1710(|)19.77%()0.8686PAPBAPABPB （5分）
同理可得23(|)27.91%;(|)52.32%PABPAB （7分）

2．解：设iA表示第i次取到正品，1,2,3i；由题意有：
（1）12331212()5(|)()18PAAAPAAAPAA （2分）
（2）1231514535()201918228PAAA （4分）
（3）由抽签原理有351()204PA （7分）

3．解：由于~(0,1)XN，所以其密度函数为：221(),2xfxex
而由xye可得lnxy，(0)y其导数为1xy， （4分）
代入公式得xye的密度为2(ln)21,0()20,0yYeyfyyy （7分）

4．解：(1)10051(,)(2)24xxyfxydxdydxAyxdyA
解得244.85A （2分）
(2)204.8(2),012.4(2),01()(,)0,0,xXyxdyxxxxfxfxydyothersothers

同理有22.4(34),01()0,Yyyyyfyothers （5分）
显然有()()(,)XYfxfyfxy故X与Y不独立。 （7分）

5．解：（1）212003()()dddd4EXxfx,yxyxxxyy
212
33

000

333
ddd482xxyyxx

.

(2)212003()()dddd4EYyfx,yxyxyxyy23. （2分）
(3)212003()()dddd14EXYxyfx,yxyxxyxyy （3分）
故 32Cov()()()()1023X,YEXYEXEY. （5分）
(4)由于Cov()0X,Y，所以0XY. （7分）
6．解：由于~()Xe，故其密度函数为：(),0xfxex，
似然函数：1121(,,,;)niiinxxnniLxxxee （3分）
两边取对数得1ln()lnniiLxn， （4分）
两边对求导并令其等于零，得似然方程

1ln-0niidLnxd


， （6分）

解之得11niinxx，

因此，的最大似然估计为11ˆniinxx．（7分）
四、综合应用题：(13分)
解：(1)由于X为连续型随机变量，故有00,1FF;(2分)

即有0001abeab，解得：1,1ab （4分）

（2）22,00,0xxexfxFxx （6分）
（3）{ln4ln16}(ln16)(ln4)0.25PXFF（9分）
（4）22220()2xEXxxedx （13分）