【范文】XX届高考数学教材知识点复习数列的基本概念导学案
高考数学复习知识点讲解教案第34讲 数列的概念与简单表示法
1
3
10
−1
1−
1
10
B. =
1
3
D. =
3
10
10
C
)
−1
10
−1
[解析] 根据题意，数列9，99，999，9999，⋯ 的一个通项公式为 =
10
− 1，
则数列0.9，0.99，0.999，0.999 9，⋯ 的一个通项公式为
=
1
10
×
(10
− 1) = 1 −
1
，
分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用 −1 或 −1
+1
∗
, ∈ 来处理.
变式题（1）
5
7
9
数列1，− ， ，− ，⋯
8 15
24
A. = −1
+1 2−1
2 +
C. = −1
+1 2−1
2 +2
[解析]
∈
∗
∈
∗
的一个通项公式是(
B. = −1
+1 − 2 = 1 − ，且1 = 3，则{ }的通项公式是________________________
［思路点拨］（1）由题意可得{ − }是以2为首项，2为公比的等比数列，即可
求出 ，再由 与 的关系求出{ }的通项公式.
[解析] ∵ +1 − 2 = 1 − ，∴ +1 − + 1 = 2 − ，
当 = 1时,1 = 1 = 4 − .当 = 1时,1 = 3不满足（*）式,
3, = 1,
高二数学第课时数列的概念复习导学案新人教A
高二数学1-1 第1课时数列的概念复习导学案新人教A版●课程目标1.双基目标（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；（3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法；（4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系；（5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题.2.情感目标（1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力.（2）“兴趣是最好的老师”，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索.（3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础.●重点难点重点：等差数列与等比数列的通项公式.前n项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用.难点：等差数列、等比数列的性质及应用.●方法探究1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法.2.借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数.经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程.3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前n项和公式及其性质，体会它们的广泛应用.4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法.本章注意问题：（1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念.数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解.在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题.运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理.（2）善于对比学习.学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项形式、中项及性质中，用了一些相类似的语句和公式形式，但内容却不相同，之所以有这样的区别，原因在于“差”与“比”不同.通过对比学习，加深了对两种特殊数列本质的理解，会收到事半功倍的效果. （3）要重视数学思想方法的指导作用.本章蕴含丰富的数学观点、数学思想和方法，学习时应给予充分注意，解题时多考虑与之相联系的数学思想方法.§1数列第1课时数列的概念知能目标解读1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念.2.掌握并理解数列、数列通项公式、递推公式的概念，能区分项和项数，并能根据数列的前几项写出它的一个通项公式，能根据数列的递推公式写出数列的前几项.3.了解数列的分类.4.了解数列的表示方法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法.重点难点点拨重点：了解数列的概念和简单表示方法，体会数列是反映自然规律的数学模型.难点：将数列作为一种函数去认识、了解.学习方法指导1.数列的定义(1)数列与数集是不同的，有序性是数列的基本属性.两组完全相同的数，由于排列的顺序不一样，就构成了不同的数列.因此用记号{a n}表示数列时，不能把{a n}看成一个集合，这是因为：①数列{a n}中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；②数列{a n}中的数是可以重复的，即数列{a n}中可以有相等的项，如1,1,2,2,…，但集合中的元素是互异的；③数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数以外的其他事物.(2)数列中的项的表示通常用英文字母加右下角标来表示，如a n.其中的右下角标n表示项的位置序号.(3){a n}与a n是不同的概念，{a n}表示数列a1,a2,a3,…,a n,…，而a n仅表示数列的第n项.2.数列的项与项数数列的项与它的项数是两个不同的概念，数列的项是指出现在这个数列中的某一个确定的数a n，由于数列{a n}的每一项的序号n与这一项a n的对应关系可以看成序号集合到项的集合的函数，故数列中的项是一个函数值，即f(n).而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是这个函数值f(n)对应的自变量的值，即n的集合是自然数集（或其子集）.3.数列的分类判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，应明确数列元素的构成以及影响构成元素的要素是有限还是无限的.4.通项公式(1)由于数列可看做是定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，数列中的各项为当自变量从小到大依次取值时，该函数所对应的一列函数值，所以数列的通项公式就是相应的函数解析式，项数n是相应的自变量.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的近似值，精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142，…就没有通项公式.注意：(1)一个数列的通项公式不唯一，可以有不同的形式，如a n=(-1)n，可以写成a n=(-1)n+2，还-1(n为奇数)可以写成a n= ，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.1(n为偶数),(2)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.如数列2,4,8,…根据有限项可以写成a n=2n，也可以写成a n=n2-n+2.只要符合已知前几项的构成规律即可.5.数列的递推公式(1)递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项（或第二项以后的某一项）开始的任一项a n 与它的前一项a n-1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种重要方法.(2)关于递推公式及应用需注意的几个问题：①通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映a n和n之间的关系，即a n是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.②如何用递推公式给出一个数列用递推公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列{a n}的第1项或前几项；②递推关系——数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n-1 (或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.注意：(1)并不是任何数列都能写出通项公式或递推公式.(2)以后学习或研究的数列往往以递推公式的方式给出定义或提供信息.(3)根据数列的递推公式可求数列中的任一项.例如：设数列{a n}满足：a1=1，写出这个数的前5项.a n=1+11na(n>1)由题意可知a1=1,a2=1+11a=1+1=2,a3=1+21a=1+21=23，a4=1+31a=1+32=35，a5=1+41a=1+53=58.∴此数列前5项分别为：1，2，23，35，58.本例显示，递推公式和通项公式是反映数列构成规律的两个不同形式.递推公式反映的是相邻两项或几项之间的关系，它虽然揭示了一些数列的性质，但要了解数列的全貌，还需要进行计算，它的计算并不方便.而通项公式更注重整体性和统一性，利用通项公式可求出数列中的任意一项.知能自主梳理1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列.（2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 .（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为： .数列的第1项a 1也称 ，a n 是数列的第n 项，叫数列的 .2.数列的分类项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 .3.数列的通项公式如果数列｛a n ｝的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n )，那么式子叫作数列{a n }的 .4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种： 、 、 .［答案］ 1.(1)次序 (2)项 (3)｛a n ｝ 首项 通项2.有穷数列 无穷数列3.通项公式4.列表法 图像法 解析法思路方法技巧命题方向 数列的概念［例1］ 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？(1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4;(3)0,1,2,3,4…;(4)1,-1,1,-1,1,-1…;(5)6,6,6,6,6.［分析］ 此类问题的解决，必须要对数列及其有关概念理解认识到位，结合有关概念及定义来解决. ［解析］ （1）是集合，不是数列；（2）、（3）、（4）、（5）是数列.其中（3）、（4）是无穷数列，（2）、（5）是有穷数列.变式应用1 下列说法正确的是( )A.数列2,3,4与数列4,3,2是同一数列B.数列1,2,3与数列1,2,3,…是同一数列C. 1,4,2, 31，5不是数列 D.数列{2n -3}与-1,1,3,5,…不一定是同一数列 ［答案］ D［解析］由数列的概念知A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B 中的两个数列前者为有穷数列，后者为无穷数列，故A 、B 均不正确，C 中显然是数列，D 中数列{2n -3}是确定数列，通项公式为a n =2n -3，但-1,1,3,5，…前4项符合a n =2n -3,但后面的项不一定符合此规律，故不一定是同一数列. 命题方向 数列的通项公式［例2］ 写出下面各数列的一个通项公式(1)3,5,9,17,33,…; (2) 32，154，356，638，…； (3)21,2, 29，8，225，…; (4) 1122-，3232-，5342-，7452-，…. ［分析］ 通过观察，找出所给出的项与项数n 关系的规律，再写通项公式.［解析］ (1)通过观察，发现各项分别减去1，变为2,4,8,16,32,…其通项公式为2n ，故原数列的一个通项公式为a n =2n +1.(2)通过观察，发现分子部分为正偶数数列{2n }，分母各项分解因式：1·3,3·5，5·7，7·9,…为相邻奇数的乘积，即(2n -1)·(2n +1)，故原数列的一个通项公式为a n =)12)(12(2+-n n n . (3)由于在所给数列的项中，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数，再观察，在数列21,24，29，216，225，…中，分母为2，分子为n 2，故a n =22n . (4)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n -1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n +1) 2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n ，综合得原数列的一个通项公式为a n =12)1(2--+n n n =1212-++n n n . ［说明］ 在根据数列的前n 项求数列的一个通项公式时，要注意观察每一项的特点.解题的注意力应集中到寻求数列的项与项数的关系上来，观察这几项的表示式中哪些部分是变化的，哪些部分是不变的，再探索各项中变化部分与对应的项数之间的关系，从而归纳出项与项数关系的规律，写出通项公式. 变式应用2 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）1，3，7，15，31，…;（2）1，21，31，41，…； （3）0.9，0.99，0.999，……， 0.9999个项有第n n ，….［解析］ （1）注意观察各项发现各项分别加上1，变为2,4,8,16,32,…,其通项公式为2n ,故原数列通项公式为a n =2n -1,n ∈N +;（2）调整为11，21，31，41，它的前几项都是自然数的倒数，∴a n =n1； （3）0.9=1－0.1，0.99=1－0.01，0.999=1－0.001，…∴第n 项a n =0. 9n 999个=1－0. 0n 000个1=1－n 101. 命题方向 数列通项公式的简单应用［例3］ 在数列｛a n ｝中通项公式是a n ＝（-1）n -1·)1)(12(2+-n n n ,写出该数列的前5项，并判断17081是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.［分析］ 由通项公式写出数列的前5项，令a n =17081,判断是否有正整数解即可. ［解析］ a 1=(-1) 0·2112⨯＝21，a 2=(-1) 1·3322⨯＝－94，a 3=(-1) 2·4532⨯＝209. a 4=(-1) 3·5742⨯＝－3516，a 5=(-1) 4·6952⨯＝5425. ∴该数列前5项分别为：21，－94，209，-3516,5425. 令(-1) n -1·)1)(12(2+-n n n =17081得n >1且为奇数8n 2-81n +81=0.∴n =9.所以17081是该数列中的第9项. ［说明］ 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项.令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是.变式应用3 以下四个数中，哪个是数列{n （n ＋1）}中的项（ ）A. 380B. 39C. 32D.23［分析］ 数列{a n }的通项公式f (n )=n ·(n +1)，对于某个数m ，若m 是数列{a n }中的项，则n ·（n +1）=m 必有正整数解.若无正整数解，则m 肯定不是{a n }中的项.［答案］ A［解析］ 依次令n (n +1)=23或32或39检验知无整数解.只有n ·（n +1）=380有整数解n =19.探索延拓创新命题方向 数列的递推公式［例4］ 在数列{a n }中，a 1=2,a 2=1,且a n +2=3a n +1-a n ,求a 6+a 4-3a 5.［分析］ 由a 1=2，a 2=1及递推公式a n +2=3a n +1-a n ,依次找出a 3,a 4,a 5,a 6即可.［解析］ 解法一：∵a 1=2,a 2=1,a n +2=3a n +1-a n ,∴a 3=3a 2-a 1=3×1-2=1,a 4=3a 3-a 2=3×1-1=2,a 5=3a 4-a 3=3×2-1=5,a 6=3a 5-a 4=3×5-2=13,∴a 6+a 4-3a 5=13+2-3×5=0.解法二：∵a n +2=3a n +1-a n ,令n =4,则有a 6=3a 5-a 4,∴a 6+a 4-3a 5=0.［说明］ 递推公式是给出数列的一种方法，应用递推公式可以求数列中的项，但需要一项一项递推，故在运算过程中要特别细心.变式应用4 已知数列{a n }的首项a 1=1,a n =2a n -1+1(n ≥2)，那么a 5= .［答案］ 31［解析］ 由递推关系式a n =2a n -1+1和a 1=1可得a 2=2a 1+1=3,a 3=2a 2+1=7,a 4=2a 3+1=15,a 5=2a 4+1=31.名师辨误做答［例5］ 已知数列{a n }的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列{a n }的通项公式的有（ ） ①a n =21［1+(-1) n+1］;②a n =sin 22n π，(n ∈N +);③a n =21［1+(-1) n+1］+(n -1)(n -2);④a n =2πcos 1n -; 1 (n 为偶数)⑤a n =0 (n 为奇数)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个［误解］ D［辨析］ 误解的原因是认为通项公式只有一个而导致错误.［正解］ B 将n =1,2,3,4分别代入验证可知①②④均正确.均可以作为数列的通项公式，而③⑤不是数列的通项公式，答案选B.课堂巩固训练一、选择题1.数列2，5，22，11，…，则25是该数列的（ ）A.第6项B.第7项C.第10项D.第11项［答案］ B［解析］ 数列2，5，22，11，…的一个通项公式为a n =13-n (n ∈N ＋),令25＝13-n ,得n =7.故选B.2.数列0，31，21，53，32，…的通项公式为（ ） A.a n =n n 2- B.a n =n n 1- C.a n =11+-n n D.a n =22+-n n ［答案］ C ［解析］ 解法一：验证当n =1时，a 1=0,排除A 、D ；当n =2时，a 2=31,排除B ，故选C. 解法二：数列0，31，21，53，32，…即数列20，31，42，53，64，…， ∴该数列的一个通项公式为a n =11+-n n ,故选C. 3.数列1，3，6，10，x ，21，…中，x 的值是（ ）A.12B.13C.15D.16［答案］ C［解析］ ∵3-1=2,6-3=3,10-6=4,x -10=5∴ , ∴x =15.21-x =6二、填空题4.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,则a k +1= .［答案］ 2k +3［解析］∵a n =2n +1,∴a k +1=2(k +1)+1=2k +3.5.已知数列｛a n ｝的通项公式a n =)2(1+n n (n ∈N +),则1201是这个数列的第 项. ［答案］ 10［解析］ 令a n =1201,即)2(1+n n =1201, 解得n =10或n =-12（舍去）.三、解答题6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式.(1)-1,1,-1,1;(2)-3,12,-27,48;(3) 53，21,115，73; (4) 32，154，356，638. ［解析］ (1)各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n =(-1) n ;(2)各项绝对值可以写成3×12,3×22,3×32,3×42,…，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n = (-1) n 3n 2;(3)因为21=84,73=146，各项分母依次为5,8,11,14，为序号3n +2；分子依次为3,4,5,6为序号n +2，故通项公式为a n =232++n n ; (4)因为分母3,15,35,63可看作22-1,42-1, 62-1，82-1，故通项公式为a n =1)2(22-n n =1422-n n . 课后强化作业一、选择题1.已知数列21,32,43,54,…, 1+n n ,则0.96是该数列的（ ） A.第22项 B.第24项 C.第26项 D.第28项［答案］ B［解析］ 因为数列的通项公式为a n =1+n n ,1+n n =0.96得n =24，故选B. 2.已知a n =n 2+n ,那么（ ） A.0是数列中的项 B.20是数列中的项C.3是数列中的项D.930不是数列中的项［答案］ B［解析］ ∵a n =n (n +1),且n ∈N +,∴a n 的值为正偶数，故排除A 、C ；令n 2+n =20,即n 2+n -20=0,解得n =4或n =-5(舍去).∴a 4=20,故B 正确；令n 2+n =930,即（n +31）(n -30)=0.∴n =30或n =-31(舍去)∴a 30=930,故D 错.3.下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3……，n }）上的函数.②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点.③数列的项数是无限的.④数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是（ ）A.①②B.①②③C.②③D.①②③④［答案］ A［解析］ 数列的项数可以是有限的也可以是无限的.数列通项的表示式可以不唯一.例如数列1，0，-1，0，1，0，-1，0……的通项可以是a n =sin 2πn ，也可以是a n =cos 2)3(π+n 等等. 4.数列2，0，4，0，6，0，…的一个通项公式是（ ）A.a n =2n ［1+(-1) n ］ B.a n =21+n ［1+(-1) n +1］ C.a n =2n ［1+(-1) n +1］ D.a n =21+n ［1+(-1) n ］ ［答案］ B［解析］ 经验证可知B 符合要求.3n +1(n 为奇数)5.已知数列{a n }的通项公式是a n = ,则a 2a 3等于（ ）2n -2(n 为偶数)A.70B.28C.20D.8［答案］ C［解析］ 由通项公式可得a 2=2,a 3=10,∴a 2a 3=20.6.(2012·天津武清区)已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-14n +45，则下列叙述正确的是（ ）A.20不是这个数列中的项B.只有第5项是20C.只有第9项是20D.这个数列第5项、第9项都是20［答案］ D ［解析］ 令a n =20,得n 2-14n +45=0,解得n =5或n =9,故选D.7.已知数列5,11,17，23,29,…,则55是它的第（ ）A.18项B.19项C.20项D.21项［答案］ D［解析］ 观察可得{a n }的通项公式:a n =16-n ,(n ∈N +),55=125=16-n ,所以n =21.8.已知数列{a n }对任意的p 、q ∈N +满足a p+q =a p +a q ，且a 2=-6，那么a 10等于（ ）A.-165B.-33C.-30D.-21［答案］ C［解析］ ∵对任意p 、q ∈N +都有a p+q =a p +a q .∴a 10=a 8+a 2=a 4+a 4+a 2=5a 2=-30.二、填空题9.已知数列3,3,15,21,33,…, )12(3-n ,…,则9是这个数列的第 项. ［答案］ 14［解析］ 数列可写为3,33⨯，53⨯，73⨯，93⨯，…，)12(3-n ,…, 所以a n =)12(3-n ,令)12(3-n =9.∴n =14.10.已知数列{a n }中，a n +1=22+n n a a 对任意正自然数n 都成立，且a 7=21，则a 5= .［答案］ 1 ［解析］ 由已知a 7=2266+a a =21,∴a 6=32. 又∵a 6=2255+a a =32,∴a 5=1.11.已知数列｛a n ｝的通项公式是a n =112+++n n n ,则它的前4项为 .［答案］ 23，37，413，521. ［解析］ 取n =1,2,3,4,即可计算出结果.当n =1时，a 1=11111+++=23,当n =2时，a 2=12124+++=37,当n =3时，a 3=13139+++=413, 当n =4时，a 4=141416+++=521. 12.下列有四种说法，其中正确的说法是 .①数列a,a,a ,…是无穷数列；②数列0,-1,-2,-3,…的各项不可能为正数；③数列｛f (n )｝可以看作是一个定义域为正整数N +或它的有限子集｛1，2，…，n ｝的函数值；④已知数列｛a n ｝，则数列｛a n +1-a n ｝也是一个数列.［答案］ ①④［解析］ 题中①④显然正确，对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以②不正确，对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N +或它的有限子集｛1，2,…,n ｝的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确.三、解答题13.根据数列的通项公式，写出它的前4项：（1）a n =2+n n ; （2）a n =nn)1(-. ［解析］ (1)在通项公式中依次取n =1,2,3,4,便可得数列｛a n ｝的前4项为:a 1=31,a 2=42=21,a 3=53,a 4=64=32. (2)在通项公式中依次取n =1,2,3,4,便可得数列｛a n ｝的前4项为：a 1=-1,a 2=21,a 3=-31,a 4=41. 14.数列｛a n ｝的通项公式是a n =n 2-7n +6.（1）这个数列的第4项是多少？（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？（3）该数列从第几项开始以后各项都是正数？［解析］ （1）当n =4时，a 4=42-4×7+6＝－6.（2）令a n =150,即n 2-7n +6=150,解得n =16(n =-9舍)，即150是这个数列的第16项.(3)令a n =n 2-7n +6>0，解得n >6或n <1(舍)，∴从第7项起以后各项都是正数.15.已知数列｛a n ｝中，a 1=2,a 17=66,通项公式是项数n 的一次函数.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）88是否是数列｛a n ｝中的项？［解析］ （1）设a n =an+b ,∴a 1=a+b =2, ①a 17=17a+b =66, ②②-①得16a =64,∴a =4,b =-2,∴a n =4n -2(n ∈N +).(2)令4n -2=88，∴4n =90,n =245∉N +(舍去)， ∴88不是数列｛a n ｝中的项.16.（1）在数列1, 5,3, 13,17,…中，35是数列的第几项？（2）已知无穷数列：1×2,2×3,3×4,…,n (n +1),…,判断420与421是否为该数列的项？若是，应为第几项？ ［解析］ (1)∵a 1=1=1,a 2=5=41+,a 3=241⨯+,a 4=341⨯+, 由此归纳得a n =)1(41-+n =34-n .令a n =34-n =35,∴n =12.故35是此数列的第12项.(2)由a n =n (n +1)=420,解得n =20或n =-21（舍去），故420是此数列的第20项.由a n =n (n +1)=421,得n 2+n -421=0，此方程无正整数解，故421不是该数列中的项. ［说明］ 数列{a n }的通项公式为a n =f (n )，对于一个数m ,若m 是此数列中的项，则方程f (n )=m 必有正整数解；反之，若f (n )=m 无正整数解，则m 肯定不是此数列中的项.。
数列的导学案
第一章 数 列第1课时 数列的概念一．自“学”提纲（一）知识点1.数列的概念（1）数列：一般地，按照一定 排列的一列数叫做数列. （2）项：数列中的每个数都叫做这个数列的 .（3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为： .数列的第1项a 1也称 ，a n 是数列的第n 项，叫数列的 . 2.数列的分类项数有限的数列叫作 ，项数无限的数列叫作 . 3.数列的通项公式如果数列｛a n ｝的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n =f (n )，那么式子叫作数列{a n }的 . 4.数列的表示方法数列的表示方法一般有三种： 、 、 .（二）预习自测1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数: (1)7,5,3,1(2)515,414,313,2122222---- 2.根据下面数列}{n a 的通项公式,写出前5项.(1)1+=n na n(2)na n n ⋅-=)1((3)2=n a二．典型“导”例［例1］ 下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ (1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4; (3)0,1,2,3,4…;(4)1,-1,1,-1,1,-1…; (5)6,6,6,6,6.［例2］ 写出下面各数列的一个通项公式 (1)3,5,9,17,33,…;(2)32，154，356，638，…； (3)21,2, 29，8，225，…; (4) 1122-，3232-，5342-，7452-，….变式应用 写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： （1）1，3，7，15，31，…; （2）1，21，31，41，…； （3）0.9，0.99，0.999，……， 0.9999个项有第n n ，….［例3］ 在数列｛a n ｝中通项公式是a n ＝（-1）n -1·)1)(12(2+-n n n ,写出该数列的前5项，并判断17081是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由.变式应用 以下四个数中，哪个是数列{n （n ＋1）}中的项（ ） A. 380 B. 39 C. 32 D.23［例4］ 在数列{a n }中，a 1=2,a 2=1,且a n +2=3a n +1-a n ,求a 6+a 4-3a 5.变式应用4 已知数列{a n }的首项a 1=1,a n =2a n -1+1(n ≥2)，那么a 5= .［例5］ 已知数列{a n }的前4项为1,0,1,0，则下列各式可以作为数列{a n }的通项公式的有（ ） ①a n =21［1+(-1) n+1］;②a n =sin 22n π，(n ∈N +);③a n =21［1+(-1) n+1］+(n -1)(n -2);④a n =2πcos 1n -; 1 (n 为偶数) ⑤a n =0 (n 为奇数)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 三．练习反馈 一、选择题1.数列2，5，22，11，…，则25是该数列的（ ） A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项2.数列0，31，21，53，32，…的通项公式为（ ） A.a n =n n 2- B.a n =n n 1- C.a n =11+-n n D.a n =22+-n n 3.数列1，3，6，10，x ，21，…中，x 的值是（ ）A.12B.13C.15D.16二、填空题4.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,则a k +1= .5.已知数列｛a n ｝的通项公式a n =)2(1 n n (n ∈N +),则1201是这个数列的第 项.三、解答题6.根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式. (1)-1,1,-1,1; (2)-3,12,-27,48; (3)53，21,115，73; (4)32，154，356，638. 四．归纳总结1．知识方面： 2．思想与方法方面： 3．典型题型第2课时 数列的函数特性一．自“学”提纲 （一）知识点 1.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为 数列， 数列， 数列和 数列. （2）一般地，一个数列｛a n ｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做 数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即 ，那么这个数列叫做 数列； （4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做 数列；（5）如果数列｛a n ｝的各项都相等，那么这个数列叫做 数列. 2.数列的递推公式如果已知数列的 (或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的 与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 公式. 3.a n 与S n 的关系S 1 (n =1) 若数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ，即S n =a 1+a 2+…+a n ,则a n =(n ≥2)（二）预习自测1. 已知数列{}n a 中的首项,11=a 且满足,21211na a n n +=+此数列的第三项是( ) A. 1 B. 21 C. 43 D. 852. 已知数列{}n a 满足,11=a ),1(,121>-=-n a a n n 则这个数列的前5项分别为____________________________ . 3. 写出下列数列的前5项： (1) ,211=a );1(141>+=+n a a n n(2) ,411-=a );1(111>-=-n a a n n二．典型“导”例［例1］ (1)根据数列的通项公式填表：(2)画出数列{a n }的图像，其中a n =3n -1.［例2］ 已知函数f (x )=2x -2-x ，数列{a n }满足f (log 2a n ) =-2n . (1)求数列{a n }的通项公式； （2）求证数列{a n }是递减数列.变式应用2 写出数列1, 42,73,104,135,…的通项公式，并判断它的增减性.［例3］ 求数列{-2n 2+9n +3}中的最大项.变式应用3 已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-5n +4. (1)数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值.［例4］ 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{a n }，满足a n =2n 2-15n +3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？［例5］ 已知a n =a ·（21）n(a ≠0且a 为常数)，试判断数列{a n }的单调性. 三．练习反馈 一、选择题1.已知数列｛a n ｝,a 1=1,a n -a n -1＝n -1(n ≥2)，则a 6=（ ）A.7B.11C.16D.172.(2012·济南高二检测)数列{a n }中，a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是（ ） A.4121B.30C.31D.32 二、填空题 4.已知f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +),则f (4)= . 5.已知数列{a n }中，a n =a n +m (a <0,n ∈N ＋)满足a 1=2,a 2=4,则a 3= . 三、解答题 6.证明数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.四．归纳总结1．知识方面： 2．思想与方法方面： 3．典型题型§2 等 差 数 列第1课时 等差数列的概念及通项公式一．自“学”提纲（一）知识点1.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a,A,b 成等差数列，那么A 叫做 . 3.等差数列的判断方法（1）要证明数列{a n }是等差数列，只要证明：当n ≥2时， . （2）如果a n+1=22++n n a a 对任意的正整数n 都成立，那么数列{a n }是 . （3）若a,A,b 成等差数列，则A ＝ . 4.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式为 ，它的推广通项公式为 .5.等差数列的单调性 当d >0时，{a n }是 数列；当d =0时，{a n }是 数列；当d <0时，{a n ｝是数列.（二）预习自测1. 在下列选项中选出等差数列 __________（1） -1,1,3(2) 12,22,32,42(3)0,1,2,3,5,6（4）满足通项公式a n =2n 的数列 （5）满足递推关系a n+1=a n +3的数列(n 为正整数） （6）满足通项公式a n =1n 的数列 （7）3,3,3,3,... (8) 9,8,72. 等差数列{}n a 中，首项a 1=4，公差d=-2，则通项公式为__________3. 等差数列{}n a 中，第三项a 3=0，公差d=-2，则a 1=_______，通项公式为__________4. 等差数列{}n a 的通项公式为n a n23-=，则它的公差为（ ）A ．2 B. 3 C. -2 D. -3二．典型“导”例［例1］ 判断下列数列是否为等差数列. （1）a n =3n +2； （2）a n =n 2+n .1 n =1变式应用1 试判断数列｛c n ｝，c n = 是否为等差数列. 2n -5 n ≥2 ［例2］ 已知数列{a n }为等差数列，且a 5=11,a 8=5,求a 11.变式应用2 已知等差数列{a n }中，a 10=29,a 21=62,试判断91是否为此数列中的项.［例3］已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？变式应用3已知数列｛x n｝的首项x1=3,通项x n=2n p+nq(n∈N＋,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.［例4］某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？变式应用42012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用a n表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？［例5］已知数列｛a n｝,a1=a2=1,a n=a n-1+2(n≥3).（1）判断数列｛a n｝是否为等差数列？说明理由；（2）求｛a n｝的通项公式.三．练习反馈一、选择题1.（2011·重庆文，1）在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10=（）A.12B.14C.16D.182.已知等差数列{a n}的通项公式a n=3-2n,则它的公差为（）A.2B.3C.－2D.－33.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题4.在等差数列{a n}中，a2=3,a4=a2+8,则a6= .5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点有个.三、解答题6.在等差数列｛a n｝中，已知a5=10,a12=31,求通项公式a n.四．归纳总结1．知识方面：2．思想与方法方面：3．典型题型第2课时 等差数列的性质一．自“学”提纲（一）知识点1.等差数列的项与序号的性质 （1）两项关系通项公式的推广：a n =a m +(m 、n ∈N +).(2)多项关系 项的运算性质：若m+n =p+q (m 、n 、p 、q ∈N +)，则=a p +a q .特别地，若m+n =2p (m 、n 、p ∈N +)，则a m +a n =.2.等差数列的项的对称性有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等于中间项的2倍），即a 1+a n =a 2+=a k +=2a 21+n (其中n 为奇数且n ≥3).3.等差数列的性质（1）若｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①｛c+a n ｝(c 为任一常数)是公差为 的等差数列； ②｛c ·a n ｝(c 为任一常数)是公差为的等差数列；③｛a nk ｝(k ∈N +)是公差为的等差数列.(2)若｛a n ｝、｛b n ｝分别是公差为d 1、d 2的等差数列，则数列｛pa n +qb n ｝(p 、q 是常数)是公差为的等差数列.（二）预习自测1．在等差数列{}n a 中，102,a a 是方程0532=--x x 的两根，求a 6的值。
数列的概念 导学案 知识点+例题+练习
一、创设情景，引入问题1．国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；2．古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭.每日所取棰长排成一列数；3．童谣：一只青蛙，一张嘴，两只眼睛，四条腿；两只青蛙，两张嘴，四只眼睛，八条腿；三只青蛙，三张嘴，六只眼睛，十二条腿；4．中国体育代表团参加八届奥运会获得的金牌数依次排成一列数。
探究一：观察归纳，形成概念思考这四列数具有的共同特征？根据数列的特征，归纳得出等比数列概念。
1.数列的定义：2.数列的项：3.数列的一般形式探究二：对概念的理解数集中的元素具有确定性，互异性，无序性，那么数列中的项是否具有这些属性？思考：1：1，2，3，4与4，3，2，1是否为同一数列？2： -1，1，-1，1是否为一个数列？探究四：数列的分类根据数列的项，以及数列项之间的大小关系可以对数列进行怎么样分类？(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.探究五：认识数列与函数的关系数列中的数和它的序号是什么关系？哪个是变动的量，哪个是随之变动的量？你能联想到以前学过的哪些相关内容？探究六：认识数列的通项公式数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法。
对应于函数的解析式法，认识数列的通项公式。
如果数列}{n a 的第n 项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
探究七：应用巩固怎样写出已知数列的通项公式？基本思路是什么？例1根据下面数列的通项公式，写出前5项。
例2 写出下面数列的一个通项公式。
（1）;41,31,21,1--（2）2，0，2，0．(3) 3, 5, 7, 9, 11,……；(4)32, 154, 356, 638, 9910, ……；函数 数列（特殊的函数） 定义域 R 或R 的子集 *N 或它的子集 解析式 )(x f y = )(n f a n =图象 点的集合 一些离散的点的集合 (2)(1);n n a n =-⋅(1);1n n a n =+例3写出数列 (13)5,104,73,42,1的一个通项公式，并判断它的增减性.例4已知数列{}na 的通项公式为2)3(log 22-+=n a n ，判断3log 2、6log 2是否是这个数列的项？例5 已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由公式a n ＋1＝2a n a n ＋2给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{a n }的通项公式．例6 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋1，写出它的前5项，并判断该数列的单调性．1.观察以下数列，并写出其通项公式：(1) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(2) 1，12，14，18，…….(3) 3,9,27,81,(4) 2, －6, 18, －54, 162, …….2.设数列为 ,11,22,5,2则24是该数列的第 项.3.数列{}n a 中，2n a n kn =+，且数列{}n a 为递增数列，求k 的范围.4. 已知数列{}n a 满足112a =，111n n a a +=-（n ≥2）， 则6a = . 5. 已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n＝13(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．6. 数列{}n a 满足11a =，1+1n n a a n +=+（n ≥1），则该数列的通项n a =7．已知数列{a n }的第1项是2，以后的各项由公式a n ＝a n －11－a n －1(n ＝2,3,4，…)给出，写出这个数列的前5项，并归纳出数列{a n }的通项公式．。
高考数学专题复习数列极限与导数教案
高考数学专题复习数列极限与导数教案一、教学目标1. 理解数列极限的概念，掌握数列极限的性质及求解方法。
2. 掌握导数的定义，了解导数的几何意义和物理意义。
3. 熟练运用导数求解函数的单调性、极值、最值等问题。
4. 能够运用数列极限和导数解决实际问题。
二、教学内容1. 数列极限的概念及性质2. 数列极限的求解方法3. 导数的定义及性质4. 导数的几何意义和物理意义5. 导数的求解方法及应用三、教学重点与难点1. 数列极限的概念及性质2. 数列极限的求解方法3. 导数的定义及性质4. 导数的几何意义和物理意义5. 导数的求解方法及应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列极限和导数的基本概念、性质和求解方法。
2. 利用示例，展示数列极限和导数的应用。
3. 引导学生进行自主学习，通过练习巩固所学知识。
4. 组织课堂讨论，提高学生的参与度和思维能力。
五、教学过程1. 导入：回顾数列极限和导数的基本概念，引导学生进入复习状态。
2. 讲解数列极限的概念及性质，举例说明数列极限的求解方法。
3. 讲解导数的定义及性质，展示导数的几何意义和物理意义。
4. 讲解导数的求解方法，举例说明导数在实际问题中的应用。
5. 课堂练习：布置相关习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂讨论：组织学生进行讨论，解答学生提出的问题。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调数列极限和导数的重要性。
8. 布置作业：布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：观察学生在课堂上的参与程度和理解程度，评估学生对数列极限和导数概念的理解。
2. 课堂练习：通过学生完成的练习题，评估学生对数列极限和导数求解方法的掌握。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固情况，以及学生运用数列极限和导数解决实际问题的能力。
七、教学策略1. 针对数列极限和导数的概念，采用生动的例子和实际问题，帮助学生形象理解。
2. 通过分步骤的讲解和练习，引导学生逐步掌握数列极限和导数的求解方法。
2025届高考数学一轮复习教案：数列-等比数列
第三节等比数列课程标准1.理解等比数列的概念并掌握其通项公式与前n项和公式.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.3.体会等比数列与指数函数的关系.考情分析考点考法:高考命题常以等比数列为载体,考查基本量的运算、求和及性质的应用.等差数列与等比数列的综合应用是高考的热点,在各个题型中均有出现.核心素养:数学建模、数学运算、逻辑推理.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.等比数列的有关概念定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列通项公式设{a n}是首项为a1,公比为q的等比数列,则通项公式a n=a1q n-1.推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*)等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2=ab【微点拨】(1)等比数列中不含有0项;(2)同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.等比数列的前n项和公式【微点拨】在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.3.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n=1·q n,而y=1·q x(q≠1)是一个不为0的常数1与指数函数q x的乘积,从图象上看,表示数列1·q n中的各项的点是函数y=1·q x的图象上孤立的点.4.等比数列的性质(1)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.特别地,若m+n=2p,则a m·a n=2.(2)若等比数列前n项和为S n,则S m,S2m-S m,S3m-S2m仍成等比数列(公比q≠-1).(3)数列{a n}是等比数列,则数列{pa n}(p≠0,p是常数)也是等比数列.(4)在等比数列{a n}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n,a n+k,a n+2k,a n+3k,…为等比数列,公比为q k.(5)等比数列{a n}的单调性:当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{a n}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{a n}是递减数列;当q=1时,数列{a n}是常数列.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A.满足a n+1=qa n(n∈N*,q为常数)的数列{a n}为等比数列B.三个数a,b,c成等比数列的必要不充分条件是b2=acC.数列{a n}的通项公式是a n=a n,则其前n项和为S n=(1-)1-D.如果数列{a n}为正项等比数列,则数列{ln a n}是等差数列【解析】选BD.A中q不能为0;B中当a=b=c=0时满足b2=ac,但不是等比数列;C 中a=1时不成立;D中,a n>0,设a n=a1q n-1,则ln a n=ln a1+(n-1)ln q,{ln a n}是等差数列.2.(选择性必修第二册P29例1·变形式)若{a n}是各项均为正数的等比数列,且a1=1,a5=16,则a6-a5=()A.32B.-48C.16D.-48或16【解析】选C.由题意,q>0,则q=2,所以a6-a5=a5(q-1)=16.3.(忽视前n项和的条件致误)等比数列{a n}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为()A.1B.-12C.1或-12D.-1或-12【解析】选C.因为S3=18,a3=6,所以a1+a2=32(1+q)=12,故2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12.4.(2023·全国乙卷)已知{a n}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=________.【解析】设{a n}的公比为q(q≠0),则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然a n≠0,则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1.因为a9a10=-8,则a1q8·a1q9=-8,则q15=(5)3=-8=(-2)3,则q5=-2,则a7=a1q·q5=q5=-2.答案:-2【巧记结论·速算】1.若{a n},{b n}(项数相同)是等比数列,则{λa n}(λ≠0),{1},{2},{a n·b n数列.2.当{a n}是等比数列且q≠1时,S n=11--11-·q n=A-A·q n.【即时练】1.设n∈N*,则“数列{a n}为等比数列”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.充分性:若数列为等比数列,公比为q,为公比为12的等比数列,充分性成立;必要性:,公比为q,则-1=±所以数列不是等比数列,必要性不成立.2.已知数列{a n}的前n项和S n=22n+1+a,若此数列为等比数列,则a=________.【解析】因为数列的前n项和S n=22n+1+a=2×4n+a,所以a=-2.答案:-2【核心考点·分类突破】考点一等比数列基本量的计算[例1](1)(一题多法)记S n为等比数列{a n}的前n项和,若a5-a3=12,a6-a4=24,则=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.方法一:设等比数列{a n}的公比为q,则由5-3=14-12=12,6-4=15-13=24,解得1=1,=2,所以S n=1(1-)1-=2n-1,a n=a1q n-1=2n-1,所以=2-12-1=2-21-n.方法二:设等比数列{a n}的公比为q,因为6-45-3=4(1-2)3(1-2)=43=2412=2,所以q=2,所以=1(1-)1-1-1=2-12-1=2-21-n.(2)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若a3a11=232,且S8+S24=mS16,则m=()A.-4B.4C.-83D.83【解析】选D.因为a3a11=232,且a n≠0,所以a11=2a3即a1q10=2a1q2,解得q8=2或q=0(舍去),因为S 8+S 24=mS 16,所以1(1-8)1-+1(1-24)1-=m ·1(1-16)1-,又因为q 8=2,a 1≠0,所以-8=-3m ,解得m =83.【解题技法】等比数列基本量的计算(1)等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解;(2)注意观察条件转化式的特点,尽量采用整体消元、代入的方法简化运算,如两式相除就是等比数列中常用的运算技巧.【对点训练】1.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=()A .16B .8C .4D .2【解析】选C .设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ,则1+1+12+13=15,14=312+41,解得1=1=2,所以a 3=a1q 2=4.2.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,5项和为()A .158或5B .3116或5C .3116D .158【解析】选C .若q =1,则由9S 3=S 6,得9×3a 1=6a 1,则a 1=0,不满足题意,故q ≠1.由9S 3=S 6,得9×1(1-3)1-=1(1-6)1-,解得q =2.故a n =a 1q n-1=2n -1,1=(12)n -1.1为首项,以12为公比的等比数列,所以5项和为T 5=1×[1-(12)5]1-12=3116.【加练备选】设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=()A.32B.12C.23D.2【解析】选A.因为在等比数列中,S2=3a2+2,S4=3a4+2,所以S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),所以a2(q+q2)=3a2(q2-1),又a2≠0,所以q+q2=3(q2-1),即2q2-q-3=0,又q>0,所以q=32.考点二等比数列的判定与证明[例2]已知数列{a n}中,a1=1且2a n+1=6a n+2n-1(n∈N*),(1)求证:数列+;(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)因为2a n+1=6a n+2n-1(n∈N*),所以a n+1=3a n+n-12,所以r1+r12+2=3+-12+r12+2=3+32+2=3,因为a1+12=1+12=32,所以数列+2是首项为32,公比为3的等比数列.(2)由(1)得,a n+2=32×3n-1=12×3n,所以a n=12×3n-2.【解题技法】等比数列的判定方法定义法若a n+1a n=q(q为非零常数,n∈N*)或-1=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{a n}是等比数列等比中项法若数列{a n}中,a n≠0且r12=a n·+2(n∈N*),则{a n}是等比数列【对点训练】数列{a n}中,a1=2,a n+1=r12a n(n∈N*).证明数列{}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式.【解析】由题设得r1r1=12·,又11=2,所以数列{}是首项为2,公比为12的等比数列,所以=2×(12)n-1=22-n,a n=n·22-n=42.【加练备选】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n}中的b3,b4,b5.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+54}是等比数列.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d,依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以数列中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去),故数列的第3项为5,公比为2.由b 3=b 1·22,即5=b 1·22,解得b 1=54.所以数列是以54为首项,以2为公比的等比数列,其通项公式为b n =54·2n -1=5·2n -3.(2)数列的前n 项和S n =54(1-2)1-2=5·2n -2-54,即S n +54=5·2n -2,所以S 1+54=52,r1+54+54=5·2-15·2-2=2.因此{S n +54}是以52为首项,以2为公比的等比数列.考点三等比数列性质的应用【考情提示】等比数列的性质作为解决等比数列问题的工具,因其考查数列知识较全面而成为高考命题的热点,重点解决基本量运算、条件转化等.角度1等比数列项的性质[例3]已知各项均为正数的等比数列的前n 项和为S n ,a 2a 4=9,9S 4=10S 2,则a 2+a 4的值为()A .30B .10C .9D .6【解析】选B .已知为各项均为正数的等比数列,则a n >0,可得a 1>0,q >0,因为32=a 2a 4=9,所以a 3=3,又因为9S 4=10S 2,则9(a 1+a 2+a 3+a 4)=10(a 1+a 2),可得9(a 3+a 4)=a 1+a 2,所以3+41+2=q 2=19,解得q =13,故a 2+a 4=3+a 3q =10.角度2等比数列前n 项和的性质[例4]已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且S8-2S4=5,则a9+a10+a11+a12的最小值为()A.10B.15C.20D.25【解析】选C.由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8,由S8-2S4=5,可得S8-S4=S4+5.又由等比数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.于是a9+a10+a11+a12=S12-S8=(4+5)24=S4+254+10≥2当且仅当S4=5时等号成立.所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.角度3等比数列的单调性[例5]已知{a n}是等比数列,a1>0,前n项和为S n,则“2S8<S7+S9”是“{a n}为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为数列是等比数列,a1>0,2S8<S7+S9,所以a8<a9,所以q7<q8,所以q7(q-1)>0,所以q<0或q>1,所以2S8<S7+S9的充要条件为q<0或q>1.又a1>0,数列为递增数列的充要条件为q>1,所以“2S8<S7+S9”是“为递增数列”的必要不充分条件.【解题技法】1.应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识:在等比数列中,两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方,这是最常用的性质.(2)化归意识:把非等比数列问题转化为等比数列问题解决,例如有关S m,S2m,S3m的问题可利用S m,S2m-S m,S3m-S2m(S m≠0)成等比数列求解.2.等比数列的单调性的应用方法研究等比数列的单调性问题,要综合考虑首项的符号以及公比的取值范围,而涉及等比数列有关的单调性的充分必要条件问题,既要考虑数列的单调性也要善于举反例说明.【对点训练】1.设单调递增的等比数列{a n}满足12+14=1336,a1a5=36,则公比q=()A.32B.94C.2D.52【解析】选A.因为数列{a n}为等比数列,所以a1a5=a2a4=36,所以12+14=2+424=2+436=1336,则a2+a4=13,又数列{a n}单调递增,所以q>1,解得a2=4,a4=9,则q2=94,因为q>1,所以q=32.2.设无穷等比数列{a n}的前n项和为S n,若-a1<a2<a1,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.数列{S n}有最大项D.数列{S n}有最小项【解析】选D.由-a1<a2<a1可得a1>0,所以q=21<1,因为-a1<a2得q=21>-1,所以-1<q<1,因为S n=1(1-)1-,当0<q<1时,{S n}递增,当-1<q<0时,{S n}既有递增又有递减,A,B错误;当0<q<1时,S n有最小项S1,没有最大项,当-1<q<0时,a1>0,a2<0,a3>0,a4<0且a3+a4>0,S n有最小项S2,没有最大项,C错误,D 正确.3.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a n>0,S3=5,a7+a8+a9=20,则S15=________.【解析】由等比数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12是等比数列,由条件可知S3=5,S9-S6=20,则此等比数列的公比q2=205=4,又a n>0,所以q=2,S15=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)+(S15-S12),所以S15=5(1-25)1-2=155.答案:155。
2.1.1数列的概念及通项公式导学案
3．数列 ， ， ， ，…的第10项是()
A. B. C. D.
4．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是________．
5．已知数列 ，n∈N*.
(1)求这个数列的第10项；
(2) 是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：该数列是递增数列；
B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n}
C．数列0,1,0,1，…是常数列
D．数列{ }是递增数列
2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为()
A．an＝n，n∈N*B．an＝n＋1，n∈N*
C．an＝n＋2，n∈N*D．an＝2n，n∈N*
3．已知数列{an}的通项公式an＝ ，n∈N*，则a1＝________；an＋1＝________.
【课后反思】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来
作业
1.完成课时作业
4．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3) ， ，－ ， ，－ ， ，…；
B
1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的()
A．第5项B．第6项C．第7项D．非任何一项
2．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()
2.1.1数列的概念及通项公式导学案
设计
高二数学组
审核
高二数学组
授课人
课型
新授课
年级
高二
班级
小组
姓名
学习课题
使用时间
年月日第节
第课时
高中数学《数列概念与通项公式》导学案
第1课时数列概念与通项公式一、数列的概念及分类1．数列及其有关概念(1)□01按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：□02数列中的每一个数叫做这个数列的项，第1项通常也叫做□03首项，若是有穷数列，最后一项也叫做□04末项．(3)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为□05{a n}，这里n是□06正整数．2．数列的分类(1)按项的个数分类类别含义有穷数列□07项数有限的数列无穷数列□08项数无限的数列(2)二、数列的通项公式1．数列的通项公式□01如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列与函数的关系对任意数列{a n}，其每一项与序号都有对应关系，见下表：序号1234…n…项a1a2a3a4…a n…因此，数列也可以看成是定义域为□02正整数集N*(或它的□03有限子集{1,2,3，…，n})的函数□04a n＝f(n)，当自变量n从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是该数列．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，那么就可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同一数列的任意两项均不可能相同．()(2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．()(3)数列中的每一项都与它的序号有关．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P29例1)若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则该数列的一个通项公式为()A.(－1)n＋1n＋1B.(－1)nn＋1C.(－1)nn D.(－1)n－1n(2)已知数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n，n∈N*，则它的第8项是________，第9项是________．(3)已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1，则a k＋1＝________.答案(1)A(2)1－1(3)2k＋3探究1数列的概念例1已知下列数列：①2,22,222,2222；②0，12，23，…，n－1n，…；③1，13，19，…，13n－1，…；④－1,0，－1,0，…，(－1)n－12，…；⑤a，a，a，a，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列为________．(将正确的序号填在横线上)答案①②③④⑤①②③⑤解析①是有穷递增数列，②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无穷数列，也是摆动数列，⑤是无穷数列，也是常数列．拓展提升理解数列的概念应注意的几个方面(1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的或是无限的．(2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的a n＋1与a n的大小来判断，即①若数列{a n}满足a n<a n＋1，则是递增数列．②若数列{a n}满足a n>a n＋1，则是递减数列．③若数列{a n}满足a n＝a n＋1，则是常数列．④若a n与a n＋1的大小不确定时，则是摆动数列．(3)有穷数列表示为a1，a2，a3，…，a n或a n＝f(n)(定义域为正整数集的有限子集：{1,2,3，…，n})；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，a n，…或a n＝f(n)(n ＝1,2,3，…)，即对于有穷数列要把末项(即有穷数列的最后一项)写出；对于无穷数列，无法写出末项，要用“…”结尾．【跟踪训练1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)1，12，13，…，1n，…；(2)1,2,22， (263)(3)1，－0.1,0.12，…，(－0.1)n－1，…；(4)0,10,20， (1000)(5)－1,1，－1,1，…；(6)6,6,6，…；(7)0，－1,0，…，cos nπ2，….解(1)是无穷递减数列．(2)是有穷递增数列．(3)是无穷数列，也是摆动数列．(4)是有穷递增数列．(5)是无穷数列，也是摆动数列．(6)是无穷数列，也是常数列．(7)是无穷数列，也是摆动数列．探究2 利用观察法求数列的通项公式例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，…； (3)11×2，－12×3，13×4，－14×5，…； (4)3，3，15，21，33，…； (5)0.9,0.99,0.999,0.9999，…； (6)32，1，710，917，…； (7)12，2，92，8，….解 (1)∵各项减去1后为正偶数，∴a n ＝2n ＋1.(2)∵每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，∴a n ＝2n －12n . (3)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是：a n ＝(－1)n ＋11n (n ＋1).(4)原数列可化为3，9，15，21，27，…，即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因式为常数3，后一个因式为2n －1，故原数列的通项公式为a n ＝3(2n －1).(5)将原数列变形为1－0.1,1－0.01,1－0.001,1－0.0001，…，故原数列的通项公式为a n＝1－10－n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫110n . (6)将原数列变形为32，55，710，917，….对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1；对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1.故原数列的通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(7)将数列变形为：12，42，92，162，…，可知分子为n 2，分母为2.∴a n ＝n 22.[变式探究] 把本例(5)改为“0.6,0.66,0.666,0.6666，…”又如何求通项公式呢？解 数列0.6,0.66,0.666,0.6666，…的通项公式为a n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110n .拓展提升用观察法求数列通项公式的一般规律此类问题虽无固定模式，但有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)n 或(－1)n ＋1处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．【跟踪训练2】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…；(2)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (3)7,77,777，…； (4)0,3,8,15,24，…； (5)－1,7，－13,19，…； (6)3,5,3,5,3,5，….解 (1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母相差3，因而有a n ＝43n ＋2. (2)分母为2n ，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3，因此第1项为－2－32，因此原数列可以化为－2－32，22－322，－23－323，24－324，…，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·2n －32n .(3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，所以a n ＝79(10n －1)．(4)观察数列递增速度较快，有点像成平方的递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，很快发现a n ＝n 2－1.(5)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n 或(－1)n ＋1表示，二是各项绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式a n ＝(－1)n (6n －5)．(6)此数列为摆动数列，奇数项为3，偶数项为5，故通项公式可写作a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(n 为奇数)，5(n 为偶数).此数列两项3与5的平均数为3＋52＝4，奇数项为4－1，偶数项为4＋1，故通项公式还可写作a n ＝4＋(－1)n .探究3 数列通项公式的简单应用例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解 (1)∵a n ＝3n 2－28n ，∴a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，解得n ＝7或n ＝73(舍)． ∴－49是该数列的第7项， 即a 7＝－49.令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， 解得n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N *，343∉N *，∴68不是该数列的项． 拓展提升判断某数是否为数列的项的步骤(1)将所给某数代入通项公式中； (2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明某数是该数列的项；若n 不是正整数，说明某数不是该数列的项.【跟踪训练3】 已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n .(1)写出数列的第4项和第6项；(2)试问110和1627是不是它的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由题意易得：a 4＝442＋3×4＝17，a 6＝462＋3×6＝227.(2)令4n 2＋3n＝110，则n 2＋3n －40＝0， 解得n ＝5或n ＝－8， 由n ∈N *，故n ＝－8舍去． 所以110是数列的第5项． 令4n 2＋3n＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，由n ∈N *，所以1627不是此数列中的项．[规律小结]1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2.由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．3.有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝⎩⎨⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列． [走出误区]易错点⊳忽略数列中n 的取值范围致误[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }的最大项．[错解档案] 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818， ∴数列{a n }中的最大值为10818.[误区警示] 可以将数列的通项公式看作函数，因为n 为项的序号，所以定义域为正整数集，解题时往往忽略这一点，误认为定义域为R 而导致出错．[规范解答] 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108. ∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.[名师点津] 数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2，…，n })这一约束条件．1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④答案 B解析 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确． 2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，n 答案 C解析 对于A ，a n ＝1n ，n ∈N *，它是无穷递减数列；对于B ，a n ＝－n ，n ∈N *，它也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，它是无穷递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项答案 C解析 由n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．4．如图所示是某一系列有机物的结构简图，图中的小黑点表示原子，两黑点间的短线表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键________个．答案 5n ＋1解析 各图中短线的个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，将6视为5＋1，则上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，1＋5＋5＋5＋5，…于是第n 个图有化学键5n ＋1个．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4.∵n ∈N *，∴n ＝2或3.∴数列有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又∵n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.A 级：基础巩固练一、选择题1．下列有关数列的说法正确的是( ) ①数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列； ②数列{a n }与{a 2n －1}表达同一数列； ③数列－1,1，－1,1，…的通项公式不唯一；④数列－1,1,3,5,8，…的通项公式为a n ＝2n －3，n ∈N *. A ．①④ B ．②③ C ．③ D ．①②答案 C解析 ①是错误的，数列各项顺序不同，即表示不同的数列；②是错误的，数列{a n }表达数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而数列{a 2n －1}表达数列a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…，不是同一数列；③是正确的，数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以是a n ＝(－1)n ，a n ＝cos n π等；④是错误的，显然当n ＝5时，a 5＝7，不是数列中的项．故选C.2．已知数列{a n }的前四项为1,0,1,0，则下列可作为数列{a n }的通项公式的有( )①a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；②a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)； ③a n ＝sin 2n π2； ④a n ＝1－cos n π2；⑤a n ＝⎩⎨⎧1(n 为偶数)，0(n 为奇数).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 当n ＝1,2,3,4分别代入①②③④⑤的通项公式中，可知①③④符合，对于②当n ＝3时不符合，对于⑤显然n ＝1时就不符合，故可作为{a n }通项公式的有3个．故选C.3．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不可能是( ) A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1 B ．a n ＝1－cos n π C ．a n ＝2sin 2n π2D ．a n ＝1＋(－1)n －1＋(n －1)(n －2) 答案 D解析 当n ＝1时，D 不满足，故选D. 4．已知下列命题：①已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)，(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第10项，且最大项为第1项；②数列2，－5，22，－11，…，的一个通项公式是a n ＝(－1)n ＋13n －1； ③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29； ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }为递增数列． 其中命题正确的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 A解析 ①a n ＝1n (n ＋2)＝1120⇒n ＝10.易知最大项为第1项，故①正确；对于②，联想数列2，5，8，11，…，则a n ＝(－1)n ＋1·3n －1，故②正确；对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29，故③正确； 对于④，由a n ＋1－a n ＝3>0，易知④正确． 二、填空题5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项．解析令2n2＋n＝110，解得n＝4(n＝－5舍去)，所以110是第4项．6．已知在数列{a n}中，a1＝4，a n＋1＝f(a n)，n∈N*，函数y＝f(x)的对应关系如下表，则a2017＝________.答案4解析由已知条件得a1＝4，a2＝f(a1)＝f(4)＝2，a3＝f(a2)＝f(2)＝4.∴数列{a n}是周期数列，a n＋2＝a n，∴a2017＝a1＋1008×2＝a1＝4.7．已知数列{a n}的通项公式为，则a n＝10n－1，那么数列{b n}的通项公式可化为b n＝_________.答案89(10n－1)解析三、解答题8．根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式：(1)1，－2,3，－4,5，…；(2)5,55,555,5555，…；(3)1，23，12，25，…；(4)1,3,6,10,15，…；(5)12，45，910，1617，…；(6)1，－13，17，－115，131，….解(1)这个数列的前4项1，－2,3，－4的绝对值都是序号且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是a n＝(－1)n＋1·n.(2)因为数列9,99,999,9999，…的第n项为10n－1，数列1,11,111,1111，…的第n项应为19(10n－1)，从而数列5,55,555,5555，…的通项公式是a n＝59(10n－1)．(3)各项的分母依次为1,3,2,5，似乎没有规律，我们可以大胆设想，分母如果是2,3,4,5就好了，又注意到奇数项的分子为1，故将奇数项的分子、分母同乘以2，于是得到a n＝2n＋1.(4)注意到6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项分子、分母同乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，∴数列的通项公式为a n＝n·(n＋1)2.(5)注意各项的分子分别是12,22,32,42，…，分母比分子大1，∴数列的通项公式为a n＝n2n2＋1.(6)∵奇数项为正，偶数项为负，各项分母可看作21－1＝1,22－1＝3,23－1＝7,24－1＝15,25－1＝31，…，各项分子均为1，∴数列的通项公式为a n＝(－1)n＋1·12n－1.9．已知函数f(x)＝log2x－log x2(0<x<1)，数列{a n}满足f(2 a n)＝2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：数列{a n}是递增数列．解(1)由已知，得即a n－1a n＝2n，所以a2n－2na n－1＝0，解得a n＝n±n2＋1，因为0<x<1，即0<2 a n <1，所以a n＝n－n2＋1.(2)证明：因为a n ＋1a n＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1n －n 2＋1＝n ＋n 2＋1(n ＋1)＋(n ＋1)2＋1<1，而a n <0(n ＝1,2,3，…)，所以a n ＋1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列．10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能判断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？ 解 (1)对任意n ∈N *，∵a n ＋1－a n ＝1(n ＋1)2＋5(n ＋1)＋4－1n 2＋5n ＋4 ＝－2(n ＋3)[(n ＋1)2＋5(n ＋1)＋4]·(n 2＋5n ＋4)<0，∴数列{a n }是递减数列．(2)因为n ∈N *，所以n 2＋5n ＋4>0，则a n ＝1n 2＋5n ＋4>0，故数列{a n }没有负数项．B 级：能力提升练1．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是________． 答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫a －b 2 解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎪⎫a －b 2. 2．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年～公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.。
数列概念导学案
数列概念一.学习目标：1、熟练掌握数列的概念，准确理解通项公式与函数的关系，提高归纳猜想能力2、自主学习、合作探究，总结求数列通项公式的规律方法。
3、激情投入，惜时高效，培养良好的数学思维品质，体验数字变化之美。
重难点：数列的概念以及数列的通项公式二•问题导学：阅读课本P3-6思考并回答下列问题：1. 数列的概念：①你能根据自己的理解写出数列的定义吗？②数列的一般形式a!, a2,...a n,..•，简记｛a n｝，那么a n与｛a n｝有什么不同？2. 数列的通项公式：给定一个数列：1、3、5、7……你能写出数列的第5项，第7项吗？第n项呢?①你能试着写出数列通项公式的定义吗？③通项公式可看作是一个函数吗？它的定义域是什么？图像有什么特点？⑴2, 3,4, 5；则a n= ----------------------------- (2)持3鲁；则a n=-1111(3) -,,；则a n= (4) 1，-3，5, -7 ；则a n =2 4 8 16三.合作探究例1、根据下面数列｛a n｝的通项公式，写出它的前5项：n …1n n⑴“市；(2) a n=cos y；(3) an=2n(—1);拓展：根据下面数列｛a n｝的通项公式，写出它的第10项：2(n —1加(1) a= n-9n 10; (2) a= 1 cos ;(3)请判断2是不是第(1)小题中的那个数列的项3. 数列的分类：按项数分可以分为哪几类？【小试牛刀】1. 下列说法不正确的是( )A、所有数列都能写出通项公式B、数列的通项公式不唯一C、数列中的项不能相等 D 、数列可以用一群孤立的点表示2. 已知数列｛a n｝中，务=2n-1，则a3等于____________3. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：小结：例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1) 1，3，5，7; (2) 0，2，0，2; (3) 10,100,1000,10000;变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:(1) 9，99，999，9999;(2) 5, 55, 555, 5555;四.深化提咼:1.已知数列1,、、3,、、5,、一7,…，.2^1,...,贝U 3.5是该数列的第__ 项.当堂检测1. 下列说法正确的是（）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1 , 2, 3, 4 与4, 3, 2, 1 是同一数列C. 1 , 1, 1, 1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同2. 下列式子不能作为数列0, 1, 0, 1,...的通项公式的是（）2.观察下列各式：1+3=4;1+3+5=9 ；1+3+5+7=16请写出第4,第5个等式，并写出第n个等式.A.』0（n为奇数）. a1（n为偶数）；B.r • n + 1 f a. = sin 2二；C.1（一丫；D.1 (-1严a n・2a n -23. 在横线上填上适当的数：3, 8, 15, ____ , 35, 48.五.我的学习总结：（1）我对知识的总结_____________________________________________________________________ 4.写出数列1, 3, 6, 10, 15,...;的一个通项公式_____________ . ____（2）我对数学思想及方法的总结__________________________________________________________欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
高中数列教案模板范文(3篇)
第1篇教学对象：高中一年级学生教学目标：1. 知识目标：复习和巩固数列的基本概念、性质和运算，包括数列的定义、通项公式、数列的求和公式等。
2. 能力目标：培养学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和计算能力。
3. 情感目标：激发学生对数列学习的兴趣，培养学生的数学思维和科学素养。
教学重点：1. 数列的定义和性质2. 数列的通项公式3. 数列的求和公式教学难点：1. 数列通项公式的求解2. 数列求和公式的推导和应用教学准备：1. 多媒体课件2. 数列相关习题3. 小黑板或白板教学过程：一、导入1. 回顾数列的定义，引导学生思考数列与函数的关系。
2. 提问：数列有哪些常见的性质？请举例说明。
二、数列的定义和性质1. 介绍数列的定义，强调数列是按一定顺序排列的一列数。
2. 讲解数列的性质，如单调性、有界性、收敛性等。
3. 通过实例讲解数列的性质，让学生理解并掌握。
三、数列的通项公式1. 介绍数列的通项公式，强调通项公式是表示数列中每一项的公式。
2. 讲解通项公式的求解方法，包括直接法、递推法等。
3. 通过实例讲解通项公式的求解，让学生掌握求解方法。
四、数列的求和公式1. 介绍数列的求和公式，强调求和公式是计算数列前n项和的公式。
2. 讲解求和公式的推导方法，包括分组法、错位相减法等。
3. 通过实例讲解求和公式的推导和应用，让学生掌握求和方法。
五、课堂练习1. 布置数列相关习题，让学生在课堂上完成。
2. 针对学生的练习情况，进行个别辅导和讲解。
六、总结与反思1. 总结本节课所学的数列知识，强调重点和难点。
2. 引导学生反思自己在学习过程中的收获和不足，提出改进措施。
七、课后作业1. 布置课后作业，巩固所学知识。
2. 作业内容：完成教材中的相关习题，并尝试解决一些实际问题。
教学反思：本节课通过回顾数列的定义和性质，讲解通项公式和求和公式，以及课堂练习和课后作业，帮助学生巩固数列知识，提高学生的数学思维能力。
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范文
学习永无止境
XX届高考数学教材知识点复习数列的基
本概念导学案
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【课本导读】
．数列的概念
按
排成的一列数叫做数列．
2．数列的通项公式
数列{an}的
与n之间的关系可以用一个公式an＝f来表示，这个公
式就叫做这个数列的通项公式．
若已知Sn，则an＝
n＝1，
n≥2.
3．数列与函数
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*的函数，当自
变量
依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应
函数的解析式，它的图像是
．
4．数列的分类
根据数列的项数可分为
范文
学习永无止境
、
．
按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：
①递增数列；②递减数列；③摆动数列；④常数列．
5．递推公式
如果已知数列{an}的第1项，任一项an与它的前一项
an－1间的关系可以
来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【教材回归】
．已知数列的通项公式an＝n2－5n－14，n∈N＋，则：
这个数列的第4项是__________；
52是这个数列的第__________项；
这个数列的第__________项最小；
这个数列前__________项的和最小．
2．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}
的一个通项公式an＝__________.
3．已知数列{an}的首项a1＝2，若∀n∈N*，
an•an＋1＝－2，则an＝________.
4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a7＋a8的值为
______．
5．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，
10条直线相交，交点的个数最多是
范文
学习永无止境
A．40个
B．45个
c．50个
D．55个
【授人以渔】
题型一
归纳通项公式
例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项
公式：
－1,7，－13,19，…
0.8,0.88,0.888，…
1,0，13，0，15，0，17，0，…
32，1，710，917，…
思考题1 写出下列数列的一个通项公式：
3,5,9,17,33，…
－1，85，－157，249，…
题型二
Sn与an关系
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公
式．
Sn＝2n2－3n；
Sn＝3n＋b.
范文
学习永无止境
思考题2 若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则
{an}的通项公式是an＝________.
已知数列{an}的前n项和Sn满足an＋2SnSn－1＝0，a1
＝12，求an.
题型三
数列的周期性
例3 已知a1＝1，a2＝3，an＝an－1－an－2，则数列
{an}的前100项之和为________．
数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an≤12，2an－1，
12<an<1，a1＝35，则数列的第XX项为________．
思考题3 已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an
＋1，则aXX等于________．
．
题型四
函数思想在数列中的应用
例4 已知数列{an}中，an＝1＋1a＋2n－
1．
若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
范文
学习永无止境
思考题4 已知数列{an}的通项an＝•n，试问该
数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；
若没有，说明理由．
已知an＝n－98n－99，则在数列{an}中的前30项中，
最大项和最小项分别是第________项．
【本课总结】
．已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以
下几个方面来考虑：
符号用n或n＋1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．
分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借
助分子、分母的关系．
对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数
列和其他方法来解决．
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察
规律、类比已知数列、转化成特殊数列等方法．
2．Sn与an之间两种转化途径，注意n＝1和n≥2两种
情况．
3．由Sn求an时，注意n＝1和n>1两种情况，最
后看二者是否统一．
【自助餐】
．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为
范文
学习永无止境
A．an＝12n＋1 B．an＝1n＋2
c．an＝1nn＋2
D．an＝12n－1
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，
则Sn＝
A．2n－1
B．n－1
c．n－1
D.12n－1
3．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…
为梯形数，根据图形的构成，此数列的第XX项与5的差即
aXX－5＝
A．2020×XX
B．2020×XX
c．1010×XX
D．1010×XX
4．已知f为偶函数，且f＝f，当－2≤x≤0时，f＝2x，
若n∈N*，an＝f，则aXX＝________.
5．若数列{nn}中的最大项是第k项，则k＝________.
6．如图所示，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，
B2，…，Bn，…分别在角o的两条边上，所有AnBn相互平
行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设oAn＝an.
范文
学习永无止境
若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．