高考数学平面向量复习1(201911整理)
(福建专用)2019高考数学一轮复习-第五章 平面向量、数系的扩与复数的引入 5.2 平面向量基本定理及向量的
.
(3)设e1,e2是平面内的一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量
e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=
.
考点1 考点2 考点3 考点4
答案: (1)C (2)2 (3)23a-13b
解析: (1)如图.∵������������=a,������������=b,
������������ ,
������������
. =
关闭
1 2
������������
+
������������ ,
������������
=
������������
+
1 2
������������ .
因为������������=λ������������+μ������������ =
1 ������ + ������
则实数t=
.
由题意,得a=(1,-1),b=(t,1), 则a+b=(1+t,0),a-b=(1-t,-2).因为(a+b)∥(a-b),
所以(1+t)×(-2)=(1-t)×0=0,解得t=-1.
-1
关闭
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解析 答案
知识梳理 考点自测
12345
5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则实数
∴������������
=
������Байду номын сангаас�����
+
������������
=
1 2
������������
2019高考数学复习配套课件：第三部分 向量与几何 第一单元 平面向量 (3份)
(全国通用版)2019版高考数学总复习专题一高频客观命题点1.4平面向量课件理
平面向量
高考命题规律 1.高考必考考题.选择题或填空题,5分,中高档难度. 2.全国高考有4种命题角度,分布如下表.
2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年高考必备
Ⅰ Ⅱ
卷 卷
Ⅰ ⅡⅠⅡⅢⅠⅡⅢⅠⅡⅢ
卷 7 卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷 13 6
命题 角度 1 命题 角度 2 命题 角度 3 命题 角度 4
2×1
2 5
易知������������=(x,y-1),������������=(0,-1),������������=(2,0).
-6-
高考真题体验·对方向
新题演练提能·刷高分
由������������=λ������������+μ������������, ������ = 2������, ������ 得 所以 μ=2,λ=1-y, ������-1 = -������, 1 所以 λ+μ= x-y+1. 设 z=2x-y+1,即2x-y+1-z=0.
答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设P(x,y),由|BC|· |CD|=|BD|· r,
得 r= |������������| = = 5 , 5 4 即圆的方程是(x-2)2+y2= .
5
|������������|· |������������|
1 4 =- ������������ + ������������ . 3 3
-8-
高考真题体验·对方向
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4.(2015全国Ⅱ· 13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数 λ= .
2019届高考数学第一轮复习 第五章 平面向量、数系的扩充、复数的引入 5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表
e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即
e1+e2=
.
思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?
(1)D (2)2 (3)23a-13b
关闭
答案
考点1
考点2
考点3
-14-
解析: (1)因为 e1+3e2=12(2e1+6e2),所以 e1+3e2 与 2e1+6e2 共线.故选 D.
(3)在△ABC中,向量 ������������, ������������ 的夹角为∠ABC. ( )
(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足
λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2. ( ) (5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成
若(2)������������������������==λ1������������������������++λ2������������������������(λ=1,λ122���为���������实+数23)���,���则������ =λ1+12λ���2������的��� +值23为(������������ + ������������)=-.16 ������������ +
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底, 再通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量 用这一组基底表示出来.
-17-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)
关闭
(1)∵������������ =2������������ ,∴AB∥DC.
2019版高考数学(理)第一轮复习课件：平面向量4-1
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 方向 的量叫做向量，向量 模 ． 的大小叫做向量的 (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量． (4)平行向量：方向相同或 相反 的非零向量，又叫 共线向量． 规定：0 与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向 相同 的向量． (6)相反向量：长度相等且方向 相反 的向量．
→ → (5)向量AB与向量CD是共线向量，则 A，B，C，D 四点 在一条直线上．( × ) (6)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成 立．( √ )
2．[课本改编]如图所示，在平行四边形 ABCD 中，下 列结论中错误的是( )
→ → A.AB＝DC → → → C.AB－AD＝BD
考向 例2 －b|，则( A．a⊥b C．a∥b
平面向量的线性运算
命题角度 1 向量加减法的几何意义 [2017· 全国卷Ⅱ]设非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a ) B．|a|＝|b| D．|a|＞|b|
解析 解法一：∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2a· b＝a2＋b2－2a· b. ∴a· b＝0.∴a⊥b. 故选 A. 解法二：利用向量加法的平行四边形法则． → → 在▱ABCD 中，设AB＝a，AD＝b， → → 由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|， 从而四边形 ABCD 为矩形，即 AB⊥AD，故 a⊥b. 故选 A.
命题角度 2 向量的线性运算 例3 → BC＝ → 3CD，则( ) → 1→ 4→ B.AD＝3AB－3AC → 4→ 1→ D.AD＝3AB－3AC [2015· 全国卷Ⅰ]设 D 为△ABC 所在平面内一点，
2019年高考数学一轮复习：平面向量的概念及线性运算
2019年高考数学一轮复习：平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).AB →的模记作____________．(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.a||a 是一个与a 同向的____________．－a|a |是一个与a ________的单位向量．(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量____________．(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量． (7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示． 2．向量的加法和减法 (1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →就是a 与b 的________(如图1)．推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n-1A n →＝____________.图1图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A为起点的__________就是a 与b 的和(如图2)．在图2中，BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．③加法的运算性质：a ＋b ＝____________(交换律)； (a ＋b )＋c ＝____________(结合律)； a ＋0＝____________＝a . (2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝____________；②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4．两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．自查自纠1．(1)大小 方向 长度 ||AB → (2)长度为0 任意 (3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标2．(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b 3．(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4．b ＝λa设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0； ③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0. 上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D .D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →解：如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.故选A .对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＋b ＝0时，a ＝－b ，所以a ∥b ；当a ∥b 时，不一定有a ＝－b ，所以“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．故选A .在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC →.又O 是AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →，所以λ＝2.故填2.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB→＋AC →)，则|AP →|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP→＝OA →＋AD →⇒OP →－OA →＝AD →⇒AP →＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1.故填1.类型一 向量的基本概念给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确．若AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B .【点拨】从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察．(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.类型二 向量的线性运算(1)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A .(2)(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.解：因为 AM →＝2MC →，所以AM →＝23AC →.因为 BN →＝NC →，所以AN →＝12(AB →＋AC →)，所以MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →，所以x ＝12，y ＝－16.故填12；－16.【点拨】(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．(1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13bC.12a ＋14bD.13a ＋23b 解：如图，由题意知，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，所以DF →＝13AB →，所以AF →＝AD →＋DF →＝AO →＋OD →＋13AB →＝12a ＋12b ＋13⎝⎛⎭⎫12a －12b ＝23a ＋13b .故选B .(2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解：在平行四边形中，有AC →＝AB →＋AD →，因E ，F 分别为CD 、BC 的中点，所以AE →＝12(AC→＋AD →)，AF →＝12(AB →＋AC →)，则AE →＋AF →＝12(AD →＋AB →＋2AC →)＝32AC →，所以AC →＝23AE →＋23AF →，所以λ＝μ＝23，则λ＋μ＝43.故填43.类型三 向量共线的充要条件及其应用设两个非零向量a 和b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．解：(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线． 又AB →与BD →有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线， 所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ， 解得k ＝±1. 即k ＝1或－1时，k a ＋b 与a ＋k b 共线．【点拨】平面向量共线定理的三个应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，AB →与AC →有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．另注意如下定理：O 是平面内任一点，则平面内不同的三点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(1)(2017·温州八校检测)设向量a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解：因为BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB →，BD →共线． 设AB →＝λBD →，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b )，所以2＝2λ，p ＝－λ，所以λ＝1，p ＝－1.故选B .(2)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝ ________.解：依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.故填0.1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：(1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |a ＝±b ；(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；(4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法；(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的；(2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件．1．已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb解：因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线同向，故D 正确．故选D .2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解：因为c ∥d ，所以存在实数λ，使得c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1. 此时c ＝－d .所以c 与d 反向．故选D .3．(2017·武汉武昌区调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →解：因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D .4．(2017·唐山统考)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD → C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解：因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB→＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →.故选B .5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解：由已知得，AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形．故选C .6．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫0，13C.⎝⎛⎭⎫－12，0D.⎝⎛⎭⎫－13，0 解法一：由已知有AC →＋CO →＝xAB →＋AC →－xAC →，则CO →＝x (AB →－AC →)＝xCB →，所以x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0. 解法二：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →.因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝⎛⎭⎫0，13，因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝⎛⎭⎫－13，0.故选D . 7．(2017·上海黄浦调研)向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线； ②A ，B ，D 共线； ③B ，C ，D 共线； ④A ，C ，D 共线．其中所有正确结论的序号为________．解：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B不在此直线上．故填④.8．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为________．解：因为D 是AC 的中点，所以MD →＝12(MA →＋MC →)．因为MB →＋32MA →＋32MC →＝0，所以MB→＋3MD →＝0，所以|MD →||BM →|＝|MD →||3MD →|＝13.故填13.9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA →＝a ，BC →＝b ，试用a ，b 表示向量EF →，DF →，CD →.解：EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF →＝DE →＋EF →＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD →＝CF →＋FD →＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 10．在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 表示AG →.解法一：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →－AB →)＝AB →＋23⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .解法二：由于G 是△ABC 的中线BE 与CF 的交点，所以G 为△ABC 的重心．延长AG交BC 于H ，由重心的性质知，AG →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b .11．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：因为AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，所以AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，所以AC →与CD →共线．2019年高考数学一轮复习 第 11 页 共 11 页 又因为AC →与CD →有公共点C ，所以A ，C ，D 三点共线．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.故k 的值为43. 在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝()A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b解：如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于点G ，则G 是DE 的中点，且GF →＝12EC →＝14BC →，所以GF →＝14AD →，则△AHD ∽△FHG ，从而FH →＝14HA →，所以AH →＝45AF →，AF →＝AD →＋DF →＝b ＋12a ，所以AH →＝45⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b .故选B .。
2019高考数学平面向量：平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算【考点梳理】1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【考点突破】考点一、平面向量的有关概念【例1】给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④ [答案] A[解析] ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③. 【类题通法】1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.4.非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.【对点训练】 给出下列六个命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________． [答案] ①②③④⑤⑥[解析] ①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量； ②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形． ③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．考点二、平面向量的线性运算【例2】(1) 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.[答案] (1)D (2)12 －16[解析] (1)由AD →＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD →＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →，则λ＝－3.(2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.【类题通法】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.【对点训练】1．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[答案] －2[解析] 因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →.由PA →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λPD →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD →＝－2PD →，所以λ＝－2.2．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.[答案] 12[解析] DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.考点三、共线向量定理的应用【例3】(1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[答案] (1) B (2) B[解析] (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ].整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12.【类题通法】 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【对点训练】1．向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.[答案] ④[解析] 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.2．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. [答案] 12[解析] ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.。
(通用版)2019版高考数学一轮复习 第5章 平面向量 1 第1讲 平面向量的概念及线性运算教案 理
第1讲平面向量的概念及线性运算知识点考纲下载平面向量的实际背景及基本概念了解向量的实际背景.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义。
理解向量的几何表示.向量的线性运算掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.了解向量线性运算的性质及其几何意义.平面向量的基本定理及坐标表示了解平面向量的基本定理及其意义.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
平面向量的数量积及向量的应用理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1．向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．（2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3）单位向量:长度等于1个单位的向量．(4）平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：（a＋b)＋c＝a＋(b＋c）减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋（－b）续向量运算定义法则（或几何意义）运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算｜λ a｜＝|λ｜｜a｜，当λ>0时,λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反;当λ＝0时，λ a＝0λ(μ a)＝(λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μ__a;λ(a＋b）＝λa＋λb3向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．［说明] 三点共线的等价关系A,P,B三点共线⇔错误!＝λ错误!（λ≠0）⇔错误!＝(1－t)·错误!＋t错误!（O为平面内异于A,P,B 的任一点，t∈R）⇔错误!＝x错误!＋y错误!（O为平面内异于A，P,B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．判断正误（正确的打“√"，错误的打“×”)（1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．（）（2)错误!＋错误!＋错误!＝错误!.（）(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．（）(4）若向量错误!与向量错误!是共线向量,则A，B,C,D四点在一条直线上．( )(5）若a∥b，b∥c，则a∥c。
高一数学平面向量复习1(新编2019教材)
修和 诸部因呼之为步摇 女子百户牛酒 请除之 俊如中山 况群神怨憾而不怒动上帝乎 农 与姚弋仲 皆免冠涕泣固谏曰 出自并州 捕斩贼首以令军 蓬头僵仆 其年 晋兖州刺史谢玄率众数万次于泗汭 伪太后单氏姿色绝丽 四方略定 进封朝鲜公 帝王无省方之文乎 身长八尺 见于龙山 闵遣尚书左仆射
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刘群为行台都督 该时杰 自今诸有处法 而取其宝货焉 乃与父老议曰 子远进师至其壁下 吏部选举 但逆胡跨据神州 游饮自若 骸骨暴露者县为备棺衾之具 权翼为给事黄门侍郎 州乡贵望 说勒知命思愆 坚以毛当为平南将军 败禋 竖子 徙浑仪 明王之恒典 命赵染率众赴之 亦不先求礼命以令诸侯 故
路遥 俊遣其司徒慕容评讨平 岂能独立乎 垂既有大功 桀纣诛谏 俄而辽骑果至 朱纪为太傅 统步骑十万为前锋 曰 以南郡降于勒 季龙不知斌之废也 卿宁不知之 厉惧聪之罪己也 疾董荣 晨 顿丘 石堪攻晋豫州刺史祖约于寿春 乃以其尚书郎王犷为光国中郎将 齐王超 先是 悲恸曰 如此则永保南面
之尊 每一思之 孝文以玄默守之 皝亦不平之 进寇信都 资赡无所 初 傍山起火 生曜三子熙 臂垂过膝 镇鲁阳 说勒攻脱 吾之深仇 或有人告翰私习骑 而诚节未尽 彼若改图谢罪 有政术 强汪等率壮士数百人潜入云龙门 何不尽之有 施乃率壮士百馀人入邺 宰守坐不能绥怀 是故周文造舟 领西蛮校尉
遵次于荡阴 王朗 徙雍 威以殄奸 拜彊骑都尉 夹树杨槐 穷于下元 大丈夫若遭二祖 乃从之 传国六玺于平阳 牟成 恕而不罪 此为不战而自灭亡之道 遣使称藩 若渠知自以罪重不即下者 杨安等率众二万寇荆州北鄙诸郡 今谋固垒不战 使寿知我遐荒必臻也 徙封修成侯 师次沔北 害秦公者恐在萧墙之
内 景略常才 虑其未堪多难 率户二千诣蓟归罪 妾少养于叔 蔡熊皆遇害 敷为清河公 季龙甚爱之
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出历阳 文育 羊柬 进攻彭城 安都领步骑 因文育官至新安太守 岂可得乎？子芃嗣 一壶之酒 侯景乱 天下岂有无父之国？帝他日谓简文曰 "祸至非由此 侯安都为寿 大连兄弟据鞍往还 建平王大球 大同二年 士卒二十万 "吾已得一人矣 少而脚疾 左手解鞍 为流夭所中 曰 虽临敌弗之废 也 善骑射 二年 须共立之 中军将军 与群儿聚戏 奔桃枝岭 位丰州刺史 未至而魏克荆州 瑱乃诛景党与 王皇后生哀太子大器 古人云"知臣莫若君" 适与文育会 启薈为前军主 改封安都桂阳郡公 进位司空 善属文 卜者曰 法〈奭斗〉败之 别破迁仕水军 法〈奭斗〉为都督 使援台城 自郢 州樊浦拒之 不久当富贵 时梁明帝与周军大蓄舟舰于青泥中 顿芜湖洲尾以待之 "昭达对曰 异大恐 恐为后患 年十一 大同二年 武帝之讨侯景 庄在邺饮气而死 武帝援之 太建元年 城中震恐 车骑将军 知石头戍军事 宁忍违离？以巡傅泰城下 进封醴陵县公 子宝安嗣 子玩嗣 以斫竹笼 文 育恶之 潘美人生皇子大训 轨轻行自清水入灌口 太清元年 年三十 以此为验 而创基拨乱者乎？遇害 备羌胡之声 以頠为刺史 张正见 以铁锁贯车轮 又多致侗鼓生口 加都督 初 又大破齐军 天嘉四年薨 章昭达 武宁王大威 武帝之讨蔡路养 以頠监衡州 赖以存者甚众 祔太庙阴室 议欲破 堰拔军 皎平 量望风景附 文育对曰 遇侯景乱；与周文育 琳下至盆城白水浦 施拍其上 又进号平南将军 并问省中事 未就 "因自迎昌 恒云 诏昭达都督众军征之 时鄱阳王范率众弃合肥 "及至麻溪 齐遣王琳拒守 劢乃遣之 元帝即位 宣帝以纥久在南服 克之 少孤贫 封汝南王 絷于王琳 贼骑至 启文育同行 文育前锋陷阵 舆驾幸其第 以在道淹留 改封西江县公 "谁能学此？因不设备 中流而进 初封南安侯 论曰 安都工隶书 必先见杀 陈武帝时在高要 明经射策甲科 勃怒 齐人遣兵助琳 眼为之伤 为陈武帝所败 大败盛军 赠司空 遇害 遇害 会武帝遣杜僧明来援 字仁宗 司州刺史陈庆之与薈同郡 异平 "安都对曰 使各举所知 遗周迪书 齐遣慕容恃德镇夏首 令以本号还朝 以舫载马 仕梁为将帅 台城陷 字仁睿 有微风至自东南 授征北大将军 大败路养 《南史》 安都曰 少俊爽 风韵可爱 吾尝梦为鱼 聚沙石 袭父官爵 再迁左卫将军 遣安成王顼代明彻 得 嗣徽所弹琵琶及所养鹰 至都 范为雍州刺史 就汝南周弘正学天文 抠衣高 何以偿梦？相续降款 宣帝追封安都陈集县侯 尤聚恶少年 少勤学 幼聪警博学 萧勃死后 文育鼓噪而发 故瑱 裴子烈 江州刺史 后取富贵 帝不怿 昭达乃命军士为长戟 庆送瑱于景 以功授湘州刺史 方等注范晔《后 汉书》 与士君子游 配享文帝庙庭 大宝元年 除南海令 乃配步骑一万 吾今若去 与文育还都 乃未极日新 进兵合肥 大败元建 性厚重 四年 写蔡邕《劝学》及古诗以遗之 "元帝省书叹息 元帝始叹其能 寻被禽 缘江城镇 会文帝于吴兴 简文第十三子也 乃衔枚夜烧其舰 及湘州刺史华皎阴 有异志 贼收军还石头 亦黥而王 昭达乃逾岭讨陈宝应 二年 霍 文育频出与战 马枢 进据三陂 瑱领其众 乃叹曰 "帝曰 仍别奉中旨 又手解文帝发 安都等甘言许赂子晋 每饮会 何忍相苦？如白驹过隙耳 皎平 元帝归咎徐妃 安都第三子秘 定远二郡 琳已至小桂岭 将害太子 必推功将帅 相者见之 及引辞之郡 大心大惧 送至都 文育乘单舴艋 唐·李延寿梁简文帝诸子 颇有干略 "自古岂有被代天子？齐武平元年 安都被甲 始安王方略 善骑射 诏以瑱为都督五州诸军事 乐驱驰 琳恐众溃 帝谓曰 去寿春三十里 大连 带长刀 乃诣安都降 简文帝第十七子也 深器重之 远符耿 弇；其移文并假以昭达为辞 齐军不敢逼 大同六年 悉委行事 頠助帝平之 元帝即位 敬帝太平二年 家产累积 拜中书侍郎 "太子比颇受卿导不？又出为郢州刺史 频致克获 及交州豪士李贲反 引营渐进 有俊才 武帝表僧明为长史 法〈奭斗〉功居多 多不遵法度 百姓怨酷 将载妻妾于御堂 欢会 时贼徒甚盛 庐于麓山寺傍 白 法〈奭斗〉破之 左夫人生南海王大临 出永康 以鹿角绕岸 简文二十子 徐伯阳 复其官爵 分衡州之始兴 "吾自度死必在贼前 欲就王琳 不受令 昙朗害之于坐 孝顷子公扬 攻蔡路养 贞惠世子方诸 并释之 杜僧明 及周文育并为安兴所启 遇害 字景德 行至繇水 救老 不妄戏弄 瑱既失根本 武帝追安都还拒之 以为豫章内史 欲俱进 遂与约和 陈武帝将受禅 瑱以武帝有大量 大宝元年 略通其术 又遣其别将欧阳頠顿军苦竹滩 然其所克 许之 武帝遣周文育为前军 帝赦之 "计将安出？仍随都督王僧辩讨景 授新州刺史 令拜祠上冢 索断粮 绝 及景败巴陵 因使太子师弘正 诣卜者 遣其弟孝劢守郡城 "贼若未须见杀 侯景寇都 "卿相善矣 上乃下诏 宝安 抑亦明公之力 晋康太守 放拍碎其楼 封宁国县公 天嘉二年 太清三年 嗣徽等乃列舰于青墩至于七矶 方诸年十五 王琳请庄于齐以主梁嗣 群盗闻而避焉 刘珊 猜防不设；岭 南皆慑伏 以备杜龛 游骑至于阙下 仍随东讨 累功除定州刺史 童心未革 徐妃以嫉妒失宠 齐朝许以兴复 戒之曰 会铁据豫章反 与南海王俱入国学 深衔之 军主张纂 武帝闻其还 "乃六时礼佛 弃船走 武帝复遣文育及周迪 大破之 安兴死 据豫章之地 初 会卢安兴为南江督护 或命以诗笔 寻有诏宥其妻子家口 禽其将赵加娄 刘神茂来攻 诏文育督众军讨之 绥御文育士卒 遂入齐 《书》曰"知人则哲" 随武帝镇京口 帝引安都宴于嘉德殿 及史宁至 文育曰 大心辄令铁击破之 而并有所短 抚胸恸哭 迁仕闻平虏败 请罪 不可往也 总众军以讨迪 囚于西省 悉皆平殄 授安南将军 因出景历表于朝 未及行而江陵丧亡 王琳据有中流 及至姑孰 乃遣其宋子仙从间道袭之 垂泣而退 出为琅邪 方等意不自安 有自田还者云 王琳拥据上流 初封临汝公 部官将帅 事觉 初 官至光禄大夫 在贼中每不屈意 咸乐为用 乐良王大圜 而有胆气 除南兖州刺史 黄法〈奭斗〉字仲昭 第其高下 时武帝拒嗣徽于白城 潜军袭之 安都乃令军士竖栅 改授都督交广等十九州诸军事 朝望当使安都讨之 若不见信 遇害 侯景围台城 宣帝即位 以功授开府仪同三司 统内不甚和 以皇孙封当阳县公 杜僧明 初封石城县公 仍授南徐州刺史 僧明为前锋 大败之于吴松江 今见枉死而不 能为报 时武帝年高 改桂阳郡之汝城县为卢阳郡 出为都督 与侯景将侯子鉴战 而王琳至弇口 仍迎赴都 乃于新吴县别立城栅 简文第二十子也 "昨见大临 莫非国恩 字德规 "初 又集其部下将帅会于尚书朝堂 文士则褚玠 萧勃 奉子雄弟子略为主 魏克江陵 安都乃释郢州 简文第三子也 法 〈奭斗〉共周迪讨平之 华皎构逆 论曰 就其母请文育养为己子 自京口还都 又频遣使招之 及周灭齐 太清元年 侯郎慠诞而无厌 侯景围台城 废帝即位 为流矢所中 劝大临投之 永定三年 贞惠世子母弟也 将战 命文育讨之 施楼船上 子略顿城南 大连率众四万来赴 开府仪同三司 瑱惧不 自安 量还荆州 知琳不能持久 钦征交州 虽外示臣节 "明彻曰 大同元年 瑱留军人妻子于豫章 降之 弘正谒见 以备不虞 武帝于始兴破兰裕 余孝顷为豫章太守 将下床而刑人掩至 法〈奭斗〉遣兵助文育 巴西充国人也 前犯其阵 虏其妻子 而别遣使归陈武帝 仍诏以甲仗四十人出入殿省 将士亦以此附之 遇害 子雄弟子略 贼北度蒋山 舍因为立名为文育 赍示昙朗 少质直 有思理 进授太尉 杀数十人 哀毁甚至 安陆王大春 仍随僧辩平侯景 腰带十围 涉猎书传 召百姓 恐萧广州不肯致之 陈武帝镇京口 孝顷退走新吴 若使吾终得与鱼鸟同游 入谓徐妃曰 以军功封广晋县男 还东扬州 忠壮世子方等 适至 余众悉平 "梁大同中 进号平南将军 开府仪同三司 方等欣然升舟 皆拜中书侍郎 俄而范及嗣皆卒 以功加侍中 劝令先之 还军至南皖 祖孙登 且谋取法〈奭斗〉 字明智 安远二郡 及夕 尽收僧愔徒党 乃合战 胜衣已别离？尽禽留异 先锋发拍 累功封东迁县 侯 武帝受禅 居危履崄 寻赦之 威振南土 廪馈甚厚 明彻频破之 山谷夷 吴明彻 陈淑容生寻阳王大心 杜棱筑城于白口拒之 子雄请待秋讨之 率兵袭盆城 舟中腹心并劝因此入北 知进而不知止 "嗣君谅暗 进克仁州 方等必身当矢石 步投官军 郫县侯 及平王琳 又多设船舰 文育为熊昙朗 所害 陈武帝将逾岭入援建邺 绥建王大挚 未拜 资领新淦县令 虏瑱军府妓妾金玉 迁仕又与刘孝尚谋拒义军 诏以为车骑大将军 以度军粮 及魏克荆州 瑱知之 常众爱等 初 军败 反攻嗣徽 明年春 僧明 芊韶上流则欧阳頠 嗣徽等不能制 梁大同中 仕隋 进号征南将军 是时瑱据中流 征北 大将军 振旅而归 梁益州刺史鄱阳王萧范命弘远讨之 遣谒者萧淳就寿阳授策 兰钦弟前高州刺史裕 周又于峡口南岸筑垒 葬以士礼 城中苦湿 出为南豫州刺史 推就丧次 拜中书侍郎 亡立至矣 方等临行 宝应 二月 至三千人 裕败 据芜湖 死而获所 文育苦战 三年 先与铁善 若轻骑往建州 配享武帝庙庭 谓母曰 三年 太后又以衡阳王故 自余不显 年十余岁 武帝诛王僧辩 领其旧兵 将至始兴 每发誓愿 及司徒陆法和据郢州 征为中抚军大将军 文育不许 谥曰壮肃 袭邵陵郡公 军至吕梁 宿逆旅 字安民 年七岁 何乐如之；侯景乱 明彻仍自决其堰 文武羽仪甚盛 其声如雷 为 都督 "足钱便可 因赐王羲之书一卷 周封怀德郡公 悉大球代受 勿以汝兄为念 翼奉文帝 诏具太牢 时有伊氏者 性至孝 深宜慎之 遇害 一箪之食 改封康乐县公 进攻郢州 四百两付儿智矩 景将宋子仙 于是盛陈兵甲 "便按剑上殿 密营御敌之具 良有以也 配享武帝庙庭 "臣等未奉诏 僧明 复副其子子雄 出为东扬州刺史 闭门高垒 大同元年 "徐妃不答 兼神用端嶷 乃自缒而下 字仁师 大败纥 任约等并为西军所获 相持数日 因纵兵攻其城 东人惩景苛虐 文育已斩勃 "卒皆如言 破之 威惠著于百姓 昭达喜之 盛以竹笼 遇害 则当富贵 安都等败 出为东扬州刺史 贼不能进 湘 东王承制 七年
[学习指导] 1、本讲重点；向量的概念，加法和减法， 共线的充要条件，向量的坐标运算，数量 积，垂直的充要条件。定比分点和中点坐 标公式，平移公式。 2、本讲难点：将重要的概念、公式、条件、 方法与几何、解析几何、三角函数、复数 等知识的综合运用。