复变函数习题及答案
复变函数(第四版)课后习题答案
(3 + 4i )(2 − 5i ) = 5
2i
29 ， 2
26 ⎡ (3 + 4 i )(2 − 5 i ) ⎤ ⎡ (3 + 4 i )(2 − 5 i ) ⎤ = arg ⎢ Arg ⎢ + 2kπ = 2 arctan − π + 2kπ ⎥ ⎥ 2i 2i 7 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = arctan 26 + (2k − 1)π , 7 k = 0,±1,±2, " .
{
}
{
}
Arg i8 − 4i 21 + i = arg i8 − 4i 21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i ) + 2kπ
(
)
(
)
= −arctan3 + 2kπ 2．如果等式 解：由于
k = 0,±1,±2, ".
x + 1 + i(y − 3) = 1 + i 成立，试求实数 x, y 为何值。 5 + 3i x + 1 + i(y − 3) [x + 1 + i(y − 3)](5 − 3i ) = 5 + 3i (5 + 3i )(5 − 3i ) =
2 2
= ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) + ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = 2( z1 z1 + z2 z2 )几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数 R ( z ) =
2 2
1 ； 3 + 2i
1 3i （2） − ； i 1− i
复变函数_习题集(含答案)
22.用留数定理计算积分 .
23.用留数定理计算积分 ．
24.用留数定理计算积分 ．
25.用留数定理计算积分 ．
26.判断级数 的收敛性．
27.判断级数 的敛散性．
28.判断级数 的敛散性．
29.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
30.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
31.将 按 的幂展开，并指明收敛范围．
32.试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛朗级数．
33.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
34.试将函数 分别在圆环域 内展开为洛朗级数．
35.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
36.设 在区域 解析，证明在区域 内 满足下列等式
．
37.证明方程 的全部根均圆环 内．
故 ,即 在 上为 的上升函数.
(2)如果存在 及 使得 ,则有 .于是在 内 恒为常数,从而在 内 恒为常数.
39.证明：取 ,解析且连续到边界.
.
（根据Rouche定理）
故结论成立.
40.证明: 是调和函数.
使得 解析,
解析,
也是调和函数.
一、填空题1
（略）……
证明区域d上的调和函数我们有ixy上任何点处可微且满足cr条件
《复变函数》课程习题集
一、计算题
1.函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
2.试判断函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
3.试判断函数 在 平面上的哪些点处可微？哪些点处解析？
4.设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数．
14.计算积分 ，其中路径为（a）自原点到点 的直线段；(b)自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向右到 ．
复变函数答案 钟玉泉 第三章习题全解
即 Φ′(x) = 0, Φ( x) = C ,故
f (z) = e x (x cos y − y sin y) + i( xex sin y + e x y cos y + C)
又因 f (0) = 0, 故 f (0) = iC = 0 ⇒ C = 0 ,所以
f (z) = ex ( x cos y − y sin y) + i(xex sin y + e x y cos y)
′(
x)
= 0.
所以ϕ( x) = C ,故
x
y
f (z) = − x2 + y2 + C + i x2 + y2
又因为 f (2) = 0 ,所以 C = 1 ,故 2
x1
y
f (z) = − x2 + y2 + 2 + i x2 + y2
17.证明：设 f (z ) = u + iv ⇒ 4 f ′( z) 2 = 4(ux2 + vy2 )
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πi(2z 2 − z +1) = 4πi
z ≤2 z −1
z =1
(2)可令 f (z) = 2z 2 − z +1,则由导数的积分表达式得
∫ 2z 2 − z +1dz = 2πif ′(z) = 6πi
z =2 (z − 1) 2
z =1
sin π zdz
∫ v = (xex cos y − e x y sin y + e x coy)dy
∫ = xex sin y + e x sin y − e x y sin ydy
复变函数答案 钟玉泉 第六章习题全解
Re s
z
(6) Re s
z 1
ez ez e ( z 1) 2 | z 1 2 z 1 z 1 2
Re s
z 1
ez ez e 1 ez ez e ( z 1 ) | Re s ( z 1 ) | z 1 z 1 2 2 2 2 z 1 z 1 2 z 1 z 1 z 1 2 ez e 1 e ( Re s f ( z ) Re s f ( z )) z 1 z 1 z 2 1 2
第六章 留数理论及其应用
（一）
1.解：(1)z=1 是一级极点，故由推论 6.3 知
Re s f ( z ) ( z 1)
z 1
1 1 | 2 z 1 ( z 1)( z 1) 4
Z=-1 是二级极点，同前由推论 6.4 知
Re s f ( z ) [( z 1) 2
Re s f ( z ) C1
z 0
4 3
z z 0
又由 z=0 是唯一有限奇点，故 Re s f ( z ) Re s f ( z ) (4)由 e z 1 1
1
4 3
1 1 所以 Re s f ( z ) 1 z 1 z 1 2!z 12
由儒歇定理，f(z)与
而 f(z)=-z 在 C 内只有一个零点，所以
f ( z) g ( z) ( z) z
只有一个零点，记为 z ，使得 ( z ) z C 或 ( z ) z 0 0 0 0 0
Re s f ( z )
z n
1 的 sin z
1 | z (1) n (sin z )
1 e2 z 1 (2 z ) 2 (2 z ) 3 2 2 4 (3)由 4 4 2z 3 2 所以 z z 2! 3! z z 3z
8复变函数课后题答案（中国石油大学）
习题八答案 1． 求下列函数的拉氏变换：(1) 3,,2()cos ,;2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 解：由拉氏变换的定义知：22220231[()]3cos 1.1s s st stL f t e dt etdt e e s s ππππ+∞−−−−⎛⎞=+=−−⎜⎟+⎝⎠∫∫(2) ()cos ()sin ().f t t t t u t δ=⋅−⋅解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：0202221[()]cos ()sin ()cos |111.11st st st t L f t t t e dt t u t e dt t e s s s s δ+∞+∞−−−==⋅⋅−⋅⋅=⋅−+=−=++∫∫2. 求下列函数的拉氏变换：(1)2()1;f t t =−解：由拉氏变换的线性性质知：2332!121[()][][1].L f t L t L s s s s=−=−=− (2) ()1;tf t te =−解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：211[()][1][].(1)t L f t L L te s s =−=−− (3) ()cos ;f t t t =解：法一：利用位移性质。
()cos .2it ite ef t t t t −+==由拉氏变换的位移性质知：222211111[()][][].222()()(it its L f t L te L te s i s i s −⎡⎤−=+=+=⎢⎥−++⎣⎦211) 法二：利用微分性质。
令 则()cos ,g t t =2221()[()],'().1(s s G s L g t G s s s −===++21) 由拉氏变换的微分性质知：[cos ][()]'().L t t L tg t G s ==−即 2221[()].(1)s L f t s −=+ (4) 2()sin 6;tf t et −=解：因为 26[sin 6],36L t s =+ 故由拉氏变换的位移性知：26[()].(2)36L f t s =++ (5) 2()cos ;f t t = 解：1cos 2().2tf t +=故22211112[()][][cos 2].22224(4)s s L f t L L t s s s s +=+=+⋅=++ (6)()(1);tf t u e −=−解：因为1,10(1),0,10ttte u e e −−−⎧−>⎪−=⎨−<⎪⎩ 即： 1,0(1).0,0t t u e t −>⎧−=⎨<⎩ 故01[()]1.st L f t e dt s+∞−=⋅=∫(7) 2()(1);tf t t e =−解：22()(1)2.ttttf t t e t e te e =−=−+ 法一：利用拉氏变换的位移性质。
复变函数习题及解答
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）答案（1）实部－1；虚部；模为2；辐角为；主辐角为；原题即为代数形式；三角形式为；指数形式为．（2）略为（3）略为（4）略为（5）略为：（6）该复数取两个值略为计算下列复数1）；2）；答案1）；2）；计算下列复数（1）；（2）；答案（1）（2）已知为实数，求复数的实部和虚部．【解】令，即为实数域(Real).平方得到，根据复数相等，所以即实部为虚部为说明已考虑根式函数是两个值，即为值．如果试证明对于任何复常数有【证明】因为，所以如果复数是实系数方程的根，则一定也是该方程的根．证因为，，…，均为实数，故，，…，．且，故由共轭复数性质有：．则由已知．两端取共轭得即．故也是之根．注此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．证明：,并说明其几何意义．若，试求的值.【解】因为所以即为所以将下列复数表为的幂的形式（1）；（2）答案证明：如果是1的n次方根中的一个复数根，但是即不是主根，则必有对于复数，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：成立。
【证明】对任意n个复数，由三角不等式知再由关于实数的柯西不等式得,证毕。
证明成立．下列不等式在复数平面上表示怎样的点集1）；2）；3）；4）；5）（答 1）平面上由与所构成的宽度为1的铅直带形域；2）以为心，内半径为2，外半径为3的圆环域；3）顶点在原点，开度为的角形区域；4）宽度为的说平带形域，边界为，；5）以为心，为半径的圆之外部区域）指出下列关系表示的点之轨迹或范围；并说明是何种点集1）2）解 1）令，由知且即这样的点为平面上从点出发（但不含点）与实轴倾角为的射线．此射线所形成的点集既非开集，也非闭集．2）设，则原条件即为即由模的定义得化简得这是一椭圆，长半轴为，短半轴为，中心在原点，它是有界闭集（全部为边界点）．描述下列不等式所确定的点集，并指出是区域还是闭区域，有界还是无界，单连通还是多（或复）连通.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解（1）是以i为圆心、在以2为半径的圆外，3为半径的圆内的圆环，是有界闭区域、多连通．（图形略）（2）即是下半平面，无界单连通闭区域．（3）到3的距离比到2的距离大，因此，它是左半平面，去掉一点，是无界的多连通的区域.（4）在直线的上方，其中．无界单连通区域（5）即或是无界多连通区域（6）此不等是焦点在和初，长半轴为5/2的椭圆内部，为有界单连通闭区域）．（7）这是半支双曲线：，部分是无界单连通区域．（8）不等式即，或，只有当，成立，因此，只代表复平面上一个点．已知映射，求(1) 圆周的象；（2）直线的象；（3）区域的象．答案 (1) ，为圆周（2）直线（3）先看直线 x=1的象，而 z＝0 的象在圆的外部，因此的象是圆的内部即为讨论下列函数在指定点的极限存在性，若存在求出其值，并判断在该点的连续性．1）， 2)，解 1），则，，，又注意即在点处极限存在且连续．2）设，则显然，在点极限存在且连续．但注意不存在，事实上，令，有，对不同值有不同结果，故知不存在．所以，不存在．由连续与极限的关系知在处极限不存在、不连续．注这两个问题均通过极限存在的充要条件将问题转化为两个二元实函数在对应点处极限存在性的判断问题，这是最常用的方法．在问题1）中，又根据连徐的另一等价定义，立即得到在处不仅极限存在，而且在该点连续的结论；在2）中，实际上是一复变量实值函数，即，所以由充要条件只需判断一个二元实函数在点的极限存在性．由该二元实函数在点极限不存在即得在处极限的不存在性．若函数在点点连续，证明（1）在该点连续；（2）的模在该点连续．本章计算机编程实践与思考(说明：读者可参考第五部分计算机仿真编程实践)使用Matlab,或Mathcad,或Mathmatic计算机仿真求解下列复数的实部、虚部;共轭复数；模与辐角；计算机仿真计算：计算机仿真求解方程计算机仿真编程实践：若对应为的根，其中且取整数.试用计算机仿真编程验证下列数学恒等式成立.用计算机编程实践方法（Matlab,Mathcad,Mathmatic,C/C++）实现：（1）绘出单位圆及其内接正十七边形；（2）计算机编程求出边长；（3）能否对多变形进行推广，得出相应的计算机仿真计算方法.计算机仿真编程验证对复平面任意两个以上的不重合的有限远点，（即保证分母不为零），恒等式是否还成立呢注意式中自然数，而m, k为1至N的整数.（提示：利用随机函数产生随机数，从而验证恒等式是否成立）。
大学复变函数复习题+答案
《复变函数和积分变换》一．（本题30分，其每小题各3分）1. 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ；2. 复数3i 1+的指数形式是 ____3. 计算34-________4.函数()224z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点5. 若∑==0n n n 2nz )(z f ，则其收敛半径 ； 6.计算留数：⎪⎭⎫⎝⎛0,z cosz Res 3 ；7. 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件为 _____8. 曲线y x :=C 在映射z1)(=z f 下的像是_______ 9. C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-Cna z dz（n 为正整数） ；10. 判断n1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分）(1)、计算积分⎰CRezdz 其中积分路径C 为： ①连接由原点到1+i 的直线段；②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.(2)、已知：()()3z e 1zsinzz f -=求：]0),z (f [Re s(3)、计算()()10dz z 1ln rz <<+⎰=r 4）、计算()()dz i z z 9zC2⎰+-，其中2||=z C 为正向圆周：。
（5）计算dz e 1z z 12⎰=.三、求积分()dz 1z z e 4z 22z⎰=-（7分）四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =. （7分）五、验证()()0x xyarctgy ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22yx ∂∂+∂∂=∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分六、（8分）求函数()()()2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式（1）.1|1|0<-<z （2）0<2z -<1.七、求实轴在映射iz 2i+=ω下的象曲线（8分）八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδδ的傅立叶变换（7分）答案一、(1)直线y=x (2)i32k 2e⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ (3)一;二 (4)()()3i 12;2;3i 12313231--+--(5)2 (6)21- (7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 ②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y (9)⎩⎨⎧>=1n ,01n ,i 2π (10发散二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为： z=(1+i)t 1)t (0≤≤故 ⎰CRezdz =()[]{}()dt i 1t i 1Re 10++⎰ =()⎰+1tdt i 1=2i 1+ ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤,即 z=1+it 1)t (0≤≤,故 ⎰C Rezdz =()[]⎰⎰++101idt it 1Re Retdt =⎰⎰+110dt i tdt =i 21+ (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。
复变函数习题总汇与参考答案
复变函数习题总汇与参考答案第1章 复数与复变函数一、单项选择题1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ）A （ac+bd, a ）B (ac-bd, b)C （ac-bd, ac+bd ）D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）}A |z|<RB 0<|z|<RC R<|z|<+∞D |z|>R3、若z=x+iy, 则y=(D) A B C D4、若A= ，则 |A|=（C ） A 3 B 0 C 1 D 2二、填空题1、若z=x+iy, w=z 2=u+iv , 则v=（ 2xy ）2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ）3、（ 设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。
4、设z 0=x 0+iy 0, z n =x n +iy n (n=1,2,……)，则{z n }以z o 为极限的充2zz +2z z -i z z 2+iz z 2-)1)(4()1)(4(i i i i +--++∞→n lim +∞→n lim分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。
三、计算题1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。
解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1|-1-i|=2、写出复数-i 的三角式。
解：3、写出复数 的代数式。
解：4、求根式 的值。
解： ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 ππ23sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i ii i i 212312121)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-++-+=-+-i i i i -+-11327-)27arg(3273π=-=四、证明题1、证明若，则a 2+b 2=1。
《复变函数》练习题册
第一章1. 设,43,5521i z i z +−=−=求21z z 与21z z . 参考答案：i 515721−−=z z ，i 515721+−=z z2.iii z −−−=131求()().,Im ,Re z z z z参考答案：()().25,21Im ,23Re =−==z z z z3. （1）证明：().Re 2212121z z z z z z =+ （2）证明：11Re()();Im()()22zz z z z z i=+=+4. 求下列复数的辐角主值、三角表示式、指数表示式123456781,1,1,1,2023,,1,z z z z z z i z z i=+==−+=−===−=−参考答案：1234567822arg ,arg ,arg ,arg ,3333arg 0,arg,arg ,arg 22z z z z z z z z πππππππ==−==−====−23i cossin221cos sin 12cos sin 233ii i i e i e i e πππππππππ=+=−=+= ++=，，，5 求i z 212−−=的三角表示式。
参考答案：−=−−=65sin 65cos4212ππi i z6. 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数，模与辐角()()821112432i i i i−++，参考答案：()()()()()()3arctan arg ,10z i 31,3Im ,1Re i,i 4i 4.32arctan arg ,131z i 132133,132Im ,133Re i 2311218−==+=−==+−−==+=−==+z z z z z z z z ，，，7.求下列各式的值(幂)()()()()361121i ++ ())53i − 参考答案：()()()())365511i 8i 21855(3)2(cos()sin())66i ππ+=−+=−−=−+−，8.求下列各式的值（方根）((12()()1331i −参考答案：((1601234522441cossin ,0,1,2,3.442221cos()sin(),0,1,2,3,4,5.661111,,,,,2222k k i k k k i k w i w i w i w i w i w i ππππππππ+++=+++=+=+−=−−()()130********cos sin ,0,1,2.337755cos sin ,cossin ,cos sin 1212121244k k i i kw i w i w i ππππππππππ−+−+ −=+=−++第二章1研究函数()()()22,2,z z h yi x z g z z f =+==和的解析性。
复变函数积分复习题答案
复变函数积分复习题答案复变函数积分是高等数学中的一个重要概念，它在实际应用中有着广泛的应用。
本文将为大家提供一些复变函数积分的复习题答案，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 计算下列复变函数的积分：(a) ∮(3z^2 + 4iz)dz，其中C为单位圆周。
(b) ∮(e^z + z^2)dz，其中C为以原点为中心，半径为2的圆周。
(c) ∮(z^3 - 2z^2)dz，其中C为以点1为中心，半径为3的圆周。
解答：(a) 首先对积分式进行展开，得到∮(3z^2 + 4iz)dz = ∮(3z^2)dz + ∮(4iz)dz。
对于第一项，根据复变函数积分的性质，由于z^2是z的原函数，所以∮(3z^2)dz = 0。
对于第二项，根据复变函数积分的性质，由于iz是z的原函数，所以∮(4iz)dz = 4i∮(z)dz。
再根据单位圆周的参数方程z = e^it，其中t为0到2π的参数，代入得到∮(z)dz = ∫(0到2π) e^it i(e^it)dt。
对该积分进行计算，得到∮(z)dz = i∫(0到2π) e^2it dt = i[e^2it/2i] (0到2π) = i(e^4π - 1)。
综上所述，∮(3z^2 + 4iz)dz = 0 + 4i(i(e^4π - 1)) = -4(e^4π - 1)。
(b) 首先对积分式进行展开，得到∮(e^z + z^2)dz = ∮(e^z)dz + ∮(z^2)dz。
对于第一项，根据复变函数积分的性质，由于e^z是z的原函数，所以∮(e^z)dz = 0。
对于第二项，根据复变函数积分的性质，由于z^2是z的原函数，所以∮(z^2)dz = 0。
综上所述，∮(e^z + z^2)dz = 0 + 0 = 0。
(c) 首先对积分式进行展开，得到∮(z^3 - 2z^2)dz = ∮(z^3)dz - ∮(2z^2)dz。
对于第一项，根据复变函数积分的性质，由于z^3是z的原函数，所以∮(z^3)dz = 0。
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第一章习题一、选择题1．设z=3+4i,，则Re z2=( )A．-7 B．9C．16 D．252.arg(2-2i)=（）A. B.C. D.3．设0<t≤2,则下列方程中表示圆周的是( )A．z=(1+i)t B．z=e it+2iC．z=t+D．z=2cost+i3sint4.复数方程z=3t+it表示的曲线是（）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线5．复方程所表示的曲线为________.. 直线；.抛物线；.双曲线；.圆二、填空题1. 设点,则其辐角主值arg z (-π<arg)为_______.2.设点, 则其辐角主值arg z (-π<arg)为_______.3.若，则=___________.4．arg(1+i)= .5．复数的模为_____, 幅角主值为_______.6．复数的模为_________，辐角为____________.7．设z=x+iy, 则曲线|z-1|=1的直角坐标方程为.一．选择1．下列集合为无界多连通区域的是（）A.0<|z-3i|<1B.Imz>πC.|z+ie|>4D.二、填空1．设，则Imz＝______________________。
三、计算题1.解方程z4=.2. 考察函数在处的极限。
复变函数第一章单元测试题一、判断题（正确打√，错误打）1.复数. ( )2.若为纯虚数，则. ( )3.。
（）4.在点连续的充分必要条件是在点连续。
（）5.参数方程（为实参数）所表示的曲线是抛物线. ( )二、填空题1.若等式成立，则______, _______.2.方程表示的曲线是__________________________.3.方程的根为_________________________________.4.复变函数的实部_________,虚部_________.5.设,，则= _ _____.6.复数的三角表示式为_________________，指数表示式为_________________.三、计算、证明题1．求出复数的模和辐角。
2．设满足求与的关系式。
3．将直线方程化为复数形式。
第二章习题一、选择题1.下列复数中，使等式=-z成立的是( )A．z=e2i B．z=e iC．z=D．z=2. 若f(z)=u+iv是复平面上的解析函数，则(z)=( )A．B．C．D．3. 设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b为( )A．a=-1,b=1 B．a=1, b=1C．a=-1,b=-1 D．a=1,b=-14．设z为复数，则e-iz=( )A．cosz+isinz B．sinz+icoszC．cosz-isinz D．sinz-icosz5.设z=x+iy，则|e2i+2z|=（）A.e2+2xB.e|2i+2z|C.e2+2zD.e2x6.设f(z)=e x(xcosy+aysiny)+ie x(ycosy+xsiny)在Z平面上解析，则a=（）A.-3B.-1C.1D.37.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z平面上解析，u(x,y)=x2-y2+x，则v(x,y)=（）A.xy+xB.2x+2yC.2xy+yD.x+y二、填空题1. =2.方程的解为__________________________.3.设f(z)=ze z, 则.4．函数仅在____________处可导.三、计算题1．求2．设为解析函数，试确定的值3．讨论函数在Z平面的解析性。
4. 讨论函数的解析性。
5.证明：函数在z平面上无界.第三章习题一、选择题1.设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C上连续，则下列式子错误的是( )A．B．其中C－为C的反向曲线C．D．2．设C为从-I到I的左半单位圆周，则( )A．i B．2i C．-i D．-2i3．设C为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为0的是( )A．B．C．D．4．设D是单连通区域，C是D内的正向简单闭曲线，则对D内的任意解析函数f(z)恒有( )A．f(z)=, z在C的外部B．f(n)(z)=，z在C的内部，n≥2C．f(n)(z)=，z在C的内部，n≥2D．f(n)(z)=，z在C的内部，n≥25.（）A.0B.1C.2πD.2πi6.（）A.0B.1C.2πD.2πi7.（）A.iB.2iC.3iD.4i二、填空题1.设___________.2．3.设函数f(z)在单连通区域D内解析，且F(z)=, 其中z,0, 则= .4．设为右半圆周上从原点到的圆弧，则积分=_______.5.=6. =三、计算题1．设为从到的直线段, 求2．设C为从0到1+2i的直线段，计算积分I=.3. 计算积分，其中C为正向圆周4. 计算积分5.求积分的值，其中C:|z|=4为正向.6.设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算I=.7.求积分的值，其中C:|z|=1为正向.8.问实数取何值时，为调和函数，并求出解析函数关于的表达式。
9．已知，求合于条件的解析函数。
10．已知，求满足的解析函数。
第四章习题一、选择题1．复数列的极限是( )A．1+i B．C．1 D．02.泰勒展开式的收敛半径是（）A.0B.1C.2D.33.在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（）A. B. C. D.4.幂级数的收敛区域为（）A．B．C．D．二、填空题1．幂级数的收敛半径是___________.2. 幂级数的收敛半径R=3. 幂级数的收敛半径为.4．判断级数的收敛性(填发散、条件收敛或者绝对收敛).三、计算题1．将分别在下列圆环域内展成罗朗级数(1) ；(2) .2．将函数f(z)=在圆环域（1）0<|z|<1; （2）1<|z|<2; (3) 0<|z-1|<1；3、将分别在下列圆环域内展成罗朗级数(1) ；(2).4. 求函数关于z的幂级数展开式。
5. 将函数在点处的罗朗级数.第五章习题一、选择1．z=i是f(z)=的( )A．一阶极点B．二阶极点C．本性奇点D．解析点2.设f(z)=，则Res[f(z),1]=（）A.0B.1C.πD.2π3.z=2i为函数的（）A.可去奇点B.本性奇点C.极点D.解析点4、是函数f(z)=的（）A. 一阶极点B．可去奇点C．一阶零点D．本性奇点5．z=0是函数的（）A、1阶极点B．2阶极点C．3阶极点D．4阶极点6．z=0是函数的（）A、1阶极点B．2阶极点C．3阶极点D．4阶极点二、填空题1．为函数的___________________2．函数在点z=0处的留数为__________________。
3．z=0是的___________________4．函数f(z)=在点z=0处的留数为__________________。
5．Res= .三、计算题1.计算积分c为正向圆周：|z|=22．设f(z)=.(1)计算Res[f(z),0](2)利用以上结果，计算积分I=, 其中C为正向圆周|z|=1.3.利用留数定理计算积分4.利用留数定理计算积分：(10分).5. （1）求在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；（3）利用以上结果计算积分积分变换一．填空题1.=____________，2．已知则它们的卷积____________. 3．设为函数f(t)的拉氏变换，则有 .4. 设为函数f(t)的Fourier变换，则= .二、选择题1．如果函数的Fourier变换为，那么的Fourier变换是（）A、B、C、D、2、δ函数的傅氏变换F 为（）A. —2B. —1C. 1D. 2三、计算题1．(1)求e-t的拉氏变换F[e-t]；(2)设F(p)=F[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F[y′(t)]、F[y″(t)]存在，且y(0)=0，y′(0)=1，求F[y′(t)]、F[y″(t)]；（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：2.利用拉氏变换求微分方程满足初始条件的解3、利用Laplace变换求方程满足初始条件的解.一．填空题1.=____________，2．已知则它们的卷积____________. 3．设为函数f(t)的拉氏变换，则有 .4. 设为函数f(t)的Fourier变换，则= .二、选择题1．如果函数的Fourier变换为，那么的Fourier变换是（）A、B、C、D、2、δ函数的傅氏变换F 为（）A. —2B. —1C. 1D. 2三、计算题1．(1)求e-t的拉氏变换F[e-t]；(2)设F(s)=F[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F[y′(t)]、F[y″(t)]存在，且y(0)=0，y′(0)=1，求F[y′(t)]、F[y″(t)]；（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：2.利用拉氏变换求微分方程满足初始条件的解3、利用Laplace变换求方程满足初始条件的解（10分）复变函数答案第一章一、选择题A B B A D二、填空题 1. 3π-2. 43π- 3.41313i ）（++- 4．4π 5．4, 3π.6． 22；3113arctan-+ 7．1)1(22=+-y x 一、选择 1.C二、填空 2.-8三、计算1. 解：设41)31(i z +-=则)32sin 32(cos2ππi z += )4232sin 4232(cos 24ππππk i k z +++=k=0,1,2 ,32. 解：设θi re z =，则θi re z -=，故θθθθθθθ2cos 2)(22=+=+=---i i i i i i e e re re re re z f ，而2)(lim )0(0||==→z f z θ，0)(lim )(0||==→z f z πθ，故)(z f 在z=0处无极限。
一、判断题（正确打√，错误打）1. 2. √3. √4. √5.二、填空题1.（1，6）或（-6，-1）;2. y=2;3.4..,5.6.，.三、计算、证明题1．2．则3．第二章一、选择题1.C．2. B．3. D 4．C 5．D. 6. B.7.C二、填空题1. ；2. ；3．ze z +e z 4．(0,-1)三、计算题(每小题5分，共40分)1.2．，，，, ,,3．解：，则因而，，，故函数在处不满足C —R 条件，故处处不可导，不解析。
4. 解： 设，则，，而，，，，由C.—R.条件，只有x=0，y=0处满足，因此函数在处可导，在Z 平面上处处不可导，不解析。
5.证明：取z =i y (y >0),则 cos(i y )=第三章一、选择题1.A ．2． B ．3． A ．4．D ．5. A. 6. D. 7. D.二、填空题1. i π2sinz 2． i π2 3． )(z f - 4． 24cos 1- 5. i π6 6. 12iπ三、计算题1．设C 为从01=z 到i z +=22的直线段, 求⎰Cdz z )Im(解：t i t z )2()(+=，21)2()Im(1idt i t dz z C+=+=⎰⎰2．设C 为从0到1+2i 的直线段，计算积分I=⎰Czdz Re .解：t i t z )21()(+=，21)21()Re(1+=+=⎰⎰i dt i t dz z C3. 计算积分dz z e z Cz )sin ||(⎰-，其中C 为正向圆周0||>=a z解：⎰⎰⎰-=-CCz Cz z zd e dz z dz z e z sin ||)sin |(|，由于函数z e z sin 在Z 平面上处处解析，所以 ⎰Cz z zd e sin =0而⎰⎰⎰===CCCdz a adz dz z 0||，所以原式=04. 计算积分⎰i dz z z π02cos解：20202sin 21sin 21cos πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰iiz dz z z5.求积分⎰++-Cdz iz z I ）（＝223的值，其中C:|z|=4为正向. 解：⎰++-Cdz i z z I ）（＝223=⎰-C dz z I 23＝⎰++C dz iz 2⋅+⋅=223i πi π2i π10= 6.设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算I=⎰-C dz z ze 33)2(. 解：=-⎰C dz z ze 33)2(0)(!2223=''=z ze iπ 7.求积分⎰-C z dz z e I 43＝的值，其中C:|z|=1为正向.解：⎰-C z dz z e I 43＝='''-==0)3(!32z z e i π3i π 8.问实数λ取何值时，sin x v e y λ=为调和函数，并求出解析函数()f z u iv =+关于z 的表达式。