复变函数总练习题1
复变函数练习题
复变函数练习题
1. 计算复数z=3+4i的模长和辐角。
2. 证明复数的加法满足交换律和结合律。
3. 给定复数序列{z_n}，其中z_n=(1+i)^n，求当n趋向无穷大时的极限。
4. 证明欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx。
5. 解复变方程(z-1)(z-2)=0。
6. 计算复数z=1-i的共轭复数。
7. 证明复数的乘法满足分配律。
8. 给定复变函数f(z)=z^2+1，求其在z=2处的导数。
9. 证明复数的除法满足结合律。
10. 已知复变函数f(z)=1/(z-1)，求其在z=2处的值。
11. 证明复数z=a+bi的实部和虚部满足a^2+b^2=|z|^2。
12. 解复变方程z^2+z+1=0。
13. 证明复数的乘法满足交换律。
14. 计算复数z=2+3i的逆元，并验证乘积等于1。
15. 证明复数的倒数是其共轭复数除以其模长的平方。
16. 给定复变函数f(z)=z^3-3z^2+2z+1，求其在z=1处的值。
17. 证明复数的模长是非负的。
18. 给定复数序列{z_n}，其中z_n=1/n，求其和的极限。
19. 证明复数的乘积的模长等于各自模长的乘积。
20. 给定复变函数f(z)=(z-1)/(z+1)，求其在z=i处的值。
复变函数总练习题1
复变函数总练习题1第⼀章练习题1、已知⽅程i e z 31+=，则z Im 为（）A. ln2B.32π C. ,...1,0,2±=k k π D. ,...1,0,23±=+k k ππ2、设210z z ++=，则1173z z z ++= （） A.0 B. i C.－i D.13、设iy x z +=，则zw 1=将圆周222=+y x 映射为（）A ．通过0=w 的直线B ．圆周21=wC ．圆周22=-wD ．圆周2=w4、已知⽅程(1+2i)z=4+3i ，则z 为 ( )A. 2+iB. -2+iC. 2-iD. -2-i5、复数)3sin 3(cos z ππi +-=的三⾓形式是 ( )A. 32sin 32cos ππi +B. 3sin 3cos ππi +C. 32sin 32cos ππ-+iD. 3sin 3cos ππ-+-i 6、⽅程1Re 2=z 所表⽰的平⾯曲线为（） A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线7、(1cos )(2sin ),02z t i t t π=+++≤≤所表⽰的曲线为A. 直线B. 双曲线C. 抛物线D. 椭圆 8、点集{}:5E z i i +- 表⽰的图形是（）A.半平⾯B.圆域C.直线D.点9、下列集合为有界单连通区域的是（）A. 10<B. 0Re >zC. 2<-i zD. ππ<10、若13-=z 且0Im >z ，则Z ⼀定等于（）A ．-1 B. i 2321--C. i 2321+ D. i 31+-11、211limz z +∞→的值为（）A ．0 B. i π2- C. 1 D.012、则3Im z =__________________________ 13、知⽅程(12)43i z i +=+，则z =___________； 14、31z =且Im 0z >，则z =___________；15 、数()2arg(3)f z z =-在复平⾯除去实轴上⼀区间______ __ 外是连续解析函数。
复变函数_习题集(含答案)
原积分 .
20.解: 在 内以 为2级极点.
.
原积分 .
21.解： .
记 ， 在上半平面内仅以 为二级极点.
,
故 .
22.解： .
设 , 以 为二级极点，且
,
.
故 .
23.解： .
设 , 为 在上半平面的一级极点,
,
.
.
24.解： .
记 满足 ,
.
故 .
25.解: 设 则 , .
,
令 则 在 内只有一级极点, ,依定理有
《复变函数》课程习题集
一、计算题
1.函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
2.试判断函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
3.试判断函数 在 平面上的哪些点处可微？哪些点处解析？
4.设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数．
5.设函数 在区域 内解析， 在区域 内为常数，证明 在区域 内必为常数．
25.用留数定理计算积分 ．
26.判断级数 的收敛性．
27.判断级数 的敛散性．
28.判断级数 的敛散性．
29.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
30.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
31.将 按 的幂展开，并指明收敛范围．
32.试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛朗级数．
.
9.解:
.
10.解: .
11.解： 在C内解析.
.
12.解: .
13.解：
.
14.解：（a） .
（b）
.
15.解：（a） .
（b）
.
16.解： 在 内仅以z=1，z=2为分别为一、二级极点.
【复变函数期末考卷】复变函数考试试题
【复变函数期末考卷】复变函数考试试题《复变函数》练习题⼀.单项选择题.1. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 2.函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的（B ）可导的（C ）不可导的（D ）既不解析也不可导 3.函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既⾮充分条件也⾮必要条件 4.下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满⾜柯西-黎曼⽅程，则iv u z f +=)(在D 内解析（D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析5. 使得22z z =成⽴的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯⼀的（C ）纯虚数（D ）实数 6. z e 在复平⾯上( )（A ）⽆可导点（B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析（D ）处处解析 7. 设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平⾯上处处解析（B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(iziz e e z f --= （D ）)(z f 是⽆界的8. 设c 为不经过点1与1-的正向简单闭曲线，则dz z z zc+-2)1)(1(为( ) （A ）2i π（B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能9. 设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=?+=dz z zc c c 212sin ( ) （A ） i π2- （B ）0 （C ）i π2 （D ）i π410. 10. 复数ii+=1z 位于复平⾯第( ) 象限. A ．⼀ B ．⼆ C ．三 D ．四11. 下列等式成⽴的是( ).A ．Lnz Lnz 77=； B ．)1arg()1(r =g A ；C ．112=i； D ．)z z Re(z z =。
复变函数期末试题及答案
复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。
答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。
答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。
复变函数复习题一(参考答案)
复习题一一、 判断题（正确打∨，错误打⨯，把判断结果填入下表）：1、若函数f (z )在0z 解析，则f (z )在0z 的某个邻域内可导。
（∨）2、若函数f (z )在0z 处解析，则f (z )在0z 满足C.-R.条件。
（ ∨）3、如果0z 是f (z )的可去奇点，则)(lim 0z f z z →不存在。
(⨯ )4、若函数f (z )在区域D 内解析，则)('z f 在区域D 内解析。
（∨ ）5、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展为幂级数。
（ ∨）6、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（∨ ）7、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某一条曲线上恒为常数，则f (z )在区域D 内恒等于常数。
（∨ ）8、若0z 是f (z )的m 阶零点，则0z 是)(1z f 的m 阶极点。
（∨ ） 9、如果函数f (z )在闭圆3||k ≤z ：上解析，且时当3|z |=，有)0(|)(|>≤m m z f ，则m z f ≤∈∀|)(|,k z 有。
（ ∨ ） 10、lim z z e →∞=∞。
（⨯ ）二、 单项选择题（将选择结果填入下表。
）1、方程| z + 3 | + | z + 1 | = 4所表示的图形是：（A ）双曲线； （B ）椭圆； （C ）直线； （D ）圆。
.)(()()()()()()()(2)(22轴上可导仅在；仅在原点可导；处处不可导；处处可微，那么设、x z f D z f C z f B z f A x i xy z f-=3、设c ：,1=-i z 则⎰=-C dz i z z2)(cos（A ）eiπ2 （B ）1sinh 2π （C ）0 （D ）i i cos.0)(;0)(;)(;)()(41232但发散，通项趋于通项不趋于条件收敛绝对收敛为级数、D C B A ne n in ∑∞=.)(;)(;)(;)()(353sin 二级极点一级极点可去奇点本性奇点是在点函数、D C B A z e zz =-三、填空题,2,1,0;23arctan ,311±±=+-=--=k k Argz i z ππ则设、 2、=-+22i i __543i +-__。
完整版)复变函数测试题及答案
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
复变函数综合练习题及答案
1复变函数综合练习题及答案第一部分 习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.( ) 2. 设z=x+iy , 则=z z 22y x +.()3. 设,2321i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.( ) 5. 方程1=ze 有唯一解z=0.( ) 6.设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)()(z g z f 在点0z 处必可导.()7.设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在00iy x z +=处可导,则)(00,0)()(y x yui y v z f ∂∂-∂∂='.( )8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.()11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则0)(00=-⎰=-r z z n z z dz.()13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰'=1)()]([)(t t cdt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲线c 的起点,终点对应的t 值.( )214. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f .( )15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有)(2)(00z if dz z z z f cπ=-⎰. ( )16. 设幂级数∑+∞=0n n nz c在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z fz f )(!)()(000)(-=∑+∞=. ( )18. 设级数n n nz z c)(0-∑+∞-∞=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它是)(z f 在此环域内的罗朗级数.( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.()20. 设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点,则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( )二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________.A. 45,8πB. 4,24πC. 47,22π2.)Re(1z z -<是__________区域.A. 有界区域B. 单连通区域C. 多连通区域3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零B. 仅存在一个z 使z z-=1C.iz z i=14.在复数域内,下列数中为实数的是__________.A. i cosB. 2)1(i -C.38-35.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch16.函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成___________.A. 412v u -<B. 412v u -≤C. 214v u -<7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导C. 解析8. 下列函数中为解析函数的是_____________.A. )(z f =iy x -2B.)(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x -9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.A. 可导函数B. 调和函数C. 共轭调和函数10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则⎰-cn z z dz)(0=________________. A. 0B. i π2C. 0或i π211. 积分dz z zz ⎰=-22)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin112. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A.⎰=-23z dz z zB. 1sin z zdz z =⎰C.⎰=15z zdz ze 13. 复数项级数∑+∞=13n nnz 的收敛范围是________________.A. 1≤zB.1<zC.1>z14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ⋃⋃组成4复合闭路Γ且D D ⊂Γ,则___________________. A. 0)()()(21=++⎰⎰⎰c c c dz z f dz z f dz z fB. 0)(=⎰Γdz z fC.⎰⎰⎰-=21)()()(c c c dz z f dz z f dz z f15.函数)(z f =221ze z-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数B. 罗朗级数C. 都不是16. 0=z 是4)(zshzz f =的极点的阶数是_____________. A. 1B. 3C. 417. 0=z 是411)(zez f z-=的____________________. A. 本性奇点B. 极点C. 可去奇点18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n nz z cz f )()(0∑+∞-∞=-=,其中系数n c =______________________.A.!)(0)(n z fn , ,2,1,0=nB.!)(0)(n z fn ,,2,1,0±±=nC.,,2,1,0,)()(2110 ±±=-⎰+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =1-ze z,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0B. 1C. i π2 20. 设函数)(z f =)1(cos -z e z z,则积分⎰=1)(z dz z f =________________.5A. i π2B. ]0),([Re 2z f s i πC. .2,0,]),([231i z zz f ik k kππ±=∑=三. 填空题 (共14题)1. 复数方程31i e z-=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3.411<++-z z 表示的区域是___________________________________.4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,),(y x v =_______________________.5. 设函数)(z f =⎩⎨⎧=≠+-0,00,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ⎰=-++22173,则)1(+'i f =________________________.若)(z f =ζζζζd z z ⎰=-+2353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则⎰1)(z z dz z f =_______________________.8. 当a =________时,xyiarctgy x a z f ++=)ln()(22在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的__________阶极点,为)()(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =zzsin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.612. 设∑+∞-∞==n nn z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c .13. 积分dz zez z⎰=11=________________________.14. 留数__________]0,1[Re _,__________]0,1[Re 2sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题(共6题)1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求)(z f '.2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足i f =)0(.3. 试讨论定义于复平面内的函数2)(z z f =的可导性. 4. 试证22),(y x yy x u +=是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f .5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且zz e e =')(.6. 证明⎰⎩⎨⎧>==-c n n n i z z dz1,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.五. 求下列积分 (共24题)1. 计算dz z c⎰sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至)1,1(1z 的折线段.2.⎰+cdz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.73.⎰+-cdz z z)652(2, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.dz ze iz ⎰+π11. 5.dz z z i z ⎰=-++21)4)(1(122 6.dz z z zz ⎰=--ππ2)1(cos 2.7.⎰=-232)(sin z dz z zπ. 8.⎰-+=cz z dzI )2()1(2,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.⎰++=cz z dzI )1)(12(2,其中曲线c 分别为1)1=-i z2)23=+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e cz⎰-3)1(. 11. 23cos sin [](2)zzz e z e I dz z z z ==+-⎰. 12.⎰=--2)1(12z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.13. dz z z e z z⎰=-1302)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.14. dz z e z z⎰=+222)1(π.815.⎰=-24)1(sin z dz z zπ. 16.dz z z zz ⎰=-+12)12)(2(sin π. 17.⎰=1z zdz tg π.18.dz z zz ⎰=22sin . 19.⎰=+-122521z dz z z . 20.dz z z z ⎰=+-14141. 21.dz iz z z ⎰=-+122521.22. dz z z z c ⎰++)4)(1(222,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.23. dz z z c ⎰++1142,其中c 同上.24.⎰++c dz z z )1)(9(122,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)1.421)(z e z f z-=.2. 1sin )(-=z z z f .3.3)1(sin )(z zz f +=.94.224)1(1)(++=z z z f . 5.1)(-=z e z z f . 6.2)1()(-=z z e z f z. 7. 11)(23+--=z z z z f .8.z zz f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)1.)2()1(1)(22z z z z f --=110<-<z2.13232)(2+--=z z zz f231<+z 3.1)(-=z e z f z+∞<-<10z4. 21)(2--=z z z f1)1<z ,2). 1<z <2,3). 2<∞<z5.)1(1)(2z z z f -=110<-<z 6.z z f cos )(=+∞<-πz 7.2)1(1)(z z f +=1<z8.zzz f sin 1)(+=π<<z 0 (写出不为零的前四项)9.)1(cos )(2-=z e z z z f+∞<<z 0 (写出不为零的前三项)1010. zz z f sin )(=π<<z 0 (写出不为零的前三项)11第二部分解答一、判断题.(共20题)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √二、单项选择题.(共20题)1. A.2. B.3. C.4. A.5. B.6. A.7. A.8. B.9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题 1.,210)(235(2ln ±±=++，，k k i ππ) 2.47π ，i 472ln 23π+ 3. 13422<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos +5. 16. i ππ2612+- ，π36-7.)()(01z G z G -8.21 9.n m + ，n m -10.2π 11. π<<z 01212. 1 ，-61 13.i π14. 0 ，1四、求解下列各题1. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2323),(),(lxyx y x v ynx my y x u利用yv nxy x u ∂∂==∂∂2 ，得l n =222233ly x xvnx my y u --=∂∂-=+=∂∂，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy xvi x u z f -+-=∂∂+∂∂='23iz =2. 由于x xu y v 6=∂∂=∂∂ 所以 ⎰+==)(66),(x xy xdy y x v ϕ，)(6x y xvϕ'+=∂∂ 又由yux v ∂∂-=∂∂，即y x y 6)(6='+ϕ 所以 0)(='x ϕ，C x =)(ϕ（C 为常数）故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=23)(3. 由题意知⎩⎨⎧=+=0),(),(22y x v y x y x u ，由于1302=∂∂==∂∂y v x x u ，02=∂∂-==∂∂x v y y u 可得⎩⎨⎧==00y x 由函数可导条件知，2)(z z f =仅在0=z 处可导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章练习题1、已知方程i e z 31+=，则z Im 为 （ ）A. ln2B.32π C. ,...1,0,2±=k k π D. ,...1,0,23±=+k k ππ2、设210z z ++=，则1173z z z ++= （ ） A.0 B. i C.－i D.13、设iy x z +=，则zw 1=将圆周222=+y x 映射为 （ ）A ．通过0=w 的直线B ．圆周21=wC ．圆周22=-wD ．圆周2=w4、已知方程(1+2i)z=4+3i ，则z 为 ( )A. 2+iB. -2+iC. 2-iD. -2-i5、复数)3sin 3(cos z ππi +-=的三角形式是 ( )A. 32sin 32cos ππi +B. 3sin 3cos ππi +C. 32sin 32cos ππ-+iD. 3sin 3cos ππ-+-i 6、方程1Re 2=z 所表示的平面曲线为 （ ） A.圆B.直线C.椭圆D.双曲线7、(1cos )(2sin ),02z t i t t π=+++≤≤所表示的曲线为A. 直线B. 双曲线C. 抛物线D. 椭圆 8、点集{}:5E z i i +- 表示的图形是（ ）A.半平面B.圆域C.直线D.点9、下列集合为有界单连通区域的是（ ）A. 10<<zB. 0Re >zC. 2<-i zD. ππ<<z arg 210、若13-=z 且0Im >z ，则Z 一定等于（ ）A ．-1 B. i 2321--C. i 2321+ D. i 31+-11、211limz z +∞→的值为（ ）A ．0 B. i π2- C. 1 D.012、则3Im z =__________________________ 13、知方程(12)43i z i +=+，则z =___________； 14、31z =且Im 0z >，则z =___________；15 、数()2arg(3)f z z =-在复平面除去实轴上一区间______ __ 外是连续解析函数。
16、映射iw z=下，圆周22(1)1x y +-=的像曲线为__________；17、程z 3+1=0的所有复数根为___________.18、程)0(>=k k z z 在复平面上表示的曲线为__________ 19、程cos sin (0t 2)z t i t π=+≤≤表示的曲线为__________ 20、1Re 2=z 所表示的平面曲线为______________ 21、则3Im z =____________ 22、31z i =-，则z =____________ 23、知 ,)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++---=则=z ___________24、3arg 1π=z ，4arg 2π=z ，则=)arg(21z z ____________25、___________26、ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn (i)21_____________27、C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=)),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ____ 28、n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n n z lim _____________29、b a z a z =++-，其中a ，b 为正常数，则点z 的轨迹曲线是________ 30、{}n z 收敛的充要条件是{}n z Re 和{}n z Im 都收敛，判断此命题是否正确，并给出充分理由31、证明函数zzz f =)(在0→z 时极限不存在. 32、方程2it t z +=，+∞<<∞-t 定义了什么样的曲线？ 33、证明)(21limzzz z i z -→不存在. 34、求解方程组12122(1)43z z i i z iz i -=⎧⎨++=-⎩第二章练习题1、设)cos(i z =，则z Re 等于 ( )A. 211e e +--B. 211e e +-C. 211e e -- D. 02、设)5cos(i z +=π，则z Re 等于 ( )A. 2e e 55+--B. 2e e 55+-C. 2e e 55-- D. 03、设函数()f z u iv =+在区域D 内解析，则下列等式中错误的是 （ ）A./()f z =x u ∂∂+i x v ∂∂ B. /()f z = y v∂∂+i x v ∂∂ C. /()f z =y u ∂∂+i yv∂∂ D. /()f z =x u ∂∂-i y u ∂∂4、设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是( )。
A. u,v 在点z 0处有偏导数B. u,v 在点z 0处可微C. u,v 在点z 0处满足C-R 条件D. u,v 在点z 0处可微，且满足C -R 条件5、若()z f z e =，则下列结论不成立．．．的是 （ ） A.()f z 在z 平面上解析 B. ()f z 为非周期函数 C. ()f z 在z 平面上无零点 D. ()f z 在z 平面上无界 6、映射i z z 2z 32-=+=ω在处的伸缩率为（ ）A.40B.102C. 10D. 57、函数()f z =A ．复平面 B. 除去原点的复平面 C. 除去实轴的复平面 D. ( ) 8、设函数()f z u iv =+在区域D 内有定义，则在D 内（ ） A.由,u v 为调和函数可得()f z 解析 B. 由,u v 满足C.－R.条件可得()f z 解析 C.由v 为u 的共轭调和函数可得()f z 解析 D.以上三种都不成立9、已知方程i e z 31+=，则z Im 为 （ ） A. ln2 B. 32πC. ,...1,0,2±=k k πD.,...1,0,23±=+k k ππ10、设2()f z z =，则()f z 在复平面上（ ） A ．原点处解析 B. 处处解析 C. 处处不解析 D. 原点处可导 11、设22()f z x iy =+，则()f z 在复平面上（ ） A ．直线y x =上可导 B. 处处解析 C. 直线y x =上解析 D. 原点处可导 12、函数)(z f 在一点处解析是)(z f 在这点可导（）A ．充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 13、)1log(i -的值是（ ）A ．i 42ln 21π+ B. i 42ln 21π- C. i 432ln 21π+D. i 432ln 21π-- 14、log(1)-=_____________.15、函数2(z 1)Ln +的支点是____________16____________17____________ 18、函数2w x ixy =+的可导范围为_____________19、复变函数z z f Im )(=在复平面上可导的点集为 20、复数2i +的模是__________ ，辐角是__________21_____________值函数 22、设()f z ＝u iv +是解析函数，并且已知(x,y)1v x =-,则'(z)f =________. 23、函数()21f z z =+在z ＝10－i 处的伸缩率是__________； 24、函数ixy x w +=2在__________范围内可导 25、()ii +1=_____________________26、求解析函数()f z u iv =+，其中22yv x y=+，并使得(2)0f =. 27、验证233),(xy x y x u u -==是复平面上的调和函数，并求一个以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，使得i f =)0(。
28、已知22u x y =-，求解析函数()f z ＝u iv +. 29、已知22u x y xy =-+，求解析函数()f z ＝u iv + 30、已知323y y x v -=，求相应的解析函数iv u f +=31、已知,2)4)((22xy y xy x y x v u -++-=+试确定解析函数iv u z f +=)( 32、设22cos x u e y x y =+-，求函数v ，使得iv u z f +=)(在Z 平面解析，且1)0(=f .并写出()f z 的复数表达式. 33、设11)(+-=z z Logz F ，求一单值解析分枝，使得0在割线上，且i f π=)0(上，求)2(f ，求)0(下f ?34、设函数)1()(z z z F -=，求)(z F 的枝点及1()>02f 上的一个单值解析分枝在1z =-,z i =处的值.35、试说明)1()(z z z F -=在割去线段1Re 0≤≤z 的z 平面内能分出两个单值解析分支，求出支割线1Re 0≤≤z 上岸取正值的那支在z=-1的值36、设()F z =,求作一单值解析分支,使(2)f =并求(2)f -及)(i f 的值.37、设3232(z)(x lxy )f my nx y i =+++在复平面上解析，求,,l m n 。
38、讨论函数2()f z z =的解析性.39、证明题：已知函数f 在区域D 内解析，如果f 在D 内解析，则f 在D 内恒为常数第三章练习题1、设C ：｜z+3｜=1的正向，则dz iz C ⎰-1等于( )。
A. 1 B. 0 C. 2πi D. 12πi2、dz iz dzz ⎰=-3π等于（ ） A. 1 B. 0 C.i π2 D. i π12 3、设C 为正向圆周11z -=，那么dz z z C ⎰+-33)1()1(1＝（ ）A.38i π B. 38i π- C. 34i π D. 34i π- 4、设C 为从i -到i 的直线段,则⎰Cdz z =（ ）A. iB. 2iC. i -D. （ ） 5、积分=+⎰=dz z z 21211（ ） A ．i π2 B. i π2- C. 1 D.06、设C 是正向圆周1,z =则积分dz zC ⎰21=A. 2i πB. 1C. 0D.（ ） 7、设C 是正向圆周12,z +=n 为正整数，则积分dz i z C n ⎰+-1)(1A. 2i πB. 1C. 0D. 12iπ 8、设C 是正向圆周1,z =则积分dz e zC z ⎰-1sin = A. 2i π B. 1 C. 2i π- D. 2sin1i π9、设(x,y)c u =（常数），则(x,y)u 的共轭调和函数为A. 任意调和函数B. 任意解析函数C. 任意函数D. 任意常数 10、设C 是正向圆周1,z =则积分dz zC ⎰1= _____________ 11、设C 是正向圆周1,z =则积分dz z zC +⎰1(= _____________12、设C 是沿原点到点1i +的直线段，则2czdz ⎰=____________13、设c 为|z|=2正向圆周，则⎰C zdz ze 2=______.14、设为|z|=2正向圆周，则dz z e C z⎰-2)1(=______.15、设c 为|z|=1正向圆周，则dz z C⎰-21=______. 16、设()f z 是单连通区域D 内解析且不为零，C 为D 内任一条简单闭曲线，则dz z f z f z f C⎰+'+'')(1)(2)(=________.17、设c 为2=z 的正向圆周，则dz z z z c ⎰-+-1122=_____________18、计算积分212(1)zC e dz i z z π-⎰，其中，C 为不经过0与1的正向简单闭曲线.19、积分dz z z zz ⎰=-22)1(sin 20、计算积分dz z z e z z⎰=-22)1(.21、计算积分2252(1)z z dz z z =--⎰22、计算dz z I C⎰=2，其中C 是从原点到2=z ，再从2=z 到i z +=2的直线段.23、计算[]2Re CI z z dz =+⎰，其中C 是从(1,0)A 逆时针到B(1,0)-的上半单位圆周24、已知()f z =23371z d z ξξξξ=++-⎰，求'(1i)f +25、计算dz z z z c ⎰++)1(322，其中12:=-iz c26、设C 为正向圆周)1(≠=R R z ,计算积分dz z ze I C z⎰-=3)1(27、计算积分[]dz z i z c⎰+Im 2，其中c 是从点A （1,0）到点B(-1,0)的上半个圆周28、证明221)!()!2(21n n zi dz z z nz π=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰=第四章练习题1、幂级数∑∞=++012)31(n n z i 的收敛半径是 （ ）A.1B.12 2、级数nn n zn])1([031--∑∞=的收敛半径是 （ ） A. 1 B.43 C. 23D. 2 3、罗朗级数2(3)nn n z ∞-=-∞-∑的收敛域为（ ）A.32z -<B.23z <-<+∞C.1232z <-< D.123z <-<+∞4、级数1n n z ∞=-∑的收敛域为（ ）A.1z <B.01z <<C. 1z ≤D. 01z ≤5、级数1nn i n∞=∑的敛散是（ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 不一定收敛 6、若幂级数0n n n a z +∞=∑在12z i =+处收敛,那么该级数在2z =处的敛散性为A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. （ ）7、1()1z f z e =-在z i π=处的泰勒级数的收敛半径为A. i πB. 2i πC. πD. （ ） 8、设幂级数∑∞=0n n n z a 的收敛半径R>0，则此幂级数的和函数（ ）A.在|z|<R 内不连续B.在|z|<R 内不解析C.在|z|<R 内不能逐项求导D.在|z|<R 内可逐项积分9、zz f cos 1)(=的孤立奇点为 （ ）A. )(,,02Z k k ∈+ππB. )(,,2Z k k ∈+∞ππC. )(,,,02Z k k ∈+∞ππ D. )(,2Z k k ∈+ππ10、tan ,0(z)1,0zz f z z ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的孤立奇点为 （ ）A. )(,,02Z k k ∈+ππB. )(,,2Z k k ∈+∞ππC. )(,,,02Z k k ∈+∞ππ D. )(,2Z k k ∈+ππ11、下列级数中，绝对收敛的级数是（ ）A.11(1)n inn ∞=+∑ B.2ln nn i n∞=∑ C. 1(1)2n n n i n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑ D. 1(8)!nn i n ∞=∑ 12、设∞为)(z f 的可去奇点，则说法不正确．．．的是 （ ） A.)(lim z f z ∞→存在 B.0)),((Re =∞z f sC. )),((Re ∞z f s 不一定为零D.)(z f 在∞有界 13、0=z 是)1(22-z e z 的 （ ）A. 5阶零点B. 4阶零点C. 3阶零点D. 2阶零点14、1z =是函数21()(1)sin 1f z z z =--的（ ）A.可去奇点B.本性奇点C. 二阶极点D.二阶零点 15、设1z =-时函数4cot()(1)z z π+的m 级极点，那么m =（ ）A.2B.3C.4D.516、0=z 是函数4)(ze zf z=的m 阶极点，则m=（ ）A.2B.3C.4D.5 17、以0z =为本性奇点的函数是（ ） A.sin z z B. 1(1)z z - C. 1sin z D. ( ) 18、z=0是函数()f z =3sin zz的m 阶极点，则m = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D.419、若∞是整函数(z)f 的n 阶极点，则(z)f 是（ ）A. 常数B. n 次多项式C. 有理函数D. （ ） 20、(z a)(z b)(z)Logz(z c)F --=-在∞的邻域内（ ）A. 可以展成泰勒级数B.可以展成洛朗级数C. 不可以展成泰勒级数D. 不可以展成洛朗级数 21、z=1是函数f(z)=1z 1e -的( )。