七年级探索规律题分类
2022人教版初中数学七年级上册练习题--专项综合全练(二)探索规律
初中数学·人教版·七年级上册——专项综合全练(二)专项综合全练（二）探索规律类型一探索式子的变化规律1.(2021吉林大安期末)一组按规律排列的式子:2a ,-5a3,10a5,-17a7,26a9,…,其中第8个式子是,第n个式子是(用含n的式子表示,n为正整数).2.有一列单项式:-x,2x2,-3x3,4x4,…,-19x19,20x20,….(1)你能说出这一列单项式的排列规律吗?(2)写出第2 020个单项式;(3)写出第n个单项式.类型二探索图形的变化规律3.(2021辽宁大连西岗期末)图2-4-1是按照一定规律画出的“分形图”,图A1中有1枝分支,图A2中有3枝分枝,图A3中有7枝分枝,图A4中有15枝分枝,……,请仔细观察,照此规律,图A5中的分枝数是()图2-4-1A.28B.30C.31D.634.(2021河北唐山玉田期末)如图2-4-2,第1个图形中小黑点的个数为5,第2个图形中小黑点的个数为9,第3个图形中小黑点的个数为13,……,按照这样的规律,第n个图形中小黑点的个数应该是()图2-4-2A.4n+1B.3n+2C.5n-1D.6n-25.(2021河北邯郸永年期末)图2-4-3中的图案是用长度相同的牙签按一定规律摆成的.摆图案(1)需8根牙签,摆图案(2)需15根牙签,摆图案(3)需22根牙签,……按此规律.摆图案(n)需要牙签的根数是 ()图2-4-3A.7n+8B.7n+4C.7n+1D.7n-16.用正三角形、正四边形和正六边形按如图2-4-4所示的规律拼图案,即从第2个图案开始,每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4,则第n个图案中正三角形的个数为(用含n的式子表示).图2-4-4类型三探索等式的变化规律7.请观察如图2-4-5所示的点阵图和相应的等式,探究其中的规律.图2-4-5(1)分别写出④⑤相应的等式;(2)通过猜想写出与第n个点阵图相对应的等式.5年中考3年模拟·初中数学·人教版·七年级上册——专项综合全练(二) 专项综合全练（二）探索规律1.答案-65a15;(-1)n+1n2+1a2n-1解析因为2a =(-1)2·12+1a2×1-1,-5a3=(-1)3·22+1a2×2-1,10 a5=(-1)4·32+1a2×3-1,…所以第8个式子是-65a15,第n个式子是(-1)n+1n2+1a2n-1.2.解析(1)奇数项的系数为负,偶数项的系数为正,系数的绝对值以及x的指数均与式子的次序相同.(2)2 020x2 020.(3)(-1)n nx n.3.C题图A1中有1枝分支,题图A2中有(1+21)枝分支,题图A3中有(1+21+22)枝分支,题图A4中有(1+21+22+23)枝分支,……,则图A n中有(1+21+22+23+…+2n-1)枝分支,所以图A5中有1+21+22+23+24=31枝分支,故选C.4.A设第n个图形中小黑点的个数为a n.观察题图,可知a1=5=4×1+1,a2=9=4×2+1,a3=13=4×3+1,……,所以a n=4n+1.故选A.5.C因为摆图案(1)需牙签8根,摆图案(2)需牙签8+7=15根,摆图案(3)需牙签8+7+7=22根,……,所以摆图案(n)需牙签8+7(n-1)=(7n+1)根,故选C.6.答案4n+2解析第1个图案中正三角形的个数为6=2+1×4;第2个图案中正三角形的个数为2+4+4=2+2×4;第3个图案中正三角形的个数为2+2×4+4=2+3×4;……所以第n个图案中正三角形的个数为2+(n-1)×4+4=4n+2.7.解析(1)观察题图得到④中点的个数为1+3+5+7=16,则④1+3+5+7=42;同理可得⑤1+3+5+7+9=52.(2)根据前面等式的规律得到第n个点阵图中点的个数为n2,它等于从1开始的n个连续奇数的和,于是得到1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.。
初中数学(规律探索题)题库及答案
初中数学（规律探索题）题库及答案1．（2019•贺州）计算11111133557793739+++++⨯⨯⨯⨯⨯…的结果是 A ．1937B ．1939C ．3739D ．3839【答案】B【解析】原式=1111111*********(1)(1)22233557737373923939⨯-+-+-+-+++-=⨯-=．故选B ．【名师点睛】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．2．（2019•常德）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是 A ．0B ．1C ．7D ．8【答案】A【解析】∵70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，∴个位数4个数一循环.∴（2019+1）÷4=505，∴1+7+9+3=20，∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．故选A ．【名师点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．3．（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：11212312341213214321，，，，，，，，，，…，若第n 个数为57，则n =A ．50B ．60C ．62D ．71【答案】B【解析】11212312341213214321，，，，，，，，，，…，可写为：1121231234()()()1213214321，，，，，，，，，，….∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为12345667891011 11109877554321，，，，，，，，，，，.∴第n个数为57，则n=1+2+3+4+…+10+5=60，故选B．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．4．（2019•株洲）从-1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K={a k，b k}（其中k=1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i={a i，b i}和M j={a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值A．10 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，∴a i+b i共有5个不同的值．又∵对于任意的M i={a i，b i}和M j={a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，∴S的最大值为5．故选C．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出a i+b i共有几个不同的值是解题的关键．5．（2019•济宁）已知有理数a≠1，我们把11a-称为a的差倒数，如：2的差倒数是112-=-1，-1的差倒数是111(1)2=--．如果a1=-2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5【答案】A【解析】∵a 1=-2，∴a 2=111(2)3=--，a 3=131213=-，a 4=1312-=-2，….∴这个数列以-2，13，32依次循环，且-2+13+32=-16.∵100÷3=33……1，∴a 1+a 2+…+a 100=33×（-16）-2=-152=-7.5，故选A ．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 6．（2019•达州）a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如2的差倒数为112-=-1，-1的差倒数111(1)2=--，已知a 1=5，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……，依此类推，a 2019的值是 A ．5B ．-14C ．43D ．45【答案】D【解析】∵a 1=5，a 2=11111154a ==---，a 3=21141151()4a ==---，a 4=3114115a =--=5.……∴数列以5，-14，45三个数依次不断循环，∵2019÷3=673，∴a 2019=a 3=45，故选D ．【名师点睛】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．7．（2019•枣庄）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．8．（2019•武汉）观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2，…，已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是A．2a2-2a B．2a2-2a-2 C．2a2-a D．2a2+a【答案】C【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；…∴2+22+23+…+2n=2n+1-2.∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250.∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，∴原式=2a2-a．故选C．【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．9．（2019•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019，那么点A 2019的坐标是A ．（2，-2） B ．（1，0）C ．（，）D ．（0，-1）【答案】A【解析】∵四边形OABC 是正方形，且OA =1，∴A （0，1）. ∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1.∴A 1（2，2），A 2（1，0），A 3（2，-2），….发现是8次一循环，所以2019÷8=252……3，∴点A 2019的坐标为（2，-2），故选A ．【名师点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．10．（2019•菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），….2019÷4=504……3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选C．【名师点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．11．（2019•天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4.第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7.第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10.第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13.…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．12．（2019•甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．13．（2019•武威）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，…，按照这个规律写下去，第9个数是__________．【答案】13a+21b【解析】由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．14．a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1=4，第5个数a5=5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是__________．【答案】6【解析】由任意三个相邻数之和都是15可知：a1+a2+a3=15，a2+a3+a4=15，a3+a4+a5=15，…，a n+a n+1+a n+2=15.可以推出：a1=a4=a7=…=a3n+1，a2=a5=a8=…=a3n+2，a3=a6=a9=…=a3n.所以a5=a2=5，则4+5+a3=15，解得a3=6.∵2019÷3=673，因此a2017=a3=6．故答案为：6．【名师点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是找出第1、4、7…个数之间的关系，第2、5、8…个数之间的关系，第3、6、9…个数之间的关系．问题就会迎刃而解．15．（2019•海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是__________，这2019个数的和是__________．【答案】0；2【解析】由题意可得，这列数为：0，1，1，0，-1，-1，0，1，1，….∴前6个数的和是：0+1+1+0+（-1）+（-1）=0.∵2019÷6=336……3，∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）=2，故答案为：0；2．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现．16．（2019•咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是__________．【答案】-384【解析】∵一列数为1，-2，4，-8，16，-32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（-2）n-1.∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（-2）n-1、（-2）n、（-2）n+1.则（-2）n-1·（-2）n·（-2）n+1=412，即（-2）3n=（22）12，∴（-2）3n=224，∴3n=24，解得，n=8.∴这三个数的和是：（-2）7+（-2）8+（-2）9=（-2）7×（1-2+4）=（-128）×3=-384，故答案为：-384．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．17．（2019•安顺）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是__________．【答案】2019【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025-6=2019，故答案为：2019．【名师点睛】本题考查规律型——数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．18．（2019•黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是__________．【答案】625【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数.∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628，∴第20行第19个数是：628-3=625，故答案为：625．【名师点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n个数可以表示为1+3（n-1）．19．（2019•台州）砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共__________个．【答案】3【解析】∵210÷3=70，∴第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70个，剩下210-70=140个金蛋，重新编号为1，2，3，…，140； ∵140÷3=46......2. ∴第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46个，剩下140-46=94个金蛋，重新编号为1，2，3， (94)∵94÷3=31……1，∴第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31个，剩下94-31=63个金蛋. ∵63<66.∴砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共有3个． 故答案为：3．【名师点睛】此题主要考查了推理与论证，正确得出每次砸掉的和余下的金蛋个数是解题关键．20．（2019•滨州）观察下列一组数： a 1=13，a 2=35，a 3=69，a 4=1017，a 5=1533，…. 它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n 个数a n =__________．（用含n 的式子表示）【答案】1(1)22n n n +++ 【解析】观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n +1. 观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为(1)2n n +. ∴a n =1(1)(1)22122n n n n n n +++=++，故答案为：1(1)22n n n +++．【名师点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．21．（2019•怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是__________．【答案】n -1【解析】由题意“分数墙”的总面积=2×12+3×13+4×14+…+n ×1n=n -1，故答案为：n -1．【名师点睛】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．（2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt △OA 1A 2，并使∠A 1OA 2=60°，再以OA 2为直角边作Rt △OA 2A 3，并使∠A 2OA 3=60°，再以OA 3为直角边作Rt △OA 3A 4，并使∠A 3OA 4=60°……按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为__________．【答案】（-22017，2【解析】由题意得，A1的坐标为（1，0），A2的坐标为（1A3的坐标为（-2，.A4的坐标为（-8，0），A5的坐标为（-8，-），A6的坐标为（16，-），A7的坐标为（64，0），…由上可知，A点的方位是每6个循环.与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n-1，其纵坐标为0.与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为2n-.与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为2n-与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为-2n-1，纵坐标为0.与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-2n-2，纵坐标为-2n-与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n-2，纵坐标为-2n-∵2019÷6=336……3.∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为-2n-2=-22017，纵坐标为2.故答案为：（-22017，2【名师点睛】本题主点的坐标的规律题，主要考查了解直角三角形的知识，关键是求出前面7个点的坐标，找出其存在的规律．23．（2019•连云港）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为__________．【答案】（2，4，2）【解析】根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），故答案为：（2，4，2）．【名师点睛】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．24．（2019•衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则OBOA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）5(【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB.∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DC OA BC=.∵DC=1，BC=2，∴OBOA=12，故答案为：12．（2过C作CM⊥y轴于M，过M1作M1N⊥x轴，过F作FN1⊥x轴．根据勾股定理易证得BD==CM=OA，DM=OB=ANC.∵AF=3，M1F=BC=2，∴AM1=AF-M1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM1（AAS），∴NM1=OA∵NM1∥FN1，∴11111553M N AMFN AFFN==，.∴FN1=5，∴AN1=5，∴ON1=OA+AN1=555+=，∴F（5，5）.同理.F1（55，.F2（55，.F3（55，.F4）.…F2019.【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．25．（2019•安徽）观察以下等式：第1个等式：211 111 =+.第2个等式：211 326 =+.第3个等式：211 5315 =+.第4个等式：211 7428 =+.第5个等式：211 9545 =+.……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：__________（用含n的等式表示），并证明．【解析】（1）第6个等式为：21111666=+，故答案为：21111666=+．（2）21121(21) n n n n=+--.证明：∵右边=112112(21)(21)21nn n n n n n-++==---=左边．∴等式成立.故答案为：21121(21)n n n n=+--．【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出21121(21)n n n n=+--的规律，并熟练加以运用．26．（2019•自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①.则2S=2+22+…+22018+22019②.②-①得2S-S=S=22019-1.∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a>0，n是正整数，请写出计算过程）．【解析】（1）设S=1+2+22+…+29①.则2S=2+22+…+210②.②-①得2S-S=S=210-1.∴S=1+2+22+…+29=210-1，故答案为：210-1．（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①.则3S=32+33+34+35+…+311②.②-①得2S =311-1.所以S =11312-. 即3+32+33+34+…+310=11312-. 故答案为：11312-．（3）设S =1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n ①. 则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②. ②-①得：（a -1）S =a n +1-1.a =1时，不能直接除以a -1，此时原式等于n +1.a 不等于1时，a -1才能做分母，所以S =111n a a +--.即1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n=111n a a +--．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法． 27．（2019•张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n ．所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1=1，a 2=3，公差为d =2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为5，第5项是__________．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，a n-a n-1=d，…．所以a2=a1+d.a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d.a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d.……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n=a1+__________d．（3）-4041是不是等差数列-5，-7，-9…的项？如果是，是第几项？【解析】（1）根据题意得，d=10-5=5．∵a3=15，a4=a3+d=15+5=20，a5=a4+d=20+5=25，故答案为：5；25．（2）∵a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d.a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……∴a n=a1+（n-1）d，故答案为：n-1．（3）根据题意得.等差数列-5，-7，-9…的项的通项公式为：a n=-5-2（n-1）.则-5-2（n-1）=-4041.解之得：n=2019.∴-4041是等差数列-5，-7，-9，…的项，它是此数列的第2019项．【名师点睛】本题考查了学生的分析、阅读等自学能力，解题的关键是要认真阅读题目，理解题目呈现的数学思想及数学方法．。
七年级数学有理数规律探索性试题解析试题
无棣县埕口中学七年级数学 有理数规律探究性试题解析一、 数阵规律探究问题例1：〔2021年〕把数字按如下图排列起来，从上开场，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围一列，从上至下依次为1、5、13、…，那么第10个数为__________________。
2827262423222120181716151411108762析解：观察数阵中用虚线围成的数，不难发现：第2个数5比第1个数1多4，第3个数13比第2个数5多8，第4个数25比第3个数13多12，…，第n 个数比它的前一个数多了4的(n-1)倍数，所以被围住的数从上至下分别是1、5、13、25、41、61、85、113、145、181、…，所以第10个数是181。
二、数式规律探究问题例2：〔2021年〕一个正整数数表如下〔表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍〕：那么第6行中的最后一个数为【】A.31B.63C.127D.255析解：此题属于表格信息题，解决问题的关键是要通过观察、考虑来发现其中的规律。
因为第1行有1个数，后面每行数的个数都是前面一行数字个数的2倍，所以第4行有8个数，第5行有16个数，第6行有32个数。
观察每行的最后一个数分别是2的行数次幂与1的差，所以第6行的最后一个数为26-1=63。
例3：〔2021年〕观察以下一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2021个数是A．1 B．2 C．3 D．4析解：这是由1、2、3、4这四个数字组成的一组数的排列，可以发现6个数“1，2，3，4，3，2〞恰好一个轮回，而2021=6×334+1，所以第2021个数是这6个数中的第一个数1，应选〔A〕。
三、数形结合探究问题例4：〔2021年〕如下图，按以下方法将数轴的正半轴绕在一个圆〔该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2〕上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合。
中考数学探索规律题分类及解析
中考数学探索规律题分类及解析中考数学探索规律题是指通过观察一组数或一组图形，发现其中存在的规律或者推导出下一个数字或图形的解题方法。
这类题目不是通过直接计算或者运用公式来得到答案，而是通过观察和推理来寻找规律并进行推导。
这类题目在中考数学中比较常见，考察学生的观察力、逻辑推理能力和发现规律的能力。
中考数学探索规律题可以分为数列规律、形状规律和操作规律等几个分类。
数列规律题是指给出一组数字，要求学生根据已知数字的特点推导出下一个数字或者补全数列。
这类题目常常通过给出一定的条件或者变化规律，让学生去寻找数字之间的关系。
学生可以通过计算差值、比值等方式来找到规律。
比如，给出一个数列1，3，5，7，要求学生推导出下一个数字。
学生可以发现，每两个数字之间差值都是2，所以下一个数字应该是9。
形状规律题是指给出一组图形，要求学生根据已知图形的特点推导出下一个图形或者补全图形。
这类题目常常通过给出一定的条件或者变化规律，让学生去寻找图形之间的关系。
学生可以通过观察图形边长、角度、对称性等特点找到规律。
比如，给出一个图形如下：1 2 34 5 67 8 ?要求学生填空。
学生可以发现，每一行的数字是依次递增的，所以下一个数字应该是9。
操作规律题是指通过一系列操作或者变换，让学生来探索操作之间的关系从而推导出答案。
这类题目常常通过给出一系列数字或者图形的变化过程，让学生去寻找变化之间的规律。
比如，给出一系列数字1，4，9，16，要求学生推导下一个数字。
学生可以发现，每一个数字都是前一个数字的平方，所以下一个数字应该是25。
总之，中考数学探索规律题要求学生通过观察和推理来寻找规律，需要学生具备较强的观察力、逻辑推理能力和发现规律的能力。
在解题过程中，学生可以采用数列差值、比值等方式来寻找数列规律；可以通过观察图形的边长、角度、对称性等特点来寻找形状规律；可以通过寻找操作之间的关系来寻找操作规律。
通过不断的练习和思考，可以提高解决这类问题的能力。
(完整)七年级数学专题规律探究题
七年级数学专题-----规律探究题题型一：数字变化类问题1．观察下列按顺序排列的等式：，，，，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a n=__________．2.下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是．1 2 3 5 8 13 a …2 3 5 8 13 21 34 …3.观察下面的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．4.有一组等式：2222222222222222++=++=++=++=……请观察1233,2367,341213,452021它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为_________5.把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是．5.在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。
而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的十进位0 1 2 3 4 5 6 …制二进制0 1 10 11 100 101 110 …写成十进制数为 .（二）6．观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是．，，，，，…7.观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是．8．有这样一组数据a1，a2，a3，…a n，满足以下规律：，（n≥2且n为正整数），则a2013的值为______（结果用数字表示）．9.观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…………请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为____________________________．10.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是A．M=mn B．M=n(m+1) C．M=mn+1 D．M=m(n+1)11.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是（）A．0 B．1 C．3 D．712.如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是.－4 a b c 6 b －2…13.将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x 是85．题型二：图形变化类问题14.如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需__________根火柴棒.15.电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，0通常省略不标,此WORD 中为方便大家识别与印刷，我还是把图乙中的0都标出来吧，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中仅有3个埋有雷.图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定是雷的有.（请填入方块上的字母）16.如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A 1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度。
人教版七年级上册数学《规律探索型问题》
规律探索型问题题型一第1题一组数1,1,2,x,5,y,…,满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为( )A.8B.9C.13D.15第2题一组数,,,,…按一定的规律排列,根据排列规律,推测这组数的第10个数应为( )A. B. C. D.题型二数式变化规律型数式规律型,通常给定一些代数式、等式或者不等式,通过探究其变化过程中的规律,归纳或猜想出一般性的结论,主要考查探索规律的能力,理解给出的解题思路与方法,并能灵活应用是解决问题的关键.第3题如图3-7-1,是我国数学家发明的“杨辉三角”,此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及其系数的有关规律.请你观察,并根据此规律写出:(a+b)7的展开式共有________项,第二项的系数是________,(a+b)n的展开式共有________项,各项的系数和是________.图3-7-1第4题阅读下列材料:1×2=×(1×2×3-0×1×2),2×3=×(2×3×4-1×2×3),3×4=×(3×4×5-2×3×4),以上三个等式左右两边分别相加,可得1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20.读完以上材料,请你计算下列各题:(1)1×2+2×3+3×4+…+10×11(写出过程);(2)1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)= .题型三图形变化规律型图形规律型主要是观察图形的组合、拆分及图形自身的特点,分析相邻两个图形之间的关系及每个图形和项数之间的关系,并将以图形为载体的变化规律用含有项数的代数式(等式)表示出来,利用此规律、特点解决问题.第5题如图3-7-2,将正方形进行如下操作:第1次:在图①中,分别连接各边中点,如图②,得到5个正方形;第2次:将图②中左上角的正方形按上述方法再分割,如图③,得到9个正方形,……,以此类推,根据以上操作,若要得到2 013个正方形,则需要操作的次数是( )图3-7-2A.502B.503C.504D.505第6题如图3-7-3,△ABC的三个顶点和它内部的点P1,把△ABC分成3个互不重叠的小三角形;△ABC的三个顶点和它内部的点P1,P2,把△ABC分成5个互不重叠的小三角形;△ABC的三个顶点和它内部的点P1,P2,P3,把△ABC分成7个互不重叠的小三角形;……;△ABC的三个顶点和它内部的点P1,P2,P3,…,Pn,把△ABC分成________个互不重叠的小三角形.图3-7-3题型四数形结合变化规律型这类问题往往从图形、式子两个角度寻找规律.解决这类问题,既可以直接分析图形的特点,找到变化规律,也可以单单借助于式子来分析其中的特点.当然,把图形和对应的式子结合起来,更容易发现规律.第7题如图3-7-4,是蜘蛛结网过程示意图,一只蜘蛛先以O为起点结六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF后,再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在OA,OB,OC,OD,OE,OF,OA,OB,…上结网,若将各线上的结点依次记为1,2,3,4,5,6,7,8,…,那么第2 016个结点在( )图3-7-4A.射线OA上B.射线OB上C.射线OC上D.射线OF上规律探索型问题习题第1题观察下列等式:71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16 807,76=117649,……,那么71+72+73+…+72016的末位数字是( )A.9B.7C.6D.0第2题观察下列关于x的单项式,探究其规律:x,3x2,5x3,7x4,9x5,11x6,….按照上述规律,第2015个单项式是( )A.2015x2015B.4029x2014C.4029x2015D.4031x2015第3题一组数1,1,2,x,5,y,…,满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中的y表示的数为( )A.8B.9C.13D.15第4题观察图3-8-1中正方形四个顶点所标的数字规律,可知,数2 016应标在( )图3-8-1A.第504个正方形的左下角B.第504个正方形的右下角C.第505个正方形的左上角D.第505个正方形的右下角第5题从1开始得到如下的一列数:1,2,4,8,16,22,24,28,…,其中每一个数加上自己的个位上的数,成为下一个数,上述一列数中小于100的数的个数为( )A.21B.22C.23D.99第6题图3-8-2中的图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成的,①中有2个黑色正方形,②中有5个黑色正方形,③中有8个黑色正方形,④中有11个黑色正方形,……,按此规律,⑩中黑色正方形的个数是( )图3-8-2A.32B.29C.28D.26第7题观察图3-8-3中的一组图形,其中图形①中共有2颗星,图形②中共有6颗星,图形③中共有11颗星,图形④中共有17颗星,……,按此规律,图形⑧中星星的颗数是( )图3-8-3A.43B.45C.51D.53第8题观察下列数据:-2,,-,,-,…,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第11个数据是________.第9题将连续正整数按如下规律排列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行 1 2 3 4第2行8 7 6 5第3行9 10 11 12第4行16 15 14 13第5行17 18 19 20………………若正整数565位于第a行第b列,则a+b=________.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角数,它有一定的规律.若把第一个三角数记为a1,第二个三角数记为a2,……,第n个三角数记为an,计算a 1+a2,a2+a3,a3+a4,……,由此推算a399+a400=________.第11题图3-8-4是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,……,则第n个图案中有______根小棒.图3-8-4第12题图3-8-5是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形组成的,其中部分小正方形涂有阴影,依此规律,第n个图案中有________个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示).图3-8-5第13题研究下列算式:1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,……(1)按照这样的规律写出第5行及第6行的算式;(2)用代数式表示此规律.阅读下列材料,并解决相关的问题.按照一定顺序排列着的一列数称为数列,排在第一位的数称为第1项,记为a 1,……依此类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).如:数列1,3,9,27,…为等比数列,其中a1=1,公比为q=3.(1)等比数列3,6,12,…的公比q为__________,第4项是____________;(2)如果一个数列a1,a2,a3,a4,…是等比数列,且公比为q,那么根据定义可得到:=q,=q,=q,……,=q.所以a2=a1·q,a3=a2·q=(a1·q)·q=a1·q2,a 4=a3·q=(a1·q2)·q=a1·q3,……由此可得:an =______________(用含a1和q的代数式表示);(3)若一等比数列的公比q=2,第2项是10,请求它的第1项与第4项.。
七年级数学规律探究题
七年级数学规律探究题专题讲解 ——(王学栋) 一、 七年级规律探究题主要分为三类： 1. 循环数列：数字按照一定规律重复出现； 2. 等差数列：每一项的数增加量或减少量相等。 3. 乘方： 二、 例题讲解： 1. 循环数列： 例1. 1~9这九个数的乘方所得的结果，其个位数是有规律的，如： =2，2²=4， ， ， ， ， =128， ，…，根据你发现的规律求 的个位数是 。 例2. 观察下列一组数的排列：1,2,3,4,3,2, 1,2,3,4,3,2,…，聪明的你猜猜第100个数是什么（ ）。 A.1 B.2 C.3 D.4 2. 等差数列： 例1. 用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第4个图案中有黑色地砖4块；那么第n个图案中有白色 地砖 块。 例2. 用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的个数是（ ）。
例3. 观察下列算式：1×5+4=3²，2×6+4=4²，3×7+4=5²，4×8+4=6²，…，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空： × + =50²。 3. 乘方： 例1. 计算并观察： （1）. 3²= ，30²= ，300²= ，0.3²= ，0.03²= ，写出你发现的规律。 （2）. 根据（1）中发现的规律，在不使用计算器的情况下解决下列问题：若3.14²=9.8596，则求314²= ，0.314²= 。 例2. 观察下列等式：1³=1² 1³+2³=3² 1³+2³+3³=6² 1³+2³+3³+4³=10² 由此规律得，第⑤个等式是： 。 例3. 234,4,9,16,,xxxx根据你发现的规律,第8个式子是__________,第n个式子是__________
7年级探索规律习题集汇编.
7年级数学探索规律习题汇编一、数字规律类：1、419316725133621，…… 请你推断第9个数是第n+3(n>=1个数是．2、已知下列等式：① 13＝12；② 13＋23＝32；③ 13＋23＋33＝62；④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…………由此规律知，第⑤个等式是第n 个等式是． 3、观察下列各式；①、12+1=1×2 ；②、22+2=2×3；③、32+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n 表示出来。
4、观察下面的几个算式：①、1+2+1=4；②、1+2+3+2+1=9；③、1+2+3+4+3+2+1=16；……根据你所发现的规律，请你直接写出第n 个式子 5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是。
6、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为________。
第1行 1第2行－2 3第3行－4 5 －6第4行 7 －8 9 －10第5行 11 －12 13 －14 15 ………………7、已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于．8、有一列数：41,33, 32, 31, 22, 21, 1……，第9个数是第n 个数是 . .9、观察下列各式：21112⨯=+，32222⨯=+，43332⨯=+，54442⨯=+，……将上面的规律用含有n 的公式表示出来是10、观察下列各式：…，用n （自然数）把这个规律表示出来．11、观察下列等式9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，……这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设n 表示自然数，请用含有n 的等式表示出来。
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七年级探索规律题分类
七年级探索规律题主要可以分为以下6类：
1.等差型数列规律：这类题目中，相邻两项之差（后减前）等于定值。
例如，
1，3，5，7，9……增幅是2。
2.等比型数列规律：这类题目中，每一项都是前一项的固定倍数。
例如，1，2，
4，8，16……增幅是2。
3.含平方型数列规律：这类题目中，数列中包含平方运算。
例如，1，4，9，
16，25……增幅是平方数。
4.循环型数列：这类题目中，数列呈现出明显的循环模式。
例如，1，2，3，
2，1，2，3，2……循环的数字是1、2、3、2。
5.图形规律题：这类题目需要通过观察图形的变化规律来解答问题。
例如，给
出一些正六边形和正三角形镶嵌的图案，问第n个图案中阴影小三角形的个数。
6.数字规律题：这类题目需要通过观察数字的变化规律来解答问题。
例如，
1+3=4=2^2, 1+3+5=9=3^2, 1+3+5+7=16=4^2。
问1+3+5+7+…
+2005+2007的值。
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