高考数学玩转压轴题专题3.2动点轨迹成曲线坐标关系是关键(2021学年)

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专题３.２ 动点轨迹成曲线 坐标关系是关键【题型综述】１.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种:（1）直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点P(x ，ｙ);③列式，列出动点P 所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为ｘ,y 的方程式,并化简；⑤证明，证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

（２)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（3)代入法(相关点法）:动点P （x ，y )依赖于另一动点Ｑ(ｘ0,y ０)的变化而变化,并且Q （x ０,y 0）又在某已知曲线上，则可先用x ,ｙ的代数式表示x 0,y 0，再将x 0,y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程;(4）参数法:当动点P (ｘ,ｙ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时,可考虑将x ,y 均用一中间变量(参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程. 2。

解轨迹问题注意:(1)求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求,求轨迹时,应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等。

(2)要验证曲线上的点是否都满足方程,以方程解为坐标点是否都在曲线上,补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点。

【典例指引】类型一 代点法求轨迹方程例1 【2017课标ＩＩ,理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆Ｃ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线,垂足为Ｎ,点P 满足2NP NM =。

(1) 求点P 的轨迹方程;(２）设点Q 在直线3x =-上,且1OP PQ ⋅=．证明:过点Ｐ且垂直于OQ 的直线l 过Ｃ的左焦点F 。

因此点P 的轨迹方程为222x y +=。

（2)由题意知()1,0F -。

设()()3,,,Q t P m n -,则 ()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---.由1=OP PQ 得2231m m tn n --+-=,又由（１)知222m n +=,故330m tn +-=。

所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF 。

又过点Ｐ存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

类型二 定义法求轨迹方程例2.【２016高考新课标１卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆Ａ于C ,Ｄ两点,过B 作AC 的平行线交ＡD 于点E ． (I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C １,直线l 交Ｃ1于M ,Ｎ两点,过Ｂ且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Ｑ两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x 。

所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN 。

过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m :)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S ． 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[。

当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ,3||=MN ，8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 类型三 参数法求轨迹方程例3[201６高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明//AR FQ ；（I Ｉ)若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x (舍去）,11=x 。

设满足条件的AB 的中点为),(y x E 。

当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a 。

而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y 。

当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合,所以,所求轨迹方程为12-=x y 。

.。

1２分 类型四 直译法求轨迹方程例4。

已知动圆C 过点()1,0Q ,且在y 轴上截得的弦长为2. (Ⅰ)求圆心C 的轨迹方程;（Ⅱ）过点()1,0Q 的直线l 交轨迹C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，证明: 2211QAQB+为定值,并求出这个定值。

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的。

定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消，定点、定值显现.【扩展链接】１。

若一个圆1C 内含于另一个圆2C ,则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和;⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆,且其长轴长为已知圆的半径。

⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m 的点的轨迹为一椭圆(两点除外）。

两定点为椭圆的顶点,两定点间的距离为长轴长。

(10m -<<时，焦点在x 轴上;当 1m <-时,焦点在y 轴上)⒋将圆的横坐标(或纵坐标)拉伸或缩短为原来的m 倍，该圆变成椭圆；⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。

方椭圆的长半轴与圆的半径长相等;⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点,从大圆上该点作x 轴的垂线, 则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。

【同步训练】1.在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0)，直线l : 1x =-，点P 在直线l 上移动， R 是线段PF 与y 轴的交点, 异于点R 的点Q 满足: RQ FP ⊥, PQ l ⊥.(1)求动点Q 的轨迹的方程；（２) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB . CD ,设AB . CD 的中点分别为M N ，．问直线MN 是否经过某个定点？如果是，求出该定点，如果不是，说明理由.【思路引导】（1)由已知条件知,点Ｒ是线段ＦＰ的中点，RQ是线段FP的垂直平分线，点Q的轨迹Ｅ是以F为焦点，l为准线的抛物线，写出抛物线标准方程．（２）设出直线AＢ的方程,把Ａ、B坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点M的坐标,同理可得N的坐标，求出直线MN的斜率，得到直线ＭN的方程并化简，可看出直线ＭN过定点．2。

已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足(其中为非零常数)（1）求动点的轨迹方程；(2)若是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为8的正方形，当时，得到动点的轨迹为曲线,过点的直线与曲线相交于两点,当线段的中点落在正方形内（包括边界)时，求直线斜率的取值范围。

【思路引导】(１)由相关点法得到Q点轨迹;（２)求出线段中点坐标,点在正方形内(包括边界）的条件是即，解出来即可．【详细解析】(1)设动点,则，且，①３.在直角坐标系xOy 中， 已知定圆()22:136M x y ++=,动圆N 过点()1,0F 且与圆M 相切,记动圆圆心N 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；(2)设,A P 是曲线C 上两点,点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P ）,若直线,AP BP 分别交x 轴于点,S T ，证明： ·OS OT 为定值．【思路引导】（１）由两圆关系得等量关系6NM NF FM +=>,再根据椭圆定义确定轨迹形状及标准方程，(２）解析几何中定值问题,往往通过计算给予证明,先设坐标，列直线方程,求出与x 轴交点坐标,再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元,化简计算·OS OT 为定值 . 【详细解析】(1）因为点()1,0F 在()22136M x y ++=：内，所以圆N 内切于圆M ,则6NM NF FM +=>,由椭圆定义知，圆心N 的轨迹为椭圆,且26,1a c ==，则229,8a b ==，４.已知圆与直线相切，点为圆上一动点,轴于点，且动点满足,设动点的轨迹为曲线。

(1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围。

【思路引导】(1)由圆与直线相切,可得。

然后设动点，即可求解.（2)设出直线的,分斜率存在和不存在两种情形,以为直径的圆过坐标原点可转化为.再把直线方程和椭圆方程联立【详细解析】(１）设动点，由于轴于点又圆与直线即相切,∴圆将（*)代入可得,即即,又将代入,可得∴当且仅当,即时等号成立．又由,，.②若直线的斜率不存在,因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得同理求得故.综上，得.5。

已知椭圆2214x y +=，过点()1,0M -作直线l 交椭圆于,A B 两点, O 是坐标原点．(1）求AB 中点P 的轨迹方程；(2）求OAB ∆的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【思路引导】（１）利用点差法，结合中点坐标公式，即可求AB 中点P 的轨迹方程； (2）令:1l x hy =-代入2244x y +=,利用韦达定理,表示出OAB ∆面积，利用函数的单调性,即可求OAB ∆面积的最大值，及此时直线l 的方程．(2）令:1l x hy =- 联立2244{ 1x y x hy +==-得:()224230h yhy +--=因为()21630h ∆=+> 所以12224hy y h+=+ 所以121··2S OM y y =-= 222123·244h h h ∆+=++ 233h t += 则22211t S t t t==++在)3,⎡+∞⎣上单调递减， 当3t =0h =时,max 32S =此时, :1l x =- ６.已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,A B 两点,点M 为圆O 上异于,A B 的任意一点,圆O 在点M 处的切线与圆O 在点,A B 处的切线分别交于,C D ,直线AD 和BC 交于点P ，设P 点的轨迹为曲线E 。